2023年广东省专升本高等数学知识点考点大纲复习资料.pdf

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1、广东专插本考点汇编第一章函数、极限、连续第一节函数考点1:判断函数是否为同一函数方法：定义域和对应法则都相同的函数为同一函数o1.下列函数/(X)与 g(x)为同一函数的是()4/(x)=|x|,g(x)=xc/(上x图-1g(上 照B.f(x)=x,g(x)=V?D./(x)=I n x:g(x)=31n xx +l【答案】D【考点】函数的三要素：定义域、值域、解析式【解析】解：判断函数是否是同一函数，需要定义域与解析式一样，D选项定义域和解析式都一样，是同一函数。A选项解析式不一样。考点2：求函数定义域-,x 0 x(1)具体函数求定义域 为行,X N Ol o g x,x 0ar cs

2、i n x,ar cco s x,-1 x 0,(x-3)(x+4)0,xe(-oo,-4U3,+o)2.设函数y=/(x)的定义域为-2,2,求函数2x 4)的定义域.【答案】xel,3【考点】考察函数的定义域。【解析】解：-242x-442,l/工2 +1-x)J%2+1+X)，歹为奇函数.3广东专插本考点汇编第 二 节 极 限考 点1:数列的极限如果当无限增大时,数列%,无限趋近于确定的常数做数列 x 当 f 0 0时的极限,记作l i m x”=a或-a(1.根据题意填空：(1)数列，其通项为2 3 4 5 6【答案】x=(-l)n-n【考点】求数列的通项公式。【解析】解：通 项 为

3、演=(-1)Ln，那么a就叫-00).(2)设数列1,上，则数列的前项和S =2 4 8 16nli omo Sn=.【答案】见解析【考点】求数列的极限。【解析】解:通 项 为X”,l i m S“=22,计算极限l i m2/+6 2-53 n2 3+2M+12【答案】-34广东专插本考点汇编【考点】求数列的极限。【解析】解:l i m“Too2/+6 2一53/+2+1=l i m”一 82+7 2r3+二+-?n n23【总 结】:0,h m -+-Q-,/-I-+-+-4 1-x-+-a -=am-8 hnx+b.lxl,-+-+h,x+b0 bnm n考 点2：函数的极限【总 结】计

4、算极限的常用方法:有 7 种未定式：,0 0-0 0,0-0 0,10,0 0,0 0 001.求下列函数的极限（,艺 型，又称基本型）方法有:0 00约去零因式法（此法适用于x-x 0,9）;0 0除以适当无穷大（适用于Xf o o（f 00）时，-）;00分子或分母有理化（适用于带有根号的极限问题）；通 分（适用于00-0 0）；利用基本极限公式（适用于，,r）；等价无穷小替换；无穷小量的性质（无穷小无穷小=无穷小，无穷小有界量=无穷小）;利用夹逼原理（进行适当放缩）；取e法或 取 对 数 法（适用于r0,0 和 8）；5广东专插本考点汇编洛必达法则(Q,一).0 0 01 .求下列极限a

5、 r ct a nx-x esinv _ex(1)h m-z-(2)l i m-：x3)x s i n-x【答案】见解析【考点】求函数的极限。【解析】解：_L_i 出(1 )l i m-a-r c-t-a-n；-x-x-=hm i+r2 =l.i.m +x2=-1i o x X T O 3X-x-o 3X-3-1)s i n x-x co s x-1 1X T。x s i n x 3 x 3 x z 0 3 x 6考点3：无穷小量的阶设 l i m a(x)=O,l i m(3(x)=0.(1)如果l i m2 =0,就 说/是 比。高阶的无穷小，记作夕=o(a),a(2)如果l i m2 =

6、o o,就说夕是比a低阶的无穷小.a(3)如果l i m2 =c wO,就说仅是比a同阶无穷小.特别地，当c=l时,a即l i m2 =l,此时称夕与a是等价无穷小，记作a 月.a1 .当x -0时，下 列()是x的高阶无穷小量.AB Vl +x-1 C.x s i n-D.1-co s x6广东专插本考点汇编【答案】D【考点】考察无穷小量。1 2 co s X o【解析】解：l i m竺 之 =l i m2 =0,可判断D正确。x f X X2.当x-0时，In(co s x)与4 c”是等价无穷小，则常数/=,常数=.【答案】A=-,k=2【考点】考察无穷小量。_ 1%2【解析】解：l i

