2021年高考数学真题试卷（北京卷）.pdf

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1、2021年高考数学真题试卷(北京卷)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.(共10题；共40分)1.(4分)已知集合力=久|-1%1,B=x|0 W x W 2 ,贝U 4 UB=()A.(-1,2)B.(-1,2C.0,1)D.0,1【答案】B【解析】【解答】解：根据并集的定义易得4 UB=x|-l x/3y2 q n/3x2 2 1A.%一号=1-3y=1 J x-=1 一g-y=1【答案】A【解析】【解答】解：由e=2得 c=2a,则 b2=c2-a2=3a2则可设双曲线方程为：彳一4=1,a2 3 a22 2将 点(0,遮)代入上

2、式，得_=1a2 3a2解得 a2=l,b2=3故所求方程为：x2-=l故答案为：A【分析】根据双曲线的离心率的定义，结合双曲线的几何性质和标准方程求解即可.6.(4 分)和(bn)是两个等差数列，其 中 (l f c 5)为常值，由=288，。5=96,kb 1 9 2，贝 ij/=()A.64 B.128 C.256 D.512【答案】B【解析】【解答】解：由题意得碇=甘=第f =，则君=W 则/=枭 5=6 4,所以什 3=与*%=*以=128.故答案为：B【分析】根据题设条件，结合等差数列的性质求解即可.7.(4 分)函 数/(%)=cosx-cos2x,试判断函数的奇偶性及最大值()

3、A.奇函数，最大值为2 B.偶函数，最大值为2C.奇函数，最大值为|D.偶函数，最大值为【答案】D【解析】【解答】解：Vf(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cosx-cos2x=f(x)f(x)为偶函数又 f(x)=cosx-cos2x=-2cos2x+cosx+1令 t=cosx,则 y=-2t2+t+1,-1,1,则 当 一治1时，y 取得最大值%5 =(-2)X出 2+抖 1 98故答案为：D【分析】根据偶函数的定义，利用换元法，结合二次函数的最值求解即可.8.（4 分）定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm）来判断降雨程度.其中小雨（10mm),中 雨(10mm 25mm

4、),大 雨(25rrun 507nm),暴 雨(50mm 100mm),明用一个圆锥形容器接了 24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）B.中雨【答案】BC.大雨D.暴雨【解析】【解答】解：如图所示,由题意得备=揣 则 r=50则雨水的体积为V=|u r2h=|ir x 502 x 150,2则降雨的厚度（高度）为H=3n义 5 半 =i2.5（mm）ITXlOO2 TEX1002故答案为：B【分析】根据圆锥的体积公式，及圆柱的体积公式求解即可.9.（4 分）已知圆C:x2+y2=4,直 线l:y=kx+m ,当k变化时，I截得圆C弦长的最小值为2,则 m=（）A.+2 B.+V2 C

5、.+V3 D.+V5【答案】C【解析】【解答】解：由题意可设弦长为n,圆心到直线1的距离为d,则 d2“2=4 一则当n 取最小值2 时，d 取得最大值为百，则弓=-遍Jl+k当k=0时，d 取得最大值为值，则|zn|=V3解得m=+V3故答案为：C【分析】根据直线与圆的位置，以及相交弦的性质，结合点到直线的距离公式求解即可.10.（4 分）数 列 即是递增的整数数列，且 由 2 3 ,ai+ci2+0n=100,则n的最大值为（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】C【解析】【解答】解：数 列 a 是递增的整数数列，n 要取最大，d 尽可能为小的整数，故可假设d=lVai=3,d=l

6、an=n+2 _（3+n+2）n _ n2+5n,=2=-2则 Sn=88100,故n 的最大值为11.故答案为：C【分析】根据等差数列的通项公式及前n 项和公式求解即可.阅卷入二、填空题5小题，每小题5分，共2 5分.（共5题；共2 5分）得分4 411.（5 分）（炉 一 3 展 开 式 中 常 数 项 为.【答案】-4【解析】【解答】解：由题意得二项展开式的通项公式为九+1 =/（久 3）（_ ,=僚（一 1）/2-狄令 12-4k=0,得 k=3故常数项为 n =%+1=Ci（-l）3=-4故答案为：-4【分析】根据二项展开式的通项公式直接求解即可.12.（5 分）已知抛物线C-.y2

