2022-2023学年人教A版高二数学上学期同步讲义--圆与圆的位置关系.pdf

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1、2.5.2圆与圆的位置关系目标导航课程标准核心素养1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想.直观想象数学运算善,高频考点圆与圆的位置关系(-)判断回与庭的位置关系(-)与目公切线有关的问题(1)圆的公切线条数考点三国与国的位置关系的应用(二)与回有关的鼠值问题(2)回的公切线方程(3)圆的公切线长一二知识梳理知识点1 圆与圆的位置关系1.种 类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含.2.判定方法几何法：若两圆的半径分别为打，2,两圆连心线的长为d,则两圆的位置关系的判断方法如下:位置关系外离外

2、切相交内切内含图示00d 与打，r2的关系dri+r2d=ry+r2rir2dri+r2d=n-r2d+Fi=O(Di+E4尸|0),C2：尸2=0(历+琢 4尸20),X2+J2+DIX+EIJ+FI=0,联 立 方 程 得，一 ，一，一 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:注：(1)圆和圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含；(2)圆和圆相交，两圆有两个公共点；方程组解的个数2 组1 组0 组两圆的公共点个数2 个10 个两圆的位置关系相交内切或外切外离或内含(3)圆和圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切.(4)圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方

3、程联立起来消元后用判别式判断，因为当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含.【即学即练1】已知圆G 的圆心坐标是(1，4),圆G 的圆心坐标是(5,D,若圆c 的半径为2,圆G 的半径为3,则 圆 与 G 的位置关系是A.外切 B.相离C.内切 D.相交【解析】因为圆C1与 G 的圆心距为：+(1-4)2=5,而圆G 与G 的半径之和为5,所以圆G 与 G 的位置关系是外切.故选：A.【即学即练2】圆(x+2)2+y2=4与圆(X2)2+。-1)2=9的位置关系为()A.内切 B.相交C.外切 D.相离【解 析】两

4、圆 的 圆 心 分 别 为(-2,0),(2,1),半 径 分 别 为r=2,R =3,两圆的圆心距离为A/(-2-2)2+(0-1)2=V 1 7,则 R-r亚+(0+,n+/2=2+啦，门一/2=2-故八一r2VleiC2|Vri+72,两圆相交.故选Cx2+j2-2 x-3=0,法二：(代数法)联立方程,2 4 Ax2+j24x+2j+3=0,Xl=l,1*2=3,解得 即方程组有2 组解，也就是说两圆的交点个数为2,故可判断两圆相交.故回=-2,b2=0,选 C【即学即练4】当实数为何值时，两 圆 G：x2+j2+4x6j+12=0,C2:x2+y22x14y+=0相交、相切、相离？【

5、解析】将两圆的一般方程化为标准方程，Ci：(x+2)2+(y-3)2=l,C2:(x-l)2+(y-7)2=5 0-*.圆 G 的圆心为G(2,3),半径长n=l;圆。2 的圆心为 C2(l,7),半径长/2=,50%(AV50),从而 心|=4(_2_1)2+(3-7)2=5.当 1+寸5 0 T=5,即左=3 4 时，两圆外切.当|50一及一1|=5,即.5(T=6,即 A=14时，两圆内切.当 N 5 0 f 1|55,即 AG(34,50)U(-8,14)时，两圆相离.知识点2 圆与圆位置关系的应用设圆 G：X2+J2+DIX+EI J+FI=0 圆 C2：x2+y2+D2x+E2y+

6、F2=0,若两圆相交，则有一条公共弦，由一，得(-O 2)x+(E i-E 2)y+F i一尸 2=0.方程表示圆G 与C2的公共弦所在直线的方程.(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程.(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心.(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求.两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d,半 弦 长 半 径 r 所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解.【即学即练5】已知两圆F+y2=10和(x 1)2+。-3

7、)2=20相交于A,8 两点,则直线AB的方程是.【解析】圆的方程(工一1产+仃-3)2=20可化为丫2+夕 2-2*6.=10.又/+3)2=1(),两式相减得2 x+6 y=0,即 x+3y=0.【即学即练6】两圆相交于(1,3)和两点，两圆圆心都在直线、-y+c=0上，则，+c 的值为【解析】由平面几何性质知，两相交圆圆心的连线与两圆的公共弦垂直，且经过弦的中点，则 生=-1,解得机=5,-tn团(1,3)和(5,-1)的中点为(3,1)在直线x-y +c=0,团 3 l+c=0,解得 c=2,团 z +c=3.故答案为：3.知 识 点3圆与圆的公切线1、公切线的条数与两个圆都相切的直线

