2022年全国硕士研究生招生考试数学三303预测卷1和答案解析.pdf

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1、2 0 2 2年全国硕士研究生招生考试数学（三）预测卷（一）（科目代码:303）考生注意事项1.答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。2.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。3.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。（以下信息考生必须认真填写）考生编号考生姓名一、选择题：110小题,每小题5分

2、，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的.81 .设“一 0+时，(l+a r)5-l 与-D看F是等价无穷小，则 an=4(2 7?)!A.-B.C.D.O1 5 O O2 .曲 线 f(z)=(x-l)2(x-3)3的拐点个数为A.0.B.1.C.2.D.3.3 .设/(八为连续函数,a是常数,下述命题正确的是A.若/为奇函数，则力&是z 的奇函数.B.若/为偶函数，则|d y jja)山是尤的奇函数.C.若/(/)为奇函数,则也是1的奇函数.D.若/为偶函数，则d f(t)&是才的奇函数.J 0 J 04 .已知骞级数公”在点工=一 1 处收敛，则实数a的取值

3、范围是A.1 2 V a WB.-2&a V 0.C.-1 V a 4 1.D.1&a V 1.5 .设 A 为 3阶矩阵,满足浦=2A,则下列结论不正确的是A.A E 可逆.B.A-2 E 可逆.C.A+E 可逆.D.A-3E 可逆.6 .设 A,8 均为3阶矩阵，现有4 个结论：A r(A,AB)=r(A)；r =r(A)；ABB，=r(B)；=r(B).AB以上结论正确的是A.B.C.D.7 .设A 为阶矩阵邛为维非零列向量，若方程组Ax=。有解,则下列选项正确的是A.方程组 4x =0 与方程组Ar=0 同解.PAT1B .方程组 l x =0 与方程组A r =0 同解.C.方 程

4、组：x =0 与方程组ATx=0 同解.PD.方 程 组 .x =0 与 方 程 组=0 同解.数 学(三)预 测 卷(一)试 题 第1页(共3页)8.已知随机变量X 的概率密度为F|COS X|9 0 4N&7T,f(x)=/0,其他，对 X 进行独立重复观察4 次，用 y 表示观察值不小于言的次数.则E(Y)=0A第 B.冬35TD.39T-19.设随机变量X 的概率密度为/(外(一8 工+8),上j_ 210J _，丫 2 J_7 1 1T11，Iz,=XH,z2=xYz,且 x 与 匕,y2相互独立，则A.Z,是连续型随机变量,Z?也是连续型随机变量.B.Z,是连续型随机变量,Z2不是

5、连续型随机变量.C.Z,不是连续型随机变量是连续型随机变量.D.Z,不是连续型随机变量,Zz也不是连续型随机变量.10.设随机变量X 服从F(2.1)分布，对给定的a(0 V a V 1),数 ,(2,1)满 足 P(X Fa(2,l)=a，若 P X&i=1-。，则 工=A.F(l,2).B.F(1,2).C.F.(l,2)二、填空题：1116小题，每小题5 分，共 3()分.11.已知某商品总产量的变化率/(D =200+5，一(0 4，&1 6),则时间，从 2 到8 变化时,总产量增加值g 为.12.已知J,则 ,4%=3 的特解为.13.设函数/(工)可微，且，(0)=,则 2=/(

6、2 2 4/)在点(2,1)处的全微分 12|LI (2.1)14.设函数 g(x)=(z+l)eJ J/()d，函数/(I)是 g()的一个原函数，且/(0)=0,则/(力).(11(1)15.设 1,一 1 为 2 阶实对称矩阵A的特征值,且A =，则矩阵4=.16.设 XXz，.X”，为独立同分布的随机变量序列，且都服从参数为 的指数分布，则当 充分大时,随机变量匕=1S x,近似服从_ _ _ _ _ _ _.1=)数 学(三)预 测 卷(一)试 题 第2页(共3页)三、解答题：1722小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7 .（本题满分1 0 分）设火是常数

