2022-2023学年人教A版高二数学上学期同步讲义第一章空间向量与立体几何章末检测卷(二)(解析版).pdf

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1、空间向量与立体几何章末检测卷（二）说明：1.本试题共4 页，满 分 150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。3.答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。第I卷（选择题 共60分）一、单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.已知向量&=（）

2、,-）与5=（0,后-2,公）共线，则实数%=（）A.0 B.1 C.-1 或 2 D.-2 或 1【解析】因为&=（0,-1,1）、5=（0,%-2,公）共线，-1 1所以kh解得上=-2 或 1.故选：D2.已知直线/的方向向量为（123）,平面a 的法向量为（2,机6）,若U a,则机=（）A.-4 B.4 C.-10 D.10【解析】因 为 所 以 直 线/的 方 向 向 量 与 平 面 a 的法向量平行，所以（1,2,3）=2（2,以6）,解得4=；,机=4.故选：B.3.如图，在三棱锥0-A 3 C 中，E 为 OA的中点，点 F 在 8 c 上，满足丽=2汽，记0 4，O B，元

3、 分 别为，b，C，则 前=(c 1 -Z 7 1 -B.a 4 b H c2 3 3o.-a+-b+l3 2【解析】在三棱锥O-A B C中BF=2FC E为 0A 的中点_ 1 _ _ 2 _ _ _ _ _ 2 _ _ 2 _ _EA=a,AB=OB-OA=b-a BF=BC =-(O C-O B)=-(c-b)_ _ i 2 i i 2所 以 前=丽 +而 +丽=+B-+-G-B)=a+-h +-c2 3 2 3 3故选：A4.在正方体ABC。-A Q C D中，棱长为2,点”为棱。上一点，则 刘 乙 丽 的 最 小 值 为()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】如图所示，以D4,C

4、,O2分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,则 A(2,0,0),8(2,2,0),设(0,0,a),所 以 丽=(-2,0,a),BM=(-2.-2,a),A M-B M =(-2,0,6(-2,-2,a)=4+a),当a=0时，丽,丽 的 最 小值为4.5 .设X、y wR,向量 a =(x,l,l),B =c=(3,-6,3)且 _ L 2 ,b/c 则卜+=()A.2夜 B.2石 C.4 D.3【解析】因为则H =3 x-6 +3 =0,解得X =l,则=(1,1,1),因为罚几，贝1匚=斗，解得y=-2,即5 =(1,2,1),所以，+5 =(2,-1,2),因此，1+q=+1

5、+4 =3.故选：D.6 .定义区B =W -75,若向量=(1,-2,2),向量坂为单位向量，则 的 取 值 范 围 是()A.6,1 2 B.0,6 C.-1,5 D.0,1 2【解析】由题意知口=jF+(_ 2)2+2 2 =3,M=l.设=0,则=H-=H-|a|-|/?|co s 0 =9-3 co s 0 .又。0,可，.co s 6)T,l ,.二 I 6/2卜故选：A_ _,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,1 -_ _7.在四面体。L B C中，OA=a，OB=b，反=2,点。满 足 而=4前，E为A O的中点，且。石=7+:。+:仁,2 4 4则 4=()u rn

6、 1 r i r i r i u i r i u u n i u u m【解析】O E =-a +-b+-c=-O A +-O B +-O C ,2 4 4 2 4 4i _ i _ _ u u a i i u n i i i i i i u其 中E为中点，有.OE=-OA+-OD,故 可 知O D =-O B +-O C ,则 知D为 B C的中点，故 点D满 足BD=-B C,2 =1 .故选：A 8.如图，已知正方体A B C。一A/B Q/。的棱长为4,P是A/的中点，点M在侧面A4,B f(含边界)内，若RM CP.则A BCM面积的最小值为()8B.48右 口 8石L -D -55

7、【解析】以。为原点，D A所在直线为x轴，D C所在直线为 轴，。所在直线为z轴建立空间直角坐标则 尸（4,0,2）,C（0,4,0）,A（0,0,4）,8（4 4 0）,设 M（4,a,/?）（,be 0,4 ）,则 丽=（4,a,6-4）,而=（4,-4,2）,因为D、M L C P,所以C户=1 6-4 4 +2 6-8 =0,得 b=2 a-4,所以M（4,a,2 a-4）,所以B M,当 =v时，8 M取 最 小 值 逑,5 5易知8 c =4,且BCL平面A A B f,8Wu平面故 故 S m c M=g B C x B M所以S e的最小值 为 哈4*；=苧故选：D.二、多项选

