2022-2023学年四川省内江市高三（上）零模数学试卷（理科）（附答案详解）.pdf

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1、2022-2023学年四川省内江市高三()零模数学试卷(理科)1.2.3.4.5.椭圆2/+y 2 =8 的长轴长是()A.2 B.2V2 C.4 D.4V2设Z=l +i(i 是虚数单位)，则复数:+Z 2 在复平面上对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限已知五=(2,-2,-3),b=(2,0,4),则cos,B)=()A.B.-C.O D.185 85函数/(%)=：/一 i n x 的单调递减区间为()A.(-1,1)B.(-8,1)C.(l,+o o)D.(0,1)“ab0”是“曲线。/+如 2 =1 为双曲线”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分

2、条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件6.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选 法 共 有()A.6种B.12 种C.30 种D.36 种7.如图,在直三棱柱480-4/16中，B C 1 面4 C C 1 4,CA=CC=2 C B,则 直 线 与 直 线 Z B 1 夹角的余弦值B4)-5遍一3V5-5为A.BC8.D.-5点尸在曲线y=炉-x+|上移动，设点P 处切线的倾斜角为a,则角a 的取值范围是()A.0,5 B.0,川 洋 C.第兀)D.a号已知P 是椭圆1+1=1上的点，&、尸 2 分别是椭圆的左、右焦点，若 熹 黑=j则F 1 PF

3、 2 的 面 积 为()A.3V3 B.2V3 C.V3 D.1 0.随机变量X的分布列如表所示，若E(X)=%则D(3 X-2)=()X-1()1P16bA.9 B.7 C.5 D.311.已知A,8 为双曲线E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，为等腰三角形，顶角为120。，则 E 的离心率为()A.V5 B.2 C.V3 D.V212.若函数f(x)=%2+ex-1(%0)对称，则实数A的 取 值 范 围 为.17.2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会在2022年 2 月 4 日至2 月 2 0 日在北京和张家口举行.某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽

4、取男生、女生各200人，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的良，女生中有80人对冰壶运动没有兴趣.有兴趣 没有兴趣 合计男女80合计(1)完成上面2 X 2列联表，并判断是否有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？(2)按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取9 人，若从这9 人中随机选出2 人作为冰壶运动的宣传员，设 X表示选出的2 人中女生的人数，求 X的分布列和数学期望.n(ad-dc)(几=a+b+c+d).2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)附：K2=P(K2 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k。2.706 3.841 5.024 6.

5、635 10.8281 8.在AZBC中，4(-2,0),B(2,0),AC与 BC斜率的积是(1)求点C 的轨迹方程;(2)P(4,0),求 PC 的中点M 的轨迹方程.第2页，共15页1 9 .四棱锥P 4 B C D中，底面A B C。是边长为2的菱形，侧面P A D，底面A B C Z),4 B C D=6 0。，PA=PD=V2,E是8 c的中点，点。在侧棱P C上.(1)若Q是P C的中点，求二面角E DQ C的余弦值；(2)是否存在Q,使24平面。E Q?若存在，求出震的值；若不存在，说明理由.20 .已知函数/(%)=excosx x.(1)求曲线y=/(%)在点(0,/(0)

6、处的切线方程；(2)求函数/(x)在区间 0,方上的最大值和最小值.21 .已 知 椭 圆+=l(a b 0)的左，右焦点分别为后、6，上下顶点分别为M、N,点”的坐标为M(0,夜)，在下列两个条件中任选一个：离心率e=；四边形FIM BN的面积为4,解答下列各题.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线/：x =m y-l(z n e R)交椭圆E于A、8两点，判断点G(-3,0)与以线段A 8为直径的圆的位置关系，并说明理由.22.已知函数/(%)=e ,g(x)=x +a l n x,a e R.(而)讨论g(x)的单调性；(而)若/(x)+2x N g(x)+%。，对任意x E(1,+8)恒

7、成立，求。的最大值.答案和解析1.【答案】D【解析】解：椭圆2M+y2=8的标准方程为3=1，4 8即有a=2V2,则椭圆的长轴长为2a=4V2,故选：D.将椭圆方程化为标准方程，可得椭圆的a,进而得到椭圆的长轴长2a的值.本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的长轴长，注意化椭圆为标准方程，属于基础题.2.【答案】A【解析】解：；z=1+i,则复数 2+z2=三 +(1+i)2=泻竟+2 i=l+i,复数I +Z2在复平面上对应的点的坐标为(1,1),位于第一象限.故选：A.利用复数代数形式的乘除运算化简求得对应点的坐标，则答案可求.本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的等式表示法及

