2022-2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练--正方形的性质与判定(知识讲解).pdf

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1、专题1.9正方形的性质与判定(知识讲解)【学习目标】1.理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2.掌握正方形的性质及判定方法.【要点梳理】1、定义：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形。2、性质：(1)正方形具有菱形和矩形的所有性质。(2)正方形的四条边都相等，四个角都是直角。(3)正方形的对角线互相垂直平分且相等，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。(4)正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形(四条)。3、判定：(1)有一组邻边相等的矩形是正方形。(2)对角线互相垂直的矩形是正方形。(3)有一个角是直角的菱形是正方形。(4)对角

2、线相等的菱形是正方形。4、面积：正方形面积=边长的平方；正方形面积=对角线乘积的一半5、中点四边形(1)顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.(2)顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.(3)顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.(4)顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.【典型例题】类型一、据正方形性质求角的大小、线段的长及面积.如图，已知E、F 分别是正方形ABC。边 BC、8 边上的动点，AB=6,A E=A F.(1)求证：ZBAE=Z D A F；(2)设AAE下的面积为九EC的长为x.试求出y 与x 之间的函数表达式.1、【答案】(1)见分析；(2)-X1

3、2+6X(0X6)1 9,=x+6x(0 x ,N 8 =N =N C =9 0。，运 用 从 证明M D F=M B F即可得到结论；(2)由(1)可得B E=D F,进而得C F=C E,根 据%麻 =S正 方 形A SC O 2S DF -S&CEF 可得结论.解：(1)四边形力8 C。是正方形，A B=A D=BCf N B =N O =N C =9 0 0又AE=AFMDF=A 4 B F (HL)匚 Z BA E=Z D A F ;(2)由(l)知，A A L F =A A B FU BE=DF又 BC=DCU CE=CF=xU BE=DF=6-xisA EF S正 方 形 八5c

4、o-ZSDF-S&CEF=62-2 x x 6 x(6-x)-x x22 2BA.3 0 度 B.6 7.5 度C.2 2.5 度D.3 0 度【答案】C【分析】先连接/C，根据正方形的性质，得出4C=E C,进 而 得 到=。尸，再根据平行线的性质，得出口后口及尸，最后根据口。1。=45。，求得口/EC的度数.解：如图，连接NC,则 正 方 形 中，A C=BD,CE=BD,O A C=EC,=DC4F,A D/EC,aQ CA F=nDA F,CJZ45,DU CA F=DA F=22.5,A EC=22.5,故选：C.【点拨】本题主要考查了正方形的性质以及平行线的性质，等腰三角形的性质，

5、解题的关键是作辅助线，构造等腰三角形4 C E.解题时注意：正方形的两条对角线相等，并且每条对角线平分一组对角.【变式2】如图,正方形A B C D的边长为6,点 E,F分别是边BC和 的 中 点，连接AE,在 AE上取点G,连接G F,若ZEGF=45。，则G F 的长为.【答案】亚5【分析】连接 断 交 A石丁”，根据正方形的性质得到AB=BC=CD,ZABE=NC=90。，根据全等三角形的性质得到N8AE=NC5/，AE=B F,推出AFG是等腰直角三角形，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论.解：连接 断 交 AE于,四 边 形 是 正 方 形,；.AB=BC=CD,ZABE=Z

6、C=90,点、E、/分 别是边BC,CO的中点,:.BE=CF,在 AABE与ABCF中,AB=BC,4ABE=/BC F,BE=CF/.A B E=AB C F（S A S）,./B A E =/C B F,AE=BF,-ZBAE+ZAEB=90,:.ZAEB+NEBH=90。,.ZBHE=90,NGHF=90。,NFGH=45。，尸 G”是等腰直角三角形，AB=BC=6,口 BE=CF=3AE=BF=yjAB2+BE2=3A/5SLA n4v/c.=-2 A B B E =-2A E B HAB BE 6x3 66AE 3 石 5H F =H G =B F-B H =3 y 5-=-,5