8、择题（本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分）9.若向量 ,构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A.D a+h，a-b,a+2ha-b,+c，b +cC.a-b c，+B +cD.a-2 b，b+c，a+c-b【解析】对于A选项，若+2B=2（+（B）,则2+=1解得 3Z=2 1,故共面:=2rr对于B 选项，若W=/l（a-b +/.ia+c ,则，/1+=0-2=1 ，解得=12=1 ,故共面;=1对于 c 选项，若，+，则，2=1-A=l,无解，故不共面;=1对于 D 选项，

9、若。+。-5=；1（-2 9 +,+。），则2=1 22+=-1,解得=11,故共面;故选：ABD1 0.己知空间向量 =（1,7,2）,则下列说法正确的是（）A.忖=指B.向量2 与向量很=（一 2,2,-4）共线C.向量 关于x 轴对称的向量为（1,1,-2）D.向量 关于yOz平面对称的向量为【解析】A：因为同=+（7）2 +22=技 所以本选项说法正确；B：因为石=-2九所以向量 与向量石=（-2,2,Y）共线，因此本选项说法正确；C：设 =。,-1,2）的起点为坐标原点，所以该向量的终点为因为点（1,-1,2）关于x 轴对称的点的坐标为（1,1,-2）,所以向量关于x 轴对称的向量为

10、（1,1,-2）,因此本选项说法正确;D：设 =(1,-1,2)的起点为坐标原点，所以该向量的终点为因为点(1,-1,2)关于)0 z 平 面 对 称 点 的 坐 标 为,所以向量 关于yOz平 面 对 称 的 向 量 为,故选：ABC1 1.在长方体A B C O-A B C Q 中，AB=4,BC=BB=2,E,尸 分 别 为 棱 的 中点，则下列结论中正确 的 是()-1 .1 -A.EF=AAl+-B C +-CtDt B.|EF|=3C.E D E C E D E C D.B F 1 E Q【解析】如图建立空间直角坐标系，则。(0,0,0)、A(2,0,()、5(2,4,0)、E(2

11、,2,0)、A(2,0,2)、*1,0,2)、R(0,0,2)、*0,4,2)、C(0,4,0),所 以 而=(1,2,2)、羽=(0,0,2)、沅=(2,0,0)、葩=(0,T,0),所以乔=丽+3 +g 西，故 A 正确；|EF|=7(-1)2+(-2)2+22=3,故 B 正确；0 =(-2,-2,0),E q=(-2,2,2),EC=(-2,2,0),BF=(-1,-4,2),所 以 丽 瓯=0,E D E C =0,故 而 南=丽 或，即 C 正确；因 为 砺 宙 =-2 x(T)+2x(-4)+2x2=-2,所 以 而 与 南 不 垂直，故 D 错误；故选：ABC1 2.若正方体A

12、 8 C 3-A B G R 的棱长为1,且 丽=加 亚+丽，其中m e 0,1,w0,1,则下列结论正确的 是（）A.当?=；时，三棱锥P-BOq 的体积为定值B.当=；时，三棱锥尸-8。4的体积为定值c.当%+=1 时，。+总的最小值为+也2D.若/P R B =/&Q B,点 P 的轨迹为一段圆弧【解析】因为 =4 万+福,，其中加6 0,1 ,6 0,1 ,所以点P 在平面4。A 内运动，对于A：取 A。中点E、中点F,连接E F,所以 E F/A A /8 月，因为。U平面BDB,BBt u平面BDB,所以E F 平面8 0 片，I -.1 .当?=一时，贝 lj AP=-A D +

13、AA,2 2所以点P 在线段E 尸上运动，因 为 政 平面8。与，所以无论点尸在E F 任何位置，尸到平面B O B 1 的距离不变，即高不变,所以三棱锥尸-8。4的体积为定值，故 A 正确;对于B：取A A 中点G,D R中点“，连接G”,当=,时、AP=m A D+-A A ,2 2所以点尸在GH 上运动，假设G”/平面B O B-又GA/BB,3 4 仁平面8。用，8 耳=平面8。瓦,所以G4/平面8。片，因为 6 4 门6 =6 3,6 4 =9 0。，AiA=A D=f所以 N A O 8 =N A A 8 =1 0 5。，ADBAA.8,所以 N A B Q =30。在 A O B

