2021年数学高考真题卷--天津卷（含答案解析）.pdf

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1、2021年普通高等学校招生全国统一考试 天津卷数 学本试卷分为第I 卷(选择题)和第H卷(非选择题)两部分，共 150分，考试用时120分钟.第I卷本卷共9 小题,每小题5 分，共 45分.参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B).如果事件A.B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B).球的体积公式V=R3,其中R 表示球的半径.圆锥的体积公式v=gsh,其中S表示圆锥的底面面积,h 表示圆锥的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设集合 A=-1,0,1,B=1,3,5,C=0,2,4，则(ACB)U C=(A)0(B)O,1,

2、3,5)(C)0,l,2,4(D)0,2,3,4(2)己知2G凡 贝%6”是“。236”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(4)从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据,将所得400个评分数据分为8组:66,70),70,74),94,98,并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间82,86)内的影视作品数量是(C)64(D)80(5)设 a=log20.3/=log0.4,c=0.43,贝！|a,h,c 的大小关系为(A)abc(B)cab(C)hca(D)ac 0 力0)的右焦点与抛物线产=2内(00)的焦点重合，抛物线的

3、准线交双曲线于A,B两Q b点,交双曲线的渐近线于C Q 两点.若|8|=夜|43|,则双曲线的离心率为(A)V2(B)V3(C)2(D)3(9)设 a6 R,函数火x)=COS(2H%2TIQ),%a.若人x)在区间(0,+8)内恰有6 个零点，则a的取值范围是(A)(2,汕(|,号(B)C，2)U (济(C)(2,汕6,3)(D)C,2)呜3)第II卷本卷共II小题，共 1 0 5 分.二、填空题:本大题共6 小题,每小题5 分，共 3 0 分.试题中包含两个空的，答 对 1 个的给3 分,全部答对的给5分.(1 0)i 是虚数单位，复数等=.(1 1)在(2 2 +6 的展开式中V 的系

4、数是.(1 2)若斜率为遍的直线与y 轴交于点A,与圆x2+0-l)2=l 相切于点B,则|A B|=.(1 3)若”0 力 0,则工+人的最小值为a b(1 4)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局.已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为寻哈且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响,则一次活动中，甲 获 胜 的 概 率 为;3 次活动中，甲至少获胜2 次的概率为.(15)在边长为1的等边三角形A 8 C 中，。为线段B C 上的动点,。且交A 8 于点E Q/A B且交A C 于点F,则|2 而+而|的值为-,(DE+而

5、).元?的最小值为.三、解答题:本大题共5 小题，共 7 5分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(16)(本小题满分14 分)在4 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 已知 sin A.sin B.sin C=2：/2,b=y/2.(I )求 a的值；(H)求 c o s C 的值；(H I)求 sin(2 C)的值.o(17)(本小题满分15分)如图，在棱长为2的正方体中,E 为棱8C 的中点,F为 棱 的 中 点.(I )求证:GF平面4 E G;(I I)求直线A G与平面A|E G 所成角的正弦值;(1H)求二面角4-4 G-E 的正弦值.(18)(本小题满分15分)己

6、知椭圆马+1=1(0)的右焦点为A 上顶点为B 滴 心 率 为 溶 且|防=遮(I )求椭圆的方程；(I I)直线/与椭圆有唯一的公共点M,与 y 轴的正半轴交于点N.过N 与8 尸垂直的直线交x 轴于点P.若求直线/的方程.(19)(本小题满分15分)已知 为 是公差为2的等差数列，其前8 项和为6 4,为 是公比大于0 的等比数列，仇=4 力 3 2=4 8.(I )求%和 也 的通项公式.(H )i己 Q=6 2+4，e N*.证明 c*c 2,J 是等比数列；)证建唐0,函数/(x Ao x-x F.(1 )求曲线/式x)在点(0次0)处的切线方程；(I I)证明,/U)存在唯一的极值

