2022届福建省南平高三第三次质量检测（南平市三模）数学试题（解析版）.pdf

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1、2022届福建省南平一中高三第三次质量检测（南平市三模）数学试题一、单选题1.已知复数z =2+，则复数z 的虚部为（）2+111 8 12A.B.-C.-D.5 5 5 5【答案】A【分析】先由复数的运算求出z,再求出虚部即可.c 1 2-i c 2-i 12 1 .1 详解J z =2 H-=2+-=2H-1 故虚部为 斤腑/2+i （2+i）（2-i）5 5 5 叫 前 5-故选：A.2.设集合A =x|-14 x 4 3 ,集合8 =小 浏 ,若 止 8,则4 的取值范围为（）A.a 3 B.-a-D.a 0,闸 的任意两条对称轴间的最小距离为微，函数g(x)=x)+g r(x)的图象

2、关于原点对称，则()A.函数 x)在(右兀)单调递减B.V x,x,eR,|/(x,)-(x2)|l+C.把 g(x)的图象向右平移个 单 位 即 可 得 到 的 图 象OD.若/(X)在0M)上有且仅有一个极值点，则。的取值范围为(即,?k o .【答案】BD【分析】由题意先解出。，再根据三角函数性质对选项逐一判断【详解】由题意得f(x)的周期为T=x 2 =7 t,故0=2,g(x)=sin(2x+e)+cos(2x+9)=0 5 皿(2*+9+弓)，又g(x)的图象关于原点对称，g(x)为奇函数，而 倒 ，可得9 =-：,即/(x)=sin(2x-5),g(x)=0 s in 2 x,对

3、于A,当时，2 x-：e 咛苧，结合正弦函数性质知”X）在不单调，故 A 错误，对于 B,VX,X2 R,|/（X）-（X2）|1+/2,故 B 正确对于C,g（x）的图象向右平移青个单位得函数片必布（2大-故 C 错误，对 于 D,当x e （）,a）时，2 x-e，若/（x）在。上有且仅有一个极值点,兀 _ 九，3兀 A n 3 3兀/7万 .w则,2。一 4 4 万，解得彳。可，故 D 正确故选；BDI I.已知双曲线C 的 方 程 为 -营=1（。0,匕 0）,尸 I，鸟分别为双曲线C 的左、右焦点，过鸟且与x 轴垂直的直线交双曲线C 于 M,N 两点，又眼N|=8 a,则（）A.双曲

4、线C 的渐近线方程为卜=2B.双曲线C 的顶点到两渐近线距离的积的5 倍等于焦点到渐近线距离的平方C.双曲线C 的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列D.双曲线C 上存在点P,满足仍用=3|尸图【答案】AB【分析】先由|MN|=8a求得b=2 a,即可求出渐近线判断A 选项，由点到直线的距离公式即可判断B 选项，由实轴长、虚轴长、焦距结合等比中项即可判断C 选项，由双曲线定义结合炉闾的范围即可判断D 选项.r【详解】易知双曲线C 的 方 程 为 讶2-v方2=1,令=。得丫=A52,故|MN|=?7/-j2=8a,解得6=为，双曲线C 的渐近线方程为y=2 x，即y=2 x,故 A 正确；a双曲线C

5、 的渐近线方程为y=2 x,由双曲线的对称性，不妨取右顶点（4,0）,右焦点（c,0）,则 顶 点 到 两 渐 近 线 距 离 的 积 为 华 雪=苧，VI+4 VI+4 5焦点到渐近线距离的平方为（贸）=亨，又8=2a,c2=a2+b2=5a2,故4c2 4/_ 口 T 流-=-x 5,B _ 正 ；5 5（时=（甸 2=160,2a 2c=4屈 2,显然（2。），2a 2c,C 错误；若|P周=3|P闾,又由双曲线定义|P耳|一 忸 闯=2|P闾=勿,解 得PF2=a +%4=0,即 邑4=0,以此类推，可得第圈的8 个点对应的这8”项的和为0,即-S 4/+4,?一 ,2设。皿在第左圈，