14、 中，由正弦定理得ABADs i n ZADB-s i n ZA0D，所以由焉 5。=2 a45。8 s 6 0 0 +8 s 4 5 s i n6 0 0)=F，故 C 正确;AG则仇1,1,0),(0,0,1),设尸(x,0,z),对于D：分别以D4、DC、CQ为x,y,z轴正方向建系，如图所示,所 以 印=(x,0,z l),用/D n DD户 DB x z+l所以c*=丽丽=耳不因为BB、1平面A4G0,BR u 平面ABCiR,所以 BB、I BtD,又 BQ=&BD=6,所以 COS/H R B =3 =DL)X J“，x-z+1 5/6所以 G+(ZT)M 整理得 Y+z2+2x

15、z 2x2z+l =0，所以(x+z-l)?=0 ,即 x+z-l=0,xe 0,l,ze 0,l所以P点轨迹为线段，故D错误故选：A CAy第n卷（非选择题 共 外 分）三、填 空 题（本题共4 小题，每小题5 分，共 20分）1 3.已知 A(l,2,3),8(4,5,9),A C A B,则 正 的 坐 标 为.【解析】由题设，通=(4,5,9)-(1,2,3)=(3,3,6),所 以 =；丽=(1,1,2).故答案为：(1,1,2)1 4.已知空间三点A(l,-1,-1),8(-1,-2,2),C(2,1,1),则福 在 衣 上 的 投 影 向 量 的 模 是.IUUU UUU.uni

16、 uuu|U I U|um uun A B S C【解析】由题，A B =(-2,-3,3),A C =(1,2,2),故 而 在 不 右 上的投影向量的模I卜4 c o s|=下|-2-6 +6|_ 2=7 12+22+22-3故答案为：|1 5.如 图，圆锥的轴截面S 4 B是边长为2的等边三角形，。为底面中心，M为S。中点，动点P在 圆 锥 底 面 内(包 括 圆 周).若 则 点S与P距离的最小值是轴建立空间直角坐标系,M 0,0,等 设 P(x,y,0),_ _ _.3：A M M P A A M M P =0 解得4.小 耳=近2+图+(一6)2知，当X =O时，点S与尸距离的最小

17、，其最小值为 巨.4故答案为：巨.41 6.在空间直角坐标系O-xy z中，向量d =(l,T-2)石=(1,1,3)分别为异面直线/方向向量，则异面直线/所 成 角 的 余 弦 值 为.【解析】因为。=(1,一1,-2)石=(1,1,3),所以c o s值5)=/1一7=-场.因为异面直线岛 所成 5/1 +1 +4 x7 1 +1+3 1 1角的范围为(0,，所以异面直线4,4所成角的余弦值为 半.I N I I故答案为：w四、解答题(本题共6个小题，共7 0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1 7 .已知点 A(2,0,2),8(-1,1,2),C(-3,0,4),设)=通，b

18、=AC.(1)求Z，石夹角的余弦值.若向量历+B,垂直，求左的值.若向量笳-3,14平行，求丸的值.【解析】=(1,1,0),=(-1,0,2),故 COS(6-4+0 +0&x石(2)由(1)可得ka+b=k-,k,i),ka-2b=k+2,k,-4),因为向量Za +B，A-胸垂 直,故(Z+2)(l)+K-8 =。，整理得到：2 +%一10 =0,故=2或%=-(3)由(1)可得 出不共线，故2 一 心-4均不为零向量，若向量位-1如 平行，则存在非零常数f,使 得 右 从=m一应,整理得至|J：(A-r)a+(r 2-l)S=0,因 为6不共线，故故2=f=1或2=1=1,z 2-l

19、=0故/l=L1 8.如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G在A E上，且AG=2GE.试用函,O B,阮 表示向量旃；若OA=2,OB=3,0C =4,U LM-1 UL*UZAOC=NBOC=60,ZAOB=90。，求 OG A8 的值.一uuu【解析】(I)；4G=2GE,OG-OA=2(OE-dG),3OG=2OE+砺 乂 2砺=OB+OC：.0G =-0 A +-0 B +-0C(2)a(1)pJO G AB=(-OA+-dB +-OC)(OB-dA)3 3 3 3 3 3=-OA OB-OA+-OB-O B OA+-OC OB-OC OA=-OA+-OB+-OC