7、点；(I I I)若存在“，使得加)回+对 任 意 R成立,求实数b的取值范围.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15C A B D D B C A A 4-i 16 0 V 3 2 7 2 1 Hl.C【考查目标】本题主要考查集合的交、并运算，考查的学科素养是理性思维.【解析】因为 A=-l,0,l,B=l,3,5,所以An8=l,又 C=0,2,4 ,所以(AnB)U C=0,l,2,4 ,故选C.2.A【考查目标】本题主要考查不等式的性质、一元二次不等式的解法及充要条件的判断，考查的学科素养是理性思维.【解析】通解 若 6,则由不等式的性质得3 6,即”6

8、 层3 6；若2 3 6,则a6,即层3 6=口。6.所以7 6”是“层3 6”的充分不必要条件，故选A.秒解 令 4=3。6 ,8=3。2 3 6 =3 06 ,因为A U B 且 A 知,所以“心 6”是“标3 6”的充分不必要条件，故选A.【方法总结】一般地，由“范围小的”能推出“范围大的”，但不能由“范围大的”推出“范围小的”.3.B【考查目标】本题主要考查根据函数解析式确定函数图象,考查的学科素养是理性思维和数学探索.【解析】设 色)=黑，则危)的定义域为 小 和 .因为/(彳叫=粤=心),所以函数作)是偶函数,其图象关于y轴对称，故排除选项A,C.当0 x l时,1中|=皿工 0,

9、所 以 段)=黑 0,故排除选项D,故选B.4 .D【考查目标】本题主要考查频率分布直方图的相关性质，考查的学科素养是理性思维和数学应用.【解析】由频率分布直方图可知评分在区间 8 2,8 6)内的影视作品的频率为0.0 5 x 4=0.2,又共有4 0 0部影视作品，所以评分在区间 8 2,8 6)内的影视作品的数量为4 0 0 x 0.2=8 0,故选D.5 .D【考查目标】本题主要考查利用指数函数和对数函数的性质比较大小，考查的学科素养是理性思维.【解析】因为 a=k)g2 0.3 l o g*=l,0 c=0.4 3：0.4=l,所以 a c 0)的焦点物线的准线方程为x=-c，所 以

10、 因 为 双 曲 线 的 渐 近 线 方a a所以 C(-c,-),D(-c,-),r以 I ABI =空,|8|=生，又|C Z)|=&|A8|,所以a a a a=或仇所以/=2序=2(寸/2),即/=2 4 2 0时次x)=0恰有6 个根 若/2(Q+l)x+M+5=0(%a)无实根-cos(2Tr%2iia)=0(0 x a)有两个相等实根或一个实根-cos(2n%27ia)=0(0V%求出a 的范围若/2(Q 4-l)x+小+5=0(%a)有两个不等实根TCO S(2TTX2ira)=0(0 x 0时次x)=0恰有6 个根.当史。时，方程F2(+l)x+a2+5=0最多有两个不等实根

11、，所以 0.函数y=x2-2(tz+1 )x+a2+5图象的对称轴为直线x=a+l,a+l.令 f=2nx-2兀 a(0 xa),贝 1 -2兀 70,贝！当 0 xa 时,cos(2心-2兀 a)=0 可转化为当-2兀 7a时，方程-2(a+1 )x+a2+5=0无实根，则当0 xa时,COS(2TU-2兀 a)=0有 6 个根，即当-2兀 4，0时,cos(A=4(a+l)2-4(a2 4-5)0仁0 有 6 个根，所 以 13nl Q/lln，无解;若当时,方程/2(+l)无+/+5=0 有两个相等实根I-2ira -1 2 2或一个实根，则当ox6?时,COS(2TLX-2兀Q)=0有

12、 5 个根，即 当 2兀 70 Bl,cos r=0有 5 个根，所以Z=4(a+1)2 4(Q2+5)=0lln /o/以-2 n a 0或|a2-2(a+l)a+a2+5 a 时，方程lln ,r J 9n 2 4-4 2TTQ V-I 2 22(。+1)工+。2+5=0有两个不等实根，贝!J当 0尤 0根，所以I 2-2(a+l)a+a2+5 0，解得 2。理9n-c-7n 4 -2TTQ =岳+4 根据直线与圆相切推出圆心到直线的距离等于半径，求出匠 1|,再利用勾股定理可得出结果.【解析】设直线AB的方程为产年+4 圆/+佻 1)2=1 的圆心为C,半径为r,则 C(O,l),r=l

