2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第八章立体几何第六节第2课时用空间向量研究距离问题.pdf

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1、第2课时用空间向量研究距离问题【考试要求】了解利用空间向量求空间距离的方法，会求空间距离.【高考考情】考点考法：高考命题常以空间几何体为载体考查空间距离，难度中档，特别是点到面的距离是考查热点.核心素养：数学运算、逻辑推理、数学直观O一知常梳理二星推激直-O-归纳知识必备空间中的距离名称概念求法两点距空间中两个点连线的线段长求向量的模点线距过空间一点作一条直线的垂线段的长设直线1的单位方向向量为U,AG I,咫1,设9=a,则点。到直线1的距离d=J|a F-（au）2点面距过平面外一点作平面的一条垂线段的长已知平面a的法向量为n,4右a 9 a,IAP n则 点 夕 到 平 面 的 距 离

2、为,n线面距当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离转化为求点面距面面距当平面与平面平行时，一个平面上的任意一点到另一个平面的距离注 解1两点距、点线距都可用空间向量的模来求解，而线面距和面面距可以转化为点面距,利用平面的法向量来求解.智学变式探源1.（改变条件）在棱长为1 的正方体4 8 微 4 A G 中，为4 的中点，则点G到直线四的距离为（）1.选择性必修一 P 3 4 例 62.选择性必修一 P 3 8 练习T 3A.1 B.f C.f D.f【解析】选 C.建立空间直角坐标系，如图,所以宓=-LCC.=(O所以点G到直线用的距离d=1-2-O2.（改变图形）如图，在棱长为1

3、的正方体四屹4 8 4 中，平面四C与平面4 c 的距离d是（)A理 B也 C 奶 D 也A.6 B.3 L-3 u，2【解析】选 B.如图，以为坐标原点，分别以,DC,。所在直线为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，连接物，BD,BD交AC于点、E,则 6(1,1,0),(0,0,0),(0,0,因为如_ L/C,ACLBD,BDCDD产 D,所 以 平 面 8,所以BDAC.同理可证BDAB1.因为ACD AB尸A,所以加 平面ABC即BD；是平面/6 C 的一个法向量.因为平面/8 C 平面ACD,所以点到平面/6 C 的距离即为两平面之间的距离.因为庞=g o j,BD；=(1,1,1

4、),所 以 =口 呼|BD,|jx (-1)+1 x (-1)+0 X 1 1+1+1-慧 考四基自测-3.基础知识4.基本方法5.基本应用6.基本能力3.(求点面距)在空间直角坐标系中，。为坐标原点，平面勿3的一个法向量为=(2,-2,1),已知点尸(一1,3,2),则点尸到平面的6的距离d 等于()A.4 B.2 C.3 D.10P n【解析】选 B.点尸到平面的8的距离为d=kT-|-2-6+2|=2.4.(求两点距)已知应=(2,1,1),0B=(1,3,1)，则点4 3 之间的距离为【解析】因为焉=7)B(24=(1,2,0),所以/6=AB=y(1)2+22+0-=乖.答案:小5.

5、(由点面距求参数)已知平面。的法向量为=(一2,-2,1),点/(必 3,0)在平面。内,若点。(-2,1,4)到平面a 的距离d 为胃，则*=.O【解析】已知产=7 因为存=(2 X,-2,4),所以d2 (2 x)+4+4|，4+4+1=7 T ，解得 x=-1 或一1 1.O答案：一1 或一1 16.(求线面距)如图，在棱长为1的正方体力比4 5 G 中，机 N分别是线段8 A,6C的中点，则直线/肺到平面43的距离为.【解析】如图，以。为坐标原点，DA,DC,所在的直线分别为x 轴、y轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则 平 面 的 一 个 法 向 量 为(1,1,1),D Ci由题意，