6、贝U 8+1 6 +诙=驾处=4%(4 +1)，由此可知前2 2圈共有2 0 2 4个数，故 52024=0，则 S2022=S 2024 一 (a 2 0 2 4+%)2 3)，“20”所在点的坐标为(2 2,2 2),贝 lj%H 4=2 2 +2 2 =4 4 ,陶)2 3所在点的坐标为(2 1,2 2),贝i j a*=2 1 +2 2 =4 3 ,旬”所在点的坐标为(2 0,2 2),则 限2 =2 0+2 2 =42,故A正确；52022=5,2024-(C!2024+)2 3)=0-(44+43)=-8 7-故 B 正确；“8所在点的坐标为(1,1),则4=1 +1 =2,与 所

7、在点的坐标为(一2,-2),贝IJal6=-2-2=-4,故 C 错误；%+5“=%+5”%用,对应点的坐标为(+1,)，(H +1,7 2 1),f 所以5=(+l +)+(+l +-l)H-P(+l +l)=(2+l)+2+(+2)=(2+1 +2)=3仆 +1),故 口 正确2 2故选：A B D【点睛】关键点点睛：观察图形，利用对称性求解问题，对D选项，考虑已知的前项和与所求的关系，结合图形，可适当先列举找到规律，再求解.三、填空题1 3 .计算：l o g 2 S i n?=.【答案】-0.5【分析】直接由特殊角的三角函数和对数运算求解即可.【详解】l og2 s i n=l og2

8、=l og,2 =-1.故答案为：一 万.1 4.已知尸(血)为圆C：(x l Y+(y炉=1上任意一点，则 得 的 最 大 值 为【答案】g3【分析】将 篇 转 化 为 点 （，）和（T，l）连线的斜率，由图像可知当直线与圆相切时取得最大值,由d=r 解出斜率即可.当例p 与圆相切时，yn 取得最大值，加+i设止匕时MP:y-1=A（x+1）,即依一+%+1 =0,又圆心（1,1）,半径为1,故-*+1=1,/匕+1解 得&=且，3故土二的最大值为由.加+1 3故答案为：B.31 5.已知函数/（犬）=广+9 6-*+/-4 x-2 有零点，则实数。=.【答案】2-ln3【分析】先由基本不等

9、式求得产+9产，2 6,再由二次函数求得V-4 x-2 2-6,要使函数有零点，必须同时取等，即x=2,解方程即可.e9 I a-Q【详解】由广 0 可得+9 e-=e 1+2N 2 Je J 2=6,当且仅当e 3 二=二 时ex-fl V e e取等，XX2-4X-2 =（X-2）2-6 -6,当且仅当x=2时取等，Q故 司=产 +9 0 1+*2-4 工-22 6+（）=0,当且仅当心 吗 三，*=2时取等.要使函数有零点，则e且x=2,化简得e =3,解得a=2-ln3.e故答案为：2-In3.1 6.四面体4 3 8 中，A B Y B C,C D V B C,B C =4,且异面直

10、线AB与CD所成的角为60.若四面体A B C D的外接球半径为非,则四面体A B C D的体积的最大值为【答案】73【分析】构建直三棱柱A BE-FCD，找出球心及底面外心，结合正弦定理求得A E,由Xie=匕=%.表示出体积，再结合余弦定理及基本不等式求出最大值.由A B L8C,CDA.BC,B C =4,且异面直线AB与CQ所成的角为60。构建直三棱柱ABE-F C D,由 BE|CO 得 N ABE=6 0，易得四面体的外接球即为直三棱柱的外接球，取的外心”,G,易得用的中点。即为球心，又OB=6GO=；HG=2,则BG=/Z =1,由正弦定理得4 我=2 8 6 堀 1160。=6

11、，又VA-BCD=YA-HDF=VD-ABF=-D E -BA-BE-sin NABE=BA BE,3 2 3又由余弦定理得A E2=BA2+BE2-2BA BE cos。，即3=BA2+BE2-BA-BEN2BA-BE-BA-BE=BA-B E,当且仅当84=3E 时取等，故 的 最 大 值 为 3,四面体ABC。的体枳的最大值为3 x =，3 3故答案为：目.四、解答题1 7.在(。+)(sin A-sin8)=(c-6)sinC；2b-c-2acosC=0；cos?B+cos2 C+sinBsinC=1 +cos2 A这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中,并解答问题.在AABC中，角

