2023课标版数学高考第二轮复习--综合测试卷（一）.pdf

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1、2023课标版数学高考第二轮复习综合测试卷（一）（满分150分，时间120分钟）一、选择题（本题共12小题,每小题5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.（2022山东烟台、德州一模,2）若复数z 满足（l+2i）z=4+3i,则2=（）A.-2+i B.-2-iC.2+i D.2-i答案 C 由（l+2i）z=4+3in z=罂 =所以5=2+i,故选 C.2.（2022 河北 4 月全过程纵向评价,2）设集合 A=x|x 2+x-60,B=0,l,2,34!l AriB=（）A.0 B.0,1C.1,2 D.2,3答案 B 由 x 2+x-60,可得-3

2、80且 a W 1）在 R 上既是奇函数,又是减函数,则 g（x）=l og.|x+k 的大致图象是（）D第2页 共1 3页答 案 B因为函数f(x)=(k T)a-a(a 0且 a W 1)在 R 上是奇函数，所以f(0)=0,所以k=2,又因为f(x)为减函数，所以 0a l,则 g(x)=l og|x+2|(0a l).由 g(-4-x)=l oga|-4-x+21 =l oga|x+21=g(x),可知 g(x)的图象关于直线 x=-2 对称,排除 C,D;又g(0)=l og 10+21 =l og20,排除 A.故选 B.6.(2022江西上饶六校二模,5)已 知 a 6(加),s

3、in a =|,则 cos(n-()小 耍 B.嘤 C 察 D.空10 10 10 10答案 A 由 a G&n),sin a =|,得 cos a =-sin 2a =-J l -(|)=-W a 兀、。,9/月=母=部；.cos(n-|)=-cos =一部.故选 A.7.(2022安徽鼎尖联盟4 月联考,10)如图,四棱锥P-ABCD中,P AL平面ABCD,P A=2,AD/BC,BC=2AD=2AB=2CD=4,则四棱锥 P-ABCD 外接球的半径为()A.V3 B.2 C.V5 D.V6答 案 C在等腰梯形ABCD中，易得NABC=NDCB=60,取 BC的中点E,连接EA、ED,.

4、EA=EB=EC=ED=2,二梯形ABCD内接于以E 为圆心,2 为半径的圆,四棱锥P-ABCD外接球半径R=122+(I?=V5.故选C.8.(2022 5 3 改编题)魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率n约为霁,是当时世界上最精确的圆周率结果，直到近千年后这一记录才被打破.若已知n的近似值第3页 共1 3页还可以表示为4sin 52。,则扁言广的值为(答 案 B由题意得上桨-cosl40-cosl4-cosl44sm52 V16-16sin252 8sinl04 8sin(900+14)8cosl4T 故选 B.9.(2022江西萍乡二模,10)已知函数 3=卜?)弓

5、入 则 y=f(x)-；的所有零点之和为()A.B.野 C.2 D.02 2答 案 D x 0 时，由(x T)W=0 得 x=1 土当，x D上一动点，点 N(0.3),F R分别为椭圆的左、右焦点,若MN|+|MFJ 的最大值恰好等于椭圆的焦距与长轴长之和,则椭圆的离心率为()答 案 C由题意可知,R (-c,0),艮(c,0),由椭圆定义可得I MF.I+1 MFz I =2a,于是IMN|+1 MF,|=2a+1 MN|-1MF21.V|MN|-1 MF21|NF21,(MN-MF2|)m a x=|NF2|.此时，点 M 在第四象限,且 M,N,F2 三点共线,二(|MN|+|MFl

6、|)m a x =2a +|NF2|,v|NF2|=Vc2+9,2a+Vc2+9=2c+2a,c=/3,由 a 2=b 2+c2 及 b 2=1,解得 a =2,故椭圆的离心率 e=号.a 2故选c.11.(2022河北一模,7)将函数f(x)=sin 2x+次 cos 2x 的图象向右平移?个单位长度后得到函数g(x)的图象,则函数g(X)的一个单调递增区间为()卜 羽D 加第4页 共1 3页答案 A f(x)=sin 2x+V3cos 2x =2sin(2x+将 f(x)的图象向右平重个单位长度后，得到小)=2sin 2(吟)+翡 2sin 2x 的图象，g(x)=2sin 2x.令一+2