7、，讨 论 八 口=（1-2 1）小+工+4的零点的个数.1 8 .（本题满分1 2 分）设 z =z（j：,y）是由方程 2 T2+y+/+2xy 2 x 4 z +4 =0 确定的，求 z =z C r,y）的极值.1 9 .（本题满分1 2 分）设 D=（工,）|表 +方 4 1 ,常数a 0,6 0,a 六 6,求I =I）2+（2 y +3）2 d r d yD20.（本题满分1 2 分）设/（x）满足a&f（.x）（b,x G _a,bi 对 Y6|/（x）f（y）K y I x -y|.又 工力满足 a&b,xM=+/（7”）.（1）证明义工）=工在 a,川上有唯一解，记为c；（2

8、）证明l i m 4 =c.n o o（本题满分1 2 分）020设矩阵A2-2202与对角矩阵相似.（1）求 a的值；（2）求可逆矩阵P,使 P AP为对角矩阵;1（3）求方程组A1 0 0 x =b的通解,其中b=21 0 02 2.（本题满分1 2 分）设总体X服从（0,卷 上的均匀分布,9 0为未知参数，X|,X z,X,为来自总体X的简单随机样本.求：（1）。的最大似然估计量6;（2）。的分布函数；(3)P 0 6&6+1).数 学（三）预 测 卷（一）试题 第3页（共3页）数学(三)预测卷(一)试题答案及评分参考一、选择题1.答 应 选C.解 当 1 f 0，时,(l+ar)1 1

9、 o r，而【注】(*)处也可这样处理：(D F&!=lx+o Q)色(z f。+)2.答 应 选D.解由/(X)=2(7-1)(1-3)3+3(7-1)2(“-3)2=(x 1)(7一3)2(57 9),易 得/中 必 含 一 次 因 式/一 3.另由/(1)=/7(-|-)=八3)=0,知必存在不e(1,0),抵 居，3),使得/(4)=/(72)=0,故可令/(H)=20(x )(7一工2)(工1 3),由 于/在 无=4，乃,3两侧都异号，因此该曲线共有3个拐点.3.答 应选C解 设FG)是/(Q 的一个原函数.对于C,若/(f)是奇函数,则/(/)的任一原函数都是偶函数，所以F(t)

10、是偶函数.J dyj f(r)d/=J F(z)F(y)d_y=JTF(H)J F,Cy idy,因 为FC r)为偶函数，故NF为x的奇函数，：F 3)d y也 是z的奇函数，所以 山，/)力为工的奇函数,C正确.关于选项A,B,D为什么不正确，现解释如下.对于A,f(t)为奇函数，则F(y)=j f(t)dt是y的偶函数，但jF(y)dy不一定是才的奇函数；数学(三)预测卷(一)试题答案及评分参考 第 1 页(共33页)对 于 为 偶 函 数，则 F（y）=，八力*不一定是y 的奇函数,不再有继续研究的资格了；对于D J为偶函数，则 F（z）=为z 的奇函数 jF C r）dy=N（z）为

11、z 的偶函数.4.答 应 选 A.解 记 I%I=,则nlimI l(/)II un(x)|九n-*oo W +1|(jc-a Y|令=|x-a|1 3A B （手 1 ,，3）（6 C f2 3）伍 1 bzz 仇 3 .仇 1 仇 2 1）3 3 .从而AB的列向量组可由A的列向量组线性表示，故 MA.AB）=r（A）,结论正确.bfC|C1 1 fan“1 2a i3记 A =(%),3 =hA B=Ci，由于AB=C2 ;k 2 1a 2 2a 2 3b，从而AB的也C 3131a 3 2/3 .也行向量组可由B 的行向量组线性表示，故 r：=（B）,结论正确.AB现举例说明结论 和结

12、论 不正确.当&=100010000,3=00001010时.r力 f10010()010000000010=3,r(A)=2,故结论不正确.100001100 0 0 0,当8=010A 010 时，r(B.AB)=r 010 0 1 0 =3,r(B)=2,、000.100,000 1 0 0.故结论 不正确.【注】考核点为矩阵的运算，向量的线性表示,矩阵的秩等.7.答 应 选 A.解 记A=（。1 ,。2,a），由于A【x=p 有 解,所 以 向 量 夕 可 由 向 量 组 线性表示，故行向量 可由矩阵A的行向量组鬲y几，星线性表示，从而方程组；x=（）与方程组A x=0 同解即选项A正