8、叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种.两圆外离两圆外切两圆相交两圆内切两圆内含有 2 条外公切线和2 条 有 2条外公切线和1条 只有2 条外公切线 只有1 条外公切线 无公切线内公切线，共 4 条 内公切线，共 3 条；【即学即练7】圆Y+y2+4x=0与 圆/+丁-4 一 2旷-4=0 的公切线条数为()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】圆/+/+4 =0 的标准方程为(x+27+y2=4,圆心坐标为(-2,0),半径长为r=2.圆f+y 2-4 x 2y-4=0 的标准方程为(x-2)2+(y-l)2=9,圆心坐标为(2,1),半径长为R=3.圆心4巨为d=J(-2

9、-2)2+(0+1 7=7 1 7,由于 1 痘 5,即 R rd c R+r,所以，两圆相交，公切线的条数为2.故 选:B.【即学即练8】已知圆Q：/+y 2=4,圆 口：/+丁2,侬一2%4=0(m#0),则同时与圆。和圆。?相切的直线有(A.4条 B.2条 C.1条 D.0条【解析】由a：Y+y 2=4,得圆a(O,O),半径为a=2,由 Q：x?+/-2 m r-2,取-4 =0(加工0),得0(?)，半径为J(-2 n?y+(-2/)-4 x(4)=，2 n z2+4 所以 10|0 2|=+(?-0)=0,|0 一4|=6+4 2 0 ,+4=2+J 2 M +4，所以k H l

10、a a l 0)；(2)与圆f+y2 +0 x+Ey+F=O同 心 圆 的 圆 系 方 程 为+y2 +m+4+2 =0；(3)过 直 线.上一_ 八 与 圆/+：/+6+4+/=0交点的圆系方程为/W I LJ V/Ux2+y2+D x+y+F +2(A x+B y+C)=O(/IG/?)(4)过两圆 G 尸+V+Qx+gy +耳=(),圆 C 2：f+y +Ax+y +B=()交点的圆系方程为x2+y2+Dtx+Ety+Ft+y2+D2X+E2y+F2)=0 此时圆系不含圆g：d+y2 +4 x+E 2 y+F 2=0)特别地，当/l =1时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程

11、；两圆相切时，表示公切线方程.%Ni考点精析_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _考点一圆与圆位置关系的判断解题方略：判断两圆的位置关系的两种方法(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法.(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系.(-)判断圆与圆的位置关系【例 1-1】圆 O

12、 i：始+产4 y+3=0 和 圆。2：产+步1 6y=0的位置关系是()A.相离 B.相交C.相切 D.内含【解析】因为n=1,以=8,|0。2 尸用(00)2+(2 8)2=6,则|01 02|。一九所以两圆内含.故选D变 式 1：已知两圆G：X2+J2+4X+4J-2=0,C2：x2+y2-2 x-S y-S=0,判断圆G 与圆C2 的位置关系.【解析】(法一：几何法)把圆G 的方程化为标准方程，得(x+2)2+(y+2)2=1 0.圆G 的圆心坐标为(-2,-2),半径长n=师.把 圆 C2 的方程化为标准方程，得(丫-1)2+&-4)2=2 5.圆。2 的圆心坐标为(1,4),半径长

13、心=5.圆 G 和圆 C2 的圆心距 d=-y(2 1)2+(2 4)2=3/5,又圆G 与圆C2 的两半径长之和是n+2=5+师，两半径长之差是以一n=5 一师.而 5 ylHo3 y5 5+-lO,即 r2 rid2=1,代入 x+2 y+l=0 得 x i=-3,x2=l.所以圆G 与圆C2 有两个不同的公共点(-3,1),(1,-1),即两圆的位置关系是相交.变式2：已知圆G 的标准方程是%4)2 +(y-4)2 =2 5,圆C:：9+)2 _+冲+3=0 关于直线x+G y+1 =0对称，则圆G 与 圆 的 位 置 关 系 为()A.相离 B.相切 C.相交 D.内含【解析】由题意可

