2023年新高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题8.pdf

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1、专题8.1 空间几何体及其三视图和直观图（真题测试）一、单选题1.（全国高考真题（文）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱【解析】【详解】试题分析：由三视图中的正视图可知，由一个面为直角三角形，左视图和俯视图可知其它的面为长方形.综合可判断为三棱柱.2.（湖南高考真题（文）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）【答案】BB.2C.3D.4【解析】【详解】试题分析：由三视图可知，这是一个三棱柱，内切球在正视图的投影是正视图的内切圆，设其半径为，根据三角形面积公式

2、有g（6+8+10）r=g 6 8,r =2.3.（2022福建省泉州市培元中学高一期中）某圆柱的高为2,底面周长为1 6,其三视图如图，圆柱表面上的点”在 正（主）视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在 侧（左）视图上的对应点为8,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可.【详解】由题意可知几何体是圆柱，底面周长1 6,高为：2.侧面展开图如下图:圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为8,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中,最短路径的长度：不=26.故选：B.4.（2022安徽蚌埠

3、.高一期末）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个斜边长为2的等腰直角三角形，且斜边成横向，那么原平面图形中最长边的长度是（）A.2而B.屈C.2百D.473【答案】C【解析】【分析】根据斜二测画法可得原图，从而可计算原平面图形中最长边的长度.【详 解】斜 二 测 直 观 图 如 图（1）所 示，原 图 如 图（2）所 示，其中：OA=2,OB=2&,故原平面图形图 图（2）中最长边为AB=J4+8=2 G .故选：C.5.（2021全国高考真题（文）在一个正方体中，过 顶 点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去 三 棱 锥A-E F G后,所得多面体的三视图中，正视图如图所示，

4、则 相 应 的 侧 视 图 是（）正视图【答 案】D【解 析】【分 析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.【详 解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示,所以其侧视图为D6.（2020 全国卷I）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）V 5 -1 c y/5-1 c G+1 C 石+1-B.-C.-D.-【答案】c【解析】设正四棱锥的高为从 底面正方形的边长为加，斜高为八依题意得分2=,x2ax?，即/尸=?

5、,2易知/+4=，/,由得m =+“（,m =-Y E”舍去）,2 2所以一=2 aV 5 +12 一6+12 a 4.故选C.7.（2021 江苏 高考真题）若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（）A.7 2:1 B.2:1 C.1：应 D.1:2【答案】C【解析】【分析】根据题意作图，由轴截面得出母线与底面圆半径的等量关系，再套公式求解.【详解】根据题意作图,s设圆锥的底面圆半径为r,高为/?,母线长为/.若圆锥的轴截面为等腰直角三角形,则 有2伸45。=/,/=扬.该圆锥的底面积与侧面积比值为二=上1 =nrl 兀 r 7 2 r V2故 选：C.8.（北京 高考真

6、题（理）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最 大 的 是（）Kzd 3M（左）视图A.8B.6x/2C.10D.8万【答 案】C【解 析】【详 解】在正方体中画出该三棱锥，如图所示:易知：各个面均是直角三角形，且AB=4,M=4,BC=3,SAA 8 C=6,SAA A C=1，SAAB C=d回，所以四个面中面积最大的是1 0,故选C.二、多选题9.（2022 广东中山高一期末）从正方体的8 个顶点中任选4 个不同顶点，然后将它们两两相连，可组成空间几何体.这个空间几何体可能是（）A.每个面都是直角三角形的四面体；B.每个面都是等边三角形的四面体；C.每个面都是全等的直角三角

7、形的四面体；D.有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体.【答案】ABD【解析】【分析】根据正方体的性质和四面体的特征，结合图形逐个分析判断即可【详解】对于A,每个面都是直角三角形的四面体，如：E-A B C,所以A 正确；对于B,每个面都是等边三角形的四面体，如 E-B G D,所以B 正确；对于C,若四面体的每个面都是全等的直角三角形，则必有直角边等于斜边，而这样的直角三角形不存在,所以C 错误；对于D,有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如：A-B D E,所以D 正确；故选：ABD.10.（2022.江西上饶.高一期末）下列命题正确的是（)A.有两个面

8、平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱B.棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体C.用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台D.球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180。所形成的曲面【答案】BD【解析】【分析】根据空间儿何体的定义逐个分析判断即可【详解】根据空间几何体的定义,对于A,如图所示：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体，但不是棱柱，错误:何体是棱锥，正确;由棱锥的定义知由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几对于C,用个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不定为棱台，因为不能保证截面与底面平行,错误;对