7、k ir 2x +2k 兀，k Z,得-；4-k n x ；+k n ,k ez,4 4 函数g(x)的 一 个 单 调 递 增 区 间 为 故 选A.12.(2022 湖北九师联盟 3 月质检,12)已知 a-l 二 In a,b-e=l n -,c-TT=In 二其中 a,b,c(0,+8)且e nb We,3/北，则()A.a cb B.ca bC.a b c D.cb 0),则 f(a)=f(l),f(b)=f(e),f(c)=f(oi).又 f (x)=t=,所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(l,+8)上单调递墙画出f(x)的大致图象，如图所示.因为 Ken,所以 f(l)f(

8、e)f(页)，所以 f(a)f(b)f(c),又 b We,c W n ,所以结合图象可知cb 0,b 0),P 为双曲线C 上的一点,若点P 到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1,则双曲线的半焦距c 的 取 值 范 围 是.答 案 2,+8)解析 由题意,双曲线C:盘-鲁 1,可得其渐近线方程为b x a y=0,设 P 区 y),可得点P 到两条渐近线的距离分别为&角,d2=霁.因为点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为1,a2+b2所以.后+切=L-a 2yzis/a2-b2/a2+b2=1,又由_ =1，可得 b 2x 2-a 2y2=a 2b 2,所以a2b2a2+b2即 a2+

9、b2=a2b2(a 22)2,BP c2 所以c2,当且仅当a=b 时等号成立,所以双曲线的半焦距c 的取值范围是 2,+8).16.(2022湖北九师联盟3 月质检,15)在AABC中,D 为 BC的中点,若AB=4,AC=2,AD=2近,则BC=.第6页 共1 3页答 案 2企解析 解法一：设 BD=x，因为/ADB+/ADC=180,所以 cos ZADB+cos ZADC=O,由余弦定理的推论,得嚼要+嘘)乜0,即青+金=0，所以X=V2,所以 BC=2V2.解法二:由D 为 BC的中点,得而=(AB+AC),所以而 2=1(A B2+2AB AC+AC2),8=：(16+2 x 4

10、x 2 x coszBAC+4),Q所以 coszBAC=所以BC2=AB2+AC-2AB ACcosZBAC=16+4-2X4X 2X1=8,所以 BC=2V2.三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，第22、23题为选考题.)(一)必考题:共60分.17.(12分)(2022四川达州二模,17)已知数列 a 满足a=1,强产R+2,S”为 a j的前n 项和.求 a j的通项公式；设 b.,=(T)“S”求数列(bn)的前100项和 解析(1)因为a”.尸 a 0+2,所以小 小=2,又 a=1,所以数列区 是首项为1,公差为2 的等差数列，所以

11、an=l+(n-l)X2=2n-l.由 知 S.四 尹=n：因为 b,F(-l)nS,F(-l)n2,所以 TIM-12+22-32+42+-992+1002=(2-1)(1+2)+(4-3)(3+4)+-+(100-99)(99+100)=1 +2+3+4+-+100=100 x 0+1)=5 050.第7页 共1 3页18.(12分)(2022天津市实验中学统练,17)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,其中AD/7BC,AD=3,AB=BC=2,P A,平面 ABCD,且 P A=3,点 M 在 P D 上，点 N 为 BC 中点.证明：DM=2MP 时,直线MN/平面

12、P AB;(2)求二面角C-P D-N的正弦值；是否存在点M,使 NM与平面P CD所成角的正弦值为?若存在,求出胃的值；若不存在,说明理由.H N解析 证明:在线段AD上取一点Q,使 AQ AD=1,连接MQ,NQ,；DM=2MP,；.Q MAP,又 N 为 BC 中点,AB=BC=2,，AQ=BN,又 AQ BN,.四边形ABNQ 为平行四边形，又 NQ C MQ=Q,AB A AP=A,平面 MNQ /平面 P AB,VMNc 平面 M N Q,平面 P AB.(2)如图所示,以点A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,/iji N。/，./才

