2023年考研高数基础讲义.pdf

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1、第一章函数、极限与连续历年考研本章主要考点:第一节函数一、函数的基本性态1.奇偶性考研大纲的要求是什么？1考什么？怎么考？例1设/(X)是一个定义在R上可导的偶函数，且当x 0,/(x)0,则/,(0)0,f x)0(x0).例2设/(x)是一个奇的连续函数，则下面必定是奇函数的是()XX(A)J(/(/)+/(T)W (B)J(/-/(-/)期00(C)fx)(D)根据上面条件无法判断22.周期性考研大纲的要求是什么？考什么？怎么考？3例3设函数/（x）具有二阶导数，并满足，（幻=一/（一x）,且/（幻=/（+1）.若/0,则（）(A)/(-5)/(-5)/(-5).(B)/(5)=/(-5

2、)/(-5).(C)/(-5)/(-5)/(-5).(D)/(-5)工2时，都 有/(苞)/(%2)，则()(A)对 Vx，r(x)O(B)对 Vx，r(x)WO(C)函数/(-x)单调增(D)函数一/(-x)单调增54.有界性考研大纲的要求是什么？考什么？怎么考？6x sin(x-2)例 5 函数/(x)=八/_=在下列哪个区间内有界()x(x-l)(x-2)(A)(-1,0)(B)(0,1)(C)(1,2)(D)(2,3)例 6 设/(x)=L s i n L,则当 x-0 时，/(x)()X X(A)是无穷小(B)是无穷大(C)有界但不是无穷小(D)无界但不是无穷大二、函数的运算和其他类

3、型的函数1.复合函数和分段函数考研大纲的要求是什么？7考什么？怎么考？例6设函数g(x)=2-x,x o(x)=x2,x0求g(x).2.反函数、隐函数和初等函数考研大纲的要求是什么？8考什么？怎么考？3.其它函数9第二节极限一、极限的基本概念1.数列极限考研大纲的要求是什么？考什么？怎么考？101 4-X例】求/已 吧 的 表 达 式.例 2 设 4“,%是非负数列，且 l i m a“=O,l i m Z=1,l i m c=oo,则必n 一xo有.(A)an bn对任意的成立；(B)bn 8112.函数极限考研大纲的要求是什么？考什么？怎么考？12xz 例3当X f 1时，函 数 一7e

4、T的极限（）A等于2B等于0C为无穷D不存在但不为无穷二、极限的计算方法与准则1.极限的四则运算（重点）考研大纲的要求是什么？13考什么？怎么考？例一 4 i已知 h m-a-co-s-x =44,求4。,44.J。x2142.极限存在的两个准则(1)单调有界准则考研大纲的要求是什么？考什么？怎么考？15例5设 芯=10,七 用=历 五(=1,2.)，试证 当 极限存在，并求此极限例6设0玉3,且可出=J x,(3-x“),证明*,极限存在并且此极限16（2）夹逼准则考研大纲的要求是什么？考什么？怎么考？17例 7 设0 a 0例1。设吗7/6则()(A)1(B)e(C)eab(D)eha19

5、三、无穷大与无穷小1.无穷大量（极限不存在的一种）（非重点）【注解】2.无穷小和无穷小的比较（重点）考研大纲的要求是什么？考什么？怎么考？20例 1 1 当x-0 时，下列无穷小量是关于V 的同阶无穷小量(A)x2 x4(B)2x2+/+6x4(C)X+际(D)x4+x5例 1 2 若 x-O 时,(1 一G?,_ 与心足龙是等价无穷小，贝 ija=21四、求函数极限总结（本章最重点，考试必考点）.xln(l+x)例 13 lim-L3 1-cosx22例 14 Hm s i nx-s i n(s i n 切 s i nxa。x4例 15_1_例 16 /=mx2(ex-ex+)x-oo23例

6、 17 limx-01ln(l+x)蔺x例 18 limX TO1 /2+COSXY-1)例 19 lim%-O+tan x-VI+sin xx(l-cos x)24例 20/=lim V?(V x +8-Vx+T)Xf oo.J4x+x 1+x+l例 21 hm-,8 Vx2+sinx例 22 lim-L*+靖+25第三节连续一、连续与间断的定义1.连续考研大纲的要求是什么？考什么？怎么考？1 产尤例 1 设函数/(x)=J arcsin/,x0262.函数的间断点及其分类考研大纲的要求是什么？考什么？怎么考？27例 2=,贝l j()卡-1(A)%=0 =1都是“*)的第一类间断点；(B)

