2022年全国硕士研究生入学考试数学二预测试卷和答案解析.pdf

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1、绝密启用前考生编号姓名2022年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）预 测 试 卷 卷（一）考生注意事项1.答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。2.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答案区域上写的答案无效；在草稿纸试题册上答题无效。3.填（书）写必须使用黑色字迹签字笔或钢笔，字迹工整，笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。一、选择题：1 1 0小题,每小题5分，共5 0分.下列每题给出的四个

2、选项中，只有一个选项是符合题目求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1 )把当4 0 时的无穷小量 a=l n(1 +%2)-l n(1 -x4),/?=f t a n d t,y=a r c t a n x -x 排列Jo起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)(B)(C)(D)y,0,a.(2)设/(%),g(%)二阶可导，又/(0):0,g(0)=0,/7 0)0,g，(0)0,令尸(,)=J,(c)g(，)山，则(A)x =0是函数尸(x)的极小值点.(B)工=0是函数尸(彳)的极大值点.(C)(0,尸(0)是曲线y =F(x)的拐点但x =0不是尸(

3、x)的极值点.(D)x =0不是函数尸(x)的极值点，(0,F(0)也不是曲线y =F(z)的拐点.设/(工)在(-8 ,+8 )内二阶可导且/”(x)0,则 Yx 0,%0,%0,有(A)(B)(C)(D)/(z)-/(x -f c.)、f(x+h2)-f(x)-h-/(，)x；-/(x)-/(x-A.)/(工+&)-/)-h,-/(“)-兀-/(X、)/(x)f(x+h2)-/(x)-ht-1-1-(4)下列等式或不等式/0,(a r c t a n )dx=a r c t a n X7T.厂3 设/(%)=中正确的共有(A)1个.x 2 s.m 一1,x0,x X ，则/f(x)dx=0

4、,%=0,(B)2 个.(C)匚打3 个.(D)4个.(5)下列函数中在区间-2,3 上不存有原函数的是fl n(l 4-x2)-x5 ,%声 U,(A)/(x)=Ix =0-(B)/(x)=ma x|%|,1|.l n(1 +x)-x 八2,X 0,X(C)/(z)=.0,%=0,t a n x -s in x 八j ,X 0.X教 学 二预 测 试 卷 卷(一)1,y(*2+1).*1.(D)f(x)=(g U)市，其中 g(z)=J y(-1),1 W x.(6)设/(孙y)有连续的偏导数且/(%y)(y d x+x d y)为某一函数u(孙y)的全微分，则下列等式成立的是(A)?=.(

5、B)*=y&.(C)-x&=y%.(D)，吏=y 亚.dx dy dx dy dx J dy dy 7 dx(7)求二重积分 J =J x2y d x d y,(D =|(%,y)I 1 W%W 2,0 这 y W +J 22 欠 .)的值等于D(A)S(B)io 2(D)rro 0 0 A 01 0)(8)矩阵A 满足：A10 0 =00 1卜 则 A 的形式为 0 1o J00 o Jf a 0 0、，Q b c、(A)b a0(B)0 a 6 c b a)0 0 a)9 0 a、fc b Q、(C)0 Q/)(D)b a 0 a b c J 4 -2 f l-1 -1 0-(9)设A=0

6、 3 2,B =0 a 1，已知4和B 有一个公共特征向量”，并且特征值分别是-b 1 1-2 b 1-1 和0,则(A)a=-1,6 =1.(B)a=1,6 =0.(C)a=19b =-1.(D)a=0,6 =1.-1 1 -2(10)设4=1 -2 1 ，则下列矩阵中与A 合同但不相似的是-2 1 1 -1 -21 -1 1r(A)-2 4-2.(B)1 3 1-1 -21 -11 1-3 0 0 0 0 r(C)0 0 0(D)0 0 0-0 0 -3-1 0 0-2预 测 试 卷 卷(一)数 学 二、填空题：1 1 1 6 小题,每小题5分，共 3 0 分.请将答案写在答题纸指定位置上

