2022-2023学年上海高二上学期数学同步练第08讲二面角(核心考点讲与练)(含详解).pdf

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1、第08讲二面角（核心考点讲与练）Q考点考向 二面角（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;（2）二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.（3）二面角的范围：0,n.Q方法技巧（1）由定义做出二面角的平面角（2）用三垂线定理找二面角的平面角（3）找公垂面（4）划归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角找二面角的平面角的常用方法U能力拓展题型一：二面角的概念及辨析一、单选题1.（20 21上海交大附中闵行分校高二阶段练习）设 a-/一 夕是直二面角，直线。在平面a 内，直线b

2、在平面内，且 以6 与/均不垂直，则（）A.a 与 6 可能垂直，但不可能平行B.a 与 6 可能垂直也可能平行C.a 与 6 不可能垂直，但可能平行D.。与不可能垂直，也不可能平行2.（20 21 上海复旦附中高二期中）在矩形A 8C Z）中，A B=20,A P =3,E、/分 别为边A 、8 C上的点,且尸=2,现 将 沿 直 线 8 E 折成使得点儿在平面B C D E 上的射影在四边形C D E/内（不含边界），设二面角A-B E-C的大小为凡 直线A/与平面B C D E 所成的角为a,直 线 与 直 线 8 c 所成角为A，则（A.（3 a 0 B.p O a C.a f 3 6

3、 D.a 0 03.（20 21 上海市行知中学高二阶段练习）已知两个平面a,和三条直线也“，若且力u 尸,设a 和2 所成的一个二面角的大小为仇，直线”和平面夕所成的角的大小为直线。力所成的角 的 大 小 为 则（）A.a=劣 *aB.除4=2C.。2 0、仇2。3D.。之外,e g仇二、填空题4.（20 21 上海市七宝中学高二阶段练习）若两个相交平面a,4所成的锐二面角的大小为夕则称平面a,夕成。角，已知平面。，4成 70。角.则过空间一点V且与a,夕都成5 5。角的平面7 的个数为 个5.（20 21.上海市南洋模范中学高二期中）若两个半平面所成二面角的大小为夕则。的取值范围是6.（2

4、0 21 上海高二专题练习）己知P为锐二面角内一点，且 P到两个半平面及棱的距离之比为1：0：2,则此 二 面 角 的 度 数 为.题型二：求二面角一、填空题1.（20 21.上海大学附属南翔高级中学高二期中）如果二面角。-/一夕的平面角是锐角，空间一点P到平面a、夕和棱/的距离分别为2亚、4和4 0，则二面角a-/-的大小为.2.（20 21.上海浦东新高二期中）在正方体AB CD-A/GR中，平 面 与 平 面 4 次工）所成的锐二面角的大小是.二、解答题3.（20 21上海南汇中学高二阶段练习）如图所示，正四棱锥P-AB 8 中，。为底面正方形的中心，侧棱处与底面A 8 C O 所成的角

5、的正切值为（1）求侧面P A D 与底面4 8C。所成的二面角的大小；（2）若 E是心的中点，求异面直线PD与A E 所成角的正切值：在（2）的条件下，问在棱AO上是否存在一点F,使 E F _ L 侧面PB C,若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由.题型三：由二面角大小求线段长度或距离一、单选题I.（20 21.上海市奉贤中学高二阶段练习）二 面 角 的 大 小 是 60。，在该二面角内有一点尸到。的距离是 3,到夕的距离是5,又动点A和 8,B&/3,则 的周长的最小值是（）A.3百 B.6乖）C.1 2 D.1 42.（20 20上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）在直角坐标系中

6、，设 4（3,2）,8（-2,3）沿着，轴将直角坐标平面折成1 20。的二面角后，长 为（）A.2 v H B.4&C.2-J5 D.瓜二、填空题3.（2 02 1上海复旦附中高二期中）二面角a-/-力是6 0。，其内一点尸到a,夕的距离分别为1c m和2 c m,则点尸到棱/的距离为.4.（2 02 1上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）如图，二面角等于12 0。，A、8是棱/上两点，A C、比）分别在半平面a、/内，AC Ll,BDLl,S.AB=A C =B D =,则CO的长等于5.（2 02 1上海市市西中学高二期中）正方形438的边长是2,E,尸分别是A B 和 C 短的中点，将