7、x=o,x=l都是/(X)的第二类间断点;(0 x=0是/(x)的第一类间断点，=1是/()的第二类间断点;(D)x=0是“X)的第二类间断点，x=l是“X)的第一类间断点.八/、I n 1 x 1例3求函数 X)=Vsinx的间断点并指出其类型.仔一1|28二、连续函数的性质1.连续函数运算的性质考研大纲的要求是什么？考什么？怎么考？例 4 设/(力 和 夕(x)在(-0 0+8)内有定义,/(x)为连续函数，且/(x)iO,0(x)有间断点，贝 IJ ()(A)0 /(x)必有间断点(C)/0(力 必有间断点(B)0 :(x)必有间断点(D)必有间断点/3292.闭区间连续函数的性质：闭区

8、间 a,b 上的连续函数/(x)考研大纲的要求是什么？考什么？怎么考？30例5设/（x）在a,b连 续,x,x2,X&a,h,求证存在J wa,句使得/（%）+/（%）+-+/（”n例6设/(x)在0,1上连续，目/X0)=/(I)(1)证明：存在岑e 0,1,使/6)(2)证明:存在 使)|71-21-H5 2且为正整数)31第一章课后习题题型一、极限的概念、性质和存在准则的讨论1.若数列 易 收敛于常数。，则无论正数多么小，在区间(a-,&+)之外的数列的点()(A)必不存在(B)至多只有有限个(C)必有无穷个(D)可能有限个，也可能无穷多个2.数列有界是数列收敛的()(A)必要条件(B)

9、充分条件(C)充要条件(D)既非充分也非必要条件3.若已知数列卜“,%均收敛，!吧 当!吧 ,则()(A)xn y,n=1,2,3,.(B)x,产 片,=1,2,3,.(c)存在正整数%，使得当时，x y(D)/与 大小关系不能确定4若极限存在，则函数值/(%)()(A)必存在且等于极限值(B)必存在但未必等于极限值(C)可以不存在(D)如果存在的话必等于极限值5.已知lim/(x)与都存在，则()X T 后(A)必存在X(C)lim/(x)=lim/(x)X-XQ(B)未必存在AX0(D)lim/(x)*lim/(x)X T 而6.有以下命题：设 lim/(x)=A,lim g(x)不存在，

10、不存在X-A0 戈-%X%变(/(“(*)不存在lim (力(x)g(x)不存在则以上命题中正确的个数是(A)0(B)1 lim+g(x)不存在无)+g(x)不存在X 而(C)2(D)3327.若极限lim(/(x)+g(x)存在，则lim g(x)(X-X-X-)(A)都存在(B)都不存在(C)不都存在(D)都存在或都不存在8.设lim(%)=0,则下列结论正确的是()(A)若毛发散，则必发散(B)若X,无界，则以必有界(C)若七有界，则”必为无穷小(D)若L为无穷小，则先必为无穷小9.下列说法与lima,=A不等价的是(-8)(A)对于 V 0J N 0,当“N 时,恒有 k 一 A|0,

11、当N 时,恒 有 闻 一 山 0J N 0,当N 时,恒 有 何 一 川 0J N 0,当N 时,恒有|。“一4卜一n1 0.设lim f(x)=A,lim g(x)=B,则下列命题正确的是(A T X)1 0)(A)若存在飞 的去心邻域，有/(x)g(x),则A 8(B)若存在x0的去心邻域，有“X)4 g ,则A V 8(C)若4=8,则存在毛的去心邻域，有/(x)=g(x)(D)若A 8,则存在X。的去心邻域,有/(x)K g(x)题型二、求函数极限1.当X-(T时，与4等价的无穷小量是()(A)l-e&,、,1 +xK(C)/1 +yx 1(D)1 -c os sx2.lim.t-0

12、x+x2 c osx(l+c osx)x3.求下列各函数的极限f+x +l hm XT8 X+21.3x+4x+1 KF334 .求下列各函数的极限:(l)l i m X T8(X，+2)(2/+x +3)八1 0X+1),c、r lx2+X +l+X(2)l i m -_/ll8 V8x3-x-l5.计算下列极限x l n(l +x)(1)l i m IX f 1 -C OS X.ta n(s i n 2x)l i m-.r-O.Xs i n 3l i m正币T-o 1-cos 2x(4)I i m6+1 T9 1-cos 2x6 .计算下列极限、V I nx(1)l i m-x f s i