7、=4x,焦点为F,点 M为抛物线C上的点，且FM=6,则M的横坐标是；作M N L x轴 于N,贝 I S.FMN=.【答案】5；4V5【解析】【解答】解：由题意知焦点F 为（1,0）,准线为x=-l,设点M 为（xo,yo）,则有|FM|=xo+l=6,解得 xo=5,则y。=2V5,不妨取点M 为（5,2佝则点N 为（5,0）则|FN|=5-1=4则SAFMN=FN x MN=ix 4 x 2 V 5 =4/5故答案为：5,4A/5【分析】根据抛物线的几何性质，结合三角形的面积公式求解即可.13.（5 分）若 点 P（cos0,sin0）与 点 Q（cos（6+sin（e+给关 于y轴对称

8、，写出一个符合题意的 6=.【答案】招（满足驾+即可）（sin0=sin（0+5）【解析】【解答】解：由题意得1/口、，对比诱导公式sina=sin（兀a）,cosa=-cos（兀a）得（cos。=cos（6+TTe+z =n 8+2ku,o解得e=1+kiT,ke Z当 k=0 时，9 =故答案为：患【分析】根据点的对称性，结合诱导公式求解即可.14.(5 分)已 知 函 数/(x)=|lgx|-kx-2,给出下列四个结论：若k=Q,则/(%)有两个零点；北 0,使 得/(x)有一个零点；北 0,使 得/(%)有三个零点.以 上 正 确 结 论 得 序 号 是.【答案】【解析】【解答解:令|

9、lgx|-kx-2=0,即 y=|lgx|与 y=kx+2 有几个交点，原函数就有几个零点,当 k=0时，如 图 1 画出函数图象，f(x)=|lgx卜 2,解 得*=100或=焉，所以有两个零点，故 项正确；当 k0时，y=kx+2过点(0,2),如 图 2 画出两个函数的图象，3k 0,使得两函数存在两个交点，故项正确；当 k0时，y=kx+2过点(0,2),如 图 3 画出两个函数的图象，不存在k0时，y=kx+2过点(0,2),如图4 画出两个函数的图象，3/c 0,使得两函数存在三个交点，故项正确.故答案为：【分析】根据函数的零点的几何性质，运用数形结合思想求解即可.15.(5 分)

10、五=(2,1),方=(2,1),下=(0,1)，则 伍+3)1=;a-h=【答案】0:3【解析】【解答】解：由题意得：+匕=(4,0)，则(a+b)c=4 x 0+0 x 1=0,a-fo=2 x 2 +l x(-1)=3故答案为：0,3【分析】根据向量的坐标运算，及向量的数量积运算求解即可.阅卷入三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证得分明 过 程.（共6题；共85分）16.（13 分）已知在 aABC 中，c=2bcosB,C=等.（1）（6.5分）求B的大小；（2）（6.5分）在下列三个条件中选择一个作为已知，使4 A B C存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的

11、长度.c=V2b;周长为4+2次；面积为SAABC=；【答案】（1）c=2bcosB,则由正弦定理可得sinC=2sinBcosB,sin2B=sin 等=弓，丁 C=冬 B G （0,，2B 6（0,28=孔解 得8=左；D O（2）若选择：由正弦定理结合（1）可 得 怖=吗=4=遮，D S 1I1D ，2与c=y2b矛盾，故这样的X A B C不存在；若选择：由（1）可 得4=看，设a A B C的外接圆半径为R,则由正弦定理可得a=b=2Rsin=R,O2 7 Tc=2Rsin 寺=用，则周长 a+b+c=2R+V3/?=4+2 7 3，解得 R=2,贝I a=2,c=25/3，由余弦定

12、理可得B C边上的中线的长度为：J（2V3）2+I2-2 x 2V3 x 1 x cos J=V7；若选择：由（1）可 得4=看，即a=b,则 SM BC=；absinC=：a?x 芋=解得 a=V3,则由余弦定理可得B C边上的中线的长度为：Jb2+-2 x b x x c o s =13+扛 遮 x 空=缘【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合三角形内角和的性质求解即可;（2）选 择 ：根据正弦定理，结 合（1）进行判断即可；选 择 ：根据正弦定理，及余弦定理求解即可；选 择 ：根据三角形的面积公式，结合余弦定理求解即可.1 7.（1 3 分）已知正方体ABCD-A C，点 E为 4小