14、得，圆0：(犬-4)2+(-4)2 =2 5的圆心为(4,4),半径为5因为圆 C?:x+y 4 x+my+3=0 关于直线 x+fiy+1 =0对称，所以2 +氐(-令)+1 =0,得?=2 百，所以圆C2 :(x-2)2 +(y +gy=4的圆心为(2,-君)，半径为2,则两圆圆心距|翁以=/(4-2)2+(4+丫 ,因为5-2|CCC +3 6 0=mv 2 5由两圆向夕卜切可知J(4-0)2+(-3-0)2 =2 +j 2 5-%,解得，=1 6所以 a：(x-4+(y +3)2=9c?到直线的距离为 =设圆G 的半径为RV I2+12 及则直线/：+片 0 被圆6 所截的弦长为2 斤

15、方=2 月|=庖故答案为：A变式2：若圆x 2+y 2 _ 2 a x+a 2=2 和X2+)2 _ 2外+=i 外离，则”，b满 足 的 条 件 是.【解析】由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a,0),啦 和(0,b),1,因为两圆相离，所以y/a?+1,即。2+。2 3+2 6.变式3：已知半径为5 的动圆C 的圆心在直线/：X-y+1 0=0 上.存在正实数=,使得动圆C 中满足与圆0：工 2 +丁=产 相外切的圆有且仅有一个.【解析】原点(0,0)到直线x-y+io =o 的距离4 =也 等 9=5&,V 2当满足/+5=d时，即=5 a-5 时，动圆C 中有且仅有1 个圆与圆0：

16、/+丁=一相外切.故答案为：5a-5变式4：在平面直角坐标系X。)，中，圆C 的方程为V+y 2-8x+1 5=0,若直线、=丘-2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆C 有公共点，则 k 的 取 值 范 围 是.【解析】由 /+_/-8x+1 5=0可得(X-4)?+丁=1,因此圆C 的圆心为C(4,0),半径为1,若直线y =H-2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆C 有公共点，只需点C(4,0)到直线 产 丘-2的距离d =M4l+l =2,4即(2 k-l)2 4 1 +4 2,所以女2-4 Z 4 0，解得4所以k 的取值范围是故答案为：0 o)

17、上存在点尸，且点P 关于直线x-y =0 的对称点。在圆C2:(x-2)2+(y-l)2=4 ,则 的 取 值 范 围 是.【解析】将题意等价为圆G 关于直线x-y =o 对称圆g 与圆C?有交点，由题意得，圆。3：/+(卜-2)2=/0),圆心为(0,2),半径为r,又 C2：(x 2 y+(y-l)2=4,圆心为(2,1),半径为 2,所以|GG|=2?+(-1)2 =旧，若两圆相交，则满足-24|C2 c31 4 r+2,解得6-24r 46 +2.所以厂 的取值范围是 石-2,石+2 .故答案为：逐-2,逐+2【例 1-3求与圆(上-2)2+3+1)2=4 内切于点4(4,一1)且半径

18、为1 的圆的方程.【解析】设所求圆的圆心为P(a,b),则.(。一4+1)2=1.若两圆内切，则有Y(a-2 F+S+1=|21|=1,联立，解 得 a=3,b=l,所以，所求圆的方程为(*-3)2+&+1)2=1.所求圆的方程为(厂-3尸+6+1)2=1.变 式 1:(多选)已知半径为1 的动圆与圆(*-5)2+3+7)2=16相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A.(x-5)2+(y-7)2=25B.(x-5)2+(y-7)2=17C.(x-5)2+(j+7)2=9D.(x-5)2+(y+7)2=25【解析】设动圆圆心为(x,y),若动圆与已知圆外切，则法科-5y+&+7)2=4+1,.*.(

19、x-5)2+(y+7)2=25;若动圆与已知圆内切，则、(x-5)2+(y+7)2=4-l,，(x-5)2+(y+7)2=9.故选 CD考点二与圆相交有关的问题解题方略：1.圆系方程一般地过圆G：x2+y2+)x+E iy+尸 1=0 与圆C2：x2+y2+Z)2x+E?y+尸 2=0 交点的圆的方程可设为:x2+y2+)x+Ej+f1+，*2+,2+。亦+4+尸 2)=0(2W 1),然后再由其他条件求出2,即可得圆的方程.2.两圆相交时，公共弦所在的直线方程若 圆 Cj：x2+y2+Ox+Ey+尸 =0 与圆C2：工 2+12+。5 +；u+产 2=()相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(

20、O1。2)x+(E i-E 2)y+尸 I 一尸 2=0.3.公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.4.求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程(-)圆系方程的应用【例 2-1求经过两圆x2+j2+6x4=0 和X2+J2+6J-2 8=0 的交点且圆心在直线xj 4=0 上的圆的方程.【解析】法：解方程组1 7 i,“八 得两圆的交点4(1,3),8(6,-2).(X2+J2+6J-28=0,设 所 求 圆 的 圆 心