13、 n 7ixl i mx-0e-ecosxA/1+X2-1i n cos x尸-1 ta n x-s i n xl i m-r X f 0,Xa r cs i n 37.计算下列极限1盘x I n(1+x)(1)l i m .v-Li o Vl +x2-l l i mx-ta nx1 0 a r cta n x.3,、s m x -x(3)l i m-i a r cta nx-x l i m 4 1 n1 0必s i n xx(Vcos x-l l l n cos x x-s i nx cos x(5)h m-A-(6)hm-5s o x-s i n-x l n(l +x，8,计算下列极限1

14、00(1)l i m l i mX f KO2，+d I n x5X+x4+31nxl i mX T0+-i J4 r -l nX +-rJC(4)l i mX-84、-2/+/+17+3 7/+X?+1(5)l i m-(s i nx +cos x)2 +/V)9.计算下列极限.r f l 1 、(1)l i m-7-*-小 殿 一 睛(4)l i mX f+o c(J x +4-4)(5)l i m x：x-00 _I ex-)(6)l i m(l -x)ta n 3410.计算下列极限2 l i m(14-3x)s i nI(2)l i m(cos x)i n(i+x2)(3)l i m

15、 2-A-0X TO2l n(l +x)丫a r cta n x I ncos x元)X)吧11.计算下列极限(1)l i m (2)l i m(ex+x12.计算下列极限(1)讨论函数 x)=ex-,x oc i _&ia r cta n x题型三、无穷小的比较1.设q =(以九4 一1),。2=4 皿(1+勿),。3 =也 工 1 一1.当x 0 时，以上3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是()(A)a ,外,%(B)a2,a3,a,(C)a2,ava3(D)%吗 吗2.当xf 0 时，用。(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是()(A)=o(x3)(B)o(x)-o(x2)=

16、o(x3)(C)0(%2)+0(%2)=0(*2)(D)O(x)+O(x 2)=0(%2)3.当x -0 时，eta nx -e 与x 是同阶无穷小，则 为()(A)1(B)2(C)3(D)44 .设当x-0 时，(1一(：05%)111(1+%2)是比人诂%”高阶的无穷小，x s i nx 是比卜一1)高阶的无穷小，则正整数n 等 于()(A)1(B)2(C)3(D)45.当x 7 0 时，。(力=小 与.(力=J l +x a r cs i nx-J cos x 是等价无穷小,贝IJk35题型四、求数列极限1.l i m“TOOn ta n 一n2.设常数a*2则 l i m I n“TO

17、On-2na+1n(l-2)3.l i mco4.设数列 x a 满足0%o o I 犬 )5.l i m 姐+2+3=.一 86.l i m1 2 12-1 J-+J-=n+n+l +2+题型五、已知极限求未知参数(M A1.已知l i m-ax-b=0,X T8(X+1 J(A)a-,b-(C)a=,b=-1其中。力是常数，则()(B)a=-1,Z?=1(D)a=-1,Z?=-1t z ta nx +Z?(l-cos x)2.l i m-4=2,其中/+c 2 w o,则 必 有()s 0cl n(l _2x)+d(l-产)(A)b=4d(B)b=-4d(C)a=4c(D)a=-4c-1

18、13.若 l i m a ex=1,则 a 等 于()3 x x)(A)0 1(C)2(D)3题型六、讨论函数连续性和间断点的类型-2,/、(cosX)x,X W O一 c u 一+E l1.已知/(X)=在x =0处连续，则a=_.a,x =036sin2x+e2ax-n_ v I I2者/(x)=J x，在(-8,+8)上连续，贝 ija =a,x=03.设/(无)在(一8,+8)内有定义,且lim/(九)=a,g(x)=0),A x 为自变量x 在点/(%0)处的增量，与办在点与处对应的增量与微分，若 A x 0,则()(A)0 力 Ay(B)0 Ay(C)Ay dy0(D)dy Ay

19、=0)由方程e+6移+/-1 =0确定，贝i y (O)=2)显函数求导法则总结例6设函数/(%)=1*_ 1)付*_2)心 _ ),其 中n为 正 整 数,求/(0).47xA cos-,若尤 wO,例7设/(x)=/什(其 导 函 数 在X=O处连续，则几的取值范围是八 右x=0,3)高阶导数例8求函数/(无)=尤2 1n(1+x)在0点的100阶导数/(100)(0).48第二节中值定理和导数的应用一、三大中值定理考研大纲的要求是什么？考什么？怎么考？49例 1 证明 a r cta n ex+a r cta n ex=.2例2设/（%）在 句 连 续，在（a,。）可导，证明：至e（a,