7、 mlnCfX=l i m-051=h m -,A =-,k2s o AX x-o 4 f x-o 4x 2考点4：用极限解决参数问题r2 x2+1 、1.已知l i m-ax-h=2,求常数a,b的值.X T8(X+l /【答案】。=2/=4【考点】考察无穷小量。【解析】解：l i m2x2+1 -(x +1)(a x +力)2x2+1 -ax2-hx-ax-bl i m(4 x-2 ax-b-a)=2,a=2,a h=2,b=47广东专插本考点汇编第 三 节 连 续考 点1:函数的连续性判断函数在某一点是否连续遵循以下步骤：/(X)在 点 七 处是否有定义：左右极限是否都存在；左右极限是否

8、相等并且等于函数在这一点的值.1.若 函 数/(8 (1 +)，*在=0处连续，试 确 定。的值a,x=O【答 案】A =-,k =22【考 点】考察无穷小量。【解 析】l i m/(x)=l i m(l +xA欲/(x)在x =0处 连 续,必 须 使X TO X-0l i m/(x)=/(0),故a =e3.考 点2：求函数的间断点及其类型 第 一 类 间 断 点(存在)可去间断点：/(/-)=/(/+)：跳跃间断点：/(x0-)*/(x0+)：第二类间 断 点(/(%-),/(x 0+)至少有一个不存在)无穷间断点：l i m/(x)=o o或 l i m/(x)=o o1.设 函 数/

9、(x)=,则x =O是/(x)的.间断点.W(x：【答 案】跳跃8广东专插本考点汇编【考点】函数间断点类型的判断。【解析】解：l i m f(x)=l i m 匕 r =2,l i m/(x)=l i m/；7=-2 左 右 极八，1 0-_心2 _ 1)I ，0-心2 1)限都存在，但不相等。x =0是跳跃间断点。考点3：求渐近线1 .水平渐近线如 果/p/(x)=Z,就 称 直 线 歹=/为 曲 线 歹=/(X)的水平渐近线.注：有时需要考察X f +0 0或X f -0 0时的单侧水平渐近线.2 .垂直渐近线如 果l i m/(x)=8 ,就称直线x =/为曲线歹=/(x)的斜渐近线.3

10、 .斜渐近线如果曲线存在渐近线，且既不是水平渐近线，又不是垂直渐近线，就称之为斜渐近线.斜渐近线的求法。设直线y =a x +b(a w 0)是曲线y =/(x)的渐近线，则有l i m f(x)-=0从而得到X T 0 X=a,j i m/(x)-a x =6y=ax+b为斜渐近线.1,求 歹=，+m(1 +j)的渐近线。9广东专插本考点汇编【答案】见解析。【考点】求函数的渐近线。【解析】解：l i m y =o o,l i m y =0,y =0 为水平渐近线：XT+OO X f-X Jl i m v=o o,x =0为铅直渐近线；101 +.l n（l +eY）/.l i m=l i m

11、 +hm-=l i m-=1,X T 8 X X-8 XTQO X X T 8|_|_ Yl i m（y-x）=l i m+l n =0+0=0,y =x 为斜渐近线。X f+8 7 X f+o O X I QX J考点4：零点定理 介值定理相关证明1.证明方程x3 4/+1 =0在区间（0,1）内至少有一根.【答案】见解析【考点】零点定理证明题。【解析】解：设/（无）=/一412+1,/（0）=1,1）=一2,由零点定理知,在区间（0,1）内至少有一点4使得/q）=0,即方程x3 -4炉+1 =。在区间（0,1）内至少有一根.，即证。10广东专插本考点汇编第二章一元函数微分学第一节导数的概念

12、考点1:导数的定义（记住两个公式），左导数、右导数小。）=蚂A x或者/（X。）:嗯坦黄1./（X）在x=X o 处可导，则/（）A,（/）一/+2十）1 0 XC im/。）一/（/-2 词A。2 A X【答案】C【考点】导数的定义。B lin/D/G。+力）D.iim-go 2hD l i m-（X。）A s”A X【解析】解：_f（xo）=lim /（x）x。）,广义化后，C符合定义。X-Xo/（X。）存在o a。）和 （x）都存在，且 （%）=工（/）.考点2：导数的几何意义，求斜率、切线方程相关问题1.曲线y =2 x+I n x在点（1,2）处的切线方程是.【答案】y=3 x-l【

