2023年北师大版九年级下册全册知识点汇总.pdf

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1、2023年北师大版九年级下册全册知识点汇总（精华版）第一章直角三角形边的关系一.正切：定义:在应Z U 式 中，锐角NA的对边,与邻边的比叫做NA的耳叨,记作t a n A,即 tan A=乙4的 对 边.乙4的 邻 边，t a n A 是一个完整的符号，它表示NA的正切，记号里习惯省去角的符号“N”；t a n A 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中NA的对边与邻边的比；t a n A 不表示“t a n”乘以“A”；初中阶段，我们只学习直角三角形中，NA是锐角的正切；t a n A 的值越大，梯子越陡，NA越大；NA越大，梯子越陡，t a n A的值越大。二.正 弓 器定义：在RtA

2、ABCP,锐角NA的对边与斜边的比叫做/A的正弦,记 作 皿,即疝杉*；三.余弦:定义：在RtAABCP,锐角N A的邻边与斜边的比叫做N A的余弦,记 作c o s A,即cos A=幺 黑 辔；.斜边余切:定义：在 七Z U以 中，锐角N A的邻边与对边的比叫做N A的余切,记 作cotA,即 cotANA的 邻 边.ZA 的 对 边，一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。X030 45 60 90 sin a02V22V321cos a1遮2V 22J_20tan a0V331百cot a1旦30(通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互

3、为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数)用等式表达：若N A为锐角，则 sin A=cosQ0-ZA);cos A-sin(90 ZA)tan A=cot(90。-ZA);cot A=tan(90-ZA)当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为伸由当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为施第利用特殊角的三角函数值表，可以看出，（1）当角度在0 90。间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值、余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。（2）0WsinaWL OWcosaWl。同角的三角函数间的关系：倒数关系：tg

4、 a ctg a=lo在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角 图1形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。在aA B C中，N C为直角，NA、NB、N C所对的边分别为a、b、c,则有（1）三边之间的关系：a2+b2=c2；（2）两锐角的关系：ZA+ZB=90；(3)边与角之间的关系:4 a.b.a.bsin A=,cosA=,tan A=,cotA=;c c b a.n b n a n bsin B=,COSD=,tanB=,cotn=;cc a b(4)面积公式:S4=Me(he为 C 边上的高);(5)直角三角形的内切圆半径二

5、(6)直角三角形的外接圆半径R=gc解直角三角形的几种基本类型列表如下：解直角三角形的几种基本类型列表如下:已知条件解法两条边两条直角边a和bc=7a2+b2,tgA=,B=90-Ab一条直角边a和斜边cb=7c2-a2sinA=,cB=90-A一条边和一个锐角一条直角边a和锐角AB=90-A,c=si nAb=a etgA斜边c和锐角AB=90 -A a=c sinA b=c cosA图2图3 图4派 如图2,坡面与水平面的夹角叫做地用（或叫做城匕匕）。用字母i表示 9 i=tan A从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方住第。如图3,OA、OB、OC的方位角分别为4 5、13

6、5、225。指北或指南方向线与目标方向线所成的小于9 0 的水平角，叫做方何曲。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30,南偏东45（东南方向）、南偏西为60,北偏西60 o第二章二次函数二次函数的概念：形如丁=*+法+9、力、是常数，a 20）的函数，叫 做X的 三 次 国 算。自 变 量 的 取 值 范 围 是 全 体 实 数。=3*0）是二次函数的特例，此时常数b=c=0.在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围。二次函数y=ax2的图象是一条顶点在原点关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做地物线。描述抛物线常从开口

7、方向、对称性、y 随 x 的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x 轴的交点等方面来描述。函数的定义域是全体实数；抛物线的顶点在（0,0）,对称轴是y 轴（或称直线x=0）。当a 0 时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a 0 时 时,y施增大而减小,DB、业3 a 0时,y随x增大而增大x W 00寸,y随x增大而增大x 2 0吐y随%增大而减小 当 I a I 越大，抛物线开口越小；当 I a I 越小，抛物线的开口越大。最大值或最小值：当a 0,且 x=0 时函数有最小值，最小值是0；当aV O,且 x=0 时函数有最大值，最大值是0.二次函数y=2+c的图象是一条顶点在y