9、于D,球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180。所形成的曲面，正确;故选：BD.1 1.（2021福建省南安市侨光中学高一阶段练习）如图所示，E,E分别为正方体A B C O-A B G R的面A 3 Q A、面BCC内 的 中心，则四边形班在该正方体的面上的正投影可能是（）【答案】BCC.【解析】【分析】按照三视图的作法：上下、左右、前后三个方向的射影，四边形的四个顶点在三个投影面上的射影，再将其连接即可得到三个视图的形状，按此规则对题设中所给的四图形进行判断即可.【详解】解：因为正方体是对称的几何体，所以四边形8尸R E在该正方体的面上的射影可分为：自上而下、自左至右、由前及后三

10、个方向的射影,也就是在面ABCD、面A B B,、面A D R A上的射影.四边形BFR E在面ABC。和面A B B A上的射影相同，如 图B所示:四边形BFQ卢在该正方体对角面的A B C Q内，它在面A。圈 上的射影显然是一条线段，如图C所示.故选：BC.12.（2023 全国高三专题练习）三棱锥P-A 5 C的三视图如图，图中所示顶点为棱锥对应顶点的投影，正视图与侧视图是全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为1的正方形，则（）A.该棱锥各面都是直角三角形B.直线A 8与PC所成角为60。C.点P到底面A8C的距离为1D.该棱锥的外接球的表面积为3万【答案】CD【解析】【分析】根据三视图可

11、知三棱锥几何特征，即可逐项分析.【详解】由三视图可知三棱锥P-A fiC的底面为直角边长为1的等腰直角三角形，且pAB=BC=I,AC=PA=PC=RPB=6 如图,其中 P A C 为等边三角形，故 A错误;由侧视图可知直线A B 与 PC所成角为4 5。，故 B错误;山正视图，侧视图可知点尸到底面A B C 的距离为1,故 C正确;由条件可知三棱锥外接球的直径为P B,所以S=4 万 ，故 D正确.故选：C D三、填空题1 3 .（上海高考真题（理）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2 万，则其母线与轴的夹角的大小为【解析】【详解】由题意得：万：（：62厂）=2%=/=2/=母线与轴的夹

12、角为g1 4 .（2 0 1 9 全国高考真题（文）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为4 8 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为L则该半正多面体共有 个面，其棱长为_ _ _ _ _ _ _ _ _图1【答案】共 2 6 个 面.棱 长 为 友-1.【解析】图2【分析】第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几何解

13、决.【详解】由图可知第一层与第三层各有9个面，计 1 8 个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有1 8+8 =2 6 个面.如图，设该半正多面体的棱长为x,则/S=8 E =x,延长与尸E交于点G,延长B C交正方体棱于”,由半正多面体对称性可知，B G E为等腰直角三角形,BG =G E =C H =x,G/7 =2 x变 x+x=(&+l)x=l，2 2.=7 匕=应-1,即该半正多面体棱长为近一i.1 5.（2 0 2 0 全国高考真题（理）如图，在三棱锥P-A B C 的平面展开图中,AC=,AB=A D =6，AB1.AC,ABLAD,Z C A E=3 0 ,贝 U c o

14、s/F C B=,P(P)【答 案】矶/)H【解 析】【分 析】在1CE中，利用余弦定理可求得C E,可 得 出C F，利用勾股定理计算 I B C、B D，可 得 出BF,然后在B C尸中利用余弦定理可求得c o s NF C B的值.【详 解】/AB _ L A C，AB=y/3，AC=1,由勾股定理得BC=VAFT TC7=2，同理得 8。二指，：.BF=B D=&,在 AA C E 中，A C =1,AE=AD=6，NC 4 E =3(r,由余弦定理得G E?=4 C 2 +AE2 2 A C 4 ：C O S3 0 =1 +3 2 x l x G x t =l,2；.CF=CE=1,

15、在 A B C/中，BC=2,BF=R ,C F =1,由余弦定理得c o s N尸C 8 =CF2-VBC2-BF22 CF BC1+4-6 _ 12 x1 x2 4故答案为：4-1 6.（2 0 2 0海南高考真题）已知直四棱柱A B C D-A向GD的 棱 长 均 为2,ZBAD=60.以 口 为 球 心，石 为半 径 的 球 面 与 侧 面B C G 8/的交线长为.【答 案】工.2【解 析】【分 析】根据已知条件易得D、E =6，R E 1侧 面B,C,CB，可 得 侧 面B C C B与球面的交线上的点到E的距离为近,可 得 侧 面BCCB与球面的交线是扇形EFG的弧尸G，再根据弧