13、确.选项B,C,D 的反例如下.2211当4 丁 =邛=1时,方 程 组 有 解.1方 程 组 1322 x=3与方程组x=不同解，故选项B 不正确;1方 程 组 231)fo2 x=03)|o与方程组11不同解，故选项C 不正确;1212数学（三）预测卷（一）试 题 答 案 及 评 分 参 考 第 3 页（共 3 3 页）1方 程 组1342；x=I：；不同解，故选项D不正确.【注】考核点为向量的线性表示,线性方程组的解等.8.答应 选D.解由P X *，十|cos|dr=十sin x知 丫 服 从 二 项 分 布 因 此1.5smH l；=YT+i)=1，E(Y)=4 x 1 =3,D(y

14、)=4 x f x(l-f)=,从而得 E M)=D(y)+E(y)【2 =菖 +32=苧.9.答 应 选B.解 由 于Z1的分布函数为Fz,(z)=PZi&z=Pxy,&z=P Z=-i P x y,|y,=-i+P y1=D P M z I Y.=1=PY=-l P X -z +PYi=lPXz=y j/(j-)d r+-1-j/(x)cLr,则(z)=F z)=?(-z)+/(z),故Z i是连续型随机变量.由于Z2的分布函数为FZ2(Z)=PZ2&z=PXY2Z=PY2=0PXYz&Z|Y2=0+PY2=1PXY2|Y2=1=PY2=o P o z +Py2=iPxz-yj/(T)dr

15、,z 0,+1 J f(x)dx,z 2 0,其中 PZ?=0)=Fz?(0)Fz?(0 0)=+*J /(x)ir y j /(d r=3#0,故Zz不是连续型随机变量.10.答应选C.解 因XF(2,l),故 F(l,2).l-a =PX x=P X 扑所以数学(三)预测卷(一)试题答案及评分参考 第 4 页(共3 3 页)X =F(1,2)，即”=F ，也可以考虑P X&z =l-a,有 P X z =a,即 彳=兄(2,1),但选项中没有此项,根据公式 F 0(2,l)=万-I 八 知，1=p，厂外,*1 o(1 ,乙)1*I-o(I ,4)二、填空题1 1 .答 应 填 1 1 82

16、.解由总产量函数与其变化率的关系，有 Q(f)=/小)，于是总产量增加值为Q=Qz(z)d z =1 /(z)d z =1 (2 0 0 4-5z z2)d/=(2 0 0/+jZ2=i 1 82.1 2 .答 应 填 =5，一条解因%=以H ，故原方程为如 1-5%=3,(*)其对应的齐次方程为%H 5%=0,特征方程为r-5 =0,故齐次方程的通解为”(了)=C 5”.设特解为居=A,则 乂匕=A,代入(*)式，有A 5A=3,得 A =故原方程通解为=c s-又 的=,将工=0代入，有 C-=，得 C=1,所以所求特解为=5,一菖.1 3.答 应填 2 c L e 4d y.解 令=/2

17、 4/，则 N =/()，于是孕=/(GO 4y 2)；=孚=4 f(0)=2,d rdx(2.J).=f uxz 4y 2)；=8y,(),，=8f/(0)=4,所以 d%1 =2 d r 4d y1 4.答 应填+D e”一:c os/.解 因为函数fCx)是 g Cr)的一个原函数，所以/(z)=(i+D e”一/(u)d u,J o式 两 边 对 求 导，得f(x)+以工)=(n +2)eJ.数学(三)预测卷(一)试题答案及评分参考 第 5 页(共3 3 页)方程 为二阶常系数非齐次线性微分方程，其对应的齐次方程的特征方程为，+1 =0,特 征 根 为=i，故与方程对应的齐次方程的通解