20、。）使得吗-唳0=/+疗 b-a例3例X）在 a,/连 续,在（a,b）可 导 且/（a）=/1（力=0,证明:We （a,份 使 得,+处）=050例4 /(x)在 0,1连续，在(0,1)可导，且满足/(0)=/=0,/(；)=1,证明1)存在 7(；/),/()=7；2)VX,存在 o,i),使得尸e)/e)9=i.二、洛必达法则考研大纲的要求是什么？51考什么？怎么考？片 一 sinx+x例 1 lim-例2求lim（上 二 一 工x-0 1-e x x52例3设/（x）二阶可导，/（0）=0，r（0）=t r（0）=2,求极限一三、泰 勒 定 理（泰勒公式）考研大纲的要求是什么？53

21、考什么？怎么考？541 x例1求f(x)=在x=0处的带Peano余项的n阶泰勒展开式.1 +x例2求lim工 一 0cosx-e 2x2ln(l-x)+x例3若函数/(x)具有三阶连续导数，且 物sin 6?J)=0,利用泰勒公式求极限.6+/(x)lim-X TO r55四、单调性、极值、最值和不等式证明1.单调性考研大纲的要求是什么？考什么？怎么考？例 1设函数“X),g(x)是大于零的可导函数，且/(x)g(x)(x)g x)0,则当a x/S)g(x)；/(x)g(a)/(a)g(x)；(C)/(x)g(x)/g(b)；(D)F(x)g(x)f(a)g(a).56例2设函数J(x)在

22、区间-2,2上 可 导,且/(x)/(X)0,则()(A)-13 1)/(0)而“光E2.极值考研大纲的要求是什么？57考什么？怎么考？例3已知/(x)在x =0的某个邻域内连续，且/=0,吟J=2,则在点x =0处 1 cos X“X)()(A)不可导(C)取得极大值(B)可导，且/(0)/0(D)取得极小值58例4求函数y=x+3(l-x)3的极值.例5设y=火刈由方程23-2丫2+2孙 一/=确定，求y=y(x)的极值点和极值.593.不等式证明例6 设xw(O,l),证 明(1 +%)1 1?(1 +%)0）实根的个数.七、渐近线63例1已知：曲线=匕二，贝IJ (1-e*A没有渐近线

23、C仅有铅直渐近线B仅有水平渐近线D既有水平渐近线也有铅直渐近线9x例2曲线y=-的斜渐近线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.2x+l例3曲线y=工+In(1+的渐近线条数为入64第二章课后练习题型一、可导性的讨论1 .设函数/(X)在x=0 连续，则下列命题错误的是()(A)若 吧 与 存 在，则/(0)=0 若 V/(+J(T)存在，则/=0(C)若lim 存在，则/(0)存在(D)若 lim x)+/(T),则/(0)存在x-0 x A0 x2.设/(0)=0,/(在 x=0 可导的充要条件的是()/(1-c o s h)f(-eh(A)l i m 存在(B)l i

24、 m-存在/T O力 TO h(C)lim；)存在(D)lim/(2 2一/()存在h 0/1 O h3.设/(x)可 导/(x)=引(l+k in x|),则 0)=0 是尸(x)在 x=0 可导的()(A)充分必要条件(B)充分非必要条件(C)必要非充分条件(D)既非充分也非必要条件4.函 数/(另=(/+炉,3一.的不可导点的个数是()(A)3(B)2(C)1 (D)05.设函数/(x)在 x=0 处可导，且 0)=0,贝打盘一号一=()(A)-2/(0)(B)-r()/(D)06.设函数/(九)在区间(3 )内有定义，若当龙-3 )时，恒 有|/(%)上 氏 贝卜=()必是“X)的()

25、(A)间断点(B)连续而不可导的点(C)可导的点，且/(0)*0(D)可导的点，且/(0)=065题型二、求显函数导数及特殊函数导数“、x a r cta n ,x 0/、1.设/(x)=X,试讨论/(X)在x =0处的连续性.0,x =002.设x)=*5,其中g(x)有二阶连续导数，且g(0)=l,g =一10,x =0(1)求/(X)(2)讨 论/(X)在(-8,+8)上的连续性3.设y=x+e 2，则川皿二 74.设 y=a r cta n ex-I n5.设 y=cos (x2)s i n2 贝 ij/=.6.设函数y=y(x)由方程I n(Y+y)=_?+s i nx确定，则卡|v