7、5故答案为：蛔.5【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键.类型二、据正方形性质进行证明C 2.如图，在正方形ABC。中，AB=6,E 为 BC中点，连接A E,将 AABE沿 AE折叠，点 8 的对应点为G,连接EG 并延长交CQ于点尸，连 接 反，CG.(1)判断CG与 AE的位置关系，并说明理由；(2)求。尸的长.【答案】(1)平行，理 由 见 分 析(2)2【分析】(1)由折叠知AABE会AA G E,可得NAE3=N A E G,根据E 为BC的中点，可得E C =EB=E G =3,进而可得 NECG=/E G C,根据 N C

8、 G E=N A EG,即可得证；(2)证明RtA)F/RtA G/，得 D F =F G ,设 F=x,则 EF=3+x,F C =6-x.勾股定理列出方程，解方程求解即可.(1)解：CGAE.理由如下：由折叠知 A B E A G E,BE=EG,ZAEB=ZAEG.又 E 为 的 中 点，EC=EB=EG=3.ZECG=ZEGC.NBEG=NECG+ZEGC=2ZAEG,ZCGEZAEG.CG/AE.(2)；四边形ABC。是正方形，AD=AB=AG.又ZADF=ZAGF=90,ZADF=ZAGF=90,AG=AG,RtAAO尸/RtAAGf.DF=FG.设。F=x,则 EF=3+x,FC

9、=6-x.EF2=EC2+CF2.BP(3+x)2=32+(6-x)2.解得x=2.即 b=2.【点拨】本题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，HL证明三角形全等，全等三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键.【变 式1】如图，在正方形/8C O中，E,尸分别是8 c的中点，CE,D尸交于点G,连接Z G,下列结论不正确的是()A.CE=DF B.CEDFC.AE=EGD.AG=AD【答案】C【分析】证明口8。口口。尸得到C=D尸，QBCE=3CDF,即可判断A、B；如图，取8 中点，连接GH,A H,证明口/1/鼠；口 口4/)，得至即可判断D;根据现有条件不能证明N E=EG,即可

10、判断C.解：四 边 形 是 正 方 形，A B=BC=CD,CBE=0 c 尸=90。，/分 别 是 43,8 c 的中点，BE=LAB,CFBC,2 2BE=CF,BCE C D F(SAS),CE=DF,BCE=C D F,故 A 不符合题意；U U BCE+DCE=9 0,U CDF+DCE=9 0。,GC=90,即 C D F,故 B 不符合题意；如图，取 CD中点4,连接G，AH,则G =D =CH=g c。同理可证4 4 口 尸，GA HD=U A HG,又 U A H=A H,GH=DH,R A H G A H D(SAS),V A D=A G,故 D 选项不符合题意，根据现有条

11、件不能无法不能证明A E=E G,故 C 选项符合题意；【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中位等等，熟知正方形的性质是解题的关键.【变式2】如图，点 E 在正方形/B C D 的边C。上，将口/DE绕点/顺时针旋转90。到下的位置，连接E F,过点Z 作 跖 的 垂 线，垂足为点”，与 8 C 交于点G.若 5G=3,C G=2,则 CE的长为由旋转可知以48尸 门 力。&口DE=BF,AE=AF,UAGUEF,U”为 所 的 中 点，力 G 垂直平分EF,UEG=FG,设 C E=x,则。E=5-x=B尸，FG=EG=BF+BG=8-x,C=90,

12、CE2+CG2=EG2即 X2+22=(8-X)2解得C 的长为3,4故答案为：4【点拨】本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解决该题的关键是根据勾股定理列方程.类型三、添加一个条件使四边形成正方形.如图，是口/A？的中线，过点/、8 分别作8C、的平行线，两平行线相交于点E.求证：A E=CD-(2)当/8、4C满足什么条件时，口四边形Z E 8。是矩形？请说明理由：口 四 边 形 是 菱 形？请说明理由；四边形Z E 8。是正方形？请说明理由.【答案】(1)见分析(2)O 4 8=C；理由见分析；口 4 8 口/。；理由见分析；口 4 8=4。且工B Q 4 C；理由见分析【分析】(