13、考点】求函数的切线。II广东专插本考点汇编 解析解:y =2+，,左=y (l)=3,y _2 =3(x-l),y =3 x-Lx考点3：连续可导的关系函数在某一点可导，则函数在此点一定连续；函数在某一点连续则函数在此点不一定可导第二节函数的求导法则基本求导公式(1)(C)=0 (。为任意常数)；(y y=x T,(4 y=5，(J=-5；(3)(axy=ax I n a ；(4)(/)=/；(5)(lo ga x-；xln a(6)(I n x)r=；X(7)(sin x)z=co sx；(8)(co sx)r=-sin x；(9)(t a n x)f=sec2 x；(10)(co t x/

14、=-csc2x；(11)(sec x)r=sec x t a n x；(12)(esc x)r=-C SC x co t X(13)(a rcsin x)r=/1；V l-x2V l-X2(15),、，1(a rct a n x)=-；l +x(16)(a rcco tx)r=-二.1 +X考点3：显函数求导 反函数 参数方程求导1.求函数y =2 d+4x2 6 x+4+7的导数12广东专插本考点汇编【答案】y=6x2+Sx-6+-=2y/x【考点】求函数的导数。【解析】解：/=6X2+8X-6 +2 2.设J =X2+2X-1(X 0),则其反函数x=e(y)在y=2处导数是)1A.-41

15、B.41C.一21D.2【答案】B【考点】反函数求导数。【解析】解:y=2,则+2x 1 =2,x=l,x (y)=,：),Q)=1 _ J_2+2-13.求曲线x=t-sint,冗八、在，=一处的切线方程为y=6z(l-cos/)2【答案】y=axa【考点】参数方程确定的函数求导。【解析】解:dy,dt a sin ty=-,ydx I-costdt图=3辆、=乃 V1y=a切线方程：y-a-a-ax-2a2 J13广东专插本考点汇编考点4：隐函数求导 对数求导法、哥指函数求导和高阶导数隐函数求导：方程两边同时对自变量求导：对数求导法：方程两边同时取对数，然后再求导；事指函数求导；取e法；或

16、方程两边同时取对数，然后再求导；高阶导数：求出一阶、二阶、三阶导数，找规律总结.1.方程e+V _ 3h=0所确定的隐函数y=y(x),求了.(隐函数求导)【答案】/=卫 士.2y-3x【考点】隐函数求导。【解析】解：方程两边同时对x求导，得e*+2yyf-3 y-3盯 =0,了=).2y-3x2.已知函数y=(cosx)s求了.(幕指函数求导),/xi+sint sinxfl+sinx)【答案】y=(cosx)cos x In cosx-cosx【考点】某指函数求导。【解析】解：方程两边同时对X求导，得(l+sinx)lncosx t(1+sin.t Incos.r i Sill X(1 4

17、-Sill X)y=e J =e f cosx In cosx-cosx/、i+sinx sinx(l+sinx)=(cosx)cos x In cos x-cosx3.设y=2、，则/)=.【答案】yn=2x(n2).【考点】高阶导数。14广东专插本考点汇编【解析】解:了=2vln 2,y =2,(I n 2)2,y=2A(ln 2)”.第三节函数的微分考 点 1:微分L微分计算公式(1)d（C）=0 （C为任意常数）;(2)xdx,d x=-=dx,d-2yJxdx;(3)dax=ax nadx；(4)d(ex)=exdx；(5)d(lo g x)=心;xna(6)d nx-dx；(8)J

18、(co sx)=-sin xt/x；/(t a n x)=sec2 xdx；(10)d(co t x)=-csc2 xdx；d(sin x)=co sxt/x；(11)t/(secx)=secxt a n xZ r；(12)d(cscx)=-cscxco t x公;(13)d(a rcsin x)=dx；(14)d(a rcco s x)=丁1dx；（15）d（a rct a n x）=-dx；2.复合函数微分（微分形式不变性）(16)d(a rcco t x)=2 x设函数歹=/,）和u=。（力 都可导，则复合函数y =/（夕（力）的微分为d y=*du 或 方=j(p(x)W(x)dx.1

