2022-2023学年上海高二上学期数学同步练第10章 空间直线与平面(单元提升卷)(含详解).pdf

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1、第10章空间直线与平面（单元提升卷）（满分150分，完卷时间120分钟）考生注意：1 .本试卷含三个大题，共2 1题.答 题 时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效.2 .除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤.一、填空题1 .已知直线和平面若则。与匕的位置关系是2 .三条不同的直线a、b、c,若。/匕，c 与a、赭K相交，则a、b、。三条直线能确定的平面的个数是 个.3 .已知角a的大小为1 5 0，且异面直线久。分别与角a的两边平行，则异面直线以b所成角的大小为.4 .线段力的平面。的同侧，4碓U。的距离

2、分别为3和5,则四的中点到。的距离为.5 .如图，平面A B C 1.平面A B D,Z A C B =9 O C A=C B,4 3。是正三角形，。为A B的中点，则图中直角三角 形 的 个 数 为.线所成的角的取值范围是6.如果直线/与平面a所成的角为?，那么直线/与平面a内的直7 .已知流口是两条不同的直线，a和夕是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推 出,的 是.a_ L ,且m ua；加“，且“J _；。，/?,且加a；m_ L，且 夕.8 .如图，矩形4 65的长4左2,宽4/x,若为，平面被力，矩形的边切上至少有一个点Q,使得P Q 1 B Q,贝ij x的范围是9 .

3、如图，水平放置的AABC的斜二测直观图是图中的V A F G,若A C =3,BC =2,则边A 8的实际长度为1 0.若空间中有两条直线，则”这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点 的 条件.1 1.如图，已 知 尸 平 面 A B C,A C r B C,AB=2,BC =g，P B=瓜,则二面角 P-B C A的大小为_ _ _ _ _ _ _ _1 2.如图，平面a_ L平面,A e a,B e/7,4?与两平面a、夕所成的角分别为4 5 和3 0 ,过4、粉 别 作 两平面交线的垂线，垂足为A、B ,若4?=1 2,则4 8=1 3 .设卬、是两条不同的直线，a邛是两个不同的

4、平面，则下列命题正确的是（A.若 m H a ,nil a ,则，*/B.若 则加/?C.若 mHn,m V a,贝!J _ L a D.若加a,a A./3,则?J./?1 4 .在正方形SGQG中，E、尸分别是Gg及G 2 G 3的中点，。是E F的中点.现在沿S E、S F及 把这个正方形折成一个空间四边形，使G-仇、G,三点重合，重合后的点记为G,那么，在空间四边形S-E E G中 必 有（）F A.S G _ L Z k E F G所在平面 B.SO_LAEFG所在平面C.GFASEF所在平面D.GOLAS防所在平面1 5 .在矩形被7中，4 3 =1,BC =a（a 0）,幺_1

5、_平面/8 N,且 抬=1 .若边加上存在两个不同的点0、。2,使得P Qi 1 D Q1,P Q21 D Q2.则a的取值范围是()A.(1,-K o)B.1,2)C.(2,+0 0)D.2,4 1 6.下列说法正确的个数()(1)三点确定一个平面；(2)一条直线和一个点确定一个平面；(3)两条直线确定一个平面；(4)三角形和梯形一定为平面图形.A.0 B.1 C.2 D.3三、解答题1 7 .已知a,是三个平面，且a l P =a,a y=b,p y=c.(1)若 a c b =O,求证：a,b,c三线共点.(2)若a/b,则a 与c,6与c有什么关系？为什么？1 8 .如图,在正方体AB

6、C D-A4C Q中.(1)求异面直线AB和 C G 所成的角的余弦值;(2)求 证:直 线 AB平面DCCQI.1 9 .如图，长方体中 中，D A=2,D C =2 血,00=6,分别为棱 A 8,B C的中点.(2)求点。到平面。/N 的距离.(1)证明：平面。M N J _ 平面。QM；2 0 .如图，已知矩形被力所在平面外一点R 为_ L平面被力，E、吩 别 是 4 6、冠的中点.(1)求证：E F P 平面P A Q；若N/Y M=4 5 ,求跖与平面/眼所成角的大小.2 1.如图1,在矩形明力中，4 6=1,6C=2,点 为4颂 中 点，将 班 沿 直 线 跳 折 起 至 平 面