13、1)先证明四边形/防。是平行四边形，再根据工。是一/8 C 的中线，即可证得.(2)根 据 特 殊 四 边 形 的 性 质，反推回关于4 8、4C的条件，再正向证明即可.解：Q A E/BD,A D/BE,口四边形A E B D是平行四边形，A E=BD,是，8c的中线，BD=CD,U A E=CD.(2)JA B=A CU A B=A C,力。是/8 C 的中线，U A D LCD,BD4=9 0.四边形/8。是平行四边形,四 边 形 是 矩 形，CA B A CA B A C,是 4 8 C 的中线，DBD=A D.口四边形A E B D是平行四边形，I 四 边 形 是 菱 形.A B=A

14、 C.A B A CU A B=A C SLAB3AC,/8 C 是等腰直角形LN。是 Z8C 的中线，BD=A D,BD A D,四边形/E 8 3 是平行四边形，口四边形ZE8。是正方形.【点拨】本题考查了中线的性质，平行四边形的性质和判定，特殊四边形的性质和判定等知识点的应用.【变 式 1】平行四边形”8C。的对角线/C、8。相交于O,给出的四个条件口/BnBC；48C=90；0=05；Q A C D B D,从所给的四个条件中任选两个，能判定平行四边形/8 C D 是正方形的概率是（）B C【答案】D【分析】先确定组合的总数，再确定能判定是正方形的组合数，根据概率公式计算即可.解：一共

15、有口 口，口，口,；ZO6种组合数，其中能判定四边形是正方形有一，4 种组合数，4 2所以能判定平行四边形A B C D是正方形的概率是二=:，故选D.【点拨】本题考查了概率公式计算，熟练掌握正方形的判定是解题的关键.【变式2】如图，四边形ABCO是菱形，AC与 8。相交于点。，添加一个条件:可使它成为正方形.【答案】BA D=9 0【分析】根据“有个角是直角的菱形是正方形“可得到添加的条件.解：由于四边形A 8C D 是菱形，如果 BA D=9 0 ,那么四边形A8CO是正方形.故答案为：BA D=9 0 .【点拨】本题考查了正方形的判定，解决本题的关键是熟练掌握正方形的判定定理.类型四、据

16、正方形性质与判定求角的大小 线段的长及面积如图，在M B C 中，A B=BC,口 48。=90。，点 D,E 分别是边Z8,8 c 的中点,点 凡 G 是边/C 的三等分 点.DF,EG的延长线相交于点，连接N 4,CH,BF,BG.(1)求证：四边形尸8G”是菱形；(2)判 断 四 边 形 的 形 状，并证明你的结论；若 D F=非,求 4 8 的长.【答案】(1)见 分 析(2)四边形Z8”是正方形，理 由 见 分 析(3/8=6.【分析】(1)由。/是/8 G 的中位线，则。尸B G,同理EG B F,得四边形EBG”为平行四边形，再利用SAS证明尸 C B G,得 B F=B G,从

17、而证明结论；(2)连接8交 4C 于点O,由(1)知，四边形48C”是菱形，再根据，可知四边形48C”是正方形；(3)由菱形的性质可知FH=BG=2y5,则 DH=DF+FH=石+2石=30，设 A D=x,则AB=2x,利用勾股定理即可解决问题.(1)解：口点尸、G 是边NC的三等分点，DAF=FG=GC,又！D为A B 中点，。尸是/8 G 的中位线，CDFQBG,同理E G ；四边形反G”为平行四边形，1/8C=90。，AB=BC,WBAF=UBCG=45,在ZUBF和ACBG中AB=CB ZBAF=ZBCG,AF=CGABF CBG(SAS),BF=BG,口四边形尸8G”是菱形；(2)

18、解：四边形48C77是正方形，理由如下:如图，连接BH交4 c于点0,四边形FBG”是菱形，UOF=OG,OB=OH,FG BH,由(1)得/尸=CG,aOF+AF=OG+CG,即 O A=O C,n四边形/8 C，是菱形，又 口 口/1 8。=9 0 ,口四边形N 8 C 是正方形：（3）解：。/是 L/8 G 的中位线，BG=2DF=2 亚,又四边形尸8 G”是菱形，F H=BG=2 后,DH=DF+F H=石 +2 石=3 6，口四边形4 8 C 4 是正方形，U A H=A B,CDA H=9 0,H A D2+A H2=D H2,iS：AD=X,W l J A B=A H=2x,则3