19、5广东专插本考点汇编第四节中值定理考 点 1:罗尔定理、拉格朗日中值定理及推论1.罗尔定理设函数y =/(x)满足：(1)在 闭 区 间 可 上 连 续；(2)在开区间(风b)内可导；(3)/(a)=/伍)；那么，则至少存在一点J e(a,b)，使得/=0.2.拉格朗日定理设函数y =满 足:在 闭 区 间 可 上 连 续；在 开 区 间 内可导；那么，则至少存在一点J e(a,b),使 得/C)=)-小)h-a1.下列函数在给定区间满足罗尔定理条件的有()x+L1,x 5C.y =xe,xe 0,1【答案】D【考点】罗尔定理的验证条件。B.y-I=,x e 0,2 VwD.y=x2 l,xe

20、-l,l4 /(x)=/一 1在 1 1,1 上满足罗尔定理的三个条件。2 .函数y(x)=x6 7 在 0,3 上满足罗尔定理，则4=()A.2 8.3 C.O D.1【答案】A【考点】罗尔定理的验证条件。16广东专插本考点汇编【解析】解：/(X)=VT三-一，令，(x)=0,徼=2.2V3-Xb a8.设 证明不等式 arctan b-arctan a-.2ah【答案】见解析。【考点】拉格朗日定理相关的证明题。【解析】解：证 明：药(x)=arctan x,故/(x)满 足 拉 格 朗 日 定 理 条 件，在(a,b)上至少存在一点自，使得=(便)=二,b-a 1+Jnn即-a-r-c-t

21、a-n-h-a-r-c-t-a-n-a-=1 1 1 1 nn77 ，即b-a 1 +,1 +。“2a 2ab,b-aarctan b-arctan a 0,则.=/(x)在 ,可 上单调增加；(a,b)内可导称为单调递增区间；(2)若在(a,b)内/(X)0,则歹=/(x)在a9b上单调减少.(她)内可导称为单调递减区间;17广东专插本考点汇编求函数极值的步骤：（1）求出导数/（X）;（2）求驻点，即方程/（x）=0的根，并求使/（x）不存在的点；（3）检 查/（X）在（2）中求出的点左右符号变化，对于/（x）存在但不等于零的驻点，还可由/（x）正负判定这些点是否极值点，是 极 大（小）值点

22、；求函数最值的步骤如下：（1）求驻点与不可导的点；（2）求区间端点、驻点和不可导点处的函数值，比较这些值的大小，哪个值最大就是最大值，哪个值最小就是最小值.1 .下列函数在（0,+8）上单调减少的是（）A.y-ex-1 B.y-4 x-3 x2C.y-a r c t a n x-x D y=2 s i n x【答案】C【考点】函数导数的应用。1r2【解析】解：y=7-1 =-7 0,-1 +储 1 +x22.求函数/()=/2/+2的极值.【答案】见解析【考点】极值的求法。【解析】/,(X)=4X3-4X=4X(X2-1),令/(X)=0,得驻点玉=0,2 =1,巧=1 /(x)=1 2 x2

23、-4=4(3 x2-1),18广东专插本考点汇编=4 0 ,所以由第二充分条件知，点芭=0为极大值点，极大值为0)=2；点=-1,七=1，为两个极小值点，极小值为/(1)=/(1)=2.考点2：拐点及凹凸区间及拐点凹凸区间：根据二阶导数符号判定；函数的拐点：若函数/(X)在点x=x0左右邻近二阶导数存在且符号相反，则点(%,/(%)称为函数曲线/(X)的拐点.拐点存在的必要条件若点(玉),/(/)称为函数曲线/(X)的拐点，则/(%)=0或/(%)不存在；拐 点 存 在 的 充 分 条 件 若/(X)在点x=5的左右邻域二阶导数存在且符号相反，则点(%,/(%)为曲线/(X)的拐点，若符号相同

