高数习题集及其答案.pdf

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1、第一章函数极限连续填空题1.已知/(x)=s in x,f(p(x)=1 -x2,则(p(x)-,定义域为.解.f(p(x)-s in(p(x)=1-x2,9(x)=ar c s in Q-x?)-l l-x2 1,0 x2 2,Ix l V 22 .设 lim，+=f t e d t,贝Ua=_ _ _ _ _.X )ka解.可得e =t etd t =(t e,-el)=a ea-ea,所以 a=2.oo3.lim 三-1、-F,43-+l +2 n+几2 1?2n+n+1 2 n 1 2 n-1-1-1-,(n 7 8)+n+及 27 1(1+)1 +2 H-1-n?1-2-；-=-5-

2、7 T，(n-8)+1 +1 2所以lim ,1+,2“7 8(-+”+-+2 n +n+nJ 214.已知函数于（X）=0lx l 1解.f f(x)=1.5.lim(Vn+3yn-J-4n)=.解.lim(Jn +3品 7 n=lim61n+-y/n-)(7n+3A/H+JG)一 8 n+3j n-n +yn 八lim/-/=2 7 8 J +35+-4n6.设当XTO时，/(x)=e 匕 竺 为x的 3 阶无穷小，则。=_ _ _ _ _ _ _,b=l +bxx1 +QXk =lim-1 十如X TO x3=limx-0ex+bx ex-1-a xx3(1+bx)e +bx e -1-

3、a x=lim-i o r3limA-04-h cA 4 h x x C l3x2(1)=vi me +2 b e+b xeXXT0 6x(2)7.lim c o t1 0 1由(1)：lim(e*+bex+bx ex-。)=1+0一。=0由(2)：lim(e“+2bex+bx ex)=1 +2。=0 x-01C l =一21 1s in x x&c o s x x -s in x x-s in x -1 -c o s x s in x 1解.lim-=lim-=lim-=h m-=X T。s in x x s inx。x i 3x 6x 6“9908.已知lim-r=Ao c o),贝IJA

4、=_,k=_ _ _ _ _ _.,a n (n 1)1990一(一解.lim n1990=lim=A“T8 k n 1+,所以 k-1=1990,k=1991;=A,A =k k 1991二.选择题1.设危)和 p(X)在(-8,+8)内有定义，危)为连续函数，且加)#0,嗔X)有间断点，则,S(x)中伏切必有间断点(b)p(x)必有间断点(c)/p(x)必有间断点(d)必有间断点/(X)1解.(a)反例 9(x)=01(b)反例 夕(X)=1(c)反例 夕(X)=0I x K 1,k./(x)=l,则 1lx l l.,.I 1Ix Kl危)=1,则中(瑚=1lx l 1（p（x）（d）反

5、设 g（x）=-在（一汽+8）内连续，顺p（x）=g（x次0/（X）在（一8,+8）内连续，矛盾.所以（是答案.2.设函数/（X）=X-tan X-/nx,则 f（x）是（a）偶函数（b）无界函数（c）周期函数（d）单调函数解.（b）是答案.3.函数/（X）=I x I s in(x -2)x(x l)(x 2)2在下列哪个区间内仃界(a)(-1,0)(b)(0,1)(c)(1,2)(d)(2,3)解.lim/(x)=8,lim/(x)=o o,/(0+)=/(O-)=-x-i XTO 4 4所以在(一1,0)中有界，(a)为答案.14.当x 7 1时，函 数-ex-的极限X-1(a)等于2

6、(b)等于0(c)为8 (d)不存在，但不为8.X2 1 7 .：+8 X 1 +0解.lim-ex=lim(x +l)ex _,=1-05.极限limAT 83 5 2 n +l+.+12 X22-22 X32-/X(+I)2的值是(a)0(b)1(c)2 (d)不存在.3 5 2n+1lim-H-H-1-z-i2 x 2 _ 2 x 3_ n x(n +1)2.1111 1 1=lim-H-H-1-z-7i2 22 22 32 n2(n +1)26.设 limX 8(X+1)95 3+1)5-(x2+l)50=8,则a的值为(a)1 (b)2 (c)我（d）均不对A r(x+1)95(ax