7、.(1 1)数列极限/=lim(a rct a n +1-y-k/n2+nn-*n 4 /1 加(1+粤 户 ),x#0,(12)设/U)=2 n 则/)lim -r+-Y +-r,X =0,L (a +1 )(n +2)(n +n)J(1 3)微分方程(3 y-2%)dy=ydx的通解是.(1 4)设/(%)在 0,+8)上连续，在(0,+8)内可导，当 e(0,+8)时J(%)0且单调上升,%=g(y)为 y=/(%)的反函数，它们满足f(x)dx+g(y)dy=/(/N 0),则/(%)的表达J 0 /(O)式是.(1 5)设动点P(孙y)在曲线9 y=4/上运动，且坐标轴的单位长度是1

8、 cm.如果P 点横坐标的速率是3 0。1 1 1/,则当点经过点(3,4)时,从原点到r 点的距离r 的变化率是.(1 6)已知A-210-03 01 00 20 0O-001-A,为A 的伴随矩阵，则(+4才 三、解答题：1 7 -2 2 小题，共7 0 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过演算步骤.(17)(本题满分1 3 分)(I )设/(*)在彳=0的某邻域内有定义,且满足1 而 出 独 与 二 典 色=0,求极限1 而 )4x-*0 X x-4)X(H)求二重积分J =I fydxdy,其中。由星形线厂=c，(o w,w )与工轴围成.Ply=sin t(1

9、8)(本题满分1 0 分)已知 为(#)=xe*+e-2,y；(x)=x e +xe-2*,y j(x)=xe-*+e-2*+xe-2*是某二阶线性常系数微分方程y”+p y+gy=f 的三个特解.(I )求这个方程和它的通解；(I I)设=y(x)是该方程满足y(0)=0,/(0)=0的特解，求j；y(x)dx.(19)(本题满分1 0 分)设。是曲线y=2 工-与x 轴围成的平面图形，直线 =人把。分成为，和凡两部分(如图)，满 足 的 面 积S,与D2的面积S2之比&：S2=1 ：7.数 学 二 预 测 试 卷 卷(一)3(I )求常数k的值及直线y=kx与曲线y =2 x-x2的交点.

10、(H)求平面图形D,的周长以及，绕y轴旋转一周所得旋转体的体积.(20)(本题满分11分)设 z =z(x,y)是由 9x2-54xy +90y2-6y z -z+18=0 确定的函数,(I)求z =z(x,y)一阶偏导数与驻点；(I I )求z =z(*y)的极值点和极值.(21)(本题满分14分)(I )设/(x)=4r+3 x2-6x,求/(z)在(-8 ,+oo)的零点个数.(H)设/(X)在 0,2 上连续，在(0,2)内具有二阶导数，且/(0)=/(2)=0,/(1)=2.求证:至少存在一点f e (0,2)使得/%)=-4.(22)(本题满分15分)设q =(1,3,5,-1)T

11、,2=(2,7,a,4),4=(5,17,-1,7)1(I)若%，4线性相关，求a.(U)当a =3时，求与%,%,4都正交的非零向量4 .(III)设a =3,a4是与a,a2 都正交的非零向量，证明%,%，%，%可表示任何一个4维向量.(IV)在，町，与线性无关时,证矩阵C =(0,x2,x3)记4阶实矩阵4=Xjx/+X2X2T+X3X3T二次型XTAX的秩.4预 测 试 卷 卷(一)数 学 二绝密启用前考生编号姓名2022年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）预 测 试 卷 卷（二）考生注意事项L 答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写报考单位、

12、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。2.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答案区域上写的答案无效；在草稿纸试题册上答题无效。3.填（书）写必须使用黑色字迹签字笔或钢笔，字迹工整，笔迹清楚;涂写部分必须使用2B铅笔填涂。4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。一、选择题：1 1 0小题,每小题5 分，共5 0分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)设/(%)=er，d ,g(x)在 =。连续且满足g(%)=1 +2 x +o(%)(x 0).又尸(欠)=J

13、g(x),J o则广(0)=(A)4 e.(B)4.(C)2.(D)2 e.中 +!)-小 +4)(2)设/(工)是以3 为周期的可导的奇函数，且/(2)=1,则数列极限/=l i m -/*+0 0 1 1n +n(A)0.(B)1 .(C)2.(D)y.(3)以 九=e*c o s 2 x,y2=e，s i n 2%与 =e-*为线性无关特解的三阶常系数齐次线性微分方程是(A)yn+/+3 yz+5 y =0.(B)y -/+3 yz+5 y =0.(C)yn+yn-3 yr+5 y =0.(D)/r-yn-3 yr+5 y =0.(4)设函数F(x,y)在(,为)某邻域有连续的二阶偏导数