6、知 1,1,m,A,0,0),所以沏=o,L !(0,1,(1,1,1)所以点 到平面/的距离为d=-易知 MN AD、,又因为.椒 t平面ACDt,u平面 制，所以腑平面4 勿，所以腑到平面力内的距离为十.乙答案.也口 2。、寺点棵度憎法培优(,。V考点一两点距 自主练透1.若。为坐标原点，洒=(1,1,-2),OB=(3,2,8),充=(0,1,0),则 线 段 的中点尸到点。的距离为()B.2 71 4晅【解析】选D.因为苏=2(而+应)=2(4,3 33-2J2,/II=6)31-夕0C=(0,1,0),所以的=亦 一 游=12,-所以|章|=4+|+9 =率.2.如图所示，在空间直角

7、坐标系中，有一棱长为a的正方体/a 3/B C D,A。的中点 与4?的中点6的距离为.【解析】易知/(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A(a,0,a),所以a,所以EF=a.亚2答案:乎a教师专用【规律方法】计算两点间的距离的基本方法(1)把线段用向量表示，然后利用|a|2=aa,通过向量运算求|a|.(2)求解的图形适合建立空间直角坐标系时，可用坐标法求向量的长度(或两点间距离).【加练备选】如图，空间四边形/颇的每条棱和对角线的长都等于1,点 区N分别是4 8,切的中点，则肠V的长为.c【解析】设 宓=p,A C =q,AD=r.由题意P=q=r=l,且p,q,r 三向

8、量两两夹角均为60 0.W=A N AJ/(AC+AD)1 AB=:(q+rp).乙 乙 乙所以|.麻=麻 W =；(q+r 一0)(q+rp)=；/+/+/+2 2 r-g.p-r.p)=；X 2=1 .所 以 两|=乎，即脉的长 为 平.答案：*7 考点二点线距|讲练互动 典例1 (1)直角A A B C 的两条直角边B C=3,AC=4,P C _ L 平面AB C,P C=2,则点P到直线AB 的距离是.(2)直角 A B C 的两条直角边B C=3,AC=4,P C _ L 平面AB C,P C=2,则点A 到直线P B 的距离是.【解析】以C为坐标原点，C A,C B,C P 所在

9、直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.(OB1O,7 o)AP23-则点P 到直线4 9 的距离为d=y，一 (a u)2 56_ 2A/61一 5(2)bBA=(4,3,0),v=0,BP则点A到直线分的距离d=7b_ 3 V)81 279313=13答案：*，规律方法计算点到直线距离的基本方法(1)先求出直线的方向向量，再计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的模，最后利用勾股定理求点到直线的距离.(2)在直线上设出垂线段的垂足的坐标，利用共线和垂直求出垂足坐标，再求向量的模.对点训练如图，在长方体力比？中，AA尸AB=2,AD=,F,G分别是力

10、8,制的中点，则点到直线6F的距离为.【解析】如图，以为坐标原点，DA,DC,所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,2),尸(1,1,0),6(0,2,1),所以游=(1,-1,-1),制=(0,-2,1),所b、G以F G D市 2-=1 而3/GI D 卜,!季I，所以点到直线 的距离为 乒!=亭.考点三 点面距、线面距与面面距 I 讲练互动 典例2 如图，已知正方形相口的边长为1,如，平 面/时，且=1,E,6 分别为4 6,BC的中点./1求点到平面的的距离；(2)求直线/C 到平面商的距离.【解析】(1)建立以为坐标原点，DA,DC,加分别为x 轴、y

11、轴、z 轴正方向的空间直角坐标系，如图所示.则尸(0,0,1),4 1,0,0),C O,1,0),以所1-21-2,OO设平面必尸的一个法向量A=(x,y,z),1 ,1n 荷f-5 尹=，取 x=2,则 y=2,z=3,所以 A=(2,2,3),ED n所以点到平面期的距离d=-n_ 1-2-1 1 _3 而 4+4+9 1 7因此点到平面时的距离为与用(2)因为反月分别为四，a 的中点，所以镇4c又 因 为 平 面 侬；仔t 平面出尸，所 以/勿 平 面 阳：因为成=fo,J,o ,所 以 点 力 到 平 面 时 的 距 离 =皿 -=4=本I 2)7 17 17A/17所以直线/。到