13、.由直线A B 与圆相切，可知圆心C(O,1)到直线A B的距离d寸 即 照=1,所以5 1 1=2.连接BC,在R t A A B C中,|47|=|人1 1=2,|B C|=1,所以|A B|=y/AC2-BC2=y/22-l2=V3.1 3.2 夜【考查目标】必备知识:本题主要考查利用均值不等式求最值问题.关键能力:通过对式子进行适当变形，运用均值不等式求解,考查逻辑思维能力和运算求解能力.学科素养:通过对均值不等式的灵活运用考查了理性思维学科素养.【解析】解法一(均值不等式，先消去”,再消去与工+白+应2 降+片+佗 2 鱼，当 且 仅 当 收 书 即ayj a b I-=h=匕=或时

14、取等号，所以：+卷+/,的最小值为2 企.解法二(均值不等式，先消去，再消去a)鸿+归+/+弃 资+3*，1 W+3 米,当且仅当台制取等号令 七 里，则 0，。=4P 2+3 小=奈+3、令/W=*+3 B 0),贝 U/(f)=3 x 票，当 当时/(r)(V(。单调递增;当0 f 4时/0 期单调递减.所以当=当时而)m i n=2 近，即 的 最 小 值 为 2 迎.解法三(均值不等式，拆 项)鸿+斤(鸿)+(/沁/2 器=虫(月/巨鱼x 2 J U=2 近，当且仅当zl ba=2a b，屹=5 ，即=立 时 取 等 号,所 以 一 的 最 小 值 为 2 72.a【易错警示】同学们对

15、式子进行灵活变形的能力不强，不能熟练运用均值不等式，或连续多次运用均值不等式时忽略等号成立的条件.1 4.|【考查目标】必备知识:本题主要考查相互独立事件的概率、二项分布.关键能力:通过对数据收集、整理、分析并选择相应概率模型进行求解考查数学建模能力和运算求解能力.学科素养:数学应用.【解析】记一次活动中，甲获胜为事件A,则 P(A)=；x(l 4)W.记3 次活动中，甲至少获胜2 次为事件B,6 5 3解法一(直接法)则 x(i)2x|+C f x(l)3x(2).O O O J 4 /解法二(间接 法)则 尸(8)=1-(|)3一 禺 X:X(|)2=1 5.1|【考查目标】必备知识:本题

16、主要考查平面向量的数量积运算和坐标运算.关键能力:运算求解能力、逻辑思维能力和数学建模能力.学科素养:理性思维和数学探索.【解析】如图，过 尸作尸G L 4 B,交 A B 于点G,易证得成。也八4 6 四边形匹汽；是矩形,所以而=褊,而=前厕(J2 前+而 痂+面+而 湎，所以|2 而+丽=丽=.Zy X 连 接 O G,由题意知，屁+而=诧，则(反+而)=丽.市./解法一(基底法)设|丽|=2 r(0 .一，.一T.,.T 1 1*.一，.,.，,-DG=DB+BG=DB+(-t)BA,DA=DB+BA,lDG-DA=DB+(1-t)BA-(DB+BA)=DB2+(2-t)BADB+(l-

17、/)瓦?2=4 尸+(2-f)x l x 2 f x(-3+(l Y)x l 2=5 尸 一 3什1=5(尚尸+弟所以当f 高 时 由 向 取 得 最 小 值 弟 即(屁+而)向 的最小值为奈解法二(坐 标 法)以 B为坐标原点,B C 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设|8。|=2 0 /|G F,所以平面 A i E G平面 DGF,又 QFu 平面G G F,所以。尸平面AxEC.(薄接BD,以A为坐标原点，以AB,ADAA所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,A(0,0,0),G(2,2,2)4 1(0,0,2),E(2,0),3(2,0,0),。(0,2,