14、，且 F(x0,y0)=F;(x0,y0)=0,J o)O,r(xo,yo)0 为常数，则/可写成(A)I dx l/(%,y)dy.(B)|dy|f(x9y)dx.J a J-x1 J-a J 0W-Z o x-x r /a y-y1/(x,y)dy.(D)f dyf /(x,y)dx.-Jo x-WJ Q J-Js-：(6)设函数/(x)在0,+8)内可导，且/(I)=2.若/(x)的反函数g(z)满足1gf(n x+1)/(ln x+1)=I n x+1xe2(x-,)+1.(C)e1-1+1.(D)2/T.x 0,%=0,0%W 1,1 x 2.(B)a/2.(C)0 a 2.(D)a

15、 0,求证:函数/(*)=fe-/(t)d i是(-8,+8)上的有界奇函数.J 0(U )从抛物线y=X2-1上 的 任 意 一 点-1)引抛物线y=X2的两条切线，求这两条切线的切线方程;并证明该两条切线与抛物线=x2所围面积为常数.(1 8)(本题满分11分)计算二重积分/=，I sin(x-y)|dxdy,其中。：0 W x W 2TT,x W y 这 2TT.D(1 9)(本题满分11分)求/(x,1,z)=x+y-z:+5在区域fi：x2+y2+z2 2上的最大值与最小值,(2 0)(本题满分12分)设有一容器由平面z=0,z=1及介于它们之间的曲面S所围成.过z轴 上V点(0,0

16、,z)(0近z这1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面(z),它是半径r(z)=/(I -z 4 +z?的圆面.若以每秒体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的.(I)写出注水过程中，时刻水面高度Z=z(，)与相应的水体积/=1/(。)之间的关系式，并证明水面高度Z与时间I的函数关系：4-z3+(Z-1)+1=/;3IT(n)求水表面上升速度最大时的水面高度；(田)求灌满容器所需时间.(2 1)(本题满分10分)设/(%)在(-8 ,+8)一阶可导,求证：(I)若/(X)在(-8 ,+8 )是凹函数，则 lim f(x)=+8 或 lim/(x)=+o o .(n)若/(工

17、)在(-8 ,+8)二阶可导，又看在词限lim/(X)lim/(x)=8,则存在f eX-*+0D X -00(-8 ,+8),使得/()=0.(2 2)(本题满分15分)已知A是3阶 矩 阵 是 线 性 无 关 的3维列向量组，满足A ax=-|-3a2 -3%,Aa2=4a1+4%+o ty,A a,=-2a)+3 a,.(I)求4的特征值.(n)求A的特征向量.(IU)求 A-6 E 的秩.4预 测 试 卷 卷(二)数学二绝密启用前考生编号姓名2022年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）预 测 试 卷 卷（三）考生注意事项1.答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答

18、题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。2.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答案区域上写的答案无效；在草稿纸试题册上答题无效。3.填（书）写必须使用黑色字迹签字笔或钢笔，字迹工整，笔迹清楚;涂写部分必须使用2B铅笔填涂。4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。、选择题：1 10小题,每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在写攀里指定位置上.(1)下列命题 若/(X)在x=存 在 左、右导数且/.(%)则/(x)在方=%处连续 若函数极

19、限lim/(x)=4,则数列极限lim/(a)=4x-+o o n-+8 若数列极限lim/(2n-1)=lim/(2n)=4,则函数极限lim/(%)=An +n +x +若 lim/(x)=4,lim g(x)不存在，则 lim/(x)g()不存在X-*0 X-*X0 0中正确的个数是(A)1 个.(B)2 个.(C)3 个.(D)4 个.(2)定积分/arctan 的值等于(A)(B)(C)f.(D)cos 工 0(3)设函数/(工)=.X 则下列结论正确的是x2,x W 0,(A)/(x)有间断点.(B)/(*)在(-8 ,+8 )上连续，但在(-8 ,+8 )内有不可导的点.(C)人