13、中点，直 线 8 交平面C D E于点（1）（6.5 分）证明：点 F 为 BiQ的中点；（2）（6.5 分）若 点M为 棱/出上一点，且二面角M-C F -E的余弦值为哗，求 里3 A1%的值.【答案】（1）如图所示，取B G 的中点F ,连 结DE.EF.FC,由于ABCD-A i B G D i为正方体，E.F为中点，故EF|CD,从 而E,F,C.D四点共面，即平面C D E 即平面CDEF,据此可得：直 线 8 1 c l 交平面C D E于 点F ,当直线与平面相交时只有唯一的交点，故 点F与 点F重合，即 点F为BiCi中点.（2）以 点D为坐标原点，DA.DC.DDi方向分别为

14、x轴，y轴，z轴正方形，建立空间直角坐标系0 -xyz,不妨设正方体的棱长为2,设 霜=A（0 A 条 时，E(X)E(Y)；若 p 条 时，E(X)E(Q.【解析】【分析】(1)根 据 k合 1检测法”，结合随机抽样的定义求解即可；根 据“k 合 1检测法”，以及对立事件的概率，结合离散型随机变量的分布列和期望求解即可;(2)根 据“k 合 1检测法”，以及对立事件的概率，结合离散型随机变量的期望求解即可.19.(15分)己知函数/(x)=.(1)(7.5分)若 a=0,求 y=/(K)在(1,/(1)处切线方程;(2)(7.5分)若 函 数/(%)在 =-1 处取得极值，求/(%)的单调区

15、间，以及最大值和最小值.【答案】(1)当 a=0 时，/(%)=与 登，贝 1/(%)=2(3 3)，=/(i)=一 4,此时，曲线y=/(x)在 点(1 J(1)处的切线方程为y-l =-4(x-l),即 4x+y 5=0；(2)因为/(%)=益，则,/(/%)、=2(x24-a；)2xz(-3-2%)-=-2(x2：3xLa)(x2+a)(x2+a)由题意可得八7=等=解 得 a=3-2%/、2(x+l)(x-4)故 f(x)=2T 7 /(”)=-7，列表如下:X2+4(X2+4)X(-00,-1)-1(-1,4)4(4,+8)/(X)+0-0+/(%)增极大值减极小值增所以，函数f(x

16、)的增区间为(-o o.-l),(4,+o o),单调递减区间为(一 1,4).当 x 0;当 x|时，/(%)b 0)过 点 4(0,-2),以四个顶点围成的四边形面积为Q b4 V 5 .(1)(7.5 分)求椭圆E的标准方程；(2)(7.5 分)过 点 P(0,-3)的直线/斜率为匕 交椭圆E于不同的两点B,C,直线A B,AC交产-3 于点M、N,直线AC交产-3于点M 若IPM+IPM W 15,求的取值范围.【答案】(1)因为椭圆过71(0,-2)，故 b =2 ,因为四个顶点围成的四边形的面积为4 V 5 .故 4 x 2 a x 2 b =4 通，即 a =而，故椭圆的标准方程

17、为：4+4=1.5 4因为直线B C的斜率存在，故X 1x2于0,故直线 AB:y=-2,令 y=-3 ,则%M=-同理 X n=y+2-（叔2v _1 _ 5kyx2 _ 3 20 可 得（4+5 k2）/-30/cx+25 =0,故 4=900k2 _ ioo（4+5 k2）o,解得 k V 1 或 k 1.,30k 25 八 by 八又%i+x2=-=-2，故%1%2 0，所以 xMxN 04+5/c 4+5/c又 PM 4-PN=xM+xN=|y 2+y+2 I5 0 k _ 30/c,%i,%2 ,2 k x1x2-（x1+x2）,4+5 k2 4+5后,1%2 1/c 打2 k（%