24、，则点(x，/(x。)不是拐点.1 .讨论下列函数图形的凹凸性：(1)y=ex;(2)y-xy+3 x2+5;【答案】见解析。【考点】导数的应用。【解析】解：y=2xex2;,/=2(l +2 x2)/0;,所以 =产-在(-0 0,+0 0)内是凹的.(2)y=3 x2+6x;,y =6x+6=6(x+l);.当x-l 时，y0 y 0;；当x -l时，y 0,曲线为凹的；在（1,+8）内y /x =F(x)+C .j/(x)c/x =F(x)+C【答案】D【考点】不定积分的性质。【解析】解：J/(x M x =/(x)+C2.若/(X)的导函数是CO S X,则/(X)有一个原函数为()A

25、.1 +sinx B.-sin x C.1 +cos x D.1 -cos x【答案】D【考点】导函数与原函数之间的关系。【解析】解：/(x)=s i n x 为 c os x的 一个原函数,J f(x)=-c os x +C.C=1dx.【答案】见解析【考点】求不定积分。【解析】解：原式=J(不。公=普jT咽+。22广东专插本考点汇编考点2：不定积分的第一换元法（凑微分法）核心思想：配对，目的主要在被积函数中找到e（x）与（X）,r -l ,1.I-dxJ ex-【答案】见解析。【考点】第一换元法求不定积分。【解析】解：_2x 1+1 dx=e+x+C2.tan3 xdx【答案】见解析。【考

26、点】第一换元法求不定积分。【解析】解：tan3 xdx=1(sec2 x-1)tan xdx.令=sec x,2 2代回-In M+2 2i I I M k 一 I sec xIn|w|+-+C=In|sec x|H-F C.【答案】见解析。【考点】第一换元法求不定积分。【解析】解：23广东专插本考点汇编j sin4 xdx=Jl-cos2x2“x=M(1-2cos2x+cos22x Vx；J(l-2cos2x+cos2 2xylx=-(x-sin 2x)+|cos2 2xdx-、rl+cos4x,1 /.-、1 sin4x%-sin 2x)4-J ox=(x-sin 2x)+x+-C4V考点

27、3：不定积分的第二换元法（主要是三角换元：cos2x=l-sin2x,sec2x-tan2x=l；根式换元）X【答案】见解析。【考点】第二换元法求不定积分。【解析】解：A ,.f V4-X2 r V4-4COS2/.令x =2 cos t,dx=-2 sin tdt,-；dx -atJ x J 4 cos t=f s M；出=-f d cost=-+C=-F CJ 2cos t J 2cos t 2cos/2cos、2【答案】见解析。【考点】第二换元法求不定积分。【解析】解：.r J/9令x=3 se c/=3 sec/tan(力，-dxJ x=3j-secttan tdt-3jtan2 td

28、t=3j(sec2/-1)dt=3tant-3t+Csec t24广东专插本考点汇编=Vx2-9 -3arccos 一 -Cx3J戏公【答案】见解析。【考点】第二换元法求不定积分。【解析】解：令 x=2 tan dx=2 sec 2 tdt,/丁 t/x=j sec _ js e c（出-In|sec/+tan/|+Cyj 4+x?2 sec t+C4.j +3 dxJ J2x+1【答案】见解析。【考点】第二换元法求不定积分。【解析】解：l2x+6 1 r2x+l+5.1 r 2x+l.1 r 5,=-I-/:=-I,-dx=-I-（dx H I-.dx2 J J2x+1 2 J J2x+1

29、2 J J2x+1 2 J 必+1i 广 j-5 P -1 1 3 5 i=jy/2x+dx-J（2x4-1）2dx=（2x+1）2+（2x+1 ）24-C考点4：不定积分的分部积分法（反、对、塞、指、三；不要忘方程）25广东专插本考点汇编设 =(X),V=v(x)是可微函数，且 u(x)-v(x)或 u(x)-v(x)有原函数，则有分部积分公式:J (x)vx)dx=(x)v(x)-j v(x)(x)d x或1.求 j xedx【答案】见解析。udv=uv-vdu.【考点】分部积分法求不定积分。【解析】解：J xe xdx-j xdex-一1 一 j exdx)=-xex-ex+C2.求 j