8、其几何意义，是基础题.3.【答案】B【解析】解：v a=(2,-2,-3),1=(2,0,4),一一 a-b 4+0-1 2 4V85 cos -=-=.a-b V17-2V5 85故选：B.利用空间向量的夹角余弦值公式cos =黑，即可求得.|a卜 网本题主要考查空间向量的夹角余弦值公式，属于基础题.4.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的单调性的求法，函数的导数的应用，注意函数的定义域.求出函数的定义域，利用导函数的符号列出不等式求解即可.【解答】第4页，共15页解：函数f (%)=一 n%的定义域为：%优 0.函数/(%)=/-Inx的导函数为：f(x)=x-p令x-0,解得0 V%

9、V 1.X函数/(%)=|x2 Inx的单调递减区间为(0,1).故选：D.5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了双曲线的标准方程及充分条件，必要条件的判断，属于基础题.【解答】解：一方面，若ab 0,b V 0或Q V 0,b 0.此时，曲线。产+b y2=1表示双曲线;另一方面，若曲线a%2+by2=1表示双曲线，则a b.0,1+(=1,代(0,此时必有她。，a b故“ab 0”是“曲线a/+b y2=1为双曲线”的充分必要条件.故选C.6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查两个计数原理的综合应用，排列组合，是基础题.“至少1门不同”包括两种情况，两门均不同和有且只有1门相同，

10、利用分步计数原理，求解即可.【解答】解：甲、乙所选的课程中至少有1 门不相同的选法可以分为两类：甲、乙所选的课程中2 门均不相同，甲先从4 门中任选2 门，乙选取剩下的2 门，有 鬣 第=6 种.甲、乙所选的课程中有且只有1 门相同，从 4 门中先任选一门作为相同的课程，甲从剩余的3 门中任选1 门，乙从最后剩余的2门中任选1 门，由分步计数原理，此时共有程盘6=2 4 种.综上，甲、乙所选的课程中至少有1 门不相同的选法共有6+24=30种.故选C.7.【答案】C【解析】解：连接CBi交BG于。，若 E 是 AC的中点，连接BE,ED,：ABC-&8 传1为直棱柱，各侧面四边形为矩形，.。是

11、C/的中点，EZV/AB1，.直线BG 与 直 线 夹 角，即为ED与B G 的夹角NBDE或补角，若BC=1,则CE=1,BD=CD 空,BC 1 面4 出，EC u 面亦的a，则CB 1 CE,而EC I C C ,又 BCDCCi=C,BC,CCi u 面 B C C H，二 EC又CD u面BCGBi，工 CE_LCD,ED=y/CD2+CE2=|,BE=y/CB2+CE2=0,在 BOE中，由余弦定理，得cos/BOEBD2+ED2-BE22BDED故直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为故选：C.连接C/交8 G 于 Q,若 E 是 AC的中点，连接BE,E D,易得EDABi，即直

12、线BC1与直线AB1夹角为NBDE或补角，进而求其余弦值.本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题.8.【答案】B【解析】解：1 tana=3x2-1,tana E 1,+8）.当tana E 0,+8）时，a G 0,）；当tana G 1,0）时，a G ,加）.n 3TT a G 0,-）11,/r）L 4故选B.根据导数的几何意义可知切线的斜率即为该点处的导数，再根据导数的取值范围求出斜率的范围，最后再根据斜率与倾斜角之间的关系左=ta n a,求出a 的范围即可.此题考查了利用导数研究曲线上某点切线的方程，直线

13、倾斜角与斜率的关系，以及正切函数的图象与性质.要求学生掌握导函数在某点的函数值即为过这点切线方程的斜率，且直线的斜率为倾斜角的正切值，掌握正切函数的图象与性质.第6页，共15页9.【答案】A【解析】解：由题意可得：a=5,b =3,所以c =4,即&F 2 =2 c =8.设F】P =r n,F2P=n,所以由椭圆的定义可得：m +n =1 0.因 为 点 篇=%所以由数量积的公式可得：c o s 而所以 丽，讯 =2在仆&P F 2中N&P F 2 =60 ,所以由余弦定理可得:64 =m2+n2 2 m n c o s60，由可得：mn=12,所以工尸1尸 2 =|n i n si n 6

14、0 =3 V 3.故选4先根据椭圆的方程求得c,进而求得因尸2|,设F 1P =m,F2P=n,再根据条件求出FlPF2=6 0%然后利用余弦定理可求得，的值，利用三角形面积公式求解.解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的标准方程、椭圆的定义，熟练利用数量积求向量的夹角以及利用解三角形的知识求解面积问题.10 .【答案】C【解析】【分析】由E(X)=/利用随机变量X的分布列列出方程组，求出a =T，由此能求出。(X),再由。(3 X -2)=9D(X),能求出结果.本题考查方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.【解答】解：