7、正方形沿E F折成直面角（如图所示），M 为矩形AE F N）内的一点，如果N M B E =N M B C ,M B 和平面B C F 所成角的正水平面所成二面角的度数）是3 0。，斜坡上有一直道，它和坡脚水平线成6 0。角，沿这条直道向上行走1007.（2 02 1高二期中）如 图 1,平面四边形A B C D 关于直线A C对称，Z A =6 0,Z C =9 0,C D=2.把 ABO沿折起（如图2）,使二面角A-8D-C的余弦值等于且.对于图2,完成以下各小题：3（1）求A、C两点间的距离;（2）证明：A C l j S B C D；（3）求直线A C与平面W所成角的正弦值.8.（2

8、 02 1上海华师大二附中高二开学考试）如图，在棱长为2的正方体A8 8-4 B/C/Q/中，E、F分别是A/。/和 C C/的中点.（1）求异面直线E F 与 A 8 所成角的余弦值;（2）求异面直线E F 与 A B 之间的距离（3）在棱8 B/上是否存在一点尸，使得二面角尸-AC-B的大小为3 0。?若存在，求出8P的长，若不存在，请说明理由.题型四：由二面角大小求异面直线所成的角一、填空题1.（2 02 1上海.闵行中学高二阶段练习）已 知 二 面 角 的 大 小 为 14 0,直线。力分别在平面a,内且都垂直于棱/,则。与 匕 所 成 角 的 大 小 为.二、解答题2.（2 02 1

9、上海华东师范大学第三附属中学高二期中）如图所示，圆锥S O 的底面圆半径O A=1,母线S A=3.（1）求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积;（2）如图，半平面S Q 4 与半平面S O P 所成二面角尸-S O-A 大小为12 0。，设线段S O 中点为M,求异面直线A M与P S 所成角的余弦值.U巩固提升一、单选题T T1.（2 02 1.上海市进才中学高二期中）正三棱台侧面与底面所成角为：，侧棱与底面所成角的余弦值为（）4A 近 B.空 C.在 D.旦5 5 3 32.（2 02 1上海奉贤区致远高级中学高二期中）已知四棱锥S-ABC。的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段A 8 上

10、的点（不含端点），设 S E 与 B C 所成的角为a，S E 与平面ABC Z）所成的角为。2,二面角S-4 B-C的平面角为金，则（）A.616203 B,e302OiC.4学D.怔 怔 仇3.（2 02 1上海市宝山中学高二期中）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面C O D。上有一个小孔E,E点到CO的距离为3,若该正方体水槽绕C 短倾斜（8 始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面。A G与桌面所成角的正切值为（）D.24.（2021上海高二专题练习）等腰直角AASC斜 边 CB上一点P 满足将AC4P沿 A P翻折至 C A P,

11、使二面角8 为60。，记直线C 4、CB、CPCP与平面A心所成角分别为。、4、/,则（）A.a p y B.a y J C./3 a y D.y a 中,4 2=8。=以 =1,48_1平面BC D,C DLBD,点 M 为 A O 上动点，连结BM,CM,如图.(1)求证：B M L CD；(2)若 AM=2MD,求二面角M-BC-D 的余弦值；(3)是否存在一个球，使得四面体A B C。的顶点都在此球的球面上？若存在，确定球心的位置并证明；若不存在，请说明理由.1 1.(2 0 2 1上海市大同中学高二阶段练习)如图，已知E、F分别是正方形A B C。边 BC、8 的中点，E F与 AC

12、交于点。，P A、N C 都垂直于平面A 6 C。，且 R 4 =A B=4,N C =2,M 是线段E 4 上一动点.(1)求证：所 L 平面P A C；(2)若 P C/平面历E F,试求的值;(3)当 河 是 R 4 中点时，求二面角M-M-N的余弦值.1 2.(2 0 2 1.上海师范大学第二附属中学高二期中)如图，已知点P在圆柱。|的底面圆。上，N A O P =1 2 0 ,圆。的直径A 8 =4,圆柱的高。=3.(1)求点A到平面A f。的距离;（2）求二面角A-尸8-。的余弦值大小.13.（2021.上海市七宝中学高二阶段练习）在120。的二面角a-/-6的面a,夕内分别有A,

13、B两点,且A,B到棱/距离AC,8。分别是2,4,AB=1 0,如图所示，求：（2）直 线 与 平 面4所成角的正弦值:（1）直线与棱/所成角的余弦值:（3）二面角A-8 C-O的平面角的正切值.14.（2021上海华东师大附属枫泾中学高二期中）如图，在四棱锥尸-A B C O中，PA_L底面ABC。，底面A3C。为直角梯形，A B/C D,A B Y A D,且 CO=2A3.（1）若AB=A。，直线即与CO所成的角为45。，求二面角尸-8-8的大小；（2）若E为线段PC上一点，试确定点E的位置，使 得 平 面 平 面ABC。，并说明理由.15.（2021上海交大附中高二期中）如图，正四棱柱