8、轴上且与y 轴对称的抛物线二次函数y=o?+c的图象是以8=2 为对称轴，顶点在（_ 2,2a 2a”三生）的抛物线。（开口方向和大小由a 来决定）间的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y 轴，y随x 增长（或下降）速度越快；|a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y 轴，y随 x 增 长（或下降）速度越慢。二次函数y =a f+c 的图象中，a 的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c 决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。二次函数y =2+x+c 的图象与y=a x 2 的图象的关系：=这2+云+的图象可以由丫=2*2 的图象平移得到，其步骤如下：将

9、y =a/+O x+C 酉 己 方 成 y =a（x-7?）2 +后的形式；（其中h=-2,k=2a4 a c-b2 x把抛物线y =a/向 右（h 0）或向左（h 0）或向下（k 0）平移|k|个单位,便得到尸心-）2+&的图象。二次函数=0?+。的性质：二次函数产 2 +法+C 配方成y“（x +2）2 +%二忙则抛物线的2a 4a对称轴：X=-2 顶点坐标：（_ 2,2a 2a4 C一 1 2）4a-增减性：若 a o,则当 x 2a.一 2 时，y随 X的增大而增大。2a 若 水 0,则当时，y随 x的增大而增大；当 x 2a._ _ L 时，y随 X的增大而减小。2a.最值：若 a

10、0,则当x=-2 时，y 最小=处士；若 a 0,则当x=22a 城 小 4a 2a画二次函数y =2+b x+c 的图象：我们可以利用它与函数广的关系，平移抛物线而得到，但往往我们采用简化了的描点法-五点法来画二次函数来画二次函数的图象，其步骤如下：先找出顶点（_ ,竺匕Q）,画出对称轴x=_ 2；2a 4。2a找出图象上关于直线X=2 对称的四个点（如与坐标的交点等）;2a把上述五点连成光滑的曲线。口二次函数的最大值或最小值可以通过将解析式配成y=a（x-h）2+k 的形式求得，也可以借助图象观察。0解 决 最 大（小）值问题的基本思路是：理解问题；分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关

11、系;用数学的方式表示它们之间的关系；做数学求解；检验结果的合理性、拓展性等。派二次函数y =a Y +法+c的图象（抛物线）与x轴的两个交点的横坐标X 1,X 2是对应一元二次方程o r?+c =0的两个实数根抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：b2-4ac0 抛物线与X轴有2个交点；b2-4ac=0 抛物线与x轴有1个交点；b2-4ac0 抛物线与x轴有0个交点（无交点）；当一4 a c 0时，设抛物线与X轴的两个交点为A、B,则这两个点之间的距离：I AB=xt+x21=y j（x2-X ）2=J（X|+%2-4X/2化简后即为：|的=扬-4碇面 4 0）-这就

12、是抛物线与X11轴的两交点之间的距离公式。第三章圆一.车轮为什么做成圆形上圆的定义：描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做0;固定的端点O 叫做颐下；线 段 O A 叫做半彳至;以点O 为圆心的圆，记作。O,读 作“圆 O”集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定 点 叫 做.3,定长叫做回的半彳至，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做足顾对圆的定义的理解：圆是一条封闭曲线，不是圆面；圆由两个条件唯一确定：一是 圆 心（即定点），二是 半 径（即定长）。派2点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半

13、径为r,点到圆心的距离为d,则点在圆上 d=r;点在圆内 d r;点在圆外 d r.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。二.圆的对称性：派1.与圆相关的概念：弦和直径：弦：连接圆上任意两点的线段叫做学。直径：经过圆心的弦叫做建彳至。弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做甲弧，简称即，用符号表示，以C D为端点的弧记为“33”，读 作“圆弧CD”或“弧CD”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半园。优弧：大于半圆的弧叫做体弧。劣弧：小于半圆的弧叫做为弧。（为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。）弓形：弦及所