20、工)在(-8 ,+8)内处处可导，但/(X)在(-8 ,+8)上不连续.(D)/(彳)在(-8,+8)上连续.(4)设 人=1 詈&/=L就*，则(A)/2 1 (B)/2 /,1 .(5)微分方程/2 (D)1 /,/2.(B)A+BjCos4%+B2sin4x.(D)fi|Cos4x+B2sin4x.(6)设/(%),&)均有二阶连续导数且满足f(0)0,/*(0)=0,g(0)=0,则函数以孙夕)=/(x)J g(l)dz在点(0,0)处取极小值的一个充分条件是(A)/(0)O,g(x)0(0 Wx W 1).(B)广(0)0(0 W x W l).(C)f(0)O,g(x)0(0 近

21、x 近 1).(D)f(0)O,g(x),y=2t+e2,(t 0)，则y=y(x)在 1,+8)的升降性与凹凸性是：(A)单调上升且是凹的.(B)单调上升且是凸的.(C)单调下降且是凹的.(D)单调下降且是凸的.2 预 测 试 卷 卷(三)菽 学 二(8)已知4和8都是n阶矩阵，使得 +4 8可逆则()成立.(A)(E+AB)A(E+AB)1=A(B)(E+AB)B(E+AB)=B(C)(E+AB)-A(E+B A)=A(D)(E+AB)-A(E+B 4)=B(9)设%，”2，%为3个 维向量，A X =0是元齐次方程组。则()正确(A)如果用,外,%都是4X=0的解，并且线性无关，则为A

22、X=0的一个基础解系.(B)如果外，0,小都是A X =0的解，并且r(A)=-3,则功，功,，为A X =0的一个基础解系.(C)如果”,，小川、等价于AX =0的一个基础解系.则它也是AX =0的基础解系.(D)如果r(A)=”-3,并且A X =0每个解都可以用外，功,用线性表示，则功，小，口 为A X=0的一个基础解系.(10)下列矩阵中不相似于对角矩阵的是-1 00-1 1r 111 1-1 2-(A)025.(B)222.(C)222.(D)-103-003-333-3-3-3-233-二、填空题：1 1 1 6小题,每小题5分，共30分.请将答案写在冬熟季指定位置上.(1 1)设

23、y =/(彳)二阶可导，/#0,它的反函数是x =中 ，又/()=1,/(0)=百,/(0)=(1 2)-1,则I d I 1 +w 产设n为正整数，则j,|s i nnz|d x_ r+i i(1 3)l i m -Jn I dx =n-8 J n+c os x(1 4)设/(%,)为连续函数，且/(%,)=e +其 中。：1 +/W 1(。0),则f(x9y)=.(15)设/(%,)有二阶连续偏导数，驾=,兴 =x+九 则/(%,外=_ _ _ _ _ _ _ _.dx dx dy(16)已知4是3阶矩阵,A的特征值为1,-2,3.则(A 厂的特征值为.三、解答题：1 7 22小题，共7

24、0分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程演算步骤.(17)(本题满分1 0分)一质量为M、长为I的均匀杆4 8吸引着一质量为m的质点C,此质点C位于杆4 8的中垂线上,且与4 8的距离为a.试求：薮学二 预 测 试 卷 卷(三 _ 3(1 )杆4 B 与质点C的相互吸引力.(D)当质点C在杆4 B 的中垂线上从点C沿y 轴移向无穷远处时,克服引力所做的功.(18)(本题满分1 0分)设 a =f 2x+3y,z)，其中/具有二阶连续偏导数，而z =z(x,y)是由方程z +I nz -e d t =1J y确定并满足z(0,0)=1的函数，求 烈|.结果用f (0,1)

25、J Z(0,l)表示(i j =1,2).o x dy I(0.0)(19)(本题满分1 5 分)(I )设有x =J：e T d t(y e (-oo,+8),它的反函数是y =y(x),求 y =y(x)的定义域及拐点.(I I )计算二重积分，c os d s i ny?+s i n(z +y)d o，其中 D=|(x,y)|x:+y2 a?,常数a 0|.D(2 0)(本题满分1 2分)一子弹穿透某铁板，已知入射子弹的速度为I，穿出铁板时的速度为“，以子弹入射铁板时为起始时间，又知穿透铁板的时间为3 子弹在铁板内的阻力与速度平方成正比，比例系数左 0.(I )求子弹在铁板内的运动速度v