7、+1)5解.8=lim-=limf (x2+1)5。lim 1-T 8(+1)=1,所以（b）为答案.(x +l)95/x95(ax +l)5/x5(x2+l)5 0/x100(l+l/x)95(a+l/x)5 5 5 后 丁 阳lim-z-=a ,=08,所以(c)为答案.(I+I/X2)507.设 lim(x l)(x -2)(x 3)(x 4)(x 5)(3x-2)a=f l,则a,B的数值为1 1 1(a)a=1,P=(b)a=5,P=(c)a=5,3=r (d)均不对3 3 3解.(c)为答案.8.设“x)=2 +3 -2,则当x r O 时(a)f(x)是x的等价无穷小(c)f(x

8、)比x 较低价无穷小(b)f(x)是 x的同阶但非等价无穷小(d)f(x)比x 较高价无穷小2x+3x-2 2 In 2 +3V In 3 一 ，心解.lim-=lim-=In 2 +In 3,所以(b)为答案.X TO x X TO I (1+x)(l+2 x)(1+3x)+a/,9.设h m1-=6,则a 的值为2。x(a)-1(b)1 (c)2 (d)3解.lim(l+x)(l+2 x)(1+3x)+a=0,1 +a=0,a=-1.所以(a)为答案.1 0t.tz tan x +/?(l-c o s x)。10.设 h m-4=2,300111(1 2 1)+4(1-。尸)其 中 t?+

9、f2则必有(a)b =4d(b)b=-4d(c)a=4c (d)a=-4ca tan x +0(1-c o s x)解.2 =lim-4-zc ln(l 2 x)+d(l e*)a ,.、+b smx=lim co x-“。二 +221-2 x,所以a=-4c,所以(d)为答案.2c三.计算题1.求下列极限(1)lim(x +e”)”X T+o o1 ln(x+ex).In(x+ex).1+ehm-hm-解.lim(x +e*)x =lim e x=e-*=Aj-+oo(2)lim(s in 4-c o s s 0 X X1解.令y =.Xlim(s in +c o s)18 XX=lim(s

10、 in 2y+c o s y)y=ey-01 4-tan xlim.3。1 1+s in x%In(sin2 v+cosy)Jim-:-:-T0 yl i m2cos2y-siny1 sin2y+cosy2A,.(1+tan x解.h m -1+s in x%=理1+tan x -s in x%1+s in x=lim,tan x-sin x1 +-1 +sin x1+s in.rtan .r-s in xtan x-s in x(l+s in x)x3tan .v-s in xlim-；s in x(l-c o s x).In n-z-lim=0XTO X =eTs in x-2 s in2

11、 A222.求下列极限Ind+VxT)(1)lim-,arcsin 2VX2-1解.当 x-l 时，ln(l+y/x-1)-K/x-larcsin 2Jx2-1 2lx2-1.按 照 等 价 无 穷 小 代 换11I arcsin 2Vx2-1 2Vx2-l27+1 2V2(2)limf-c o t2 xTV解.方法1：l j -1c o t2x%l j -,2X TO=lim1 01 -(x2+l)cos2 1、x47limX TO-2 x cos2 x+sin2x4x3limX TOlimA 0=limA-0方法2：2、COS Xsin2 x)=limX TO|=limX TOsin2 x

12、-X2 cos2 x、x2 sin2 x-2xcos2 x+2(1+1)cos x sin x、+lim-X TOcos x sin x-2 cos2 x+4x cos xsinx+2 cos 2x12x21十 一2-2 cos2 x 4-2 cos 2x1 2/-2 sin 2x 124x+-34x37+-+-=lim3 2，T。4 cos x sin x-4 sin 2x 1 11 1112H =-1-1 =2 6 3 2 324x+-+-3 2X TO-c o F x U m ，-COS2 XX TOXsin2 x)崛I.2 22、sin-x-x cos x2 2x sin x Jlim

