2023届广东六校高三数学8月第一次大联考卷附答案解析.pdf

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1、2023届广东六校高三数学8 月第一次大联考卷满分：150分。考试时间：120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。并用2 B 铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效。2 .选择题每小题选出答案后，用 2 B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3 .非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4 .考生

2、必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5 分，共 4 0 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .己知集合力=卜|言。，5 =力=皿 3-可，则如图中阴影部分表示的集合为()A.-1,3 B.(3,+0 0)C.(-0 0,3 D.-1,3)2 .设复数z =1+且 i,其中i 是虚数单位，彳是z 的共腕复数，下列判断中错误的是()2 2A.z z =l B.z2=zC.Z 是方程-7+1 =0 的一个根 D.满足z e R 最小正整数”为 33 .直线y =x l 过抛物线C：/=2 p x(p 0)的焦点F,且与C交于48

3、两点，则|R B|=()A .2 B .4 C .6 D .84 .我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量y 8(w,p),当“充分大时，二项随机变量丫可以由正态随机变量X来近似地替代，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量y的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗(1 6 6 7-1 7 5 4)在 1 7 3 3 年证明了 P =3时这个结论是成立的，法国数学家、物理学家拉普拉斯(1 7 4 9-1 8 2 7)在 1 8 1 2 年证明了这个结论对任意I的实数p(O,l都成立，囱此，人们把这个结论称为棣莫弗

4、一拉普拉斯极限定理.现抛掷一枚质地均匀的硬币900次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为 )(附:若XN(Q2),则尸(-bX+b)a0.6827,P(-2 bX +2cr)”0.9545,P(/-3cr*X +3o 卜 0.9973)A.0.97725 B.0.84135 C.0.65865 D.0.022755.已 知 函 数=sin(tyx+。w R.4 0.&0,|研芍的部分图象如图所示，则下列说法正确 的是()A.直线X =7T是X)图象的一条对称轴B.x)图象的对称中心为(*+far,0),k w ZC.x)在区间-U上单调递增.3 0_D.将“X)的图象向左平

5、移看个单位长度后，可得到一个奇函数的图象6.中国古代的蹴鞠游戏中的“蹴”的含义是脚蹴、踢，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点P,A,R,C,满足PZ=1,P41面/8C,A C L B C,若匕 必=|，则该“鞠”的体积的最小值为()22 599A.J i B.9%C.-7 t D.62o7,设a =2 0-吟“座，c =L 则()e2.2 eA.a b c B.b a c C .a c b D .b c b 0)的左，右顶点分别为4，4.点 P,。是双曲线Ca bl上关于原点对称的两点(异于顶点)，直线尸4,

6、P4,04的斜率分别为的4，kpi四，3若即4%,=1则下列,说法正确的是（)A.双曲线C的渐近线方程为厂土%C.kp&k04为定值B.双曲线C的离心率为立2D.tanN4尸舄的取值范围为（0,+8）12.如图，已知正方体相C D-4 4 C A的棱长为2,点为CG的中点，点尸为正方形A.满 足 平 面BDA.的点P的轨迹长度为V2B.满足M尸_L A M的点P的轨迹长度为 C.不存在点P,使得平面A M P经过点BD.存在点P满足P4+P M=5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若1+2）左-3 的展开式中各项系数的和为2,则 该 展 开 式 中 的 常 数 项 是-14

7、.如图放置的边长为2的正方形/B C D顶点4。分别在x轴，夕轴正半轴（含原点）上滑动，则 砺.云 的 最 大 值 是.15.已知O C：x2+/-2 x-2 y-2 =O,直线/：x+2y+2=Q,M为直线/上的动点，过点M作。C的切线K4,M B,切点为4 B,当四边形M 4cB的面积取最小值时，直线ZB的方程为.41 6 .若不等式a(x+l)e，-x 0有且仅有一个正整数解，则实数a的取值范围是_ _ _ _四、解答题，本题共6小题，第1 7题1 0分，第1 8 2 2题各1 2分，共7 0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骡.1 7.在A 4 B C中，内角4 B,C所对的边分