26、 与时间t的函数关系v =v(t)；(n)求铁板的厚度.(21)(本题满分11分)设/(工)在 a,b 上有二阶导数，且尸(工)0.(I )证明至少存在一点f e (a,6),使J/(x)k=f(b)(-a)+f(a)(b-)；(I I)对(I )中的 f G(a,6),求(22)(本题满分15 分)设.a,都是实的n维列向量，规定n阶矩阵A=ata+a2a +.(I )证明A 是实对称矩阵；(n)证明A是负惯性指数为o；(皿)设a,)=K求二次型X 7 X 的规范形.4预 测 试 卷 卷(三)数 学 二绝密启用前考生编号姓名2022年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）预 测 试 卷 卷（四

27、）考生注意事项1.答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。2.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答案区域上写的答案无效；在草稿纸试题册上答题无效。3.填（书）写必须使用黑色字迹签字笔或钢笔，字迹工整，笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。、选择题：1 10小题,每小题5分，共5 0分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在等攀攀指定位置上.(1)设，*0,

28、I -x-1,x 0,(A)可去间断点.(B)跳跃间断点.(C)连续点.(D)第二类间断点.(2)在反常积分J a r tnXd x j(x e +sin x)d x r ,r i+.乜J t (1 +x)/I -x J。x中收敛的是(A)，.(B)，.(C)，.(D)，.(3)设/(%)=0/(/)6(B)a2 0 .(B)A -1-2,4,A是实数.则A2+A +A E是正定矩阵的充分必要条-1(C)A -1 2 .(D)A 1 .(10)已知向量组,%,一 和区,自，鱼，区都 是4维实向量，其中r(%,4,4)=2,r(，4网,鱼)1，并且每个d与a,4,a3都正交.则r(,凡，仇,仇)

29、=(A)1 .(B)2.(C)3.(D)4.二、填空题：1 1 1 6小题,每小题5分，共30分.请将答案写在写学绡指定位置上.(1 1)设 函 数 外)在 八1处二阶可导，又 叫 5=一,则 =(12)已知函数y(x)可微(x 0)且满足方程y(x)-1 =(*).则 y(x)=.(13)设以工)则(z)=.(14)已知当x 0与y 0时/(】n x,5)=二 土 弄 磊 典,则函数f(x,y)在点(x,y)=(1,1)处的全微分寸1(1,|)=.(15)设y=s in，则.(1 6)已知 6=(1,2,-l)T,a2=(1,-3,2)T,a3=(4,1 1,-6)1 矩阵 4 满足 A.=

30、(0,2)T,A a2=(5,2)T,A a3=(-3,7),则 A =.菽 学 二 预 测 试 卷 卷(四)3三、解答题：1 7 2 2小题，共7 0分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程演算步骤.(1 7)(1 8)(本题满分1 0分)设有抛物线C,；x2=ay和圆C2：x2+y =2y.(1 )确定a的取值范围，使得C1,C?交于三点O,M,P(如图)；(U)求抛物线G与弦M P所围平面图形面积S(a)的最大值；(i n)求上述具有最大面积的平面图形绕，轴旋转一周所得旋转体体积也(本题满分1 3分)孚/+1 0 f e dt(I)已 知 极 限/=l i m-厂

31、士 =%求常数6,c.(H )求累次积分/=J j y j V d x +j dy j e：dx.(19)(本题满分1 0分)设”=u(x,y)在全平面有连续偏导数，(I )作极坐标变换x=r c o sfl,y=r si n。,求 芈 与 普，普的关系式；dr dx dy(口)若 工 +,普=0 (v(z,y),求证:U(z,y)=u(0,0)为常数.(2 0)(本题满分1 1分)设x O y平面第一象限中有曲线y =y(x),过点4(0,&-1 ),/(*)0.又用(工，)为 上任意一点,满足:弧段篇的长度与点M处 的切线在x轴上的截距之差为力-1.(I )导出y =y(x)满足的积分、微

32、分方程.(H )导出y(x)满足的微分方程和初始条件.(ID)求曲线的表达式.(21)(本题满分1 4分)(I )设/(#)在(a,+8 )可导且 l i m/-(x)=4,求证：4 T+8若 A 0,则 l i m /(x)=+ao ;X *+若 4 +o o/=0.(22)(本题满分1 2分)设%,4,%都是矩阵A的特征向量，特征值两两不同，记y =%+%+4.(I )证明2 y线性无关,线性相关.(H )设.，4,4的特征值依次为1,-1,2,记矩阵8 =(r,Ay,A2y),/3 =求解线性方程组 BX=。.4预 测 试 卷 卷(四)数 学 二绝密启用前考生编号姓名2022年全国硕士研