13、X TO1 -(x2+l)cos2 X、4X7limX TO，1 c、1 -(r +l)(cos 2x+1)x47limX TO=limX TOlimA 01-1(JC2+1)(1+1-(2 4 (2 42!x44!、+0(/)7l-(2 x2-2 x4+2-2 x2+22-3 _ 2x4 33.求下列极限lim(V n-1)一 8inn解.1624/+0(/)X47lim-(爪-1)=lim 近 令 吹 -1In=一 8Inn=Xlim-=1J。ln(l+x)-enxlim-1 -enxlim-f +Llim10-1 一 82)x 0 x=0 x 0,b01M标+亚丫7 82x=/n.c=b

14、/a a limx-0+1+c lXlim 岫/2 Jaex5+4c=abaHm M(Zn2叱 i+K=a4.设/（X）=f 2(1-COS X)Xx 0试讨论f（x）在x=0处的连续性与可导性.解a（）=鬻当匕幽=lim A 1 rcosr2J r-lX10+X=limX T0+f cost2d t-xJoX2A-O+2x*-()+,(。)=加 小)7()lim-=0(1-c o s x)-l=limXT0+X2 s in x-2 x1 0+X=limK)+2(1 一 c o s x)-x所 以/*(0)=0,/(x)在x =0处连续可导.5.求下列函数的间断点并判别类型12 1-1 7(-

15、)=2 7 +12v 1 2A 1解./()+)=limi =1,/(T)=l i m r一=-1x-o+1 x 7(r 12*+1 2X+1所以x =0为第一类间断点.x(2 x +%)x 0解.f(+0)=-s in l,f(-0)=0.所以x =0为第一类跳跃间断点;lim/(x)-lims in 不存在.所以x=1为第二类间断点；XT1 X-jr+7C/(一一)不存在，而lim-=一，所以x =o为第一类可去间断点;x(2x +nlim-1-=8,也=i,2,)所以x=-k 7T-为第二类无穷间断点.，一 n r 。6.讨论函数/(X)=,xa s inx0,lim(x as in L

16、)=O,所以1 0+x,二 一1时，在x =0连续，工一1时,x =0为第一类跳跃间断点.7.设f(x)在 a,b 上连续，且a v X|v X2 xn b,q (I =1,2,3,，n)为任意正数，则在(a,b)内 至 少 存 在 一 个 使=c J(X|)+C2/(X2)+-+C“c+c2+-+?证明:令 M =m a x /(苍),m =m i n /(巧)所 以 mv，(*)+叼(巧)+-+，。+。2+C“所以存在乜a X1 x b),使得f 6)=()+。2/0?)+二7c+c2+-+cn8 .设 f(x)在 a,b 上连续,且f(a)b,试证在(a,b)内至少存在一个(,使 熊)=

17、。证明:假设 F(x)=f(x)-x,则 F(a)=f(a)-a 0于是由介值定理在(a,b)内至少存在一个之使f(&)=。9 .设 f(x)在 0,1 上连续，且 O V f(x)V l,试证在 0,1 内至少存在一个&，使熊)=:证 明：(反 证 法)反 设 Vxe 0,l,(x)=/(x)-xW0.所 以(x)=/(x)-x恒 大 于 0 或 恒 小 于 0.不妨设Vxe 0,1 ,?(x)=/(x)-x0.令 机=出 皿 8(3)，则机 0.因此Vxe O,l，e(x)=/(x)xN 机.于是矛盾.所以在 0,1 内至少存在一个。使熊)=31 0 .设 f(x),g(x)在(a,b 上

18、连续，且 f(a)g(b),试证在(a,b)内至少存在一个之 使熊)=g.证明:假设 F(x)=f(x)g(x),则 F(a)=f(a)g(a)0于是由介值定理在(a,b)内至少存在一个自使fg)=。1 1 .证明方程x 5 3 x 2 =0 在(1,2)内至少有一个实根.证明：令 F(x)=x$3 x-2,则 F(l)=-4 0所以 在(1,2)内至少有一个。满足F)=0.1 2 .设 f(x)在 X =o的某领域内二阶可导，且li m(生 华+毕=0.求/(0)(0),7 (0)及li m /(2+.X X)1 Xs i n 3 x解.li m(华+坐=li m 包叶3=li m，=0.所