14、A B C O-4 4 G R的底面是边长为0的正方形，侧棱长为1.（1）求宜线A C与 直 线 所 成 角 的 余 弦 值;（2）求二面角口-A C-A平面角大小的余弦值;（3）在直线A C上是否存在一个动点尸，使得 在平面R A C的投影恰好为A A C的重心，若存在，求线段PC的长度，若不存在，说明理由.16.（2021.上海市第三女子中学高二期末）如图，在多面体A B C-A B 中，AA，8 4，CG均垂直于平面ABC,A4,=4,CC,=3,BB=AB=AC=BC=2.（1）求点A到平面4 8 G的距离；（2）求平面ABC与平面4 8 G所成锐二面角的大小；（3）求这个多面体A B

15、 C-4 4 G的体积.2元17.（2021上海市松江二中高二期中）在三棱柱A B C-A B C中，AB，B C,A B J.A 4,AAC=T，点M为棱CG的中点，点T是线段BM上的一动点,AAt=AC=2AB（1）证明：CCt 1 BM；（2）求平面A 8C G与平面AAC G所成的二面角的正弦值；（3）设直线A T与平面B、B Cq、平面A ABB平面ABC所成角分别为4，2,%求sin +sin 02+s i n的取值范围.18.（2019上海市民办市北高级中学高二期中）如图，A 3是圆柱的直径且越=2,幺 是 圆柱的母线且尸A=2,点。是圆柱底面圆周上的点.(1)求三棱锥尸-M C

16、 体积的最大值;1T(2)当二面角尸-B C-A 的大小为彳时，求点C 到平面R4B的距离;(3)若 AC=1,。是 心 的中点，点 E 在线段小上，求CE+ED的最小值.19.(2018上海市张堰中学高二阶段练习)如图，四棱锥P-A8CZ)的底面为菱形且N4BC=120o,%_L底面PABCD,AB=1 ,PA=6 ,E 为 PC 的中点.A(1)求直线OE与平面M C 所成角的大小；(2)求二面角E-AQ-C平面角的正切值；(3)在线段PC上是否存在一点M,使 PC，平面M3。成立.如果存在，求出MC的长；如果不存在，请说明理由第08讲二面角（核心考点讲与练）Q考点考向_二面角（1）定义：

17、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角:（2）二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.（3）二面角的范围：0,U方法技巧找二面角的平面角的常用方法（1）由定义做出二面角的平面角（2）用三垂线定理找二面角的平面角（3）找公垂面（4）划归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角能力拓展题型一：二面角的概念及辨析一、单选题1.（2 0 2 1.上海交大附中闵行分校高二阶段练习）设 a-/-夕是直二面角，直线a 在平面a内，直线6 在平面夕内，且 以人与/均不垂直，则（）A.。与 6 可能垂直，

18、但不可能平行B.a 与人可能垂直也可能平行C.。与不可能垂直，但可能平行D.a 与人不可能垂直，也不可能平行【答案】C【分析】利用空间中线面间的位置关系求解.【详解】是直二面角，直线。在平面a内，直线在平面夕内，且 4人与/均不垂直，二当a /,且6/时，由平行公理得。从 即 m 匕可能平行，故 A与 D错误；当a,垂直时，若二面角是直二面角，则a，/,与已知矛盾，与b不可能垂宜，也有可能平行.故选：C.2.（2021上海复旦附中高二期中）在矩形ABC7）中，AB=2&,AD=3,E、尸分别为边A。、8 c上的点,且AE=3F=2,现将/他；沿直线8折成448后，使得点A在平面BCZ5E上的射

19、影在四边形CEF内（不含边界），设二面角A-B E-C的大小为。，直线A 8与平面S 8 E所成的角为a,直线AE与直线3C所成角为0，则（）A BA.Pa6 B,P9aC.a(30 D.a0/3【答案】D【分析】根据题意作出相应的二面角，线面角，线线角，结合点A在平面BCDE上的射影求解.【详解】过A作BE的垂线，分别交ES,EF,0 c于M,G,N,如图，显然 NAMN=6.因为8C A。，所以直线4E与AO所成角即为用.7 T当A在平面3CDE上的射影为G时，短,平 面A E F,此时尸=万.于是当W在平面BCDE上的射影在线段GN上时，ZAED N W =3 即 火再 山：面 角 的