16、长公式可求得结果.【详 解】如图:取与G的 中点为E,的中点为尸，C&的中点为G,因 为NB4）=60。，直 四 棱 柱ABC。-ABC A的 棱 长 均 为2,所以A 为等边三角形，所 以R E=G，R E 1.B ,又 四 棱 柱4 B 8-A q G 为直四棱柱，所 以84 1.平面A A G A，所 以8耳_1反6，因 为8片n B,C,=B,所 以R E，侧 面B C B ,设P为 侧 面B g C B与球面的交线上的点，则DE L E P,因为球的半径为 石，R E =6，所 以|E P|=J|=7 5 =夜,所 以 侧 面8 C B与球面的交线上的点到E的距离为,因 为|M|=|

17、E G|=J L所 以 侧 面4G C B与球面的交线是扇形EFG的 弧F G，因 为NB|EF=NGEG=?,所 以NFEG=,所以根据弧长公式可得尸G=X&=.故答案为：立兀.2四、解答题17.（2021全国高一课时练习）画出如图所示的三棱柱的三视图./主 视 方 向2【答 案】作图见解析【解 析】【分 析】根据三棱柱画出三视图，标上对应的数据即可.【详 解】三棱柱的三视图如图所示:左视图 18.（2022全国高二课时练习）如图，一 圆柱体的底面周长为24cm,高AB为16cm,8 c是上底面的直径.一只昆虫从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,求 昆虫爬行的最【解 析】【分 析】作出圆柱

18、侧面展开图，可知所求最短路程为4C，利用勾股定理可求得结果.【详解】作出圆柱的侧面展开图如下图所示，则当昆虫的爬行路线为线段AC时，爬行的路程最短,圆柱体的底面周长为2 4 c m,，A D =g x 2 4 =1 2；最短路程为：yjAD2+C D2=V 1 22+1 62=2 0（c m）.1 9.（2 0 2 0 全国高三专题练习（文）如 图 1,在四棱锥P-A 8 C Q 中，底面为正方形，PC与底面A 8 C C 垂直，如图2为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 c?的全等的等腰直角三角形.正视图（1）根据图中所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图,侧视图图2并求出该俯视图的面

19、积;（2）求 租.【答案】（1）俯视图答案见解析，其面积为3 6 c?2：（2）6 6 c m.【解析】（1）由正视图和侧视图可判断俯视图为正方形多一条对角线：（2）R 4 可理解为正方体的体对角线，利 用 弘=J p c?+CD?+D 4?即可求解【详解】（1）该四棱锥的俯视图为（内含对角线）边长为6/62+62=642 cm，由正视图可知A O=6,R A DLPD,所以在 R fAAP D 中，PA=yjpD2+AD2=J（6/2）2+62=6y/3cm.2 0.（2 0 2 2全国高二课时练习）设 圆 锥 的 底 面 半 径 为1,母线与底面所成 角 为3 0。，过圆锥的任意两条母线作

20、截面，求截面面积的最大值.【答 案】|【解 析】【分 析】利用面积公式可求截面面积的最大值.【详 解】因 为 母 线 与 底 面 所 成 角 为 故 圆 锥 的 轴 与 母 线 所 成 的 角 为6 3故两条母线的夹角的范围为（0,与），故截面面积为S x l x l x s i n o J s i n e v L2 2 2当且仅当e=时等号成立，故截面面积的最大值为2 1.（2 0 2 1 全国高一课时练习）如图所示是一个棱柱的三视图，请根据三视图的作图原则列出方程组，求*+y-4出x,y的 值.主 视 图俯视图3 2x 3，【答 案】二%y-6左视图【解 析】【分 析】根据长对正，高平齐，

21、宽相等列方程组求解.【详 解】由题意可知X+y -4 =1 0 x-y +6 =4 y 解得3 2x =一31 0 .y=32 2.（2 0 2 2 全国高二课时练习）在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛（A l b e r o b e l l o）,这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫T r ul l o,于1996年被收入世界文化遗产名录（图1）.现测量一个屋顶，得到圆锥SO的底面直径AB长 为1 2 m,母线S A长 为18 m （图2）,C,。是 母 线%的 两 个 三 等 分 点（点。靠近点A）,E是母线S B的中点.如从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度.图1图2【分析】将侧面沿母线S A展开，A点对于与4,连接A C,则A C为最小长度，在 A S C中由余弦定理计算可得.【详解】a ,则 18 a=12万，24所以a=与-.在 A S C中，由余弦定理可得A C?=4S2+SC2-2AS-SC-COSNASC,2乃即 4c2 =18 2+6?-2 x l 8 x 6 x c o s y ,所以 4c=69.即灯光带的最小长度为6 j B m .