19、+（2 x）2=（3 火）2,解得：x/=3,X 2=-3 （舍），JA B=2x=6.【点拨】本题是四边形综合题，主要考查了三角形中位线定理，菱形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键.【变 式 1】如图，将正方形A 8 C D 绕点/顺时针旋转3 8。，得到正方形A E 尸 G,OB的延长线交E F 于 点 区 则“E的大小为（）A.7 6 B.9 7 C.9 0 D.1 1 4【答案】B【分析】根据旋转的性质，求 得B4E=38。,根据正方形的性质，求 得。从1=4 5。,4BH=1 35,利用四边形的内角和定理计算即可.解：根据旋转

20、的性质，得L M E=3 8,口四边形/5 C D 是正方形，nnDBA=45,JA BH=1 35,口四边形/E R 7 是正方形，E=9 0,D/7 =3 60o-9 0o-3 8 -1 3 5 =9 7 ,故选B.【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质，旋转的性质是解题的关键.【变式2】如图，在口/8 C 中，0 A C B=9 0 ,AC=B C=母.。是 边 上 一 动 点，连接 8,以 C Z）为直角边在CD左侧作等腰直角口。,且口。C E=9 0。，连接NE,则DE长度的最小值为;U/D E 面积的最大值为.【答案】0 g【分析】要求

21、O E 得最小值，只需求CE 的最小值，过 C作 N 8的垂线交4 8于尸，C 尸即为 3 C E 的最小值，然后运用勾股定理即可求得O E 的最小值；当 最 小 时，A DE为等腰直角三角形，此时其面积有最大值，然后求解即可.解：如图：过 C作 48的垂线交4 8 于产C F 是 8 的最小值 JC 5=9 0,A C=B C=y/2A B=y/A C2+B C2=2CF U A B C F=1 C Z C E 的最小值为1,A F=D E的最小值为yjcD2+C E2=O GC E=9 0 JCE4=9 0,CA G=9 0,CG=CF=口四边形Z F C G 是正方形 =/G=l当。点在

22、尸点时，的面积最大，且 等 腰 N G 厂的面积/0 E 的面积最大值为：g x A G x 4 F =；x l x l =g .故答案为：1 y .【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、正方形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键.类型五、据正方形性质与判定进行证明C5.如图，点 E 为 正 方 形 外 一 点，口/班=9 0。，将 R t ONB E绕/点逆时针方向旋转9 0。得到U A DF,D F的延长线交B E 于 H 点、.(1)试判定四边形，a/E 的形状，并说明理由；(2)已知 8 4=7,D H=1 7,求 8 C 的长.【答案】(1)四边

23、形/E 是正方形，理由见分析：(2)1 3.【分析】(I)根据旋转的性质可得1%8=“尸。=9 0。，DEA F=9 0,A E=A F,从而可得四边形/E 是正方形；(2 )连接B D,先在R tiJDHB中利用勾股定理求出B D,再在R t J B C D中求出BC,即可解答.(1)解：四边形/尸”是正方形，理由：由旋转得：A E B=/尸)=9 0。，4/=9 0。,力 厂”=180。-UAFD=90f 四边形力 E 是矩形，由旋转得：AE=AF,四边形AFHE是正方形；(2)连接口四边形4FHE是正方形,)/=90,口 !D H B=-DDHE=90,BH=7,DH=17,BD=yjD

24、H2+BH2=/172+72=13 后,口 四 边 形 是 正 方 形，UBC=CD,C=90,BD 13 及BC=-f=-=3,V2 V2 8 C 的长为13.【点拨】本题主要考查J正方形的性质、勾股定理及旋转性质，作辅助线直角三角形是解题关键.【变 式 1】如图，四边形/3 8、/E F G 均为正方形，其中E 在 BC上，并连接3 G.下列判断正确的是()GB EA.a i 0 2C.D3 n 4【答案】C【分析】根据正方形的每一个角都是直角求出口8/1。=口 4 6=9 0。，然后根据同角的余角相等可得口1 =口2,根 据 直 角 三 角 形 斜 边 大 于 直 角 边 可 得 从 而