20、最 大 性 知a.故选：D【点睛】关键点点睛：根据二面角平面角、线面角、异面直线所成的的角的定义，分别在图形中作出或找到,，,a是解题的关键，再根据位置分析角的变化范围即可比较大小.3.（2 0 2 1上海市行知中学高二阶段练 习）已知两个平面a,和 三 条 直 线 也“，若=且力u,设a和2所成的一个二面角的大小为仇，直 线。和平面夕所成的角的大小为乂,直线“力所成的角 的 大 小 为 则（）A.4=a *a B.名 2 d=aC.a 2%。2 2a D.0t02,0302【答 案】D【分 析】在一个平行六面体中，对三个角进行比较，即可选出正确答案.【详 解】如图，在平行六面体中,N A A

21、 Q =9 0 ,N A A B 9 0不妨设面例为a,而A BC。为，8 C =4则4）=m.A 4,=a此时，由图可知,巧 9 0 0 J L MO,则Z P M O为所求二面角P-A。的平面角.201_面4 8 8,则NPAO为侧棱R4与底面ABC。所成的角，则tanNP40=，2设 45=。，则 4。=立0,所以，P O =A O tan ZPOA=a,2 2则 tan/PMO=2=6 ,因为(yN PMO /幺2-/2 =dPB?-BN?=P N，/P MV =60。，所以，APMN为正三角形，rG为P N的中点，则用G L P N,又因为平面PMNA平面P8 C=P N,平面PMN

22、J _平面P8 C,MG u平面9 V,所以，MGJ _平面PBC,取 A M的中点F,连接后尸、E G,、E分别为P N、户 8的中点，则 E G/BN且E G =、B N ,2因为AO5c且 AO=BC,M、N 分别为A。、BC的中点，则AM 粉 V且4W=BN,.广为4W 的中点,则 FM/BN 且 F M B N ,故 FM/E G 且 F M =E G ,2所以，四边形EFMG为平行四边形，则EF7/MG,故EF_L 平面PBC.因此，尸是AO的4 等分点，靠近A 点的位置.题型三：由二面角大小求线段长度或距离一、单选题1.（2021.上海市奉贤中学高二阶段练习）二面角a-/-4 的

23、大小是60。，在该二面角内有一点P 到a 的距离是 3,到尸的距离是5,又动点A 和 8,A e a,B e。，则附8的周长的最小值是（）A.3 0 B.6x/3 C.12 D.14【答案】D【分析】作出产关于两个平面a,力对称点“、N ,连接M N ,线段MN与两个平面的交点坐标分别为C,D,连接MP,N P,由已知条件推导出 R 48 周长L =RW+RV+MN=AM+MV+8N,当A 与C 重合，B 4。重合时，由两点之间线段最短可以得出M N,即为/记周长的最小值.【详解】解：如图，作出尸关于两个平面a,夕的对称点、N ,交平面口,4 分别为E,F,过点E,F 分别作E O,尸。垂直直

24、线/,连接MN,线段MN 与两个平面的交点坐标分别为C,D,连接VP,NP,C P,DP,则E 43的周长=%+?=+当A 与C 重合，8与。重合时，由两点之间线段最短可以得H!M N即为AHAB周长的最小值，根据题意可知：P到二面角两个面的距离分别为3、5,.-.MP=6,NP=10,面角a-/-/的 大小是60,ZEOF=60,:.ZMPN=20，根据余弦定理有：MN2=MP2+NP2-2MP.NPvosNMPN=62+102-2 x 6x 1 0 x(-l)=196,:.MN=4,.,.R43周长的最小值等于14.故选：D.M2.（2020上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）在直角坐标系

25、中，设A（3,2）,3（-2,3）沿着 轴将直角坐标平面折成120。的二面角后，AB长 为（）A.2x/TT B.4&C.2逐 D.在【答案】C【分析】如 图（1）,设。（0,3）,（0,2）,尸（一2,2）,则可证在图（2）中NEE4为二面角尸。A的平面角,结合线面垂直的性质可得AAB尸为直角三角形，从而可求A 8的长度.【详解】图（1）图(2)0（0,3）,E（0,2）,F（-2,2）,则 B D OD,EF OD,A E L O D,则 在 图（2）中，/F E 4 为二面角尸-8-A的平面角，由题设可得/F A =12 0。，所以 A 尸=9+4-2X2X3X（-）=19,AF=X/1