19、以X X)I。X 1。Xli mX TO(s i n 3 x ，/八 八 一-+/(x)|=0.f(x)在I x )x =0的某领域内二阶可导，所以/(X),/(X)在 x =0 连续.所以f(0)=-3.因为s i n 3 x ,、s i n3x ”、-+/(x)3 +/(x)+3li m -=0,所以 li m -；-=0,所以x-0X TO 犬li mA 0/(x)+3s i n 3x3=li m-X T。X 3 x-s i n 3 x _ 3-3 c o s 3 x=li m-=li m-a。x 10 3x3 s i n 3xli m-3 2x92，仆 r /(x)/(0)r/(x)+

20、3 r/(x)+3 n 9 八/(0)=-=h m x =Ox-=0-2。X-0 *TO X.D X-2./(x)+3 9由=一，将 f(x)台劳展开，得10 厂 2/(0)+/,(0)x +/(0)x2+0(x2)+3 9li m-J-=_ .所 以 _ /，(0)=一,于是 X2 2 2 2广(0)=9.(本题为2 0 0 5 年教材中的习题,2 0 0 8 年教材中没有选入.笔者认为该题很好，故在题解中加入此题)第二章导数与微分一.填空题1 .设-J=一/(%)，则卜=_.A IO Ax 3解&而小。+室一/)二,(),所以，(x o)=:/(x)A2 k k x 3 3,1所 以 k

21、=一3d v2 .设函数y =y(x)由方程e-v+C O S(盯)=0确定，则 上=.d x解.e v(l+y )-(y+x y)s i n x y =0,所以，y s i n Ay -ex+y)ex+y-x s i n x y3 .已知 f(-x)=-f(x),且/(一%)二%,则/(%)=.解.由 f(x)=f(x)得/*(-X)=-f(X),所以 f (-X)=f(X)所以 f(xQ)=f(-xQ)=k4,设 f(x)可导，则 li m /(x+)一 X L心”)=.AX TO AY解 H m /(XO+?AY)一 /(XO)+/+O)/(4Ax)Ar O A%5 n m 。)+li

22、m(、。)=(2 +)/鱼。)&T m A x A、T0 HAX1 y5./(%)=-,则 尸(X)=.1 +x-1-x-l+x(l+x)2(-1)2-1!(l+x)1+1，假设f(k)(-1)2人(l+x)i+l,则尸=(l)*+i 2 (女+)!(l+x)*+l+l,所以/)(1)2!(1 +x),+l.令X2 =2,所以fd y7 .设 f 为可导函数，y=s i n /s i n/(x),则=-=d x.d y.=f(x)co s/(x)/s i n/(x)co s /s i n/(x)d x8 .设 y =f(x)由 方 程 一 C O S(孙)=e-l 所确定，则曲线y =f(x)

23、在点(0,1)处的法线方程为解.上式二边求导e 2 x+(2+)()，+x y)s i n(x y)=o.所以切线斜率k=y(0)=-2.法线斜率为1,法线方程为y-l =g x,即 x-2 y +2 =0.二.选择题1 .已知函数f(x)具有任意阶导数，且 广(X)=(X)f,则当n为大于2的正整数时,f(x)的n 阶导数是(a)n!/(x)n+,(b)nf(x)n+(c)(%)产(d)!(x)产解./(x)=2/(x)/(x)=2!/(x)3,假设尸o(x)=k!(x)产，所以尸(x)=(k+1 火!(x)(x)=(k +l)!(x)产 2,按数学归纳法/(n)(x)=n!/(x),+l对

24、切正整数成立.(a)是答案.2 .设函数对任意x 均满足f(l+x)=a f(x),且/(0)=b,其中a,b 为非零常数，则(a)f(x)在 x=l 处不可导(b)f(x)在 x=l 处可导，且/02 4x x 0,八.r （x）=2x x 01 2 x x 0在x =0处可导，则x0+X XT。-X三.计算题1 .y=l n c o s(1 0+3x2),求了-sin(1 0+3x2)-6xc o s(1 04-3x2)=-6x t an(1 0+3x2)2 .已知 f(u)可导，y=/l n(x +7 Z x ),求解.y=/l n(x +Na +x2)-/1 H-/，/1 n(r +J