30、 ex s i n xdx【答案】见解析。【考点】分部积分法求不定积分。W：l f =j s i nx J ev=eA s i nx-j ex c os xdx=e s i n x -J c os xdex=ex s i nx-e*c os x +jexd c os x -ex(s i n x-c os x)-jex s i n xdx.所以，jex s i n xdx=-ex(s i n x-cosx)+C.第二节定积分考点1：定积分的定义1.定积分的值与哪些因素无关(4积分变量 B.被积函数)C积分上限。.积分下限【答案】A26广东专插本考点汇编【考点】定积分的定义。【解析】解：定积分的数

31、值与积分变量无关。2.已知/(X)在区间。,可上可积，则 巳 /(工粒=.【答案】/(X)【考点】定积分的性质。【解析】解：*f(x)dx=/(X)考点2：定积分的几何意义(1)设/(x)0,则/(x R x的值等于/(x),x =a,x =6,x轴所围成曲边梯形的面积.(2)设则J /(x*x的值等于/(x),x =a,x =6,x轴所围成曲边梯形的面积的相反数.(3)设/(x)有正有负，则的值等于/(x),x =a,x=b,x轴所围成图形位于x轴上方面积与位于x轴下方面积之差.1.利用定积分的几何意义求定积分：(1)J J x|tZ x ；(2)y/a2 x2dx(t z 0)；【答案】(

32、1)3 (2)-Tia14【考点】定积分的几何意义。【解析】解：通过画图计算面积即可。考点3：定积分存在的充分条件1.下列说法正确的是()27广东专插本考点汇编4若“X)在 凡句连续，则比 L 定存在；A若/(x)在，力 可导，则J：/(x)公 不一定存在；C若/卜)公 存在，则/(x)在 凡句上一定连续；。.若/(x)公 存在，则/(x)在“,6上一定可导.【答案】A【考点】定积分的性质。【解析】解：函数在区间上连续，则定积分一定是存在的。考点4：定积分的性质设/(x),g(x)可积,定积分具有以下主要性质：性质 1 J /(x)g(x)W=j f(x)t/x j g(x)dx.即函数线性运

33、算的定积分等于它们的定积分的线性运算.同时这个性质也适用于有限多个函数线性运算的情形.性质 2 J：0(x)d x =4：/(x)d x.(左为常数).即被积函数的常数因子可以提到积分号前面.性质3无论a,b,c三点的相对位置如何，恒有，J：/(x)办=/(x)办+J：/(x )dx.这表明定积分具有区间可加性.1.求定积分J【答案】见解析【考点】定积分的性质。解析原式=J+g+2=g.28广东专插本考点汇编2.求定积分 J。Jl+c o s 2 x d x.【答案】见解析【考点】定积分的性质。【解析】原式_ 7 Z-yjl c o s2 xdx-应/|c o s x|d x =2/c o s

34、 xdx+J 力(-c o s x )dx L 2 _(A-2 s i n x ：-s i n x ：=y/2(1 -0-0 +1 )=2性质4若在区间 a,可上，/(x)N O,则J：/(x)办2 0.推 论1若在区间 a,b 上,x)g(x),则/(x xg(x)d x.推论 2 j/(x)t Z x 椭圆y +-z-a2 b21所围成的图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为:0_ 2a2-x2)dx-2-x2yix=兀b 2 1 3 a-7rab2.333广东专插本考点汇编第四章多元函数微分学考点1:多元函数的定义域、解析式二 元 函 数Z =/(x,y)的 图 形 为 空 间 的 一

35、张 曲 面，二 元函数z=/(x,y)的定义域。就是该空间曲面在X。平面上投影区域.1 .求函数z=l n(y-0-的定义域.A/4-X-y【答案】zy x 0,x2+y2 x 0,x2+y2 a、xy(x+y)而 扃 二讨+5 津 xy)7 D又l i mXT8v-axy(x+y)=l i mXT8y-a1=一.原式=ea考点3：偏导数的求法、全微分1.偏导数的定义:fv (x o/o)=i 吗/(乙+盘,汽)-/9,必)Ax/；(Xo/o)=l i m/(x o/o +A y)/(x o/o)2.高阶偏导数35广东专插本考点汇编3.全微分.d z .dz.a z =a x-aydx dy1