8、别是a,b,c,已知c =c o s B,C吟求角8的大小；(2)在下列两个条件中选择一个作为已知，求B C边 上 的 中 线 的 长.色4 B C的 面 积 为 地；4A X B C的周长为4 +26.1 8.已知数列 为 的前n项和为S.,且满足=1,2 S.=叫“，n e N*.(1)求数列%的通项公式；(2)设数列 5满足4=1,姑,，产2 ,n e N=按照如下规律构造新数列 c j ：，”吗也修也必也,，求数列 的前2 n项和.1 9.如图(一)四边形 4 B C D 是等腰梯正,DC/AB,DC=2,H B =4,./B C=6 0。，过。点作D E JL此，垂足为E点，将MED

9、沿O E折到A/E D 位置如图(二)，且4 c =2也图(二)证明：平面A ED 1平面EBCD；已知点P在梭HC上，且 以=1,求平面C E P与平面D E P夹角的余弦值.PC 22 0足球是一项大众喜爱的运动。2 0 2 2卡塔尔世界杯揭幕故将在2 0 2 2年1 1月2 1曰打响，决赛定于1 2月1 8日晚进行，全程为期2 8天.(1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各1 0 0名观众进行调查,得到2 x2列联表如下：喜爱足球运动不喜爱足球运动合计5男性60 CI.4 0 b 0)经 过 点 且 离 心 率 为 近；直线/与椭圆G交于4 Ba b 2两点，且以4

10、 B为直径的圆过原点.Q)求椭圆G的方程；若过原点的直线加与椭圆G交于C,。两点，且 反=9+历)，求四边形4 C B。面积的最大值.2 2 .已知函数/a)=l n(x+l)T,求证：/(x-l)M 2&-3；设函数g(x)=(x+l)/(x)-3 a xZ+l,若g(x)在(0,+a)上存在最大值，求实数a的取值范围.62023届六校第一次联考数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。题号12345 1 678答案DBDAc 1 CBA多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。题号9101 1112全部正确

11、选项ACBDBCDACD填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.40 14.8 15.x+2y+l=0 16.-，)os2=613.40 14.8 15.x+2y+l=0 16.p-.y-)17.解:(y：c=2bcosB,则由正弦定理可得sinC=2sinBcosB,Asin25=sin =,3 2VC =y,2 3 d o T).1.2S=y,解得B 4.若选择(1),由 可 得/=,即a=b则S”=L b s in Ca2 正=您，解得a=56&戒 2 2 2 4则由余弦定理可得I.瞰+图-2.若伸1=，+；+为 岑=亨.若选择(2)：由(1)可得4=?,设A/B C的外接圆半

12、径为衣,则由正弦定理可得6.。=b=2Rsin?=H,c=2 R s in=7 5/?,则周长 a+b+c=2K+G K =4+2 j ,解得 R=2,索 0=2.6 jC=2、G，则由余弦定理可得|A M|=18.解：(1)当 时，由a产1且2s“二叫”得出=2当2 2时，由2染尸(-1)%得2。”=叫,(万-1)q，所 以 气=%。2).所以*=/=L a=n(n 2).又当时适合上式.所以4 w N.(2)因为%=2，b1 1M2,所 以 导=2 5 e N),又 她=2,所以4=2.所以数列 4 的偶数项构成以4=2为首项、2为公比的等比数列.故或列%的前2项的和&=(6+%+*)+(

13、4+%+与)，氏=型 芳 心+芈孚=2.,+/一 2所以数列包 的前2 项和为2，“+”2 -2.19.解：证明:在等腰梯形 HBCD 中，DEA.AB.D EJ,.A EIDEDC=2,/B =4,4 B C =60。，：.BE=3,BC=A D =2,D E =y/37在 AEBC 中，知 E C =,V AE=AE=,V AC=22：.AE1+E C2=AC2 AE 1 E C,又 EC,DE u 面 EBCD,ECyDE=E,面 E 8 C D*/AE u 面 4E D，二面 AED 1 面 EBCD 由（1）知“H JL 面 E B C O,E D 1 E B：.以E为坐标原点，建立

14、如图所示空间直角坐标系E-xyzA JX O.O.I）,（0,7 3,0）,C（2.V 3,O）,方=卜2,一技1）设：尊=g ,二若=|,，.C P=1c?（.而=前+方=修，乎,设 彳=（玉,如z j是面C E P的法向量，竺 二 ,.由 再+行 乂+铲 K 令%=5.,.必=-2,4=0,小 僮,-2,0）n-EC=02演+4r3乂二0 x1一伉丽=0 1 2x,+V 3 y2+2Z2=0 八设=（9，）2，z J是面。底尸的法向量，而二:百旷o，,必=。令三=-1，x2=1 n2 o段平面C E P与平面D E P夹角为9,则c o s g =融!=一 百 一=叵|,|2|2 x4 1