7、 外E L平面6a均(如图2)，点解E线段做h,P 8/平面第7.(1)求证：劭图 2图 1(2)求二面角8一%一。的大小;(3)若在棱阳、血 分 别 取 中 点 尺G,试判断点心平面0%的关系，并说明理由.第10章空间直线与平面（单元提升卷）（满分150分，完卷时间120分钟）考生注意：1.本试卷含三个大题，共21题.答 题 时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效.2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤.一、填空题1.已 知 直 线 和 平 面 若 a_ L a,b _ L a,则。与b 的位置关系是_

8、 _ _ _ _ _【答案】a llb肛”所成角等于。与?，”所成角，即且，&是平面&内的相交直线，：.b la,这样经过点5 有两条直线6 与沙与平面a 垂直，这是不可能的，所以假设不成立,可得人故答案为。从2.三条不同的直线a、b、c,若 a iib,c与a、6都相交，则a、b、c三条直线能确定的平面的个数是 个.【答案】1【分析】根据平面的基本性质，即可得到a、&c J 条直线能确定唯一的平面，即可得到答案.【详解】由直线。/曲，可得直线”,可以唯一确定一个平面，设该平面为设aC C=A b cc=8,可得因为A e c,B e c,所以c u a,所以a、b、c三条直线能确定的平面的个

9、数是1个.故答案为：1.3.已知角。的大小为150。，且异面直线a、6 分别与角a 的两边平行，则异面直线以方所成角的大小为.【答案】3 0 0【分析】根据异面直线所成角的定义可知.【详解】因为异面直线。、匕分别与角a 的两边平行，所以角a（或其补角）为异面直线所成的角，由a的大小为150知，异面直线a、6所成角的大小为30故答案为30【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，所成角的范围，属于容易题.4.线段地在平面a的同侧，4城IJ a的距离分别为3和5,贝U川瘠J中点到。的距离为.【答案】4【分析】设/硼中点为机分别过4 M,用句。作垂线，利用梯形中位线可得.【详解】如图，设4廓）中点为材

10、，分别过4 M,晌a作垂线，垂足分别为4,M,B,则由线面垂直的性质可知，R A M,磁 线，所以四边形4 4 8阴直角梯形，力4=3,故答案为：45.如图，平面ABCJ_平 面 加,ZACB=90 CA=CB,AB。是正三角形，妫AB的中点,则 图 中 直 角 三 角 形 的 个 数 为.【解析】由面面垂直的性质定理可得：C O,平面A B D,再逐一判断即可得解.【详解】解：.C4=C 8,妫AB的中点，.-.COA.AB.又平面ABC_L平面抽）,且交线为AB,.,.（70，平面43。.：0）平面43）,/.CO LOD.AC 8 为直角三角形.图中的直角三角形有AOC，CO8,ABC,

11、AOD,ABOD,C O D,共6 个.故答案为：6.【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理，重点考查了空间想象能力，属基础题.6 .如果直线/与平面。所成的角为?，那么直线/与平面a内的直线所成的角的取值范围是【分析】由已知中一条直线与平面a成2角，根 据“最小角定理”，可得这条直线与平面内的直线所成角中最小值为?，再根据线线夹角的定义，求出条直线与平面内的直线所成角中最大值，即可求出这条直线与平面内的直线所成角的取值范围.【详解】一 条直线与平面。成（角，则这条直线与平面内的直线所成角中，最小的角为?，当两直线垂直时，最大值为故这条直线与平面内的直线所成角的取值范围是7T 71故答案为：【点

12、睛】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中确定直线与平面所成的角，是这条直线与平面内的直线所成角的最小值，是解答本题的关键.7 .已 知 丽”是两条不同的直线，。和夕是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出 尸的是.且mua；机，且 J _ ；a J 尸，且加a；机_ L，且.【答案】【分析】根据空间中线面、面面垂直的性质定理与判定定理一一判断即可；【详解】解：由加，”是两条不同的直线，a,P是两个不重合的平面，知：在中，a，尸且mua,则机与夕相交、平行或mu/,故错误；在中，m Un n Lp,由直线与平面垂直的判定定理 得 机，故正确.在中，a _ L尸且mH a,则与夕相

13、交、平行或wu4,故错误；在中，机，且成勿，则，”与月相交、平行或相u尸，故错误；故答案为：.8 .如图，矩 形 的 长 月 左2,宽A Fx,若以，平面被力，矩形的边切上至少有一个点Q,使得P Q L B Q,则x的范围是线段C D 有公共点.解：如图所示：连接A Q,因为P A L 平面A BC D,BQ P Q,BQ u 平面A BC D,所以B Q X A Q,矩形的边C D 上至少有一个点Q,可转化为以A B为直径的圆与与线段C D 有公共点，所以圆心到C D 的距离小于等于半径，即0 “这两条直线没有公共点”；反 之“这两条直线没有公共点”不能推出“这两条直线为异面直线”，因 为“