26、=0=.7.已知函数/()具有二阶导数，且 广(0)=1,函数y=y(x)由方程y-泥 日=1所确定.设 z=/(I n y-s i n x),求 会|v=0,岸|v=0./、x=a r cta n t dv8.(数一、二)设y=(x由，,所确定，求士.2y-ty-+er-5 dx9 .7(x)=%(+1)+2).(*+),则/，=.10.已知 y=/j ,/(x)=a r cta n x2,则 孚|I=0=_ _ _ _ _ _ _ _.V 3x+2)dx口.若 ，)=!吧(i+|，则 rs=.12.已知/(%)=I n(x +J 1+L),则/(%)=.(记住结果)66题型三、高阶导数L设

27、七,则 九”2.设函数y=三1，则()=.3.设 y=/I n(1 x),贝IJ y(100)(0)=题型四、几何应用1.已知/(尤)是周期为5的连续函数，它在x =0的某个邻域内满足关系式/(1+s i n x)-3/(1-s i n x)=8x+a(x)其中a(x)是当x -0时比x高阶的无穷小，且“X)在x =l处可导，求曲线y=/(x)在点(6 (6)处的切线方程.2.已知函数“X)连 续，且1盘/*=2,则 曲 线y=/(x)上 对 应x =0处切线方程为3.设函数y=/(x)由方程02中 cos(孙)=e 1所确定，则曲线y=/(x)在点(0,1)处的法线方程为.4.两曲线 =：与

28、 =以2+/,在点12,处相切，则。=_,b=5.设曲线/(x)和曲线y=V x在点(1,0)处有相同的切线，贝”吧 好 题型五、极值与最值1.设“X)在X =0处连续，若l i r n 芈i =1,问(1)当x =0时,/(X)是否存在?(2)x =0是否为/(x)的极值点？672.设函数 x)在(-8,+8)内连续，其导函数的图形如图所示，则“X)有()(A)一个极小值点和两个极大值点(B)两个极小值点和一个极大值点(C)两个极小值点和两个极大值点(D)三个极小值点和一个极大值点3.设函数y=/(x)是方程y 2y+4y=0 的一个解，且/(%)0 ,/(%)=0,则函数/(x)在/处()

29、(A)取得极大值(B)取得极小值(C)某邻域内单调增加(D)某邻域内单调减少4.y=x+V l-x 的极值点为.5.设“X)为(-兄。)内具有二阶连续导数的偶函数，且 尸(x)w 0,则x=0()(A)不 是 的 极 值 点 必为/(x)的极值点(C)不是“X)的驻点(D)未 必 为 的 极 值 点|n2 x6.求函数 x)=丁一的极值.7.设函数/(x)=xsin x+(1+a)cosx,证明:若 a x()与x 0,求 x)的渐近线._L2.曲线 y=xe*2()(A)仅有水平渐近线(B)仅有垂直渐近线(C)既有垂直渐近线又有水平渐近线(D)既有垂直又有斜渐近线3.曲线y=(2 x-l)的

30、斜渐近线方程为.4.曲线y=上 的斜渐近线方程为.题型八、利用泰勒公式求极限1 +-V l+x21 .求极限1 颐 7-7*f(c o sx-e 卜inx?ln(l+2x)+x f(x)2+/(x)2,已知lim -J 、=1,则 lim 人=()X TO%，X TO x(A)1 (B)2(C)3(D)43.试确定常数 a,6,c 的值，使得 ln(l+x)-1 -=3-2+0(%3).题型九、不等式证明.2a I n 一 I n。11 .设 0 a 反证明不等式一一行 -r=a+b b-a ab2.右0 x 一2 2 7t69、r 1 1+X -X I I3.证明：x I n-F cos x

31、 1H-,1 x 1-x 2944.设e 力 r题型十、中值定理等式证明1.设 )在 a,句上连续，在(0,1)内 可 导,证 明:在(a,(内 存 在 点，使得/-/(a)=2 痣/(7-其中。a b.2.设x),g(x)在 0,1上连续，在(0,1)内可导，且g(0)=g =0,证明:存在点小(0,1),使得gg)-g4 =0.3.设x)在 0,2上连续，在(0,2)内可导，且有/(2)=5/(0),证明：存在点 e(0,2),使得(1+片)/0=2 b(处4 .设函数“X)在 0,1上连续，在(0,1)内可导，且/(O)=1)=O J(；J =1,证明：存在点(0,1),使 得 广 值)