12、 A、B、C 所对的边分别是“、氏c,.求角A；(2)若 AC=2,BC=2百，点。在线段A 8上，且ACO与BCD的面积比为3：5,求C D的长.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答内容计分）【答案】（1）A=。；（2）CD=2【分析】（1）若选，由正弦定理，得 加+/一 =反，再由余弦定理即可求出角A；若选，由正弦定理得sinC=2cosAsinC,解得cosA=g,即可求出角A；若选，先由平方关系得sin。B+sin2 C -sin Bsin C=sin2 A，再由正弦定理得从+/-儿=储，再由余弦定理即可求出角A；（2）在 ABC中，由余弦定理求得A 8,由人!。与6CO的面积

13、比求得4。，再在/ACD中由余弦定理求得C D即可.【详解】选，由正弦定理，得（。+）（。）=（。一 9。，即 从+/一=历，故COS A=b+；一 =；,又 Aw（o,）,故 人=；2bc 2 3选，由正弦定理，W 2sinB-sinC-2sin AcosC=0,又 4+。=万一5,故sinC=2sin（/l+C）-2sin Acos C=2cos Asin C,又s in C#0,故cosA=g,又 A e（O,万），故 A=?；选，由 cos2 B+cos2 C+sin 8 sin C=1 +cos2 A 可得2-sin2 B-sin2 C+sin BsinC=2-sin2 A,即 si

14、n2 B+sin2 C-sin BsinC=sin2 A，由正弦定理得/+/_ 儿=/,故c0“=y f又 叱（，故在“W O P，由余弦定理得BC?=AB2+AC2-2 A B-A CCOSA,因为A C =2,BC=2 A =3,所以 12=Afi2+4_2AB，解 得 钻=4 或 AB=-2（舍），又八4 8 与3 8 的面积比为3：5,即4 9:9=3:5,3所以AO=,在 A!。中，由余弦定理得 CD?=A Z/+A C 2-2 A A CCOSA=（|）+22-3 =即如坐1 8.已知数列 4 满足4=1,=(1)求数列 a,J 的通项公式；若 也 满 足 邑=2 -2 4 ,b2

15、1 1T=2 a“-2 2 .设S“为数列也 的前项和，求 S2 0.【答案】(l)a=(2)-2 4 0【分析】(1)利用累乘法即可求解；(2)由(1)代 入 可 得%+%=4”-4 6,利用并项法求和即可求解.a,.n+1【详解】因为6=1,=,4 na.4 a 2 3 n a所以当2 2 时，二 一.=TXTX-X 7,则=，即/=，4 a2 an-12 n-q当”=1 时，也成立，所以4=.（2）由（1）,%=2 a“-2 4 =2-2 4,b2n_,=2an-2 2 =2 -2 2 ,贝 1 4 +4,i =4-4 6,贝 I 52 0=（4+a）+（4+a）+.+（4 9+8o）=

16、（4 x l _ 4 6）+（4 x 2 _ 4 6）+（4 x 1 0 4 6）MU型.4 6x 1 0 7 40.21 9.南平市于2 0 1 8年成功获得2 0 2 2 年第十七届福建省运会承办权.为进一步提升第十七届福建省运会志愿者综合素质，提高志愿者服务能力，南平市启动首批志愿者通识培训，并于培训后对参训志愿者进行了一次测试，通过随机抽样，得 到 1 0 0 名参训志愿者的测试成绩，统计结果整理得到如图所示的频率分布直方图.(1)由频率分布直方图可以认为，此次测试成绩X 近似于服从正态分布N(,1 1.5,),近似为这1 0 0 人测试成绩的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作