20、OB-OC OA3 3 3 3 3 3 3 3 3 3=-1X22+1X32+1X3X4X1-1X4X2X1=-+3+2-=1 9.如图，在正四棱锥 P _ A8C 中，侧棱长为J J J X if J J J O底面边长为2.点E,F分别CD,B C中点.求证：P(2)平面fi48_L平面PCD.【解析】(1)连接AC,BD交于点、0,连接P 0,由正四棱锥性质。4,OB,0 P两两互相垂直，以OA,OB,0 P分别为x,y,z轴建系如图.z易得OA=&，。尸=JPAN-OA?=1，A（垃,0,0）,P（0,0,l）,B（O,0,O）,C（5/2,0,o j,DO,V 2,0 j,E-,0

21、,F -,-,0尸4=（夜,0,-1）,EF=（0,/2,0）,：PA.EF=0,-,-PA EF=0,即以工后尸；(2)设平面以8,平 面PCO法向量分别为正=(不y,z j,3=(%,月，22)，m-PA=-Z）=0m PB=正,一 Z=0，取 4=&,则再=y =1,;w=（l,l,V 2）,n-PD=/2X2+z2=0 _ r-_ r-取马二一J 2,则 为 =%=1,n=（1,1,-V2）,n-PC=42y2+z2=0而G=l+l-2 =0，,而_1 _ k，平面般8,平面PCD2 0.如图所示，在几何体ABCDEF中，四边形ABC。为直角梯形，AD/BC,ABA.AD,AE_L底面

22、ABC。,AE/CF,AD=3,AB=BC=AE=2,CF.(1)求证：8尸 平面AOE；(2)求直线BE与直线。尸所成角的余弦值；(3)求点。到直线8 F的距离.【解析】(1)证明：AECF,AEC平面8FC,CFu平面BR7,：.AE/平面 BCF,-JAD/BC,同理可得4 0 平面8 尸 C,又 A D H A E A,二平面 8b平面 ADE,?5 F u 平面 BFC,BF/平面 A D E；(2)以A为坐标原点，A B、AD,A E 所在直线分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系,则 8 (2,0,0),C(2,2,0),D(0,3,0),E(0,0,2),F(2,2,1),l

23、r=2,则 PO=0,由 8c=CD=2A8=2且 BC_LC。，则 OC=/，又PC=0，故4 POC为等边三角形，且面ABC）_L面POC,所以尸展书,则 牌半)综上，旃=用，BD=(2,-2,0),PD=(|,-1-),设平面网犯的法向量为 =(x,y,z),贝 卜/?-BD=2x-2y=0_ 3 1 J6，令x=6 解得百=（五 庭,2）,n-PD=-x-y-z=O V I 2 2 2所以sin 6=MN-n 576 55/3MN-n 14y/2 142 2.在四棱锥P-A8CD中，己知侧面PCD为正三角形，底面ABC。为直角梯形，ABCD,ZADC=90,AB=AD=3,C=4,点

24、M,N 分别在线段 48 和 PZ）上，K=2.MB NP求证：尸M/平面4cM(2)设二面角P-C D-A大小为。，若cos。=立，求直线AC和平面P4B所成角的正弦值.3【解析】连 接，交4 c于点E,连接NE:：AM=2MB,.,.A M=|A8=2,QAB/CD,AM ME _ CDDE2又 DN=2NP,ME PNNE/PM,又NEu平面ACN,平面ACN,平面ACM(2)取CD中点F,连接PF,加尸；作POL M F,垂足为0；Q V P S为正三角形，:.PF LCD：-.-AM=DF=2,AM OF,四边形4WN）为平行四边形，.AW/R”，又 NAOC=90、,8 _LFA/

25、,又 P F M =F,根,.iNPR?即为二面角P-C D-A 的平面角,行又尸尸=26，cosZPFO=,；.OF=PFcosNPFO=2,;.OP=2五;3则尸（0,0,2夜），C（2,2,0）,A。,2,0）,B（l,l,0）,/.AC=(-3,4,0),丽=卜 1,2,2 0),BP=(-1,-1,272),设 平 面 的 法 向 量”=（x,y,z）,A P nBP n=-x+2y+2 夜 z=0=-x-y+2y/2z=0令 z=l,解得：x=2y/2 y=。.-.n-(272,0,1)；I uum r I设直线AC和平面PAB所成角为0.sin d=cos lUun rA C-n 6&rutnri-ir-=-AC-n 5x32夜 I-故直线A C 和平面PAB所成角的正弦值为逑5