32、=1.题型十一、方程根讨论_1.在区间(-8,+8)内，方程国4 +国2 -COSX=()()(A)无实根(B)有且仅有一个实根(C)有且仅有两个实根(D)有无穷多个实根2.就左的不同取值情况，确 定 方 程 女 在 开 区 间(，|内根的个数，并证明你的结论.3.讨论曲线y=4 1nx+%与y=4 x +h?x的交点个数.4.当a取何值时，函数/、(x)=2x 3 9 f +12x-a恰好有两个不同的零点()(A)2(B)4 (C)6 (D)870第三章一元积分学及应用历年考研本章主要考点:第一节不定积分一、不定积分概念和性质考研大纲的要求是什么？71考什么？怎么考？例 1 设/(X)在(-

33、8,+8)上连续，则 办=()(A)/(x)(B)fxdx(C)/(x)+C (D)f(x)dx例2若/(x)导函数是Si nx,则/(x)有一个原函数为()(A)1 +s i nx (B)1-s i nx (C)1 +cos x(D)1 -cos x72二、积分方法考研大纲的要求是什么？1.第一类换元积分法（凑微分法）73例1计算不定积分Jsin2xt&例2计算不定积分例3计算不定积分/7:一yJX（-X）rdX例4计算不定积分f1一公J xln x742.第二类换元积分法例5计算不定积分Jdxx2 V1-x2例6计算不定积分JdxXyJ X1-175例 7 计算不定积分3.分部积分法例 8

34、 求不定积分J fe Z r例 9 求不定积分J V in 村左76例1 0求不定积分J e2 cos xdx三、特殊函数的积分1.有理函数的积分77例 1 求不定积分Jdxx(l +x2)例 2 求不定积分Jdxx(+4)2.三角函数积分78例1计算不定积分Jdx r dx2+sin xsin x cos2 x例2求不定积分例 3 jsin2 xcos2 xdx例 4 5-r-dxJ sin-xcos x79考什么？怎么考？f arctan ex例1求，=J dx803.分段函数的不定积分例3：已知/(%)=2sx,ixn0-3 求f（办.例4：设/a)=m a x l/2 求81第二节定积

35、分一、定积分概念与性质考研大纲的要求是什么？考什么？怎么考？82例1求极限l i m(一+一+.+一+l +2 +jr、k 冗例 2 求极限 l i m s i n g eos?f8 n TZf n例 3 设/=j j I n s i n xdx,J=4 I n cot xdx,K=J j I n cos xdx,则/,J,K 的大小关 系 为()(A)I J K(B)I K J(c)J I K(D)K J I例4设函数/(x)在 0,1上连续，在(0,1)内可导，且3/(%世=/(1)3证明：存在。(0,1),使得尸(c)=0.83二、微积分基本定理（重点，必考）考研大纲的要求是什么？考什么

36、？怎么考？84例 1设/（X）连续，试求下列函数的导数j;f)力(3)f c os(x-Z)2 dt J；(x T)/(，)力f 2 z、(4),f(x +t)d t例 2 设 f(x)连续，则,，/卜 2-/)=()A#(2)B -x f(x2)C 2 V(x2)D-2 x f(x2)例 3 设/(%)=,l+x,-l x 0求Q 力85/、s i nX XTT/、r x /、例4 函数/(x)=2 x 3T例2计算定积分)5(2x3+sin2x)cos2 xdx例3 例4计算定积分,xsin?xdx87例5计算定积分 i In(1+例6计算定积分J：e公例7计算定积分开/(s in x)/

37、(s in x)+/(c o s x)dx88分段函数定积分x,0 x lnx.Ji i上 xn2x(C)p dx(D)广叱公J-V T 7J。X91一、微元法第 四 节 定 积 分 应 用（几何应用）二、几何上的应用92例1设。是由曲线盯+1 =0与直线y+x=o及y=2围成的有界区域，则。的面积为例2求（/+必）2 =了2一2所围图形的面积例3设A 0,。是由曲线段y=Asinx 及直线y=0,x=所围成的平面区 2 J 2域，乂,匕分别表示。绕1轴与y轴旋转所成旋转体的体积.若匕=匕，求A的值.93第三章课后练习题型一、求解不定积分1.计算下列不定积分晨(4)J ta n2 xdx2.计