25、q +/)yl a +x23.已知 力=f c o s以f +sin y2,求y.解.ey y=2 x c o sx2+2yyco s y22x c o sx2ey2-2 y c o s y24.设y为x的函数是由方程I n =arc t an 确定的，求y.x解.2 x*2 y =_J.2 +y2 2yx2 4-y2 1 +y_x2X +Vx +yy=yx-y,所以 y=-工一四.Li知当X K O时,K O有定义且二阶可导，问a,b,c为何值时.f/U)X 0二阶可导.解.F(X)连续，所以 l im F(x)=l im F(x),所以。=犬-0)=/(0)；.r-r x-o+因为F(x)

26、二阶可导，所 以 尸(x)连续，所以b=/_ (0)=/(0),且F(x)=r(x)2a x+f _(0)x 0尸(0)存在，所以FJ(0)=”(0),所以li mnx)z no)=li m2.x+/-(o)-/(o)=2Q 所以X T。-X XT+X =|/(0)五.已知/(x)=d v，W(，)(0).1 -XI 1 1 1 11解.f(X)=-1 H-1-2 l-x 2 1+x=L -+1(T)J 2 (l-x),+l 2 (l +x),+l严I)(0)=0.k=0,1,2,-/2*(0)=n!,k=0,1,2,-六.设 y=x l n x ,求.解.使用莱布尼兹高阶导数公式尸)(x)=

27、(l n x)(+(l n x)T =x(-l)+n(-l)n-2=(-l)-2(n-2)!Z12+台=(,i r-2(n_2)!J-所以/(1)=2)!第三章一元函数积分学（不定积分）.求下列不定积分:1.1-x1 2 1-x1 1 M(l +sin x +c o sx)x I-2 2 J 1 +sin x 4-c o s x解.1 x 1 -x 2+cf 1 1 4-X ,f 1 4-X ,l +x 1 (1 +x Y2.-arc t an-a x =arc t an-a arc t an-=arc t an-+cJl +x2 1-x 1-x 1-x 2(-x)rc o sx +sin x

28、 +1 1 +sin x ,3.-a xJ(1 +CO S X)1 4-CO S Xrc o sx +sin x +1J(1 +c o sx)21 +sin x ,r 1 +sin x ,1 +sin x-d x =-a-1 +c o s x J1 +c o s x 1 4-c o s x21 (1 +sin x2 1 1 +c o s尤r d x4 Jx，+1)解.方法一：令X =!,d xx(x&+1)=-1 l n(l +r8)+c-l n 18 I+c方法二:=L状1)Teg-xs+)d x1cd x l f J(l +x8)8 1 1 +x8=I n I x I l n(l +x8)

29、+c=-l n|1 +-j +c8 8 1 x J5.I .-(1 4-sin x +c o s x)+-(sin x -c o s x)4-1d x=p-2-Zd x1 +sin x +c o s x J 1 +sin x +c o s x1 r.1 r CO S X-sin X .1 r 1 .-I d x I-d x H I-d x2 J 2 1 1 +sin x +c o s x 2 J1 +sin x +c o s x,1 r 1H-12 J.X X 2 尤2 sin c o s+2 c o s 一2 2 2=x In I l+sinx+cosx I H-tz tan 2 2 2 L

30、 x 2tan 4-121 1 1 x=x In I l+sinx+cosx I +In I tan+11 +c2 2 2 2二.求下列不定积分：r dx1.1(x+1)+2x+2dt解.f-=j-(：，D 令x+i=tan/f华J(X+1)2 JF+2X+2 J(X+1)27(X+1)2+1 J tan/sec.cos tdt 1 ，r+2 x +2-z=-+C =-Fsin t sinr x+1r dx2./解.令 x=tan t,dtdx _ r c o s21 _ rcos3 _ jdsin/rrfsinf _ 1 +X4A/1 +x2 tansecf sin41 sin41 ,sin

31、 3sin31 sinf(2x2+1)71+x2解.令 x=tan tdx(2%2+1)J 1 +1-)sec t(2tan21 +l)secrcosr2sin2 r 4-cos21d sinr力=Jd，=1 +sin21.xarctan sin r+c=arctan/+cr x2dx4 片7 U 0)解.令 x=sin，r x2dx ca2 sin21 acostdt 2 rl-cos2/,1 2 1 2 -八.=-=a“-d t-a t a sin2t+cJ J 2 J a cost 2 2 425.(-x2)3d x解.令工=sin/r r.式r f 4,(1 +c o s2 f了 rl