18、为F(z)=C1COS+C2sin JC.由于方程的自由项为(丁+2)十,故可设方程的一个特解为广(工)=(Ar+B)eJ,将其代入方程，得A =B=.于是,方程的通解为/(a:)=Geos x+C2sin x+y (x+De.式 两 边 对z求导，得/(工)=-Gsin z+C2cos _r+(z +2)eI.式 令z=0,得/(O)=1,又/(0)=0,将其分别代入式与式，得C|=一 ，C =0.因此 f(x)=十(工+De1 1cos x.15.答应 填，.1 0解 由于A :=J;卜因此=|；|为矩阵A的属于特 征 值1的特征向量,设4“为矩阵A的属于特征值一1的特征向量，由A为实对称

19、矩阵,知6,侬 正交，于是。2,_ 1,.(1 0J C +x2=0,可取。2 =.记 P=(.。2)，则 P I”=所以10 1J1A =P100-1p l2 111|0 W-1-1 0 1-11 Io-1 1 1-1 1 11 0.【注】考核点为相似矩阵.注意实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，矩阵相似对角化的一类典型问题是已知矩阵A的特征值与特征向量，反求矩阵A.16.答应填 N(2，!).解 由题意知次|,*2，“瓜”，“相互独立,且(*,)=2,。(乂)=4(，=1,2,3,“),从而E(Y)=E(-IX.)=2,D(Y)=D(：；X,)=不于是,根据中心极限定理,当充分大时，匕

20、=X,近似服从N(2,1).三、解答题17.解 由题意可知,/(工)=一(1 +2外-+1,易 得/(0)=0.当hVO 时,/(工)=(l-ez)-2 x er 0,/()严格单调递增；当 1 0 时,f (x)=Zx (ex 1)0即4 一1时,/（工）有两个零点；当A=-1时,八6有且仅有一个零点;当v 1时J G r）无零点.1 0分【注】处li m (1 =li m1 -2 z 洛必达法则也三;=。,所以li m f(.jc)=oo.处 li m (1 2 j?)eJ+z =li m (1 -2 7+工。一”)e工=-8.1 8.解 方程两边分别对,y求偏导，J 41 +2 z 之；

21、+2y-2 4 z：=0,2y-2z 之;+2/-2-zy=0.令 zx=zy=0,得42x#+2 2y-22 =0。,解得1 =0,V =L代回原方程，有 必 一4 2+3 =0,得N 1 =1,22=3.式两边再分别对,y求偏导，4 +2N +2（N：）2 4N3=0,2z z：+2Z；+2 44=0,式两边再对y求偏导，2+2N：+2（N；）2 4 痣=0.当（了,丁,2）=（0,1,1）时,z；=zy=0,代入，有4分A =2,B=1,(0,1,1)(0.1.1)(0,1.1)=A C -用=i o,且A=2 0,故z=1为极小值.当（了,丁,2）=（0,1,3）时,z：=zy=0,代

22、入，有8分A =蒋|f C =z：L(0.1.3)=-2,B=四(0.1.3)=-1,=A C-B2=l 0,且 A=-2 V0,故 z =3 为极大值.1 2分1 9.解/1)2+(2y+3)21 d L rd yD=j j(x2+4 j/2)dxdy+0(-2N+1 2j)d rd j+l o j j d z d j z,DD其中（一2+1 2y）d rd y=0（来自奇函数在对称区域上积分性质），3分DI：i=l o|,c L rd D=1 0必穴（来自椭圆的面积公式）,6分/i =j(/+iy2)c L z d j =2 d rd j/+4 j j y2 d z-d,DDD其中数学（三

23、）预测卷（一）试题答案及评分参考 第7页（共3 3页）j p,c L rd y=4 J d rjD:d y=妆/中也令一山4 a3ba J o.s i n2/c o s2z d zos i n2/d/J-s i n1 f d/)同理 d y=al).则/1 =/江+曲3 工，所以DI =10abn+j a3bn+a/,.1 2分20.证(1)先证连续性.对 。1，有 0 1 /(一/(死)|j|J-JTO I，故0&l i m|/(x)/(x o)|l i m -y|x x0 I=0,L t。L”/于是l i m/(z)=/()，即f(x)在上连续.LH。令 F(x)=/(j?)xx G a,