36、.求函数Z=x2y+2q?的偏导数生.和生.dx dy【答案】见解析。【考点】多元函数求偏导。【解析】解：=2xy+2yi,=x2+4xy2.dx dy考点4：复合函数的导数复合函数微分法一链式法则1.设函数 z =u=,v =d z dz du d z dv d z d z du d z dv-1-；=-1-dx du dx dv dx dy du dy dv dy2.设=/(#)有连续的一阶偏导数，函数=(%)#=y(x),则du _df du _ d f dvdx du dx dv dx考点5：隐函数的求导隐函数微分法设函数尸(x,y)=O确定y=/(x),则 包=二.dx Fy设函数尸

37、(x,y,z)确定z=f(xM，则 当=一 与 生=乏dx F _ dy F.1.设二元函数z =z(x,y)是由方程之一lnW=O所确定的隐函数，求z y3 6广东专插本考点汇编dz d2zdx，dx2【答案】见解析。【考点】复合函数的导数。【解析】解：令F（x,y,z）=-l n-,Fx（x,y,z）=-,F!=z y z z z z当耳（x,y,z）#O,即z w O时，由 生=、,dx F；两边同时对x求偏导x+z数，并注意到z=z(x,y)为 的 二 元 函 数,5 z/x ,dzy9(x +z)z 1+-2得 d z _ ，I dx)_ z5 x2(x +z)2(x+z)337广东

38、专插本考点汇编第五章二重积分考点1:二重积分的几何意义、性质几何意义：二重积分JJ7(x/)dc r 是一个数值，当/(x,y)N O 时，其数D值等于以区域。为底，以曲面z=/(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积；当/(x,y)K O 时，其数值等于前述曲顶柱体体积的相反数.性质：性质1 (线性性)Jj A|/(x M&g(x，y)dk%JJ/(x,y)db&JJg(x,y)db .(4 为常数).D D D性质2 (区域可加 性)如果区域。且 A与。2 无公共内部交点，则JJ7(x,y)dc r =jj/(x,y)dc r +JJ f(x,y)da.DD2性质3 (保号性)在区域。上，若 x,

39、y)2 0,则f(x,y)Acr JJg(x,y)d(r.DD性质4 (保序性)在区域。上，若x,y)M g(x,y),则JJ/(x，V)db 4 jJg(x,y)dc r .D D性质5 (积分绝对值不等式)在区域。上，0 x,j，)db 4g /Xx,y)|db .D D性质6 (二重积分估值定理)设、7 分 别 是 函 数 在 有 界 闭 区域。上的最大值和最小值，。为。的面积，则m a f(x,y)daM ar.38广东专插本考点汇编性质7 （二重积分中值定理）设函数/（x j）在闭区域。上连续，b为。的面积，则在区域。上至少存在一点（g,），使下式成立jj/（x,y）db=/（J,z

40、7）b .D性质8 （二重积分的奇偶对称性）类似于一元函数的积分区间具有对称性，二重积分的积分区域也有对称性，这里我们介绍二重积分的奇偶对称性.1.设区域。为/+/44,则二重积分JJ2 4。=.D【答案】8 4.【考点】二重积分的几何意义。【解析】解：圆的面积为，被积函数为2,二重积分的数值等于圆的面积的2 倍即 2 -22=8 .考点2：直角坐标系下的二重积分1.直角坐标系计算二重积分直角坐标系下的面积元素dcr=公 力，即JJ/（x Mdcr=.D D先y后x（X型）积分区域。可表为：a x b ,例（x）4 y （x）且/（x，y）在区域。上的二重积分存在，则有39广东专插本考点汇编f

41、x,y)dxdy=1d o(xj)d y.D先x后丁（丫型）积分区域。可表为：。卜乙%3）%2 3）且/（匕卜）在区域。上的二重积分存在，则有0/（x,y）dxdy=J：dy j：/（x,力 dxf,x21.设。是由直线x =2,y =x及 个=1所围成的平面区域，求JJ三 公4%D y9【答案】-4【考点】直角坐标系下计算二重积分。【解析】解：积分区域如图所示，联立x =2,y =x及 中=1所解得交点坐标即/(l,l),8(2,j,C(2,2).942 2所以 泡=J：(T+/xD y x y【总结】在直角坐标系下，一般地，二重积分的计算步骤:画出积分区域，判断区域类型;确定积分次序，把二