26、9,因为E F A A E =E,故Q D 1.平面 7 弘，而8 尸 0 D,所以8 尸_L 平面 7%,又AFu 平面E E 4,故 8 尸_L A 尸，故 A B =J 19 +1 =2 石.故选：C.二、填空题3.（2 0 2 1.上海.复旦附中高二期中）二面角C-/-Z?是6 0。，其内一点P到a,4的距离分别为1c m 和2 c m,则点P到棱/的距离为.【答案】串【分析】过户分别作尸A，名尸 8,尸，设点尸到棱/的垂足为C,可得P,A 8,C 在以PC为直径的圆上，利用余弦定理求出AB,再山正弦定理即可求出.【详解】如图，过户分别作P A _L a,尸则 P 4 =1,P 3 =

27、2,设点P到棱/的垂足为C,则可得2 1 平面R 4 C B,irA C,l BC,所以/4 C 3 =6 0。，则 Z A P 8 =12 0。，在 A A B P 中由余弦定理可得44=4尸+B p 2-2 A P B P c o sl 2 0 =l +4-2 x l x 2 x（-；J =7,所以 A B=5 ,山题意可得P，A B,C 在以PC为直径的圆上，A B _ 币 _ 2 历所以由正弦定理可得 sinZ A P B/3 32故答案为：卓.4.（2 0 2 1上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）如图，二面角等于12 0。，A、B是棱/上两点，A C、3D分别在半平面a、内，A

28、Cl,B D V I,且 A B =A C =B O =6,则 C。的长等于.rB a 7【答案】2百A【分析】过。作 OE，面a 于 E,连结CE.延长AC到 凡 使 C尸=8，连结8F.分别求出。E 和 C E,利用勾股定理即可求出C D.【详解】如图示，过。作O E L 面a 于 E,连结CE.延长AC到 R 使 CF=BE,连结8足因为二面角。一/一6 等于120。，BD =y/3,由三垂线定理得BD11,所以 4 D B E=60。且 5 E JJ,所以 E=8sin6(r =3,B=BDcos60=2 2在平面a 内，因为5 E JJ,A C L l,所以 3E/A C,即 B E

29、/。7,又B E =C F ,所以BECF为平形四边形,所以CE=JAB、4 尸 2=+竽=后,所以C=5/力 炉+国=2-73-故答案为：2道.5.（2021.上海市市西中学高二期中）正 方 形 的 边 长 是 2,E,尸分别是AB和 C。的中点，将正方形沿EF折成直面角（如图所示），M 为矩形AE7X）内的一点，如果NM3E=NMBC,MB和平面BCF所成角的正【分析】过点“作交E尸于。，过点。作C W J.8C,交 B C 于 N ,证明R f A B E M 且 Rt.BMN,进而得ME=M N,设MO=x,再根据几何关系得后解得【详解】过点M作/O，F，交E F。，因为A-E F-C

30、是直二面角，所以仞O1.平面8 C F E,所以MO_L8C过点。作 O N J.B C,交 8 c于 N,ONI O M =O,所以BCJ平面M O N,所以8C L M N,即 B M N 为直角三角形,因为BEJ_EF，A-E F-C是 直：面角，所以BE1平面AEFD，所以BE 1 M E，即班M为宜角三角形，因为 N M B E =N M B C ,所以 R t A B E M m RtBMN,所以ME=MN设MO=x,则MB和平面B C F所成角的正切值为科，山T Z M B O是M B和平面B C F所成角，即tan N M B OOB 2所以O8=2x所以在拓M8。中，B M=

31、JOM+OB?=&，在 RIABEM 中，EM =V5x2-1 在 R s B M N 中，M N =IOM2+O N2=&+1 所以/二i=/?W，解得x=夸.所以点M到直线E尸的距离为巫 故 答 案为：变.2 2AD【点睛】本题考查直线与平面所成的角，考查空间想象能力,运算求解能力，逻辑推理能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，构 造 辅 助 线 将=转4匕为ME=MN,进而根据几何关系列式求解.6.（2021.上海市进才中学高二期中）如图，一斜坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是30。，斜坡上有一直道，它和坡脚水平线成60。角，沿这条直道向上行走100米后升高 米.【分析】