14、这两条直线可能平行，可能为异面直线”：所 以“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件，故答案为：充分非必要.1 1.如图，已知 PA_L平面 ABC,ACYBC,AB=2,BC=E，PB=,则二面角 P-8C A的大小为_ _ _ _ _ _ _ _P【分析】由尸A J平面ABC,ACS.BC,可得B C J.P C,因此NPC4是二面角尸-8 C-A的平面角，利用线面垂直的性质与勾股定理可得 如，A C,即可得出二面角尸-B C-A的大小.【详解】解：平面ABC,BCu平面A B C,则E4LBC又 QACJ_BC,且 P4ACu 平面 PAC,/.BC 平面 P

15、A C,而 PC u平面 PAC,BC 工 PC,./PC4是二.面角P-8C-A的平面角，(2AC1BC,AB=2,BC=6，：.AC=JAB-BC2=M-.PAA.AB,PA=-JPB2-AB2=V2 又.孙，人(7,:.ZPCA=45,二面角 P-3C-A为45。.故答案为：45.1 2.如图，平面C平面夕，A ea,B ep,4?与两平面a、4所成的角分别为4 5 和30,过力、6分别作两平面交线的垂线，垂足为A、8,若46=12,则A B=.【分析】要求A B,需要把它放入三角形中，连接A 5,则A 在R/AA A 中,分别利用心AAUB和求得A4Z,进而利用勾股定理求解即可.【详解

16、】在 R h A B B 中，N8 AB=4 5。，则 A 9 =4 Bs i n 4 5 o =1 2 x E =6 V5,2在心AA8A中，Z ABA=30,贝 l A4 =A8 s i n 3 0 =1 2 x；=6 ,所以在 R t AAB中，AB=ylAB2-AA2=6人 j-62=6 ,故答案为：6.1 3 .设公 是两条不同的直线，万是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若加a,nil a ,则/B.若?a,则?C.若，“，m a ,则 _L a D.若机 a,a，B ,则?_L【答案】C【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】

17、A选项，m H a ,nil a,则根,可能异面，A选项错误.B选项，W/a,则m 与夕不,一定平行，B选项错误.C 选项，根据两条平行线中的一条直线垂直一个平面，则另一条也垂直该面，C 选项正确.D 选项，mH a ,a，/3,可能相u/7,）选项错误.故选：C1 4 .在正方形S G i O Q 中，E、F分别是G O。及 G 2 G 3 的中点，。是 E F的中点.现在沿跖、S F及瓦把这个正方形折成一个空间四边形，使 G 1、G、G,三点重合，重合后的点记为G,那么，在空间四边形S-E F G 中 必 有（）SG_LaEG所在平面B.SOLAEFG所在平面C.G/_LASE尸所在平面

18、D.G_LASE5所在平面【答案】A【分析】注意翻折前后的角度的变与不变，根据线面垂直的判定定理、性质定理以及反证的数学思想方法逐一判断即可.详解】对于A,在正方形S G G G中，SG,1 G、E,SG,1G,F,所以在四面体S-E尸G中，S G人G E ,SG G F ,又G E,G F i平面GEF,G E G F =G,所以SG_L平面G E F,故选项A正确；对于B,若S_L平面E F G,结合选项A,则SD/SG,显然矛盾，故选项B错误；对于 C,因为 SG_L 面 EFG,G Fu 面 E F G,所以 S G G F,又 G F L G E,GE,GS i 平面 GES,GnG

19、S=G,所以6尸 _1 _平面G ES,假设GFJ平面S E F,则平面GES平面SEF,显然矛盾，故选项C错误；对于D,因为SG_L面EFG,Gu面E F G,所以SG_LG,若G DJ.平面SEF,S O u平面SE尸，则GQLS。，56,63 5。0),姑_1 _平面力6，且 始=1.若边理上存在两个不同的点0八。2,使得P Q J。，乌，。2 .则a的取值范围是()A.(1,4 0 0)B.1,2)C.(2,+0 0)D.2,4【答案1C分析岫 已 知PA_L平面A B C D,通过线面垂直的性质得至lj P A L D Q,结合P Q L D Q,再 根 据 线 面 垂 直 的 判