13、二3/TTN-cX则 B 0,0),C(2,2,0),D(0,3,0),P(0,0,3),N(2,1,0),丽=(0,3,-3),CD=(-2,1,0),DN=(2,-2,0),设平面P CD的法向量为m=(x i,yb zj,第8页 共1 3页则 伫 F =3y3z1=0,令 斫 i,则 巾(1,2,2),(CD,%=-2x i+Yi=0,设平面P ND的法向量为我=(x2,y2,z2),贝慌二战U令则二面角 P D-N的正弦值为J 1-(竽)2=y.存在,噂=9或 黑 L 理由如下：假设存在点M,设 黑 X,即 丽=XPD,x eo,l,则 由=(0,3X.-3X),可得 M(0,3 A,

14、3-3 A),.丽=(2,1-3 M 3 A-3),设 NM与平面P CD所成角为0,.sin 0=|cos|=|吧2nli1|MN|m|_|_2+2(1-31)+2(31-3)_ _ V2b l2+22+22 V2z+(l-3 A)2+(3X-3)2-6，解 得 入 或 入-1,故存在点M,使 NM与平面P CD所成角的正弦值为，此 时 黑=5或黑=L19.(12分)(2022顺义一模,18)某单位4 人积极参加本地区农产品的网购活动，共有A、B 两种农产品供选择，每人只购其中一种.大家约定:每人通过掷一次质地均匀的骰子决定自己去购买哪种农产品.若掷出点数为1或 2,购买农产品A,若掷出点数

15、大于2,则购买农产品B.(1)求这4 个人中恰有1人购买农产品A 的概率；(2)用 J 口分别表示这4个人中购买农产品A 和 B 的人数，记 X=g n,求随机变量X 的分布列与数学期望 E(X).解析(1)由题可知购买农产品A 的概率为购买农产品B 的概率为|.设事件C 为 4 人中恰有1人购买农产品A,第9页 共1 3页依题可知,4 人购买哪种农产品相互独立,互不影响，所以P 吗，(!)，言(2)由题意知，Z 可取 0,1,2,3,4,n 可取 0,1,2,3,4,当 g=0时，n =4,表示4 个人全部购买农产品B,概率巴=鸣义0 4 若.当&=1时，H =3,表示4 个人中恰有1人购买

16、农产品A,由知概率P2=g.当 g=2时，n =2,表示4 个人中恰有2 人购买农产品A,概率P3=Ci(|)2 X(|)2=兼当 C=3时，n =1,表示4 个人中恰有3 人购买农产品A,概率P,=Ci(/X(|)1=春当 g=4时，n =0,表示4 个人全部购买农产品A,概率P5=C：g)4 X(|)=芥所以由X=n可知,X 的可能取值为0,3,4,当 x=o时,对应的概率P=P|+P 尸皆，O1当 X=3时,对应的概率P=P?+P 糕O 1当 X=4时,对应的概率P=P 产移，O 1所以随机变量X 的分布列为X034P174024I818181所以,数学期望E(X)=0X+3 X 昔+4

17、 x第=*ol ol ol 520.(12分)(2022长沙长郡中学一模,21)已知抛物线2:y2=2p x(p 0)和圆C:(x-2)92=4,点 P 是 上的动点,当直线0P 的斜率为1时,AP 0C的面积为4.求抛物线的方程；若 M、N 是 y 轴上的动点,且圆C 是P MN的内切圆,求a P MN面积的最小值.第10页 共13页解析 当直线0P 的斜率为1时,直线0P 的方程为y=x,联立。=?2p x,得 P(2p,2p),由 S P OC=竽=4,解得p=2,.抛物线的方程为y2=4x.设 P(x o,yo),M(0,m),N(0,n),由题意知 x04,贝!J 直线 P M:y