15、E(X)=/由随机变量X的分布列得：(：+a +b =l6 解得a =：,-i+b=3 3 21,1 1,1 1,1 5.D(X)=(-1-3)2X-+(0-)X-+(1-)2X-=-.5D(3X-2)=90(X)=9 x -=5.故选：C.11.【答案】D【解析】解：设M在双曲线捺5=1的左支上，且A M =A B =2a,Z.MAB=12 0,则M的坐标为(-2 a,U a),代入双曲线方程可得，4Q2 3a2 t-a-2-b-2=1,可得Q =b,c=Va2 4-b2=V2a,即有e=-a=V2.故选：D.设M在双曲线今-=1的左支上，由题意可得例的坐标为(-2a,6 a),代入双曲线方

16、程可得a=b,再由离心率公式即可得到所求值.本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键.12.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，函数单调性的性质，函数的极限，是函数图象和性质较为综合的应用.由题意可得e*。-T -5(-殉+a)=0有负根，函数/i(x)=ex-1-ln(-x+a)为增函数,由此能求出a的取值范围.【解答】解：由题意可得：存在&E(8,0),满足就+ex g=(%o)2+ln(%o+a)，Bpex-ln(%0+Q)=0有负根，当x趋近于负无穷大时，ex0 -1-ln(-x0

17、+Q)也趋近于负无穷大，且函数h(%)=ex j ln(%+a)为增函数，若a 0,此时靖。一 一也(一&+。)=0有负根，符合题意，若a 0,则/i(0)=e|Ina 0,Ina InV,a 0,则当xe(-8,i)时，f(x)0.所以/(X)在(8,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.又/=-e,/(2)=a,取 b 满足b0 且b (b -2)+a(b -=贴 2 -我 0,故/(X)存在两个零点.(山)设a 0,因此f(x)在(1,+8)上单调递增.又当 1 时，/(%)0,所 以 不 存 在 两 个 零 点.若al,故当x W (l/n(2 a)时，fx)0.因此/(x)在(1

18、,I n(-2 a)上单调递减，在(l n(-2 a),+8)上单调递增.又当x W 1时，/(x)若点A、B关于直线/：y =k x+4(k 0)对称，贝U设直线A B的方程是=-ky+n,代入双曲线方程/-?=1化简得：(3/c2-l)y2-6kny+3 n2-3 =0,贝必=3 6k 2 n 2 -4(3 1 -i)(3 n2-3)0,且3 k 2 -1 父 0,解得3 1 -1 +n2 0,且3 k 2 -1 片 o又y i +丫2 =素，设4 B的中点是。(xo，y(),所 以 出=华=建？殉=_ 协。+n=一 舟.因为A 8的中点。在直线/：y =k x+4(k 0)上，所以=卜,

19、一?-+4,所以n/c =3上2 1,又3炉 一 1。o,3k2-l 3k2-1所以九/f H 0,即k。0,九H 0,所以？I =“J,k所以3 k 2 -1 +(专二)2 0,整理得(3/一 1)(4/-1)0,所以0 k y,实数的取值范围为：(0,Ju谭,+8),故答案为：(0，)U(,+8).设双曲线上两点2(xi，y i),B(x2y 2)直线A 3的方程是 =-1丫 +葭，代入双曲线方程化简得(非l)y 2 一 2 k n y +必 3 =0,A 8的 中 点 是 利 用 判 别 式 大 于0,韦达定理结合4 8的中点 在直线/：y =k x+4(k 0)上，转化求解女的范围即可

20、.本题主要考查直线与双曲线的综合问题，双曲线的几何性质等知识，属于中等题.1 7.【答案】解：(1)依题意对冰壶运动有兴趣的人数为|x(2 00+2 00)=2 7 0人，则女生中对冰壶运动有兴趣的有2 00-8 0=1 2 0人，男生中对冰壶运动有兴趣的有2 7 0-1 2 0=1 50人，所以男生中对冰壶运动无兴趣的有2 00-1 50=50人，故2 X 2列联表:第10页，共15页有兴趣没有兴趣合计男15050200女12080200合计270130400“2 400 x(150 x80-50 xl20)2 400 K/=-=x 10.256 6,635,270 x130 x200 x2

21、00 39 有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关.(2)从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取9人，抽到的男生人数、女生人数分别为：9费=5(A),9 x 黑=4(人)，X的所有可能取值为0,1,2,P(X=0)=乌=W=三，1 7 Cl 36 18P(X=1)=9,以 36 90 5 =2)=:=卷/故X的分布列为：X012P5185916故 E(X)=0 x 葛+1X/2XR*【解析】(1)根据题干所给数据求出冰壶运动有兴趣的男女人数，即可得到列联表，再计算出卡方，即可判断.(2)首先利用分层抽样求出男、女抽取的人数，依题意X的所有可能取值为0,1,2,求出所对应的概率，即可得到分布列