33、究生入学统一考试数学（二）预 测 试 卷 卷（五）考生注意事项1.答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。2.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答案区域上写的答案无效；在草稿纸试题册上答题无效。3.填（书）写必须使用黑色字迹签字笔或钢笔，字迹工整，笔迹清楚;涂写部分必须使用2B铅笔填涂。4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。一、选择题：1 1 0 小题,每小题5 分，共5 0 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的

34、.请将所选项前的字母填在筝孥州指定位置上.(1)设/)=J-ln(l:sin)市,g(x)=Jr 1-COMta n/d z,则当4 0 时f(“)是 g(%)的(A)高阶无穷小.(B)低阶无穷小.(C)同阶而非等价无穷小.(D)等价无穷小.(2)、f I T C OS T T%,这%W 1,设/(%)=c1 x -1,1%C 2,尸(x)=/)(1)点,则尸(工)在 0,2 上(A)有界,不可积.(B)可积，有间断点.(C)连续，有不可导点.(D)可 导.(3)设函数/(工)在区间(-1,1)内二次可导，已知/(0)=0/(0)=1,且/(工)x,而当 x e (0,1)时/(x)x.(B)

35、当 z e (-1,0)时f(x)x.(C)当x w(-1,0)与x e (0,1)时都有/(z)x.(D)当 工 e (-1,0)与x e (0,1)时都有/(x)0,(B)a =1,6 =y.(D)a=2,6 =1 .(5)数列极限/=lim a rc ta n-1 =_ _ _ _ _ _ _ _.n L qr n J(A)1.(B)e.(C)e*.(D)e+.(6)设 u(x,y)在取极小值，并且】，：均存在，则dx dy(A)九(M。)dxN O,d2u(MQ上)N 0.ay2(B)d2u(M0)九(A/。)一，o,一，odxay(C)笳(“0)N O,d2u(芋M上0)W O.(D

36、)九(此)W O,-d2u(MQ)N Odxay2dxay(7)函数尸()=/-_ _ (%e(-8 ,+8 )的值域区间是J。(1 +5 i2)+J(A)0,+oo)(B)0,-ar c tan 2)(C)0,-ar c tan A)(D)0,-ar c tan l)2预 测 试 卷 卷(五)数 学 二(8)设A是n阶可逆矩阵，B是把A的第2列的3倍加到第4列上得到的矩阵，则(A)把/T第2行的3倍加到第4行上得到8.(B)把4 第4行的3倍加到第2行上得到(C)把A-第2行 的-3倍加到第4行上得到ZT.(D)把A-第4行 的-3倍加到第2行上得到8.(9)设4阶矩阵A =(3，%,4 ,

37、4),已知齐次方程组A X =0的通解为c(l,-2,1,0)、c任意.则下列选项中不对的是(A)/，4,.线性相关.(B)外,%线性无关.(C)线性无关.(D)%，4线性相关.(1 0)已知3元二次型工的平方项系数都为0,又它的矩阵4满 足 右=2 3其中x=(1,2,-l)r,则4工的规范形为(A)y+片+#(B)y+y j(C)y/-y22-y,2.(D)y,2+y22.二、填空题：U 16小题,每小题5分，共3 0分.请将答案写在尊理军指定位置上.(1 1)设/(X)=7黑,则以工)的 定义域是 _ _ _ _ _ _ _ _.J 2 i(lm)(1 2)设曲线厂的极坐标方程为r=e

38、则 在 点 处 的 法 线 的 直 角 坐 标 方 程 是.(13)设 =满足瞿+2x u(x,y)=欠，则 u(x,y)=_ _ _ _ _ _ _ _.dx(1 4)曲线y =J(e+-1)的 全 部 渐 近 线 方 程 是.(15)设有摆线 x -=(,)=1 -c ost(0 W，与 2TT)的第一拱 L,则心绕x 轴旋转一周所得旋转面的面积S=_ _ _ _ _ _ _.5 a r(16)设实对称矩阵A =a 5 2要使得A的正，负惯性指数分别为2,1,则a满足的条件是-1 2 1-三、解答题：17 2 2小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演