32、设 直 道 中 A 在二面角的棱上，过 B作 BC与水平面垂直，垂足为C,再作8 与棱垂直，垂足为。，连接班,可得/即 C 为己知二面角的平面角.然后 在直角三角形中计算可得.【详解】如图，设直道AB中A在二面角的棱上，过 5 作 与 水 平 面 垂 直，垂足为C,再作CD与棱垂直,垂足为O，连接8 0,BC与水平面垂直，则 BC与水平线AD垂直，也与水平面上的直线8 垂直，而C）c 8 C =C,C R B C u平面 B C D,所以AD_L平面B C D,又平面3C。，所以4O_L3，ZBDC为已知二面角的平面角.山己知 AB=100,ZBAD=6 0 ,则 8 0=ABsinNBAO=

33、100sin60=50百，NBDC=30,BC=BDsin ZBDC=5 0 g sin 30=25G .故答案为：2 5 g.三、解答题7.（2021高二期中）如 图 1,平面四边形A8CD关于直线AC对称，ZA=60,NC=90。，8=2.把 姒）出沿8 0折 起(如 图2),使二面角A-3 O-C的余弦值等于.对于图2,完成以下各小题:(2)证明：A C，平面B C D；(3)求直线A C与平面说所成角的正弦值.【答案】(1)2；(2)证明见解析；(3)且.3【分析】(1)根据题意取3 D的中点E,容易证明N A E C是二面角A-3 D-C的平面角，进而求出结果：(2)通过勾股定理证明

34、A C _ L 3c A C，CO,进而通过线面垂直的判定定理得到结论；(3)先通过等体积法求出点C到平面 曲 的 距离，进而根据线面角的定义求出线面角的正弦值.【详解】(1)由题意，B C D是以C为直角，直角边边长为2的等腰三角形，是边长为20的正三角形.由 A B =4 Q,C 3 =C。，得：A E 工 BD,C E 上 B DN A C E就 是：面角A-5 -C的平面角，c o s Z.AE C =.3在 A A C E 中，易得 AE =娓,C E =y/2,由余弦定理：A C2=A E2+C E2-2AE-C E-c o s A A E D-4/oc o s Z A C E =

35、,/.A C =2.3(2)由 A 8 =A =8 =2&，A C =C D =B C =2,A C2+BC2=A B2,A C2+C D2=A D:.Z A CB=9 0,Z A C D=9 0 A C _ L B C,A C _ L CD,又 8 C c C O =C.ACL平面 S C O.(3)设点C到平面町的距离为/?,C-ABD=A-BCD.-x x 2&x 2&s i n 6 0 -/=x x 2 x 2 x 2.-./?=.3 2 3 2 3于是AC与平 面 曲 所成角。的正弦为s i n e=L=.A C 38.(2 02 1.上海华师大二附中高二开学考试)如图，在棱长为2的

36、正方体A B C D-A/B/C/D 中，E、F分别是A/Q 和 C C/的中点.（1）求异面直线E F 与 A 8 所成角的余弦值;（2）求异面直线E F 与 A 8 之间的距离（3）在棱88/上是否存在一点P,使得二面角尸-A C-B 的大小为3 0。?若存在，求出B P 的长，若不存在，请说明理由.【答案】（D：（2）逑；（3）存在，BP =.3 2 3【分析】（1）作出异面直线所成的角，解三角形求解；（2）转化异面直线间距离为线面距离，再转化为点面距离，计算即可；（3）假设存在，利用二面角P-A C-8的大小为3 0 求解即可.【详解】（1）取夕C中点G,连结EG,如图，又为川7 中点

37、,:.EG/A!ff/AB,连结G尸，则NEEG或其补角即为异面直线EF h AB所成角,.,F为C C 中点，正方体边长为2,.EG=A7T=2,F=jF+22+1 2 =R,E G 瓜.cos N F E G =-=,E F 3异面直线EF与 A 3所成角的余弦值 为 逅.3(2)因为 E GAB,所以异面直线E F与A B之间的距离即为直线A B与平面EFG间的距离,即点8与平面EFG的距离，连接B C,交F G 于 M,因为 FG3C,所以B M LG F,又 EG，8 M,EGnFG=G,所以&W 1,平面E尸 G,即B M为点B到平面E F G的距离.因为 BC，=V22+22=2

38、2,MC =-G F =,2 2所以 8 M=8 C-MC =述，2即异面直线EF与 AB之间的距离为 逑.2(3)假设棱8 B/上存在一点P满足题意，连接AC,8。交于。，连接P。，所以N B O P 为:面角P-A C-8的平面角，设 8 P=尤，B0=6,tan Z B O P=tan 30=即所以=必，V2 3 3故当存在3 P 长 为 在 时，二面角 的 大 小 为 3 0”.3题型四：由二面角大小求异面直线所成的角一、填空题1.(20 21上海闵行中学高二阶段练习)已知二面角夕-/-的大小为14 0 ,直 线 分 别 在 平 面 出广内且都垂直于棱/,贝 I J。与6 所成角的大小