20、定 定 理 得 到 平 面P4Q,所以AQ，O Q,从而将问题转化为求以AO为直径的圆与边BC有两个交点，从而求得。的范围.【详解】如图所示，以、0若 WQQ,又有PA_L平面A 8C Z),得到B Q则有OQJL平面PA。，所以AQ_LOQ,则“BC边上存在两个点Qr Q使得PQ,1 D QPQ2 1 D Q J就转化为“BC边上存在两个点。、Q?使得AQt DQ、,AQ2 DQ2 ,即以A D为直径的圆与边8 c有两个交点，则圆的圆心到边B C的距离小于半径，即AB 等，其中 A B =1,AD =BC =a(a (i),所以 1微，即。2,所以。的取值范围是故选：C16 .下列说法正确的

21、个数()(1)三点确定一个平面；(2)一条直线和一个点确定一个平面；(3)两条直线确定一个平面；(4)三角形和梯形一定为平面图形.A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【分析】根据点直线与平面的位置关系，即可判断四个选项.【详解】对于(1),当三个点在同一直线上时，三个点不能确定一个平面，所以(1)错误；对于(2),当点在直线上时,不能确定一个平面,所以(2)不正确；对于(3),当两条直线异面时,不能确定一个平面,所以(3)不正确；对于(4),三角形和梯形一定是平面图形,所以(4)正确.综上可知，正确的为(4)故选:B【点睛】本题考查了空间中点、直线与平面的位置关系，属于基础题.三、解答题1

22、7 .已知a/,y是三个平面，且a l P =a,a y=b,/3l y=c.(1)若a c b =O,求证：a,b,c三线共点.(2)若a/b,则a与c,6与c有什么关系？为什么？【答案】(1)见解析；(2)a/c,b U c,见解析【解析】(1)根据平面的基本性质，即可证得。力,c三线共点，得到答案；(2)根据平面的基本性质和平行线的性质，即可证得a。/c,得到答案.【详解】(1)由题意，知a c 6 =0,可得O e a,O e h,因为ac6=a,可得。又由a n/=6,可得Oe y,所以。为夕与丁的公共点.又 D y =c,所以O e c,所以。也c三线共点.(2)由题意，因为所以“

23、/夕，因为c u/7,y c/?=c,b u y ,所以b/c,同理可证a c.所以a 匕 c.【点睛】本题主要考查了平面的基本性质和平行线的性质的应用，其中解答中熟记平面的基本性质，合理推理与论证是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.18.如图，在正方体ABC Q-A4C Q 中.（2）求 证:直线A B/平面。CCQ.（1）求异面直线A B和 CC,所成的角的余弦值;【答案】（1）正（2）证明见解析2【分析】（1）根据已知CG/B耳，可将异面直线A B 和CG所成的角转化为直线A B 和所成的角，再根据题目的边长关系，即可完成求解；（2）可 通 过 连 接 证 明 四 边 形

24、 ABCR为平行四边形，从而得到A 8/R C,再利用线面平行的判定定理即可完成证明.因 为 C G/B 4,所以幺 网 就是异面直线A B 和CG所成的角.又因为A B C D-A B C R为正方体，所以异面直线A B 和CG所成的角为4 5,所以异面直线AB和 c q 所成的角的余弦值为也.2连接因为A R/B C 且 AR=8 C,所以四边形ABCA为平行四边形，所以4B/D C;A B a 平面。CCQ,R C u 平面DCGR；所以直线A 8/平面。CCQ.即得证.19.如图，长方体中A 8 8-A M C Q 中，D A=2,D C =2 0,D D、=6 M,N 分别为棱AB,

25、BC的中点.GD i（1）证明：平面R M N _ L平面。O M ；（2）求点拉到平面。网的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）&【分析】（1）先 证 明 平 面DQ,再利用面面垂直的判定定理，即可得答案；（2）设点0到平面PMN的距离为，利用等积法，即/一5m=%/抽，即可得答案;【详解】（1）在D A M 和M 8 N 中，A D =2,AM=H,MB=&B N =,A O A M故-=-7 ,又 -D AM=N M B N -90 ,故 D A M MBNM B BN故 Z D M A =Z M N B,故乙 D M A +4 N M B =N M N B +Z.NMB=90，即 M