39、算步骤.(1 7)(本题满分11分)设函数/(工)在(0,+8)内可导,/(工)0,/(引=*，且lim-2 =e ,e(0,JoL/(x)数 学 二预 测 试 卷 卷(五)3(I)求 加);r n i r(U)定义数列工.=I/(，)市，证明数列以 收敛.J 0(18)(本题满分1 1分)设1 W a b,函数f(x)=x l n%,求证/(工)满足不等式(1)0 f(x)1).(n)/(a)+/(6)-2/()0有连续的二阶偏导数且满足d2z d2 z 1 dz 公-募，dx dy 2 dy作变换 u=X -圻,”=X +2/7，证 明 三=0.dudv(n)求方程 的解.(20)(本题满

40、分1 4分)(I )设/(X)=求函数/(*)的单调性区间与正、负值区间.(U)设/U)连续，区域。=!(x,y)I|x|W 1,|y|w 1,求证：7(x -y)d x d y =J /()(2 -1 1|)d z.(21)(本题满分1 1分)若函数/)在 0,1 上连续，在(0,1)内具有二阶导数J(0)=/(D =0，r(x)0(x e (0,1)；(n)V自然数，存在唯一的X,e (0,1),使 得/(%“)=n(22)(本题满分1 2分)设A是n阶矩阵，”维列向量a和3分别是A和4 T的特征向量,特征值分别为1和2.(I )证明/a=0；(口)求矩阵 仇/的特征值；(皿)判断0储 是

41、否相似于对角矩阵(要说明理由).4预 测 试 卷 卷(五)数 学 二预测试卷 卷(一)答案及详解一、选择题：1 10小题,每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在尊里纳指定位置上.(1)【答案】C.分析 我们分别确定当彳-0时,a 0、y分别是x的儿阶无穷小.当x -0时，a=l n(1 +/)-l n(1 -x4)%,因为 l n(l +x2)x2,l n(1 -x)-x=o(x2).0=j t a n/d/=-In|cost|=-Incosx2=-l ncosx2-1 +1 1 -cosx2-1 2c a、.y.a rct a n

42、x -x 1 +%1 .-x 1X H I l im.=In n-=h m-；-=-l im-r-rx-*o x x-*o x x T)nxn n,4)xn 1 +x取 n=3 l “-x2 1=l im ：-7 =3 x-4)%(1 +%2)3可知当x 0时.-y.这表明当x -0时.a是关于工的2阶无穷小量，B是关于x的4阶无穷小量,而y是关于x的3阶无穷小量.按题目的要求,它们应排成a,人万的次序.故应选(C).评 注 当 然，我们也可把无穷小两两进行比较，看谁的阶高.如f t a nzd/2l im 旦=l im-点 -=l im 空警二0 x-4)a x-4)l n(1 +x)-l

43、n(1 -x)x-4)2 xn 6是a的高阶无穷小.t a nzdz _ 2 r 2i.p,.J o.zx t a nx .2 x t a nx*八l im 匚=l im-=l im-；-=l im-r-=0 x-o y x-o a rct a nx -x x-*o 1 .x-o-xF T 7 Tn 6是y的高阶无穷小.还需比较y与a.l im工=0=y是比a高阶的无穷小.x-*o a因此正确的排列次序是a,y，A故应选(C).确定无穷小的阶的方法之一是利用无穷小阶的运算性质：1 若当儿一。时/(%),g(化)分别是4-。的几阶与血阶无穷小，则/(欠)g(%)是4-a的+m阶无穷小；当 儿 加

44、 时/(%)土 g(%)是欠-Q的m阶无穷小J (x)/g(x)是4-a的 -m阶无穷小.当二m时，只能肯定/(%)土 g 是x-a的n阶或高于n阶的无穷小.如题中的a =l n(1 +x)-l n(1 -/)是力的2阶与4阶无穷小之差，所以a是4的2阶无穷小.而 y =a rcl a n%一%a rct a n%与 均是戈的一阶无穷小，所以还需进一步用待定阶数法预 测 试 卷 卷(一)答 案 及 详 解 1确 定y是4的几阶无穷小(即确定常数几(0)使l im多存在而不为零).X *a X20 设/(%)在。点邻域连续，当 0时/(化)是4-。的n(1)阶无穷小，则/(%)是-a的n-1阶无