17、代表),求的值；利用该正态分布，求 P（75.5 X4 87）；（2）在（1）的条件下，主办单位为此次参加测试的志愿者制定如下奖励方案：测试成绩不低于的可以获赠2次随机话费，测试成绩低于的可以获赠1 次随机话费；每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额（元）1 0 3 0概率344今在此次参加测试的志愿者中随机抽取一名，记该志愿者获赠的话费为专（单位：元）,试根据样本估计总体的思想，求百的分布列与数学期望.参考数据与公式：若则尸（一b XM +r）=0.682 6,P(/z-2 c r X 4 +2 c r)=0.9 54 4,P(-3 c r X 4 +3 c r)=0.9 9 74

18、.【答案】75.5；0.3 4 1 345（2）分布列见解析；E（）=y【分析】（1）利用平均值的公式求解即可；利用正态分布的对称性即可求解；（2）由P（X ）=P（X N）=g,所获赠话费4的可能取值为1 0,2 0,3 0,4 0,60,结合表中数据，即可得到分布列，再利用期望公式即可求解.【详解】由题，/=55x 0.1+65x 0.2+75x 0.4 +85x 0.1 5+9 5x 0.1 5=75.5,因为 b =1 1.5,所以（75.5 X 4 87）=尸+叽安=0.3 4 1 3.（2）由题，P（X,易证P A BGAP C B，则R4=P C,设A C H B D =O,连接

19、尸O,结合等腰三角形性质可知POL A C,即可得证；（2）取A3中点为N,可知NPN0为二面角尸-AB-C的平面角，易得AP 4 0出白心。，进而可得PO_L平面ABC。，即尸O_LON,在R P N O中可得PN,P0=&,以点。为原点，OB,O C,。尸所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-x y z,设平面ACM的法向量为万，设所求的直线PC与平面AC0所成角为6,则sin=|cos|,即可求解.【详解】（1）证明：因为底面48。是边长为2的正方形，所以ACLBD,由 他=3C,/PBA=NPBC,PB=P B,则也 AP C B,所 以 弘=PC,设 ACn8O=0,连

20、接 P。，所以 POLAC,因为3nPO=O,BOu平面 PBD,PO u平面尸BD,所以AC_L平面PBD.p（2）取A8中点为N,易得AB_LPN且A8，QN,所以/PNO为二面角尸-AB-C的平面角，则cos/PNO=且，3因为 PA=PB,AO=BO,PO=PO,所以 也 APBO,所以/PO4=NPO3=9 0 ,即 PO_L3,y.ACrBD=O,所以 PO_L 平面 ABC。，则尸O _LON,在 RAPNO 中,cos APNO=,所以 PN=百,则 PO=0,PN PN 3以点。为原点，OB,OC,OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O xyz,则 c（o,&

21、,o）,A（o,-,o）,o（-夜,0,0）,p（o,o,0）,所 以 注=（0,忘，-血），AC=（0,272,0）,r n-AC=0 Y)一设平面ACM的法向量为=(x,y,z),则 ,即 2A/2 L-Jln-AM=0-x+V2y+z=0I 3 3取x=l,则y=0,z=2,所以。=(1,0,2),设所求的直线PC与平面ACM所成角为e,则痴6=和序叶胃=半，所以，所求的正弦值为回.2 22 1.已知椭圆c：+=i g b o）,尸 一 5 分别为椭圆c的左、右焦点，焦距为4.过右焦点鸟且与坐标轴不垂直的直线/交椭圆C于 M,N两点，已 知 耳 的 周 长 为4不，点 M关于x 轴的对称

22、点为P,直线P N 交 x 轴于点Q.（1）求椭圆C的方程；（2）求四边形M F、N Q面积的最大值.【答案】（1）曰+=1；攻8【分析】（1）由 的 周 长 求 出 4,再由焦距求得C,进而求出。，即得椭圆C的方程；（2）设出直线/的方程联立椭圆方程求得%+表示出直线PN的方程求出由5,叫旌=；|*-%|忻（2 表示出面积，结合基本不等式求最大值即可.【详解】（口“样 的 周 长 为 4石，由椭圆定义得4 =4有，即”=百.又焦距2c =4,得 c=2,则6 =二 7=1，所以椭圆C的方程为+y 2 =i；x=tny+2（2）设直线/的方程为=阳+2（，0）,联立得（加+5）9+4,町，-1