38、算下列不定积分(1)j cos(x +l)i r3.计算下列不定积分(1)J 2x s i nx2i/x.、r a r cta n x,(4)-dxJ +x4.计算下列不定积分(1)J s i nOcos Mr5.计算下列不定积分6.计算下列不定积分J2x+-5x-3V d xJ X(1)jJ-x2dx7.计算下列不定积分(1)xcos,xdx8.计算下列不定积分|wxdx9.计算不定积分/=f cos 2。dxJ s i n x 4-cos xJ.伉 一 互 卜I 3；(2)|JC(1+X2 dx 篇(2)j s i n2 x cos2 xdx-rdx.1 +2/1 +a r cs i n

39、x1-x2(6)ee+xdxdx(3)j s i n3x(/x (4)j s i n 2xco?r xdx.、r yji X(2)dxJ xr 1 J 7 ,公(1)v X 1(3)f ；dx(2)jjC exdx(2)a r cs i n xdx.a r c t a n x-T公1 +x2)2|(2x +4)cos2 xdx(3)a r cta n xdx9410.设j (x*x =a r cs i nx +C,则11.求f-J(2.+i)J，+i s i n 2x,x J i (B)2 2 2 2(C)(D)n x n3.设/=|4-d x,I,=贝 ij()Jo x-J o ta nx(

40、A)/,/2 1(B)l/,/2(C)/2 /,1(D)I“/14 .设 /(x)=+x,则 f(x)d x=-1 1 A-题型三、关于变上限积分函数、-(x2+l),0 x 04 .in*+冈力:=_.J-j U+cos x )n n5.设 M =N=f；(s i n3+cos 4J-21 +x J-2ns i n3x-cos4x)6 Zr ,试比较2它们的大小.6.设E(x)=s i nf力,则F(x)(A)为正常数(B)为负常数2I dx=.(C)恒为0(D)不为常数7.j x+v r j2&求 积 分r i 上x a下r cs7i n x 公,r+oc9求Lxex.-ax+ex10.下

41、列反常积分中收敛的是()(A)(B)与Xf-KO|L市(,D)Lf+/X ,dx9 6题型五、定积分几何应用1.设位于曲线y=-(6尤+8)下方，轴上方的无界区域为G,则G绕x轴(l +ln2x)旋 转 一 周 所 得 空 间 区 域 的 体 积 是.2.曲线y=J 7二I,直线x=2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为.3.(数一、二)当o w e4不时，对数螺线=的弧长为.4.求过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=In x及x轴所围成平面图形D.(1)求。的面积A(2)求。绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.97第四章常微分方程历年考研本章主要考点:一、微

42、分方程基本概念（了解）98二、一阶方程99例i微分方程y=*二 的通解是.X例2求微分方程f y，+孙=V满足初始条件y(l)=1的特解.例3微分方程(y+de-，)dx-xdy=O的通解是.100例4设非齐次线性微分方程），+p（x）=Q（x）有两个不同的解 （力,%（）.C为任意常数，则该方程的通解是（）A。%（力一必（司C*（%）+%（切B J,(x)+C yl(x)-y2(x)积分方程例5/（x）=/+才，求/（x）101二、可 降 阶 方 程（数一、二）例1微分方程xy+3/=0的通解为.例2微分方程W +2=0满足初始条件y|行0=1,yx=0=1的特解是102三、高阶线性微分方程

43、1.线性微分方程解的结构例1设线性无关的函数y，必，为 都是方程V +p（x）y +鼠尤）y=/（尤）的解，G,C?为任意常数.则该非齐次方程的通解为（）A Gy +G%+B+G%-（a+G）%C Gx+C 2y2 +（1-一。2）丁3 D C|+C 2y2-（1 一G-。2）3例2已知y=03，一此2%=此2*,%=一 我2,是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为.1032.常系数线性微分方程例1 3阶常系数线性齐次微分方程为y-2 y +y 2 y=0的通解为104例2微分方程y-3y+2y=(2x+1)e-的通解为例3微分方程产+4=2 8 5 2*的通解为例4微分方

44、程y+2/+2y=2ex cos21的通解为105第四章课后练习1.微分方程ydx+x1-4x)dy=Q的通解为.2.微分方程xy+y=O满足初始条件y(1)=2的特解为.3.求微分方程芈=J尸+厂(x 0)的通解.ax x4.微分方程盯+y(In X-In y)=0满足条件y(1)=?的解为.5.微分方程孙+2 y=xn x满足=的解为.6.微分方程y +y=e cos%满足条件y(0)=0的解为.7.微分方程y+y tan x=cosx的通解为.8.微分方程xyn+3 y=0的通解为.9.微分方程W +产=0满足初始条件y(0)=1,/(0)=；的特解为.10.设加%是一阶线性非齐次微分方