42、重积分转化为二次积分;40广东专插本考点汇编计算两次定积分，得出结果.2.极坐标系下计算二重积分=j j /（r co s O,rsmOrdrdOD D根据直角坐标系中D的三种情形:（1）若极点O 在区域0 之外，且 0 由射线9 =a,8 =夕和两条连续曲线尸=4（6）,尸=（。）围成.如下图所示,则 D=（/a0/3,r（6）r，式。），二重积分转化为:|/(rco s6,rs i nQrdrdd=J Go J：卜co s ars i n。dro a （2）若 外（。）=0即极点o在区域。的边界上，且 O由射线e =a,e =2和连续曲线尸=尸（。）所围成，如下图所示,则。=（r,。）1

43、a e p,Q r drD,（3）若 极 点 O 在 区 域 Q之 内，且。的边界曲线为连续封闭曲线尸=尸（。）（0。4 2 万），如下图所示,41广东专插本考点汇编则 D=(r,0)|O 0 2 ,O r ，二重积分转化为:IJ/,(rco s 0,rs i n 0)rdr/0 =j d6 f(r co s r s i n 0 y-drD 2.计算d x d y,其中。是由曲线=所围成的平面区域.【答案】7 1.【考点】极坐标系下计算二重积分。【解析】解：积分区域。如图所示，积分区域。是以点(1,0)为圆心，以1 为半径的圆域，如图.其边界曲线的极坐标方程为，-2 C O S 0.于是区域。

44、的积分限为 0,0 r o o00 00 00 003.若 有 两 个 级 数 和 之 匕，=5,匕=。，则n=1 =1 =1_00_(_ 8 _、(_ 8 _ 、Q“L)=S土 Ev =S P；n=l M=I/=1 )收敛，发散，则(“+匕)发散;n=n=l w=l若二者都发散，则(“+匕)不确定.M=1考点2：正项级数敛散性的判断1.比较判别法(放缩法)：若两个正项级数月”“和 匕,之间自某项以后成=1 W=1立着关系：存在常数c 0,使“匕,(=1,2,)，那么(i)当级数X匕，收敛时，级 数 亦 收 敛；=1 n=Q O 8(i i)当级数z%发散时，级数z乙亦发散.=1 =12.比较

45、判别法的极限形式(比阶法)：给 定 两 个 正 项 级 数 和 匕,，若M=1 =146广东专插本考点汇编l i m =/0,那么这两个级数敛散性相同.-8 y8 00另外，若/=0,则当级数工丫“收敛时-，级数“亦收敛；若/=0 0,则n=n=当级数与发散时，级数匕,亦发散.W=1=1常用度量：等比级数：,当 冏 l时收敛，当p 4 1 时发散（p =l 时称调和级数）;M=1 3.比值判别法7 1,发散 一 8 JJ/=1,不确定，需要另行讨论考点2：任意项级数的理论与性质（1）若任意项级数，“收敛，发散，则称“条件收敛，若=1 =1 n=l收敛，则 称 级 数 绝 对 收 敛，绝对收敛的

46、级数一定条件收敛:w=ln=（2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）：若交错级数M=1满足！吧,=0,且 同 单调减少（即“川）,则Z（1）%收敛n=考点3：事级数的收敛半径、收敛区间和收敛域47广东专插本考点汇编已知，“（X 一/）,若 0 =l i m 4 a；则根据比值判敛法有：ManlimP1 1 1-lx-x0|=p|x-x0|x-x（J 1=7?=lim 收敛。T q|P f an+1-=lim-,p 钝P+i收敛半径及：R=R =”=R 上收敛，p=0火=0=只有一个收敛点x=0,Q=+8收敛区间（x（）&,x0+7?）：级数在|xxj x w（x0 -R,x0 +R）收敛；收敛域：由于级数在收敛区间的端点上的收敛性待定，故收敛域是(%0-R,/+R)、/一凡/+R)、(x0-R,与+周 或x0-7?,x0 +R 四种情况之一.s(-1 尸1.求 幕 级 数 的 收 敛 半 径 和 收 敛 区 间(讨 论 端 点).=1 【答案】收敛半径R =l,收敛域为(1,1【考点】求解级数的收敛半径及收敛域。1【解析】解：0 =lim|=lim=l,所以，R=l；W00”T 8 1w nn在端点x=-l,=(l)L 发散；在端点x=l,=(1)”它 收敛，故收=1 =1 敛域为(一 1,1 48