21、 为b),因为圆心在直线xy4=0 上，故。=一4.则有(4+1)2+(-4 3)2=y(a+6)2+(-4+2)2,解得a=；,故圆心为七 一3，半 径 为 优+1+-3=哂.故圆的方程为（*；）+G+?2=当，即 必+,2工+7132=0.法二：.#圆X2+J2+6J2 8=0 的圆心（0,3）不在直线Xj 4=0 上，故可设所求圆的方程为x2+J2+6X-4+2（X2+J2+6J-2 8）=0（；,-1）,其圆心为（一言工，一 鲁 I）,代入r-y 4=0,求得7=7.故所求圆的方程为x2+j2 _x+7 j_ 32=0.（二）求两圆公共弦方程及公共弦长【例 2-2 求两圆X2+J2-2

22、X+1 0J-2 4=0 和x2+y2+2 x+2 y-8=0的公共弦所在直线的方程及公共弦长.x2+y22x+10v_24=0,【解析】联立两圆的方程得方程组，,两式相减得x-2 y+4=0,此为两圆公X2+J2+2X+2J8=0,共弦所在直线的方程.法一：设两圆相交于点A,B,则 A,8 两点满足方程组，x-2 v+4=0,解得.x2+j2+2 x+2 j-8=0,x=4,或ly=ox=0,尸 2.所以|A 阴=7(_4_0)2+(0_2)2=25,即公共弦长为2法二：由 x 2+y 2-2 x+1 0 y-2 4=0,得(X-1)2+(J+5)2=5 0,其圆心坐标为(1,-5),半径长

23、 r=5 4 i,圆心到直线x-2 y+4=0 的距离为d=|l-2 X(-5)+4|,1+(-2)2=35.设公共弦长为2/,由勾股定理得=d2+匕 即 50=（3 4）2+匕 解得/=小，故公共弦长2/=2小.变 式 1:圆Y+y2=2与圆x2+y2_4x+4 y-4 =0 的公共弦长为【解析】两圆方程相减得4x-4y+2=0,即2x-2y+l=0,原点到此直线距离为d=J J 2）?=4 圆/+丁=2 半径为 应，所以所求公共弦长为2m=粤.故答案为：叵.2变式2：若圆C:X2+()-4)2=1 8 与圆。:(x-1)、。-1)2=六的公共弦长为6拒，则圆。的半径为L L L X2+(-

24、4)=1 8 ,A.5 B.2 6 C.2瓜D.2币【解析】联立，、2 ,，得 2x-6y=4-R-,因为圆C 的2 1)一+(k 1)直径为6&，且圆C 与曲线。的公共弦长为6近，所以直线2x-6y=4-R2经过圆c 的圆心(0,4),贝!2X0-6X4 =4-/?2,/?2=2 8,所以圆。的半径为2疗.故 选 D变式3：圆.炉+2-2-5=0与圆/+9+2 _ 4-4=0 的交点为A,B,则线段AB的垂直平分线的方程是A.x+y-=0 B.2 x-y+l=0C.x-2y+l=0 D.x-y +=0【解析】圆V+y2-2 x-5 =0 的圆心为例(1,0),圆x2 +y2+2 x-4 y=

25、0 的圆心为N(-l,2),两圆的相交弦A 8的垂直平分线即为直线M N,其方程为F=2=，即1+丫-1=0;故选A.x-l-1-1变式4：已知圆G：/+2-履-y=0 和圆C 2：V+y2 _ 2 b，-l =0 的公共弦所在的直线恒过定点M,且点M在直线如c +y=2上，则 J mf 的最小值为()A.1 B.C.空5 5 5【解析】由圆G：f +y2-区一 =。和圆G x2+y2-2 k y-l=0f可得圆G 和 C2的公共弦所在的直线方程为2(工-2y)+(y-1)=0,联立厂一个：,解得 =：,即点“(2,1)y T=o y=i又因为点A7在直线，必+y=2上，即2加+”=2,又由原

26、点至！I直线2x+y=2 的距离为4=-/2 挛,722+12 5即 而F衣 的 最小值为 竽.故选：C.变式5：已知圆。:炉+2=4与圆C：j?+y2-x+石 y-3 =0相交于A,8 两点，贝!s in Z A O 8=.【解析】因为圆0:/+;/=4 与圆C:x2+V-x +石 y-3 =0相交于A,B两点,所以直线A8的方程为：（丁+/-4）一任+/x+Gy 3）=0,即x-6 y-l =O,所以圆心0（0,0）到弦A B的距离为d=1,所以弦|A B|=2疹丁=V 1 5，所以在AAOB中，|。4|=|。同=2,由余弦定理得c o s 40 8=所以 s in Z A O B -V