32、 +2 c o s2 r+c o s2 2t ,jy(l-x yd x=J c o s t d t=J-d t=j-d t=r+sin 2 z 4-f(l +c o s4t)d t =-/+sin 2t +sin 41 +c4 4 8 J 8 4 323 1 1=-arc sin x +sin 2 f (1 +c o s 2 r)+c8 4 4=3 arc si.n x +1 n2 si.n r c o s t(-4-+-1 -2-si-n-f)、+c8 4 4=-arc sin x+x-Jl -x28(5-2X2)+iCO S3M +C=37.X+1 ,a x+c31解.令 x =s e c

33、t,d x =s e ct t a n t d tx +l,r se e r+1 ,-/a x =-se c t t an t d t =x2y/x2-1 se c f t an rJ(1 +c o s t)d t=r+sin r 4-c=arc c o sl +H+cX X三.求下列不定积分:&f 小+，,f e +e x f w,解.7-z-d x =-1-d x -z-=arc t an(e -e )+J e4 x-e2 x+l J e2 x-l +J(/_二)2+if dx2.-J2X(1+4X)解.令，=2,dx=dt71n2r dx _ f dt _ 1，1J 2(1+4)-J?2

34、(l+r)ln2-ln2 71 A ,1 arctan t-dt=-+c+t2)fin 2 In 2=-(2 +arctan 2)+cln2四.求下列不定积分:1.(x-2)100-L5J(X-2)-9 9 1x59 9(x 2)”+制x4(x 2)R9 dxx x-2 ywdxx5 5/5.4=-+-9 9(x 2)99 99X98(X-2)98 9 9.9 8_/_ 5-_5-4/_ 5 4 3，=_ 9 9(x-2)-9 9 9 8(尤一2V.9 9-9 8-9 7(x-2)9 7-9 9-9 8-9 7-9 6(x-2)9 654-3-2x_ 5 4 3 29 9-9 8-9 7-9

35、6-9 5(x-2)9 5-9 9-9 8-9 7-9 6-9 5(x-2)9 4令=tan u 12u=In I tan u+sec u I +c2_ il ni V E+c2 x2五.求下列不定积分:1.xcos2 xdx解.jx cos2 xdx=g jx(l+cos 2x)dx=+(X(sin2x=-x2-I-xsin2x sin 2xdx4 4 4 J1 2 1 c I c=x+x sin 2x+cos 2x+c4 4 82.jsec3 xdx解.fsec3 xdx=fsec xd tan x=sec x tan x-ftanxsecxtanxtZx=secxtanx-j(sec2

36、x-1)sec xdx=sec x tan x+In I sec x+tan x I -Hxdx=2 s2ec 冗 tan x+In I sec x+tan x I +c3.f(lnx)3J /dx解.=-f(lnx)3t/-=-(ln x)3+3(ln dxJ X J X X J 厂(Inx)3 3(lnx)2X X61nx(Inx)3 3(lnx)2 61nx+X2 XXX目(In x)3 3(lnx)2 61nx 6-F cX X X X4.jcos(ln x)dxjcos(lnx)Jx=xcos(lnx)+jsin(lnx)t/x=xcos(ln x)4-sin(ln x)-|cos(

37、lnx)Jx邛。s(l n x 3#s(l n x)+sin(lnx)+c4 X25.4 Xxcos .-m dx=_ fsin3x 8 Jxcos.3 x 3sin cos六.2=1 xsi.n _2 x +18 2 4求下列不定积分：.1 r,._2 x 1 ._2 x 1 r.-2 x,dx=I xd sin =xsin I I sin dxx 8 J 2 8 2 8 J 22f.-2 X,X 1 ._2 X 1 Xsin a-x s i n-cot+cJ 2 2 8 2 4 21.xln(x+vl+x2).-dx(1-x2)2xln(x+Vl+x2),1 3/r.F、7 1 i-ln(