45、程了+，(力=4(力的两个特解，若常数尢使得几m+必是该方程的解，一为是对应的齐次方程的解，/I(),、，1 1 ,、，1 1(A)Z=,/=(B)A=,4=2 2 2 2,、，2 1 ,、，2 2(C)4=一，=(D)2=,/=3 3 3 311.已知y二xex-be2 x,y2=xex-bex,y3=xex+e2 x-ex是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程.12.微分方程y+y=炉+1 +sin x的特解形式可设为()(A)y=ax2+/?x+c+x(Asinx+Bcosx)(B)y*=x(ax2+c+Asinx+Bcosx)(C)y*=ax2+x+c+Asinx(D)y*=

46、ax2+/?x+c+Acosx13.微分方程y+y=-2尤的通解.106第五章多元微分学及其应用历年考研本章主要考点:一、二元函数考研大纲的要求是什么？考什么？怎么考？107例 1limx-0y-0孙2 2厂+y例 2 limK f 0y-0r2.X)4 2x+y例 3 limx-0-0 x5+y5x4+y4108二、二元连续函数、初等函数考研大纲的要求是什么？考什么？怎么考？，（儿 y）。（0,0）,试判断 羽y）在（0,0）是否连续.（0,0）109三、多元偏导数定义考研大纲的要求是什么？考什么？怎么考？例1：二元函数),(x,y)w(0,0)尤+y 在点(0,0)处()0,(x,y)=(

47、0,0)A连续、偏导数存在B连续、偏导数不存在C不连续、偏导数存在D不连续、偏导数不存在110例 2:设/(x,y)=2：3.v,则 尸(0,0)=_J；(0,0)=1 +xydx+y四、偏导数的链式法则和二阶偏导数考研大纲的要求是什么？考什么？怎么考？111例 1 已知=/（x,砂）,u=g（x+盯）,、du dv求，一.dx dx例2a2 z已知z=7（2x-y,ysinx）,求oxdyX (JZ例3已知z=-,求二|山112五、全微分考研大纲的要求是什么？考什么？怎么考？113例1二元函数在点（0,0）处可微的一个充分条件是（(A)（，,。口（国 力/仅 卜0(B)所 丝 必31=0,且

48、 所2321=0i o x 尸 y(C)lim/(手)7(M(x.)(0.0)lx2+y2=0(D)l i m (x.O)-A(O,O)=O,K l i m 4(O,y)-4(O,O)=O例2设连续函数z=/（x,），）满足lim：，y）2x+二P?行+（-1）2=0,则 心 岛）114例3v-2 34,4，(尤，y)w(，)已知z=x+yO,(x,y)=(O,O)判定函数在（o,o）点的连续性和可微性例 4 已知z=/(2x-y,ys i nx),求dz.115六、隐函数求导考研大纲的要求是什么？考什么？怎么考？116例1若函数Z=z(x,y)由方程/+2许+孙z=1确定，贝I J dz|(

49、oo)=例2已知z =xfx+y）d zz，求丁,F（x,y,z）=0 dx例3 已知z=/(4),=(x,y)是由 =+力所确定，9(x)可导,求 p(x)毋+(y),日.ox dy117七、无条件极值考研大纲的要求是什么？考什么？怎么考？118例 1 二元函数z=D（3-x-y）的极值点是（）A（0,0）B（0,3）C（3,0）D（1,1）例 2 求二元函数,f（x,y）=x2（2+/）+），I ny的极值.例 3 2=2（乂y）由1 2+2+22-2%+2 一4 2=10所确定，求极值.119八、条件极值考研大纲的要求是什么？考什么？怎么考？120例1求函数”=犬+y2+z2在约束条件z

50、=x2+V和无+y+z=4下的最大值和最小值.九、闭区域上的最值例1求函数Z=/+12刈+2y2在区域D：4 f +y2)=(D)n=6.求下列函数的一阶偏导数与全微分(1)/(x,y)=e因+ln(x+j2)(2)/(x,y)=a rc ta n(x+y)I nx x,y)=x(4)/(x,y)=ta n(x2y)+sec(xy2)7.已知函数/（羽曰=一土一,则（(A)(B)f；+f；=O(O=f(D)卜 卜 于1228.设 z=(x +ex ,则dz(.o)=.9 .设 =/飞 也 一,试 求 三y dxdyo -a r cta n-dZx2+y)e x,求 dz 和-7 dxdy11.