27、l-c o s2 Z.AO B =.1 1-=V 6 4 8故答案为：叵考点三圆与圆的位置关系的应用（一）与圆公切线有关的问题（1）圆的公切线条数【例3-1 两圆C：/+丁=1和G：（x-3）2 +（y-4）2 =1 6的公切线有 条.【解析】由题可知圆G的圆心为C（0,0）,半径4=1,圆C?的圆心为G（3,4）,半径4 =4,贝！圆心距d=J（O-3+（0-4）2 =5 =4+，所以两圆外切，则公切线有3条.故答案为：3.【例3-2】已知圆。1：/+y2=1 6和圆。2：f+y2-6 g-8 zn），+2 4机2=0有且仅有4条公切线，则实数机的取值范围是（）A.(-a,-l)u(l,+o

28、o)B.(T l)C.(9,-2)7(3,)D.(-2,3)【解析】圆。i：f+,2 =1 6 的圆心a （0,0）,半径4二4,圆。2：V6 H x-8 7.y+2 4?2 =0 的圆心O2(3m,4fn)9半径(=同根据题意可得，圆据、根 相 离,则 I Q Q A 4 +4,即5M 4+同团加？(?,1)U(L+?)故选：A.变 式1:已知圆。：*2+y2+4+4a24=0和 圆C2:N+yZ2外+浜-1=0只有一条公切线，若a,bR且。方 工0,则二 +乒 的最小值为（）B.8D.9【解析】因为圆G:/+,2+4a x+4/-4=0和 圆 C 2:三+/-2与+/2 1=。只有一条公切

29、线,所以两圆相内切，其中。（一2a,0）,r/=2；C2（0,b）,r2=l,故|。心|=J/十伤？,由题设可知yJa2+4b2-2-i=a2+4b2面+4/）（,+=云+今+5 2 2故选：D.（2）圆的公切线方程+5 =9 当且仅当/=2时等号成立.a【例3-31写出与圆Y +丁=1 和（x-3）2+（y-4）2 =1 6 都相切的一条直线的方程.【解析】圆/+丁=1 的圆心为。（0,0）,半径为1,圆（-3）2+（丫-4）2=1 6 的圆心01 为（3,4）,半径为4,两圆圆心距 为 尻 不=5,等于两圆半径之和，故两圆外切,如图,|u-1-1丁 ，解得V i6当切线为/时，因 为 4所

30、 以 勺=寸3 ，设方程为）”-尹3+9 0）。到/的距离5 3 5，所以/的方程为=7+“当切线为，时，设直线方程为乙+y +P =。，其中P 0,k0,由题意 4+4,故两圆外离，共有4条公切线段，两两长度相同，当两圆在公切线同侧时：4=霹西 行=而 讦=炳.当两圆在公切线异侧时：Z2=7|C,C2|2-(+/;)2=/16-9=V 7.综上所述，公切线段长为旧或近.(二)与圆有关的最值问题【例3-5 已知A是圆4：/+产=1上的动点，B是圆6：(3)2+()，-4)2=1上的动点，则|A到的取值范围为.【解析】由题意圆C1的圆心为(0,0),半径为1；圆G的圆心为(3,4),半径为1；易

31、知|G|=5且两圆外离，所以5 2w|A B|V 5+2,即 34 1A.4 7.故答案为：3,7 .变 式 1：与直线x-y-4 =0 和圆(x+l)2+(y _ l f=2都相切的半径最小的圆的方程是()A.(x+l)+(y +l)=2C.(x-l)2+(y +l)2=2B.(x +l)2+(y +l)2=4D.(x-l)2+(y+l)2=4【解析】圆(x+i y+(y-l)2=2的圆心坐标为(T i),半径为0,过圆心(-1,1)与直线x-y-4 =0 垂直的直线方程为x+y =O,所求圆的圆心在此直线上，又圆心(-U)到直线上_ 丫_ 4 =0的距离为=3忘，则所求圆的半径为 正，设所