15、 4,平 面C E P与平面D E P夹角的余弦值为叵1 420.解：（D假设，：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关.根据列哀表数据，经计算得20 0 x（6 0 x 8 0-20 x 40/1 0 0 8。/=-=1 0.8 28 =x0 0 0 11 0 0 x 1 0 0 x 8 0 x 1 20 3 0 0 0 1夜捱小概率值a =0.0 0 1的独立性检验，我们推断”。不成立，即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.0 0 1.（2）（/）由题意&=85）第次触球者是甲的概率记为匕，则当曾1 2时，第-1次触球者是甲的概率为2一第八-1次触球者不是甲的

16、概率为1-么:，则 12=与0+（1-月 一，=从而P=j尸又耳=3,是以2为首项 4 3 1 1 4 J 4 4；4J 4则尸=%U+L ./=，耳&1 0,故第1 9次触球者是甲的概率大.21.解：椭圆4：1+1=1（空 方 0）经过点4+-T=Ia h a b椭圆的离心率为 变，则 力=2 e即=2/即4 +4=1,解得22b2 b2所以椭圆C,的方程为工+勿：=13 3当直线4 8斜率不存在时，4 6方程为x=1,直线8 过 中 点，即为x轴,得 卜 却=2,|C D|=2 J J,邑如二3当直线彳3斜率存在时,设其方程为、=去+加，乂（七,必），3（小，”）f x2+2y2=3联立

17、可得（2 1+】*+4 Mx +2m-3 =O 贝 =4（6/-2z ykx+m“工”4协？分 2加2-3令尹寸-而2 也=2妙+1 3以4 8为直径的圆过原点即O A 0 B二xx2*y.y2=xx2+（kx+m）（优十1(I-a),公 比 为 的 等 比 数 列.3 1 11 一 2：明(*2 6/+3)0 n z)=O化简可得化+l）x,x,+km（xt+x,代 入 两 式 整 理 得 密+1 X2将式代入式,得4 =4（4/+设线段4 8中点为A T由&:=/又,$0 4同 玉72|=帆|当。（玉+丫2）/（必七必）化简可得+w2=0 ,加2 -3)+初(-4加)+/(2 f +1)=

18、0 即 川=/+1 1)0恒成立则2(0 4 +O B j =2 f o M,不妨设 0.得 SACBD=2 sa =OAH(亘CM用又产酒+则c点坐标为+1 航 II 2k2+,、4 h w心+马)=%+/,(%+%”一 壬,雪二3，二 J 3-2卜+1 ,代回椭圆方程可得2/+即V 8 9则广4 回二限晤=V 6.O Z 0,则夕&)=J _ _ 1 =2 E二1,令质(x)0，则0 x 0，则x l,-4 x X X所以夕(x)在(0,D上单调递减，在(J,+8)单调递增，所以研x)2。=0,即:.2 4-2-lnx N0，Inx 1 0 ,则hx)=击-a,当。4 0时,M(x)0,g

19、(x)在(0,+O上单调递增，所以g(x)g(0)=0,所以g(x)在。芹)上单调递增，无最大值，不符合题意，当a川 时，(x)=-a l-a 4 0,g(x)在+8)上单调递减，所以g(x)g(O)=O,X+1所以g(x)在(0，+8)上单调递减，无最大值，不符合题意.当0 a 0,g(x)在0，-“上单调递增，x e(：T+8),(x)0 时，(工)2 jx +l -2-ax 2yjx+l-a(x4-1)=J x +i(2 -o V x +i)、取/=&-】，则且(。/m)=o.a a又8-l(0)=0,所以由零点存在性定理，存在使得6卜。)=0,所以当x e(O,x)时，h(x)0 ,即g(x)0,当x e(%,+8)时，/(x)0,即g(x)0,所以g(x)在(0/。)上单调递增，在(%,+8)上单调递减，g(x)在(0,2)上存在最大值g(x。)，符合题意.综上，实数a的取值范围为(0,1).10