18、i+%2）+1 2 5 k _ 3 0 k ,14+5/c2 4+5/c2=5故 5 1kl 15 即 k 3,综上，3 k -1 或 1 0,a2+p =0；1 舍去.当 劭=0,贝ij an)前四项为:0,0,0,1,下面用归纳法证明 a4 n+i=n(i=1,2,3),a4n+4=n+l(n 6/V)：当 n=0时，经验证命题成立，假设当 n 0)时命题成立，当 zi=k+1 时：若 i=1,贝!4(fc+l)+l=a4k+5=a/+(4fc+5-j)利用性质：ay+a4 k+5_j j E N*,1 j 4k+4=k,k+1 ,此时可得：。轨+5=k+1；否则，若 a4k+5=k，取

19、k=0可得：as=0,而由性质可得：as=%+e 1,2,与 a5=0矛盾.同理可得：a；+a4k+6-j I /C N*,1 S j W 4k+5=伙,k+1 ,有 a4k+6=k+1；dj+a4k+8-j I j 6 N*,2 j 4k+6=k+1,k+2 ,有 a4k+8=k+2；q+a4 k+7_j j E Nr,l j 4k+6=k+1 ,又因为 a4k+7 0,b2=a2+p=0,b4n-i=a4n-i+P 0,S9-S10=-io=4x2+2=(2-P)0,因此 p=2,此时 的,。2,，即。W 0,aj 0(J 1 1),满足题意.【解析】【分析】（1）根据新数列Rp数列的定义

20、进行判断即可;(2)根据新数列R p数列的定义，结合数学归纳法求解即可；(3)根据新数列R p数列的定义，结合a”与 S”的关系进行判断即可.试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：150分分值分布客观题（占比）50.0(33.3%)主观题（占比）100.0(66.7%)题量分布客观题（占比）12(57.1%)主观题（占比）9(42.9%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分 值（占比）解答题共6 小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.6(28.6%)85.0(56.7%)选择题共10小题，每小题4 分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.10(

21、47.6%)40.0(26.7%)填空题5 小题，每小题 5 分，共 25分.5(23.8%)25.0(16.7%)3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(47.6%)2容易(33.3%)3困难(19.0%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分 值（占比）对应题号1空间中直线与平面之间的位置关系13.0(8.7%)172二项式定理的应用5.0(3.3%)113椭圆的简单性质15.0(10.0%)204复数代数形式的混合运算4.0(27%)25直线与圆的位置关系4.0(27%)96平面向量的坐标运算5.0(3.3%)157利用导数求闭区间上函数的最值15.0(10.0%)198数学归纳法

22、的证明步骤15.0(10.0%)219与二面角有关的立体几何综合题13.0(8.7%)1710等差数列的性质4.0(27%)611等差数列的通项公式4.0(27%)1012直线与圆锥曲线的综合问题15.0(10.0%)2013正弦定理的应用13.0(8.7%)1614双曲线的简单性质4.0(2.7%)515二项式系数的性质5.0(3.3%)1116诱导公式5.0(3.3%)1317正弦定理13.0(8.7%)1618导数的几何意义15.0(10.0%)1919由三视图求面积、体积4.0(2.7%)420点到直线的距离公式4.0(27%)921数列的概念及简单表示法15.0(10.0%)2122

23、旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）4.0(27%)823余弦定理13.0(8.7%)1624直线与圆锥曲线的关系15.0(10.0%)2025函数的零点5.0(3.3%)1426等差数列的前n项和4.0(27%)1027离散型随机变量及其分布列14.0(9.3%)1828利用导数研究函数的极值15.0(10.0%)1929二次函数在闭区间上的最值4.0(27%)730必要条件、充分条件与充要条件的判断4.0(27%)331由三视图还原实物图4.0(27%)432抛物线的简单性质5.0(3.3%)1233棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积4.0(2.7%)434并集及其运算4.0(27%)135利用导

24、数研究函数的单调性15.0(10.0%)1936数学归纳法15.0(10.0%)2137三角形中的几何计算13.0(8.7%)1638偶函数4.0(27%)739互斥事件与对立事件14.0(9.3%)1840二项式定理5.0(3.3%)1141余弦定理的应用13.0(8.7%)1642双曲线的标准方程4.0(27%)543抛物线的应用5.0(3.3%)1244简单随机抽样14.0(9.3%)1845平面向量数量积的坐标表示、模、夹角5.0(3.3%)1546椭圆的标准方程15.0(10.0%)2047用空间向量求平面间的夹角13.0(8.7%)1748离散型随机变量的期望与方差14.0(9.3%)18