32、求圆的圆心为(“)，且圆心在直线x+y =O 的上,所以,一 氏4|=夜,且。+6=0,解得a=l,b=-l(=，=-3不符合题意，舍 去),故所求圆的方程为(x-l)2+(y +l)2=2.故选：C.变式2：已知点M 为直线x +y-3=0 上的动点，过 点 引 圆/+/=1的两条切线，切点分别为A,8,则点户0-1)到直线A B的距离的最大值为【解析】设加(知 九)，过点引圆一+丁=1的两条切线，切点分别为48,则切点在以O 例为直径的圆上，圆心(今,与)，半径,.=/片；3,贝烟的方程是 卜 母整理为：x2+y2-xox-yoy=O,又点A,B在圆/+9 印 上，两圆相减得到x 0 x+

33、%y =l ,即直线AB 的方程是 x 0),若圆 c 上存在点 M,使 ZAA仍=90。,则圆C 的半径K的 范 围 是()A.3/?5 B.3/?4 C.4?5 D.2 4 R 4 4 0【解析】设 Mix。,%),则 M4=(1 不，一%),MB=(1 x0,y0),I3ZAMB=9O,B P MA MB=G,0 2+%2=1,即在以原点为圆心，半径为1 的圆上，而圆C 的圆心为(0,4),半径为R,团圆C上 存 在 点 即 圆 C 与k+靖 印 有交点，l?l|/?-l|OCj/?+l,|/?-l|4+(y+4)2=4与 圆%:犬+丫 2=9,则两圆的位置关系为()A.内 切 B.外

34、切 C.相 交 D.外离【解析】因为圆M:(x-3)2+(y+4)2=4的圆心为M(3 T),半径为4=2；圆N:V +y2=9的圆心为N(0,0),半径为4=3,因此圆心距为|AW|=J9+16=5=4+4,所以两圆外切.故选：B.2、设 r 0,则两圆(x-iy+(y +3)2=，与/+/=1 6 的位置关系不可能是()A.相切 B.相交 C.内切和内含 D.外切和外离【解析】圆V +y2=16的圆心为(0,0),半径为4；圆(XT)?+(y+3=产的圆心为(L-3),半径为，.两圆心之间的距离为/T沔=又因为河 2=1与圆O2:（x-3）2+（y +l 1=/（尸0）外切，贝！1厂=.【

35、解析】因为 Q（T,2）,02（3,-1）,圆 q：（x+l），（y-2）2=l 的半径为 1,圆 O?:（x 3）2+（1丫 =/（/0）的半径为，所以|0。21 =J（-1-3。+（2+l f =5 ,因为两圆外切所以l +r =5,得 r =4.故答案为：44、两 圆/+丁=9与*2+/+8*_ 6），+2 5-r=03 0）相交，贝 卜 的 取 值 范 围 是.【解析】圆偏+1=9的圆心为（0,0）,半 径 为3,圆/+9+8*-6,，+25-产=。（厂0）的圆心为（_4,3）,半径为 r.因为两圆 一+丁=9 与 x 2+y 2+8 x-6 y +25-，=（）（r 0 相 交，所以

36、|一3|丁3?+（T，r+3,解得2 r 2=5外切于点P（l,-2）,则必有M,P,O三点共线且|O M|=3后，b-Q-2-0即（二 一 1-0 ,解得：a2+b2=4 5当。=一3,6 =6时，圆M与圆产+丁=5相内切，不合题意；当 =3,b=T 5时，圆“与圆/+2=5相外切，符合题意；故选：C.6、已知两圆相交于两点A（a,3）,3（-l,l）,若两圆圆心都在直线x+y +8 =0上，贝!|a+b的值是4 =3 a=38 =-6 或 历=6 ；【解析】由小。,3），以一1,1）,设A 8的中点为M（?攻2），根据题意，可得二+2+6=0,且心3=1,解得，a=l ,b=-2,故 a+

37、/?=1.故答案为：-1.7、已知圆。的方程为。-3）2 +丁=1,若丁轴上存在一点A,使得以A为圆心、半径为3的圆与圆。有公共点，则A的纵坐标可以是A.1 B.-3 C.5 D.-7【解析】设4。，为），两圆的圆心距4=后予，因为以A为圆心、半径为3的圆与圆C有公共点，所以3-1 d 3+1 =2 病等 4,解得%2一4+4丫-12=0的公共弦所在直线的方程为（）A.x-y+2=0 B.x-y-2 =0C.x+y+2=0 D.x+y-2=0【解析】圆V +y2=4的圆心为A（o,o）,半径为r=2,圆 Y+y2-4x+4），-12=0 的标准方程为（x 2）2 +（y+2）2 =20,圆心为