22、与数学期望；本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题.18.【答案】解：(1)设点C坐标为(x,y),由题知心C/BC=WX4=；,X+X L 4v2整理得点C的轨迹方程为?+y2=1(X*+2)；(2)设点M坐标为(x,y),点C坐标为。0，%)，广+X。_ 4 _ a由中点坐标公式得晶二,即2将那?代入？+=1(行0),得点M的轨迹方程为：色 薯+y2=1(7 4 0).【解析】(1)设点C坐标，根据题意直接列方程可得；(2)由相关点法可得.本题考查了轨迹方程的计算，属于中档题.19.【答案】(1)解：取 中 点0,连接OP,OB,BD,因为PA=P D

23、,所以P0 14D,因为侧面PAD 1底面A8C,且平面H4Dn底面4BCD=AD,所以PO J 底 面 ABC。，可知，BO A.AD,PO 1AD,以0为坐标原点，如图建立空间直角坐标系O-xyz,则。(-1,0,0),E(-1,75,0),P(0,0,l),C(-2,V3,0),因为。为PC中点，所以。(一1,4,所 以 屁=(0,71,0),而=(0,y,i),所以平面OE。的法向量为石=(1,0,0),因 为 虎=(-l,V3,0),DQ=(0,苧,，设平面OQC的法向量为芯=(x,y,z),DC-=0DQ-nJ=0即则 x+V3y=0V3,1 y+-z=0I 2 J 2令x=遍，则

24、y=l,z =即通=（遮,1,8）,所以3宙E =需=亨，由图可知，二面角E DQ-C为锐角，所以余弦值为今；(2)解：设 用=，正(0W4W1),由(1)可 知 正=(-2,V3,-1),P4=(1,0,-1).设Q(x,y,z),则 的=(x,y,z-1),又 因 为 的=4定=(一2尢8;I,冷,x=-24所以 y=V5a,即Q(22,V5尢A+1),z A+1所以在平面D E Q中，屁=(0,我,0),丽=(1 一 2九V3A,1-A),所以平面OEQ的法向量为元=(1 尢0,24-1),又因为P4平面。E Q,所 以 可 4=0,第12页，共15页即(1-A)+(-1)(22-1)=

25、0,解得2=I，所以当；1 =|时，即卷=|，P4平面OEQ.【解析】(1)以。为坐标原点，建立空间直角坐标系。-xyz利用向量法能求出二面角E-DQ-C的余弦值；(2)设 所=4 定(0 S 4 S 1),Q(x,y,z),推导出Q(2尢遮；1,-4+1),利用向量法能求出当;1 =|时，P4平面。EQ.本题考查了二面角的计算和线面平行的证明，属于中档题.20.【答案】解：(1)v/(%)=excosx%,/(%)=ex(cosx-sinx)1,可得曲线y=/(%)在点(0/(0)处的切线斜率为k=尸(0)=0,/(0)=1,切点为(0,1),曲线y=f (x)在点(0 J(0)处的切线方程

26、为y=1；(2)/(%)=excosx%,/(%)=ex(cosx sin%)1,令 9(x)=ex(cosx sinx)1,g(x)=ex(cosx sinx sinx cosx)=2ex sinx,当 6 0,可得g(x)=-2 ex sinx 0,即有g(x)在 0,/上单调递减，可得g(x)g(0)=o,即(%)0,故44G8 6 且 襦，旗不共线，故4/1GB为锐角,所以G 在以A 8为直径的圆外.【解析】(1)根据所选条件及？=,结合椭圆参数关系求出椭圆方程；(2)联立直线与椭圆方程，应用韦达定理求物+如、y4y8,利用向量的数量积的坐标运算判断出而 符号，即可判断点圆的位置关系.

27、本题考查了直线与椭圆的综合应用，属于中档题.22.【答案】解：(团)”(%)=1+=誓(0),当Q N 0时，g(%)0,g(x)在(0,+8)上单调递增；当aV O 时，令g(x)0,解得%-a,令(%)V 0,解得0 V%g(%)+%。即为e*+%dlnx+xa,即e*+Ine*lnxa+xa,设/i(%)=In%+x(x 0),则九(%)=(+1=易知函数九(%)在(0,+8)上单调递增，而九(短)之八(0),所以即之aln%,当 1 时，即为a W禽，设W(x)=已(x 1),则“(无)=7，易知函数(%)在(0,e)上单调递减，在(e,+oo)上单调递增，(p(x)g(e)=e,a lnxa+xa,设九(%)=Inx+xx 0),求出九(x)的单调性，可知当%1 时，a 1),求出火%)的最小值即可得解.本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的恒成立问题，考查构造函数思想，第14页，共15页考查运算求解能力，属于中档题.