12、平 面 时 的 距 离 为 七.#规律方法1.求点到平面的距离的步骤(1)求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可；(2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可.步对点训练1.若三棱锥门力宽的三条侧棱两两垂直，且 满 足 为=即=%=1,则点P 到平面4%的距离是()亚 近 亚 也C z-U c v?n u 、6 3 6 3【解析】选 D.以尸为坐标原点，分别以处，PB,比所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则 4(1,0,0),8(0,1,0),(7(0,0,1),P(0,0,0).z

13、d可以求得平面/a 的一个法向量为n=（1,L 1),则n 32.（多选题）正方体4 6 Q 4 8 C。的棱长为2,E,F,G 分别为6 G CC、,防的中点.则（)A.直 线 旗 与 直 线 垂 直B.直线4 6 1 与平面小旗平行9C.平面/绪截正方体所得的截面面积为，D.点4和点到平面4 绪的距离相等【解析】选 故 Z 以D 为坐标原点，D A,D C ,阻 分 别 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，则A(2,0,0),E(l,2,0),F(0,2,1),D(0,0,0),0,(0,0,2),G(2,2,1),A,(2,0,2),所以丽=(-l,0,1),AE =(-

14、l,2,0),AF =(-2,2,1),AG =(0,2,1),AD =(-2,0,0),A,G =(0,2,-1).对于4 因 为 而 AE =1 +0+0 =1 0,所以直线E F 与直线AE 不垂直.所以力错误；对于6：设平面AE F 的法向量A=(X,y,z),n AE=x+2y=Q则，_,n,亦=-2 x+2 y+z=0，取 y=l,得 A=（2,1,2）.因为入了 A=0+2-2 =0 且 4a平 面/所以直线A G 与平面F 平行.所以B 正确；对于C：连接FIX,因为反尸分别是8 C,C G 的中点,所以平面4 旗截正方体所得的截面为梯形AEFD”所以平面/项截正方体所得的截面

15、面积为AD+EFX h=1 4+4+/4+4(4292，所以C正确;22X对于D：由前面可知平面/必 的法向量=(2,1,2),AA(=(0,0,2),DA=(2,0,0),所以点4到平面4 E F 的距离力=A A/nlnl0+0+2 X 2 J4+1+4点到平面/比1 的距离d=DA n2 X 2+0+0、4+1+4_ 4=3n43所以点4和点到平面/项的距离相等，所以D正确.3.正方体4 5(刀 4 3 6 的棱长为4,肱N,E,歹分别为4，4 3,G，8G的中点，求平面 4 则与平面的沏间的距离.%；!V E GFAB【解析】如图所示，以为坐标原点，DA,DC,私所在直线分别为x轴、y

16、轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则 4(4,0,0),#(2,0,4),(0,0,0),8(4,4,0),以0,2,4),尸(2,4,4),M 4,2,4).从而旗=(2,2,0),新=(2,2,0),商=(-2,0,4),BF=(-2,0,4),所以旗=MN,AM=BF,所以 EFMN,AM/BF,EFCBF=F,MACAM=M,所 以 平 面 平 面EFBD.设A=(X,y,z)是平面4 翊的一个法向量，n W=2 x+2 y=0,则 _n,AM=-2 +4 z=0,解得X=2Z9y=-2z.取 z=l,得力=(2,2,1),由于宓=(0,4,0),所以两平仃平面间的距曷d=-.n 3|3

17、兽 口【加练备选】在直三棱柱中，AAt=AB=BC=3,AC=2,是/。的中点.求证：平面4 朋；求直线8 c 到平面4 劭的距离.【解析】(D 连接4 5 交 4 3 于点区连接班:DE/BCDEu平面4 初0 8 c平面 ABD；因为6 c平面A M 所以8 c 到平面4 劭的距离就等于点B,到平面4 曲的距离.如图建立空间直角坐标系,则 5(0,22,3),8(0,2*,0),4(-1,0,3),(0,0,0),DB、=(0,2/2,3),DB=(0,22,0),D A=(-1,0,3).设平面4 劭的一个法向量为A=(x,y,z),2-j2y=0,所以 取 x=3,则 y=0,z=l,所以 A=(3,0,1).、一x+3z=0,所求距离为d3丁=噌.n 10