26、 V _ L D W ,因为DQI平面A B C D,M Nu平面A B C D,所以。M V ,又 M N L DM ,DN cM N =M ,所以 M N _ L平面。QM又MNu平面Q M N ,所以平面D、M N，平面DtD M（2）设点O到平面D、M N的距离为d,由（1）得M V L平面ROM,故MN L R M,在 R t A D A M 中，DM =y/D +A M2=R，在 中，D,M=yjD D；+D M?=3,VM 即:xgxAWMd=g x g x Q g M M N.D.D -DM rr故d =-=V 2口 乂即点D到平面D、M N的距离为近 .【点睛】本题考查空间几

27、何点线面位置关系、线面垂直的性质和判定、面面垂直的判定、三棱锥体积的求法等基础知识：考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化的思想；考查直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养.2 0.如图，已 知 矩 形5所在平面外一点P,必_ L平面4E、分别是4 8、P C的中点.(1)求证：E F P平面4。；(2)若/加=4 5 ,求跖与平面4 a晰成角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)4 5。【分析】(1)取如中点C,连接4 G、F G,证明四边形4 E收；是平行四边形，可得AG/E F ,即可证明E FP平面A O；(2)过G作G H _ L ),垂足为，则G/P A,可得

28、G b _ L平面A B C D,根据AG-EF,可得/G与 平 面 所 成 的 角 等 于 成 与 平 面/腿 所 成 的 角，从 而 可 得/应/附 为所求，从而可得出答案.证 明：如图，取划中点G,连接力G、F G,；、尸分别为4 6、汽的中点，A AE =-AB,G F/D C G F =D C ,22又在矩形力比7冲，A B|C。月 一 4?=，二 A E G F 豆AE=GF,：.四边形/打心是平行四边形，AG/EF,又A G u平面片，E F u平面必，7;平 面%。；(2)解：二4 61与平面施力所成的角等于 与平面以切所成的角,过。乍G _ L A ),垂足为，则G HP A

29、,?P A L平面被力，G HL平面 及力，伪力G与平面/驱所成的角，:NP D A=45,谢外的中点，二/a 7=4 5。，即仍与平面4解所成的角为4 5 .21.如图1,在矩形4成力中，18=1,%=2,点 为4?的中点，将/应1D沿直线跳折起至平面必刃_ 平面故心(如图2),点.，睡线段加上，PB平面CEM.(1)求证：/姨=2%图 2图 1(2)求二面角6一%C 的大小;(3)若在棱做班上分别取中点尺G,试判断点屿平面(TG的关系，并 说 明 理 由.【答案】(1)证明见解析(2)90(3)M e 平面。识理由见解析【分析】设 即 cEC=O,连接M O,由线面平行的性质可得依M。，可

30、 得 器=器由E/A/BC可 得 空=铛=(，即可证明;C)D oC 2(2)取 BE中点。，连接PQ,通过面面垂直.的性质可得产。,平面BCDE,进而可得PQLEC,再由E C L3E 可得E C L平面P B E,即平面PBE，平面PEC,即得出结果;(3)延长 即 到 N,使 E D =D N ,连接C M P M G N,证明尸GC V,可得尸,C M G 确定平面F C N G,判断 是 APEN的重心，可得M e 平面CFG.(1)解：设 B)cEC=O,连接MO,:PB/平面CEM,P B u 平面P BD,平面尸比(D 平面CEM=。,一 八 M D O DPB/M O y -

31、M P OBO D ED 1*/ED/B C，=一,OB BC 2M D 1 nn即P =2DW；(2)解：取 BE中点。，连接PQ,-.-PB=PE.：.P Q A.B E,又尸QU平面尸BE,平面平面8c E,平面PB E c平面8 a 把=BE,PQ_L平面BCDE,:EC u 平面 BCDE,：.PQ-LEC,BE=EC=y/2,BC=2,满足 BE?+EC?=BC?,/.EC V BE,PQ cBE=Q,加 津 七 匚 平 面 依 以,矿,平 面 始，Q E C u 平面 PEC,，平面PBE _L平面PEC,二面角3-P E-C 的大小为901(3)解：延长ED到 N,使 EO=O V,连接CN,PN,GN,F,G 分别是 PB,PE 的中点，FGUBE,;BC=2ED,BC=EN,BC/EN,四边形BCNE是平行四边形，.1B H/aV,:.F G/C N,则尸,C,N,G确定平面/QVG,.PEN 中,是 EN 边中线，且=是?/的重心，又GN为 依 边 的中线，则 M 在GN上，M e 平面 CFG.