45、穷小.3 设当a时夕()#0,火(%)是-。的九阶无穷小，一0时J()是的血阶无穷小，则%a时J(卬(%)是%-a的 m阶无穷小.x-wi(X a)(p(x)(X a)/J=,limrsv!0,3)例如,t a nx是x的1阶无穷小=/t a n/d/是u的1+1=2阶无穷小，u=/是x的2阶无穷小=0 =f t a n/dz是攵的2 x 2 =4阶无穷小.(2)【答案】C.【分析】先求导数F(z)=/(*)g(x)=尸(0)=0.再求二阶导数尸(z)=/(x)g(x)+f(x)g(z)=F (0)=0.于是还要考察尸(x)在x =0处的三阶导数：Fm(x)=f(x)g(x)+I f(x)g(

46、x)+f(x)g(x)(0)=(O)g(O)K 0.因此(0,尸(0)是曲线y =F(X)的拐点且X=0不是尸(x)的极值点.故应选(C).评注 本题用到拐点的充分判别法.如下是更一般的结论:设函数/()在点x =%处存在n阶导数，且n云3,若/(%)=/(%)=/“()=0,/(z0)K 0,则：1。当n为奇数时，/(工)在点x =x0处不取得极值，但点(%,/(&)必定为曲线y =/(x)的拐点.2。当n为偶数时，/(x)在 点x =%处取得极值，且有 当/(%)(%)0时，/(x)在点*=x0处取得极小值.证明 由/(工)在x =%处的n阶泰勒公式得/(X)-/(%)=J；+。(。)/)

47、(X0 )z X r.,f l、/=-;(x -x0)1 +0(1)(-Xo)n!o(l)即X%时 为 无 穷 小 量.于 是 0,当|x -&|0.当n为偶数时r 0(/(%)0 时),.、/(x)-/(x0)7,/(0|x -x0|5)10(尸 七。)0时)因此n为偶函数时/(工)在%=%取极值，当/(&)0时取极大值，当/(g)0时取极 小 值._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

48、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2预 测 试 卷 卷(一)答 案 及 详 解裁 学 二当n为奇数时，/(%)-/(x0)在4 =X。两侧变号，因而f(%)在=x0处不取极值.现考察(%,/(3)是否是y =f(x)的拐点，/(%)在%=%o的九-2阶泰勒公式f(n)(x)/=o,g (o)0,令尸()=/(x)g(),M(A)x =0不 是F(x)的驻点.(B)x =0是尸(%)的驻点，但不是极值点.(C)x =0 是 F(x)的驻点且是极小值点.(D)x =0是F(%)的驻点且是极大值点.分析/()L.o =/(0)g(0)+/(0)g (0)=0,因此4

49、 =0是尸(%)的驻点.进一步考察”=0是否尸(%)的极值点.按条件不能求产”(0).要按定义来判断.尸(0)=l i n/(*)-。)=l ir n -0,X TOX X TO%g(0)=lim=l i m -0,I X -0 x由极限的局部保号性质=0,当 比(-6,3)*0时309 0X X=比(-6,0)时/(%)o,g(x)O,g(x)0=H(-&6)时尸(4)-尸(0)=/(%)g(x)0.=%=0是r(%)的极小值点.选(C)可特殊选取/(%)=X,g(x)=，则/(%),g(%)满足变式中所有条件.显然%=0是F M=/(x)g(%)二 了的驻点且是极小值点，对此/(力),g(

50、%),选项(A)(B)(D)均不对，(C)成立.因此选(C)若我们加强条件/(%),g(%)在化=0二阶可导，则尸()L=。=L T(%)g(%)+4(%)g G)+/(%)g (%)L.0 =(0)g(0)0=4=0是/(%)=/(%)g(%)的极小值点.选(D)(3)【答案】B.【分析】这是比较三个数ht /，仁的大小问题.已知/”(工)0 n/(x)单调上升,于是设法转化为比较导数值.这是可以办到的,只要对上述两个改变量之比用拉格朗日中值定理：-石-=/(f),其中与-4 X；数 学 二预 测 试 卷 卷(一)答 案 及 详 解3f(x +h2)-/(x)甘小-%-=/(T/)，其中 X