18、x+m,即(y0-m)x-Xoy+m x o=O.直线P M与圆C 相切，.粤 萼 坦 驾=2,V(yo-m)2+(-xo)2:.4(yo-m)2+m2Xo+4m x o(yo-m)=4(y(rm)?+4以,即(x o-4)m2+4yom-4x o=0,同理得(Xo-4)n2+4yon-4x o=O.A m n 是方程(x o-4)x2+4yox-4x o=0 的两个根，/.m+n=7,m n =且 =16yn+16x0(x0-4)=16x n 0 恒 成 立,|m n|=J(m +n)2-4m n =XQ-4 XO-4YX().4S P MN=；|m-n|-x 0=%=2(x0-4+-+8)

19、232,当且仅当x0=8时取等号,则P MN面积的最小值为32.21.(12 分)(2022 通州一模，19)已知函数 f(x)=l n x+p aeR.(1)当 a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(l)处的切线方程；若函数f(x)的最小值是2,求 a 的值；设 t 为常数,求函数g(x)=咤的单调区间.X-C解析(1)当 a=o 时，f(x)=l n X,f(l)=l n 1=0.所以f (x)W，f (1)=1.所以曲线y=f(x)在点(l,f(l)处的切线方程为y=x T.(2)函数f(x)=l n x 号的定义域为(0,+8),f,(x)=i-4=.X X 乙当a 0,得 x a

20、.所以f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增，所以f(x)的最小值为f(a)=l +l n a.第11页 共13页所以1+l n a=2,解得a=e.函数g(x)的定义域为(0,t)U(t,+8),/、l-l n x+l n tg(X)-音由知，当t0时，若x Wt,则In x+，l+l n t.一 .，、1 In x+l n t所以 g（x）=V 0,所以g（X）=咤 的 减 区 间 为（0,t）,（t,+8）,无增区间.X-L（二）选考题:共10分.请在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.选修4一4:坐标系与参数方程（10分）（2022江西

21、上饶六校二模,22）在平面直角坐标系x Oy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线G的普通方程为（x-2+y2=4,曲线C的参数方程是：X i n0（为参数），点 的极坐标为求曲线G和C2的极坐标方程；设 射 线。苫（P 0）分别与曲线G和3相交于A,B两点求A P A B的面积.解析（1）曲线C.的直角坐标方程为x2+y2-4x=0,将x=p cos o,y=P sin 9代入并化简,得曲线G的极坐标方程为P =4cos 6.曲线G的普通方程是9+?=1,将x=P cos 0,y=P sin 9代入并化简,得曲线C?的极坐标方程为P3+siM。设 A（p iW）,B（p

22、2，W 则|0A|=p l =4cosm =2,他鹏=号=9所以QB匚 警，所以 IAB|=10A|-10B|=2-警.又 P（0,2）到直线 AB:y=V3x 的距离 d=y-I=1（所以 S P AB=J（V3）2+（-l）z1 4 2V5-x 2-X 1=1-.2 5/523.选修4一5:不等式选讲（10分）（2022四川南充二模,23）已知函数f（x）=|x-i|+k+养第1 2页 共1 3页 若关于X的不等式f(x)W a有解,求实数a的取值范围；(2)设f(x)L,=t,m0,n0,且 m+2n=2,求 证:+1+72n+1 2加.解析(1)若关于x的不等式f(x)W a的解集不是空集,只需a，f(X%,即可，因为f&)=卜-寸+卜+彳 n卜_:_1+9卜2,当且仅当3 x W；时，等号成立，所以实数a的取值范围为 2,+8).证明:由可知2,则原不等式为S n +1+72n+1 2V2,故只要证(而了I+V2n+1)2 8即可，因为(Vm+1+72n+1)2 2(Vm 4-1)2+因2九 +1)2=8,当且仅当S n +1=72n+1,即 m=l,n=1时等号成立,所以W n +1+V2n+1 2V2.第1 3页 共1 3页