25、 得 到/G/8,再根据三角形中长边所对的角大于短边所对的角求出3 A B,口 四 边 形 是 正 方 形，U A E=A G,Q A G A B,3+ND4G=90。E /B A E =/DAG在 物 1石和ZXD4G中AB=AD,ZBAE=ZDAGAE=AGBAE=DA（JE DG=BE.（2）由（1）知 B4E也 D4GZADG=Z B-90,BE=DGZADC=90ZCDG=ZADC+ZADG=90。+90。=180H,D,G 三点共线四边形A&G是正方形AE=AG,ZE4F=ZGAF=45AE=AG在 ABAE 和D4G 中，EAF=NGAF,AH=AHEAHq AHEH=HGHG=

26、DG+DHEH=BE+DH(3)四边形ABC。是正方形，AB=4JCD=AB=4，恰C。中点DH=HC=、CD=22BAEDAGBE=DG设=则 G=x,EC=4 x由(2)知 EH=BE+DH=2+x在中，由勾股定理知EC2+C42=E2(4-X)2+22=(2+x)24解得，x=-EC=-30 1 ”1 8 c 8S=EC CH=-x-x2=-.“CEH 2 2 3 3【点拨】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三点共线等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型.【变 式1】将矩形ABCD按如图所示的方式

27、折叠，BE,EG,FG为折痕，若顶点A,C,D都落在点O处，且点B,O,G在同一条直线上，同时点E,O,F在另一条直线上，则下歹U说法：nAE=DE；JE O G C；BE=BF；若 A B=1,则 AD=上，正确的有()A.ODD B.C.D.【答案】B【分析】根据矩形的性质和折叠的性质可得E,G分别为AD,CD的中点，再根据勾股定理可得A D=0,再根据三角形的性质得到EG G C,即可得到结果；解：四边形ABCD是矩形,C=90,AB=CD,AD=BC,由折叠的性质得：AE=OE=DE,CG=OG=DG,E,G分 别 为AD,CD的中点，故 正 确，设 CD=2a,A D=2b,则 AB

28、=2a=OB,DG=OG=CG=a,BG=3a,BC=AD=2b,在 Rt BCG 中，CG2+BC2=BG2,即 a2+(2b)2=(3a)2,b2=2a2,b=y/2 a,rAB=CD=l,AD=/，故 正 确，EOG=UD=90,EGOG,OG=GC,EG G C,故口正确，不 妨 设B E=B F,则匚BEF=BFE=ZDEF=IZJAEB=60。，这个显然不可能，故口错误.故 选:B.【点 拨】本题主要考查了利用矩形的性质证明，准确分析判断是解题的关键.【变 式2】如 图，四 边 形A3C。是轴对称图形，且 直 线1是对称轴，AB/C D,则下列结 论A D H B C-1 4即是等

29、边三角形；口根台。=ACDB；口四 边 形A8C是正方形.其中正 确 的 是.(只 填 写 序 号)【答 案】口【分析】根据轴对称图形的性质，结合菱形的判定方法以及全等三角形的判定方法分析得出答案.解：因为/是四边形A8CO的对称轴，AB/CD,则 Zl=Z 2,N1=N4,则 N2=N4,：.AD=DC,同理可得：AB=A D =B C =DC,所以四边形ABC。是菱形，但无法确定是否是正方形，根据菱形的性质，可以得出以下结论：所 以A D/B C,故 正 确；BD不一定等于AB,故4曲 不 一定是等边三角形，故错误;四边形ABCD是正方形，故：错误；在A4SD和ACDB中AB=BC1.,-A D =D CBD=BD:.M B D A C D B（SSS）,故 正确.故答案为口.【点拨】此题主要考查了轴时称以及菱形的判断与菱形的性质，注意：对称轴垂直平分对应点的连线，轴对称图形中对应角相等，对应边相等.