38、x+Vl+x2)J-(1-x2)2 2 J 1-x2=ln(x+71+x2)一 二 -2 1-x2 2人 l n(x +4l +厂)1 r 1 1 2 J令x =t an t-z-z-se c t d t2(1-x2)2 J1-t an t se e rl n(x +vl +x2)1 r c o sz.,I dt2(1-x2)2 Jl-2 sin2rl n(x +Jl +x 2)1 r 6?V 2 sin/=-2(1-i)2 72 Jl-2 sin2rl n(x +V 1 +x2)1 1 1 +V 2 sin r-2(1-/)4V 2 1-V 2 sin rl n(x +Jl +厂)1 Jl

39、+厂 +V 2 x-I n -1-c2(1-)4行用 封 02.x arc t an x f,a x4 7解 j.了 eta：，公=J arc t an x d 71+x2=71 +x2 arc t an x-j1十：d x=Jl +，arc t an x-f ,d x=Jl +/arc t an x-l n(x +Jl +/)+cJ1 +/3.arc t an ex.m d xArarc t an e ,1 r x,2 r解.I-d x =I arc t an e d e11 e _?r arc t an e V +12 2-e-2x2arc t an +-2 .J e (l +e 22x)

40、d x1 _?v r 1e arc t an e +2 21 +e2x1 2)d x =-(e arc t an ex 4-e x+arc t an x)+c七.设/*)=v解.j/(x)d x =0=2 2一 (r+4x+l)e 7+臼 X 02 2/2 4 T 1 X 0(x +4-x+l)e +1 +cf(x)d x =.八.设/（。）=由工+/?（：0%，（41）为不同时为零的常数），求f（x）.解.令，=e ,x =I n r,尸 =asin(l n f)+bc o s(l n r),所以/(x)=|0)xd x令 =V x 24d u.2-U=42a sint S a2=8a-(1

41、 -c o s2 r)2,小 2c -2八、，-d t=2。-J(1 -2 c o s 2 f+c o s-2t)d t=2a2t -2a2 sin 2 r 4-2a2=3a2t-4 a2 sin/cosr+sinrcosz(l-2sin2 r)+c=3a2t-3a2 sin tcost-2 a2 sin3 tcost+c=3a2 arcsin，Jx(2-x)+c十二.求下列不定积分：dxsinxjl+cosxsin 2 x Jl+cos xsin x dxd(l+cosx)_ 2.d Jl+cosxsin2 xjl+cosx 1 -cos2 x2.令 Jl+cosx=udu _ 2 f du

42、l-(w2-l)2 L2(2-M2)fz 1 1 /1 1 1 V2+U(+-亍)du=-4-7=In I 7=-IJ u2 2-2 u 2j21 1,1 V2+Jl+cosxI+7-ln IT/“l+cosx 2v2 V2-Vl+cosx+c2-sinx,-ax2+cos xr2-sinx,-I*1 ,rJ(2+cosx)-ax=2-dx+-J 2+cos x J 2+cos x 2+cos x2dt令 tan 土 =，2 r+In I 2+cos x 1=2 j 2出+in 12+cos x I2 J l-t2 3+产2+T-j=arctan-=+In 12+cos x+c=-j=arct

43、an-j=(tan +In 12+cos x I +cr sin x cos x,3.-dxJ sin x+cos x“r sinx cosx,1 pl+2sinxcosx-1 .解.-dx=-dxJ sin x+cos x 2 J sinx+cos x1 r(sinx+cos)2-1,1 rz.x.1 r 1 =-dx=(sinx 4-cosx)Jx-dx2 sin x+cos x 2 J 2 J sin x+cos x兀、d(x-)_ 4 _./_ 71、sin(x+/=(sinx-cos x)-I n I tan(+)l+c2 4 2 8卜三.求下列不定积分:secf-1,-tant d

44、ttan，2 产(1-/)J G-G-7 1-?3+c3j(s e c z-1)dt=In I seer-tan r I -z+c=ln(e*+y/e2x 4-1)一 arccos-+c3.卢-1 arctan V x-1 ,-axx解.令看=arctan771,tan t=V x-1,x=sec21.dx-2sec21 tanrrV x-1 arctany jx-,r/tant2,r 2,r 1-co s21 ,-dx=2sec-ttntdt=2 k tan z Jr=2 r；dtJxJ sec t J J cos t=2 J dt-j2r dt=2t d ta n r-r2=2t tanr