24、4,则 F(a)=/(a)a G,F(b)=/(6)b&O.当 F(a)=0时，可取C当 F S)=0时，可取c=b；当 F(a)F(6)#0 时，即 F(a)FS)VO,由零点定理知，存在 c。使 F(c)=0.若 C 不唯一，设d e a,且d#c,使 F(d)=0,故由题设有(c)一/3)|十|c-d|,但 f(c)=c,/(/)=d，即|/(c)f(.d)|=|c d|，矛盾，于是 c 唯一.(2)肝】C=E +/(*)-*c +f(c)=y(j?c)+(z”)一从而耍n c 1+I /(K)f(c)|-c|&仔)I而对 V.ri 6 都有l i m(1 )|-c|=0,由夹逼准贝l

25、j,有l i m x”=c.1 2分rr-*o0I工 什 1-c I(十I；I 一 c3 分7 分故o&I 7什 1 c I W 旨 I2-c|&(打 IZn 1【注】此题没有人工)可导的条件,故第(1)问中不能用导数来研究八口的单调性，也不能用拉格朗日中值定理，此题对考生分析问题的能力提出了新的更为基础的要求.教学(三)预测卷(一)试题答案及评分参考 第8页(共3 3页)21.解（1）矩阵A 的特征多项式为A 2|A E-A|=2-20 0A 2 2=(A 2)2(A 0 a所以入=2 为矩阵A 的特征值，当a W 2 时，其重数为2；当a=2 时，其重数为3.由于0 02 E-A =2 0

26、-2 00 1一2f o2-a,00 -10 a0 0故当。=0 时 出=2 对应2 个线性无关的特征向量，当a 0 时 山=2 只对应1个线性无关的特征向量，由于矩阵A 可相似对角化，因此每个特征值的重数与其对应的线性无关的特征向量的个数相等，故 a =0.（2）由（1）知矩阵A 的特征值为Q=A2=2,A3=0.5 分对 于 特 征 值 尢=熊=2,由方程组（2-A）x=0 求得其对应的线性无关的特征向量对于特征值;U =0，由方程组（。后4）=0 求得其对应的特征向量公-令 P则有P 2000200008 分(3)由(2)知 A=P020020P ,则00A1()00对增广矩阵（A】00

27、：力）作初等行变换:(A100 j b)-2100一 21o o21000 02100 21 0 0方程组A100%=b 的通解为大001-110021201-11，其中为任意常数.12分220010010111100010010120+数学（三）预测卷（一）试 题 答 案 及 评 分 参 考 第 9 页（共 3 3 页）【注】考核点为线性方程组求通解，矩阵相似对角化，矩阵可相似对角化的条件等.本题的关键是根据矩阵可相似对角化的充分必要条件是每个特征值的重数与其对应的线性无关的特征向量的个数相等来确定参数a 的值.第(2)问是常规问题，第(3)问根据第(2)问计算出A100后也转化为常规问题.

28、8,0 V z&，22.解(1)由题意知，X /(Z)=1 80,其他.设不，犯，白”为观测值.则似然函数为,、8，0 x),x2,-,x 4-L=0 时，F(y)=P max(X,X2,，X”(=1 -p|m axXI,X2,X”=1 PX i vl,x?V工，,x11V l iI y y y I=i-p x1 j p x2i .p(xB 1)便产,j.1。，上 jd(1 )f y J 0 V U 其中 P X =J/()d r=W ,y 9故y 8,y e.F(y)=l-即0,-1 综上所述，。的分布函数为F(y)=0,0 y 0.y)夕，y 9.9 分数 学(三)预 测 卷(一)试 题 答 案 及 评 分 参 考 第10页(共3 3页)(3、言6八6十二uP言八6+l)F4八6)=FQ+1)IF(e)H11(予I。Un121