23、=（）,设5M（%,y）,N g,%），d.in则%+%=一 手 1，%必=-一三，点 P（为,f）,直线PN的方程为川-+5 加-+5y+y =a一 3），w 一 玉令),=0 得 X =%+*=%(?M+2)+y(m*+2)=2冲通+2=-2“+5+?=5%+x 必+y 必+乂 4-2nr+5即。(|，0)，又片(-2,0),故9 I-2-SMRNQ=万E-y 2 M Q|=工 +/2)-4 y M_ 9 1 6病 V_ _ 述 J*+l _ 9 /5 _ _ _ _ _ _ _ _ 1 _ _ _ _ _ _ _ r-4 4+5+裙+5 2 疝+5 2 7 7 7 +丁，y/m2+l当且

24、仅当J/+1=4y/m2+1时即加=6 时等号成立，所以四边形叫N。面积的最大值9 石 8 2 2.已知函数”x)=+lnx.(1)讨论函数/(x)的单调性;1 1 Y Y 1 1若求证：函数g(x)=+蔡一有两个零点.且兀 2e【答案】(1)当，4 0 时，/(X)在(0,+8)上单调递增；当?0 时，/(x)在(0,加)上单调递减，在 上 单 调 递 增；(2)证明见解析【分析】(1)直接求导，分加4 0 和?0 讨论单调性即可；(2)先讨论当x e(l,+)时无零点，再讨论x e(O,l)时，通过同构得到l nx =-：,即f(x)=-+nx=Q,确定/(x)在上(0,1)的零点，即可证

25、明g(x)有两个零点；由X/(占)=0,/但)=0 相 减 得 皿 二 卫+皿 土 =0,换元令，=土,(0 /0,/(X)在(0,+8)上单调递增；当机 0 时，由/()=-=0 得*=机，当0 x z 时，f(x)，”时，(x)0,/(x)单调递增；综上：当加4 0 时，/(x)在(0,+8)上单调递增；当机 0 时，f(x)在(0,加)上单调递减,在（m,+G O）上单调递增；11_ w(2)当 x e(l,+o o)时，因为7，0,g(x)无零点.当 X G(0,1)4 e Inx mm时，由 (x)=-+e x=0 ,Inx mm*e,n r e*廿 m得一=-e Y,即 17 7

26、=，设/?(%)=,则有(l nx)=(一一),因为Inx m n x x xxh（x）=（x）0在（y,0）上成立,X所以人（X）在（9,0）上单调递减，当xe（O,l）时，l nx 0,-生0,所以/7（l nx）=/7（-）等XX价于In%=一生,x即/（%）=：+l nx =0,所以g（x）的零点与/*）在上（0,1）的零点相同.若;?：,由（1）知/（X）在（）,加）上单调递减，在（?,+0 0）上单调递增,j ITl|X/(m)=l +l nw 4 +l n一一l n4 =4(l-l n2)0 ,e 4 4/(I)=m 0,所以f（x）在，加和（?）上各有一个零点，即g（x）在（0

27、,1）上有两个零点,综上g（x）有两个零点芭,吃.不 妨 设?X 1 切%2 1，则/（为）=2+l n A =0）tn,八 ，、m 、八一4-l nx,=0,/(x2)=一+In x2=0,相减得%x2中2设，=五X2代入上式，解得=In/1 1 _(r +l)l nr-+-=-“w(z-l)因为!加,，所以e，4,4 e m一 1 1 (r +l)l nr因此要证一十=/2e,x,x2-1)2,(0 /1),则*=%,所以只需证（上中叱即证 In 2“二)o,(O Z 1),r +1设W-*”,（。），则/所罂 0,所以在（。/）递增,w(Z)ZC,百m(t-1)m【点睛】本题关键点在于通过同构得到l nx =-2，进而将g（x）的零点转化为x）在上X（0,1）的零点,再由/（%）=0，/（）=0得 到 吗 二 立+也 =0,换 元 令 上,（0，1）,结合!,!进行放缩得到 +l）ln，2,构造函数求导证明即可.4 e t-