39、为.【答案】4 0【分析】根据二面角的定义可得答案.【详解】因为二面角a-/-的大小为14 0。，直线。力分别在 平 面 尸内且都垂直于棱/,所以“与b 所成角的大小为4 0 故答案为：4 0 二、解答题2.(20 21上海华东师范大学第三附属中学高二期中)如图所示，圆锥S O 的底面圆半径。1 =1,母线S A =3.(1)求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；(2)如图，半平面S O 4 与半平面S O P 所成二面角尸-SO-A大小为120；,设线段S O 中点为“，求异面直线AM与P S 所成角的余弦值.【答案】体积 为 经 加，侧面展开图扇形的面积为3 小(2)速3 18【分析】(1

40、)利用锥体的体积公式以及扇形的面积公式可求得结果；(2)取。尸的中点E,连接AE、M E,分析可知异面直线P S 与 4M所成的角为“W E 或其补角，计算出 A M E 三边边长，利用余弦定理可求得结果.(1)解：山题意可知，S O=ylS A2-OA2=27 2 圆锥S O 的体积为丫=!乃、0 4 2乂 5 0 =迈 开，3 3该圆锥的侧面展开图扇形的面积为S =TIXOA义S A =3兀.（2）解：在圆锥S。中，SOJ_平面AOP,-.-AO.P O u平面AOP,.-.S O I.AO,SO YPO,所以，二面角P SOA的平面角为4 0尸=120。,取O P的中点E,连接A E、M

41、 E、所以，异面直线PS与A M所成的角为ZAM E或其补角，.SA=3,。4=1,则SO=二 而7=2五,:.A M =yjAO2+O M2=/3在AAOE 中，0E=:，OA=1,ZAOE=120，2由余弦定理可得 AE=y/AO2+0E2-2 AO-OEcos 1201=由余弦定理可得cos NAME=A”炉-A炉=732AM ME 18因此，异面直线A M与PS所成角的余弦值为 友.18巩固提升一、单选题7T1.（2021.上海市进才中学高二期中）正三棱台侧面与底面所成角为：，侧棱与底面所成角的余弦值为（）4A B.矩 C.3 D.巫5 5 3 3【答案】B【分析】延长侧棱交于一点P,

42、三棱锥P-M C为正三棱锥，作PO_L底面A B C,根据NPMO即为侧面与底面所成角，/P A O即为侧棱与底面所成角，利用边长计算即可.【详解】如图所示，三棱台为ABC-DEF,延长侧棱交于一点P,则三棱锥P-4 3 c 为正三棱锥,设底面边长为“，作尸。1底面A B C,则。为底面中心，所以0M=a，易知NPMO即为侧面与底面所成角，6所以NPMO=工，所以PO=O M=a,4 6PO PO由产。,底面4 B C,可知N P40即为侧棱与底面所成角，所以7MAO 20MG a6x/3 a32所以 COS/P A O =4=x/5 5故选：B.2.（2021上海奉贤区致远高级中学高二期中）

43、已知四棱锥S-ABCO的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB上 的 点（不含端点），设 SE与 8 c 所成的角为由，SE与平面ABCO所成的角为仇，二面角S-AB-C的平面角为03,则（）A.9I0203 B.仇学2%/C.8,O M ,所以 tanq tan4 tan02,即 0 0i 02,故选：D.3.（2021上海市宝山中学高二期中）如图，水平桌面上放置一个棱长为4 的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面CDRG上有一个小孔E,E 点到。的距离为3,若该正方体水槽绕CO倾 斜（CO始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧 面 与 桌 面 所 成 角 的 正 切

44、值 为（）D.2【答案】D【解析】根据题意，当水恰好流出时，即由水的等体积可求出正方体倾斜后，水面N 到底面B 的距离BN=1 ,再由边长关系可得四边形N PGH是平行四边形，从而侧面CDDC与桌面所转化成侧面C D D 与平面HC R所成的角，进而在直角三角形中求出其正切值.【详解】由题意知，水的体积为4x4x2=3 2,如图所示,设正方体水槽绕C。倾斜后,M,N,P,Q,水血分别与棱 的，BB,CC,D R,交于由题意知PC=3,水的体积为SBCPN CO=32.BN+PC B CCD=32,即 空 与4x4=32,2 25N=1在平面BCB1内，过点G作G”/NP交BBi于H,则四边形N