38、 8（2,-2）,半径为 R=26，因为|48|=122+（-2=2近,贝！j|R _ rg A B|R +r,所以，圆x?+y2=4与圆/+_/4x+4.y-12=0相交，将两圆方程作差得4 x-4y+8=0,即x-y +2=0.因此，两圆的相交弦所在直线的方程为x-y +2=o.故选：A.9、已知圆G：x2+y2_0 x-10y=0和圆C2：x2+y2-6x+2y-40=0,贝！|（）A.公共弦长为3 M B.公共弦长为4 MC.公切线长3屈 D.公切线长【解析】因为圆C1的圆心为（5,5）,半径4=5 0；对圆G，其圆心为（3,1）,半径弓=5 0,圆心距|c c|=2 ji6 ,又4一

39、与2，15 +2=0 ,其圆心为M,则圆/+4%-2y -4 =0 ,其圆心为N,则 N(-2,l),垂直平分两圆的公共弦的直线为两圆的连心线，则直线MN的方程为)，+3=寺-1),变形可得4 x +3y +5 =0 ；故选:B.11、两圆炉+y 2-4 x+2y +1 =0 与(x +2)2+(y -2)2=9 的公切线有 条.【解析】圆/+丁-叙+2丫 +1 =0 整理可得：a-2)2+(y +l)2=4,可得圆心G的坐标为：(2，T),半径4 =2；。+2)2+(丫-2)2=9的圆心。2坐标(-2,2),半径弓=3；所以圆心距 I C 1=&2+2)2+(2+1 =5 =4+4,所以可得

40、两个圆外切，所以公切线有3 条，故答案为：3.12、已知圆G：x 2+(y +m)2=2与圆G：(x-?+y 2=8 恰有两条公切线，则实数m的取值范围是()A.1 /?3B.-1 /?1D,3 机 -1 或 1“3【解析】由题可得圆G的圆心为(0,一加)，半径为 正，圆G 的圆心为(办0),半径为2啦,两圆恰有两条公切线，两圆相交，二&|G|/2 /2|/n|3叵,解得一 3 m -1 或 1 加 /;+弓二d(G,C2)=|CG|-4-4=正故答案为：丘题组B能力提升练14、圆。：*2+必=1 与圆。2：X2+/+A(4X+3J)-1 =0 (kM,k*0)的位置关系为()A.相交 B.相

41、离 C.相切 D.无法确定【解析】圆 C/:3+/=1 的圆心G(O,O),半径=1,圆 C 2：x2+y2+k(4 x+3 y)-l=0 的圆心 C-2 k,-|k),半径 K=J1+?/,二|C C|=柄+%2=柠 卜?,而Jl+牙-1 柠 公两圆相交.故选：A.15、已知圆。：x2+/=l ,圆N：(x-a +2 y+(y-a)2=l.若 圆 N 上存在点。，过点。作圆。的两条切线.切点为A,B,使得Z4QB=60,则实数 的取值范围是【解析】已知有|。=2,即点。的轨迹方程为圆T：x2+y2=4,问题转化为圆N 和圆T有公共点，贝 打 0)上存在点尸，且点尸关于直线y=x 的对称点。在

42、圆C2:(X-1)2+(J-3)2=1,则 r 的取值范围是()A.A/5-1,7 5 +1 B.(75-1,75C.-D.(1,1【解析】点 P(X,y)关于k X 对称点为0,X),国圆G：(xl)2+V =r2(r 0)的圆心为(1,0),半径为r,其关于y=x 的对称圆G方程为：x2+(y-l)2=r2,根据题意，圆G与圆C?有交点.又圆G与圆G 的圆心距4=J(l_ oy+(3 _ 1)2=逐,要满足题意，只需|一1|4石 4r+l,解得：r e 7 5-1,7 5 +1 .故选：A.17、过圆M:(x-l)2+y 2=4 内一点A(2,l)作一弦交圆于8、C两点，过点8、C分别作圆

43、的切线尸8、PC,两切线交于点尸，则点尸的轨迹方程为()A.y-5=0 B.x+y+5 =0C.x+y-5 =0 D.x-y-5 =0【解析】设小点坐标为(七,%),根据圆的直径式方程知，以MP为直径的圆的方程为(x-l)(x-x0)+y(y-%)=0,两圆方程作差可得公共弦B C的方程为(M -l)x+-3 =0 ,而 4(2,1)在直线 3 c 上，.X o+yo-S uO,故点P的 轨 迹 方 程 为 7-5 =0,故选：C.18、已知圆M：(乂-4+-与？=3(a,Z?eR)与圆O：x +y?：相交于人，B两 点,且|蜴=6,则下列错误的结论是()A.祝晨就是定值 B.四边形Q 4 M