45、-21tanr dt-t2=2t tanr+21n I cosr I -t2+c=2 v x-1 arctany jx-I-In 11-(arctan V x-1)2+c第三章一元函数积分学(定积分)若 f(x)在 a,b 上连续，证明：对于任意选定的连续函数8(x),均 有/(X)(x)dx=o,则 f(x)=0.证明：假 设 f)w 0,a 0.因 为 f(x)在 a,b 上连续，所以存在3 0,使得在上-3,&+8 f(x)0.令 m =m i n f(x).按以下方法定义 a,b 上中(x)：在 m-0.和 I /(x)(x)d x=0 矛盾.所以f(x)三o.二.设九为任意实数，证明

46、:p _!_ _1)1 +(tan x)Adx=P-ydx=$l+(cot x)2714g/(sin x)5/(cosx),证明：先证：I2-dx=-=I2-dx上 /(sinx)+/(cosx)4 小 /(sin x)4-/(cosx)人 兀 L令 t=-x,所以2p 皿区dx=f一控则一火 T)J)/(sinx)+/(cosx)/(cos/)4-/(sin/)=P一cost)_d t=p _Acosx)_dx小 /(cosr)4-/(sin f)*/(cosx)+/(sinx)于是2，dx-(-dx+f一位2dx小 /(sinx)+/(cos x)小 /(sinx)+/(cosx)/(co

47、sx)+/(sin x)M(sinx)+c o s x)/=翅=工 /(sin x)+/(cosx)上 2 一 5/(sinx),兀 6/(cos x)所以 I2-dx=I2-dx.小 /(sinx)+/(cosx)4,)/(sinx)+/(cos x)p!d x=!dx=E幽立一=2卜 l+(tanx)sinxV 小(cosx)+(sinx)4(cosx)z5 1 ，万同理 I=2-Tdx=.l+(cotx)4三.已 知 f(x)在 0,1 上连续，对任意x,y 都有lf(x)f(y)lv M lx-y l,证明|w一 比)1嗤d”%1 k n r-k证明：f(x)dx=Z 旦/(x)dx，

48、-X )=E g/(心.k=k=l n k=冗四.设/,=?t an x d x,n为大于】的正整数，证明：-1 /。,(。1,所以(1 +r)2 +t2 l +l2 2于是打占”3,-d t立即得到 一/0,证明：对于满足O v a v v l的 任 何0,0,有B f f(x)d x a f(x)d x证明：令/(x)=力 一af/(f)力(x a),F(a)=a J f(t)d t 0.F(x)=1/(f)力 一Q f(x)=j (f)-/(x)力 0,(这是因为 t v a,x w a,且 f(x)单减).所以 尸(户)F(a)0,立即得到/(x)Jx f(x)d x六.设f(x)在

49、a,b 上二阶可导，且/(x)o,证明:f(x)d x 证明:V x,t e a,b ,f(x)=f(t)+f(t)(x-t)+(X -t)2 af(x)dx证明：方 法-：令/(x Q a /(a)力-a 1/力(或令口 均=方 /)力-a j /(，)力)F(x)=a f(ax)-af(x)0,所以F(X)单增；又因为 F(0)=0,所以 F(l)2 F(0)=0.即a(oa)dt atdt 0,即1 f(x)dx af(x)dx方法二：由积分中值定理，存在生 0,a,使 /(x)d x=a/G)；*0由积分中值定理，存在nia j ,使 f(x)dx=f(r)(-a)因 为 沱，所 以/

50、()/.所以a f f(x)dx=a f(x)dx+a j f(x)dx=a2/()+a/()(l-a)J()Jo Ja W +a/C)(l a)=a/C)=f(x)d x*0八.设 f(x)在 a,b 上连续，/(X)在 a,b 内存在而且可积,f(a)=f(b)=O,试证:I f(x)l f I fix)dx,(a x b)2 L证 明:一 (x)%/(x)q f (x)l,所以即一 f(f)B /(x)w f()Mf；一。尸 ldf W/3)-/(x)W fl 尸 I d f即 l/(x)l -fl/(x)ldx,(ax 0因为 f(0)=f(l)=0*0 6(0,1)使 f(x0)=m