45、PQ H是平行四边形，且NH=pq=i又侧面C Z)A G与桌面所成的角即侧面CDRG与水面MNP。所成的角，即侧面CDRG与平面”G R所成的角,其平面角为NHGC=N 4G，在 直 角 三 角 形 中，tan4，=0 g =：=2.rn Z故选：D.【点睛】本题考查了利用定义法求二面角，在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条垂线所成的角即为二面角的平面角.4.(2021上 海 高 二 专 题 练 习)等 腰 直 角 斜 边CB上一点P满足CPW CB,将AC4P沿AP翻折至 C A P,使二面角C A P-B为60。，记直线C4、C B、C PCP与平面加3所成角分别为a

46、、尸、/,则()A.a p y B.a y p C./3ay D.ya/3【答案】C【分析】建立坐标系，找出C在平面ABC上的射影N,判断N到A,B,P三点的距离大小得出结论.【详解】以4为原点建立平面直角坐标系如图所示：过C作CM_LAP,垂 足 为 机 使 得CH=M”，设 的 中 点 为N,二面角 C-A P-8为60。，；.C在平面4 8 c上的射影为M连接NP,NA,NB.显然NPNA.设AC=AB=1,则C=sinNR4C,3 3:.CN=-CH=-sinZPAC,2 23N到直线 AC 的距离 d=CN-sinZACN-sinZPAC,：CP-CB,4/.s in Z P A C

47、 .1 0.d 生何 _ L,即N在直线y=1下方，2 0 2 2h h h：.N AN B.设 C 到平面 A B C 的距离为/?,!/llJ t ana=,t an/3=,t any=,NA NB NP;N P t ana t an/3,即 y a /.故选：C.【点睛】本题主要考查了空间角的大小比较，转化的思想，属于中档题.二、填空题5.（2 0 2 0 上海市金山中学高二期末）在北纬4 5 的 线 圈 上 有 两 地，它们的经度差为9 0,若地球半径为 R,则A B两 地 的 球 面 距 离 为.【答案】竿【分析】因为AB在北纬4 5。上且经度差为9 0。，所以A B =R，从而AB

48、的球心角为：?，再用弧长公式求解.【详解】地球的半径为R，在北纬4 5。，经度差为9 0 所以4 5 =R，T T所以A,8的球心角为：所以两点间的球面距离是:竽；故答案为:竿.【点睛】本题主要考查了线线角，线面角以及弧长公式，还考查了空间想象的能力，属于基础题.6.（2 0 2 1 上海师范大学第二附属中学高二期末）已知一个正四棱锥的底面边长为2,侧面与底面所成角的大小为9，则 该 四 棱 锥 的 侧 面 积 为.【答案】8（分析过 丫 作平面A B C的垂线V O,交平面A B C于O点，过作O E L 4 B,交A B于 E.连 结V E,则Z V E O是二面角以4&C 的平面角，在

49、直 角 三 角 形 中，利用余弦的定义，即可求出侧高，即可求出四棱锥的侧面积.【详解】如图,在正四棱锥V-ABC D中，底面正方形A 8 co边长为2.侧面V A B与底面A8 CD所成二面角的大小为60,过V作平面ABC的垂线VO,交平面A B C于0点，过作0E_L A8,交A B于 连 结VE,则 NVE。是二面角 V-AB-C 的平面角，,Z VE O=60,OE=AE=BE=1,：.VE=E=2,cos60：.c 9 E 0=毁VE 2,该四棱锥的侧面积S=4X（；X2X2）=8.故答案为：87.（2021.上海市洋泾中学高二阶段练习）已 知 二 面 角 的 大 小 为 凡A为平面a

50、上的一点，且 AC。的面积为2,过A点的直线A 8交平面夕于8点，A B 1 CD,且A 8与4成60。角，当。变化时，8 C O的面积最大为.【答案】3【分析】当A4_L a于点A时，B C D的面积取得最大值，然后把二面角的平面角转化为面积之比进行求解即可【详解】过点A作A O _L C D,连接8 0v AB C D,AOrC D,ABrAO=A CDA 平面 AO8,C)_L O8/.Z A O B是二面角a-C -/7的平面角,弋 -D C x O A.ACD_2_*V-1MBCD-D CXOA2%.c=SAACD X B丽.BC D-2OBOAv C D OB,AB CD.-.Z