44、 8 的面积是定值C.。+的最小值为D.的最大值为2【解析】因为圆M 的半径为 百，而|的=6,所以AHAB是正三角形，M 4-M B =A x x c o s y =|,为定值，A正确；|A B|=e,圆。半径为r=l,所以。到弦AB的距离为4=卜-住 =g,又 到 AB的距离为V3x =|.所以|OM|=；+；=2,而 W A B,是 AB的垂直平分线，SO AM B=OMAB=X2X =3,B 正确；由上得/+/=4,-=2,-2 2 a+bl2，当 a =6 =-2 时，a+b=-2 yfl,最小值是-2&,C 错；a h 1 =0上任意一点尸分别作圆G，c 2的切线，切点分别为M,N

45、,且均保持|P M|=|P N|,0|PC,|2-I=|PC2|2-I,即 O-l)2+(m-l+3)2_ l=(7 M-a)2+(m-l-1)2 l,即(4+2a +2 b)m+5-a2-(1 +/)2=0 ,E 1 4+2a +2/?=0 且 5-/-(+力2=o,卜=-2,/。=1,叱n或L a=0 h=-3,团 圆 :(x-l)2+0+3)2=1 与圆 C 2:(x-a)2+(y-)2=1 外离,!3 j(a-l)2+S +3)2 2,回“=-2,6 =0,团。+Z?=-2,故 选:A.20、已知点尸在直线x+y =4上，过点尸作圆O:Y +y 2=4的两条切线，切点分别为A,B,则点

46、M(3,2)到直线A 5距离的最大值为()A.V 2 B.V 3 C.2 D.7 5【解析】设尸(。,勿，则a +6 =4,以。尸为直径的圆的方程是(x-q l+jy-q iLu+B，与圆。的方程f+y 2=4相减，得直线A 8的方程为奴+勿=4,即以+刀-4=0,因为a+6=4,所以匕=4-，代入直线A 8 的方程，得 or+(4-a)y-4 =0,即a(x-y)+4)-4 =0,当x=y 且4,-4 =0,即x=l,y=l 时该方程恒成立，所以直线A 8过定点N(l,1),点 M 到直线AB距离的最大值即为点M,N 之间的距离，M N =&所以点M(3,2)到直线4 8 距离的最大值为石.

47、故选:D21、已知M 是圆C:x2+y2=1上一个动点，且直线4：/wx-y-3/+=0与直线4：x+/y-3根-=O(?,eR,/+：!二0)相交于点尸，则 的 取 值 范 围 是()A.|/3-1,2/3+1 B.|夜-1,3 0 +”C.A/2-l,2/2+ll D.夜-1,3 6 +1【解析】依题意，直线4:皿x-3)-(y-l)=0恒过定点A(3,l),直线4：*-1)+皿 -3)=0恒过定点8(1,3),显 然 直 线 因 此，直线人 与 交点尸的轨迹是以线段4 8 为直径的圆，其方程为：(x-2)2+(y-2)2=2,圆心M 2,2),半径个=&,而圆C 的圆心C(0,0),半径

48、4=1,如图:|N C|=204+4,两圆外离，由圆的几何性质得:I PM|而 月 NC|-/;一 4=夜一1,PM m NC|+/;+与=3尤+1,所以|加|的取值范围是：I&-1,3夜+1.故选：B22、已知EF是圆C:x2+y2-2x-4y+3=0 的一条弦，且 CELCF,/,是 E尸的中点，当 弦 在 圆 C上运动时，直线，：x-y-3 =0上存在两点A,B,使得NAPBzg恒成立，则线段A 8长度的最小值是()A.3&+1 B.472+2 C.4舟 1 D.4 G+2【解析】由题可知：G)C:(x-l)2+(y-2)2=2,圆心C(l,2),半径r=&,又C E L C F,P是 收 的 中点，所以C P =E F =1,所以点尸的轨迹方程(x-l)2+(y-2)2=l,圆心为点C(l,2),半径为R =l,7T若直线/：x-y-3 =0上存在两点A,B,使 得 乙 恒 成 立,则以A B为直径的圆要包括圆(x-1)?+()，-2尸=1,点41,2)到直线/的距离为=1-2-3|7 i2+（-i）2=2 0所以A8长度的最小值为2(1)=4血+2,故选：B.