18、0),宿=(2,2,2),砧=(2,1 ,-2),砧=(2,2,0),丽=(-2,2,0),设平面4EG的法向量为=(x,)，则露 即郎+2 y=0。令z=L则 户2k2,所以”=(2,-2,1)为平面A i E C i的一个法向量.设直线AG与平面A i E G所成的角为火则.,c .ACiTl.2 V 3s,n=|cos|=|j=|=v,所以直线A G 与平面A1EG所成角的正弦值为日.(M)因为 ABCD-AByCyD 是正方体，所以 BOJ_AC,BO_LAA|,又 ACClAA=4 4 0 1 4 仁平面 ACCH,所以 B D L平面A C G 4,又平面ACCA和平面AAiG是同

19、一平面,所以前是平面A 4 G 的一个法向量，设二面角A-ACi-E的平面角为。，则1cs即 丽 广 时=可，所以 sin 0=V1-cos20=J l (等)2=，所以二面角A-A C-E的正弦值为【方法总结】(1)运用空间向量法求空间角的一般步骤建立恰当的空间直角坐标系;准确求出相关点的坐标;写出向量的坐标;建砧合公式进行计算;鳏出空间角的正弦值、余弦值等.求空间角时需要注意:包旃条异面直线所成的角a 不一定是两条直线的方向向量的夹角夕，满足cos a=|cos|;两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，两者有可能互补;直线和平面所成的角的正弦值等于平面的法向量与直线的方向向量夹角的余弦

20、值的绝对值.18.【考查目标】必备知识:本题主要考查椭圆的方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系等知识.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.【解题思路】(/)根据椭圆的几何性质、离心率公式和勾股定理得出结果;()根据必 8 种，8/分别 求 出 直 线 的 斜 率，进而求出对应的直线方程，再把直线/与椭圆方程联立，得到关于x 的一元二次方程，利用直线/与椭圆相切，点 M 在 直 线 上，得到，火的关系式，进而求得直线/的方程.解：(/)由题意可知e=a =(a=V5J 田 内=旧 诵=花，解 得=1，L2-h2=c2 c=22所以椭圆的标准方程为言+产=1.()由

21、题意，设直线/的方程为则N(0,m).因为 MPBF,8(0,l)尸(2,0),所以 kMP=kBF=,又 NP_LBF,所以 N P=-；=2,故直线N P的方程为y=2x+m,则 P(-y,0),从而直线M P的方程为y=*x+).联立直线/与椭圆的方程，得 枚+好=1.ly=fcx+m消去 y,得(5炉+1 )f +10的优+5(J%2-1)=0,因为直线/与椭圆相切于点M,所以/=(1。6)220(5炉+1)(加2-1)=0,化简得/=5 3+1,此时XM=-5km5k2+i5km_ 5k,I,5k.m2-Sk2 1加=+，=龄 全又点M在直线MP上，所以加=*血+),即、，噂+),化

22、简得加=10七4,由(D&?0用得 k=1 ,/n=V6,所以直线/的方程为y=x+后.19.【考查目标】必备知识:本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式、等比数列的定义及数列求和问题.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力和创新能力.学科素养:理性思维和数学探索.【解题思路】(/)由等差数列 斯 的公差为2,前8项和为64,求出首项,从而得其通项公式;由等比数列出“的首项力=4,且历-岳=48及公比大于0,求出公比，从而得其通项公式.()求出品,进而得哈C 2”,根据等比数列的定义证明W,为等比数列;(ii)对/空皿化简变形并放缩，得隹皿令r,尸亲GN*),利用错位yj cnc2n y cn

23、c2n 2 乙n n r-n相减法求出办然后根据 竽 迎 0),因为仇=4/362=48,所以4产4夕=48,又 少0,所以占4,所以b”=biq，=4.()(i)因为 CW=Z?2/+-=42H+,g 4n所以总C 2n=俨+*R d4 琮）=2X4,所以负詈3=竽”=4(常数)，所以 琮9“是等比数列.cn-c2n 2X4lanan+i_ l（2n-l）（2n+l）_|4n2-lJ cnc2n2x4n2x4n4九2二271;彼工几2x4nf2x2n 2n，fln 1 2 3 Tl令G=则 0 =5+57+5+元,Z k=i，NLL,，1n 12 3 n所以2 k W=7+1 +7 +布，1

24、 n 111 1 n 9 l(5)n两式相减，得2 4=/丞+7+齐-布=-1-2所b t以 1rl 立=2-九-五+一 2，k=l Nn2n+111 n犷 2n+1n所 以 akak+lfc=l%C2kX(V2x )=V 2 tk =27-(；：2)2企,t=l k=l 乙即 Ek=l以0女+1ckC2kg，(x)=e*(x+2)g(x)的单 调 性“/(x)=0 有且只有一个实根,设实根为刈一戒X)在 X0两侧的单调性TX=为是函数式X)的极大值点，且为函数逃X)唯一的极值点(刃存在“6(0,+h(x)mM-h x)=/(x)/?(x)max=/?(xo)=a(xo-1 )-x 一 1a)

25、max=(X0)=e*。(欧/0-1)(尢 01)一令(1)=或/*1)(元.)一的单调性一(沏)的最小值一实数h 的取值范围解:(/)因为兀0=-疣:所以0)二 0/(x)=a-e所以八0)=。-1,则曲线y寸:)在点(00)处的切线方程为y0=(a-l)(x-0),即y=Ql)x.(/I)f(x)=a-ex-xex=a-ex(x-1),令 g(x)=瞋x+1),则 g3=e(x+2),令 g(x)=0,得 =-2,当 x-2 时,g 3-2 时,g3 0,所以函数g(x)在(-8,-2)上单调递减，在(2+oo)上单调递增.因为当 x=-i 时,gQ)=0,当 x-l 时,g(x)-l 时

26、,g(x)0,当 X+8时,g(x)+8,且 a0,所以方程人工)二4七，-心*=-或工+1)=0有且只有个实根，设实根为沏,则Xo-1,当冗(v w 单调递增，当x顺时/a)o於)单调递减，所以尸即是函数/w 的极大值点，且为函数yw 唯一的极值点.(由题意得，存在。(0,+8),使得“)%+匕对任意X 0R 成立，即存在。(0,+8),使得4X.疣&+6对任意x R 成立,即存在。仁(0,+8),使得 厄。-1)-北 对 任 意 x R 成立.令 。)=。-1)姆，则存在。(0,+8),使得 bh(x)maK.h(x)=e*(x+1),显然力。)=f(x),结合(河知也在(8/)上单调递增

27、，在(孙+8)上单调递减，所以当 x=xo 时力。)取得最大值/(x)max=(xo)=a(xo-1 )-Xoe。.因为 xo-l 且(枇)二。-眇。0+1)=0,所以 tz=ex(x()+l),所以(幻m ax=(xo)=e%。(沏 +l)(xo-l)-xoex=ex Xo-xo-1 )(xo 1),即存在。(0,+8),使得厄力(xo)=e”。(诏%ol)成立.令(劝二丫(1),则 u x)=eA(x2+x-2)=eA(x+2)(x-1),所以当时”(x)l 时所以函数“(X)在(/1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，当x=l时,取得最小值,a)min=(l)=-e,即力(沏)的最小值为-e.所以fe-e,即实数b的取值范围为-e,+oo).【方法总结】设函数y可UM e M 函数产g(xM仁N.(1)若VX M NX2 NJ(X1)途(刈)恒成立，则 於)ming(X)m ax；(2)若 M J 使得应 )及。2)成立，则,/U)min总(x)min；(3)若 三 X SM V&GN,使得加 1)沟(X 2)成立，则 yWmax沟(X)m ax；(4)若m Xi e X2 e N,使得/(Xi)力(无 2)成立，则 TWmax遂(X)m in.