14、对的弧组成的图形叫做号形。同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同 凰。等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。圆心角：顶点在圆心的角叫做网心曲.弦心距:从圆心到弦的距离叫做尊心 叫.久 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。X 3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平 分 弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何

15、两个条件都可推出其他三个结论。今定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.三.圆周角和圆心角的关系：派1.1 的弧的概念：把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的角都是1 的圆心角，相应的整个圆也被等分成360份，每一份同样的弧叫1 弧.工 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.这里指的是角度数与弧的度数相等，而不是角与弧相等.即不能写AB成N A O B=，这是错误的.X 3.圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆

16、周角.义 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；9 0 的圆周角所对的弦是直径；四.确定圆的条件：上理解确定一个圆必须的具备两个条件：圆心和半径，圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小.经过一点可以作无数个圆，经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.工经过三点作圆要分两种情况：(1)经过同一直线上的三点不能作圆.(2)经过不在同一直线上的三点，能且仅能作一个圆.定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.X 3.三角形的外接圆、三角形的外心、

17、圆的内接三角形的概念：(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形：经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.五.直线与圆的位置关系上直线和圆相交、相切相离的定义：(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线.(2)相切：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点做切点.(3)相离：直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.X 2.直线与圆的位置关系的数量特征：设。的半径为r,圆心O到直线

18、的距离为d；dr 直线L和。O相交.d=r 直线L和。0相切.dr 直线L和。0相离.X 3.切线的总判定定理:经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.今切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，可得如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个.垂直于切线；过切点；过圆心.X 5.三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.

19、X 6.三角形内心的性质：(1)三角形的内心到三边的距离相等.(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线：连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角.六.圆和圆的位置关系.X L 外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.(2)外切：两个圆有惟一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.(3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这个两个圆相交.(4)内切：两个圆有惟一的公共点，并且除了这

20、个公共点以外，一个圆上的都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.(5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例.X 2.两圆位置关系的性质与判定：(1)两圆外离 dR+r 两 圆 外 切 d=R+r(3)两圆相交 R-rdR+r(R2r)(4)两圆内切 d=R-r(Rr)(5)两圆内含 dr)X 3.相切两圆的性质：如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.尔相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦.七.弧长及扇形的面积上圆周长公式:圆周长C=2万R（R表示圆的半径）X 2.弧长公式：弧 长/=蟠（

21、R表示圆的半径，n表示弧所对的圆心180角的度数）X 3.扇形定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.义弓形定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高.X 5.圆的面积公式.圆的面积S=/tf?2（R表示圆的半径）X 6.扇形的面积公式：扇形的面积瑞形=嚼 （R表示圆的半径,n表示弧所对的圆心角的度数）弓形的面积公式：（如图5）A,B二 uC C图5当弓形所含的弧是劣弧时，s弓 形=S扇 形-S三角形(2)当弓形所含的弧是优弧时，S弓 形=S扇 形+S三角形当弓形所含的弧是半圆时，S弓 形=：成2=s扇形八.圆锥的有关概念：上 圆锥可以看作

22、是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形，另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面,斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面.久 圆锥的侧面展开图与侧面积计算：圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点.如果设圆锥底面半径为r,侧面母线长(扇形半径)是1,底面圆周长(扇形弧长)为c,那么它的侧面积是：S侧=g 0 =g 2 r/=7trlS 表=S侧+S底 面=7 i r l +入 厂=(r +/)Q九.与圆有关的辅助线1.如圆中有弦的条件，常作弦心距，或过弦的一端作半径为辅助线.2.如圆中有直径的条件，可作出直径上的圆周角.3.

23、如一个圆有切线的条件，常作过切点的半径（或直径）为辅助线.4.若条件交代了某点是切点时，连结圆心和切点是最常用的辅助线.0十.圆内接四边形若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.圆内接四边形的特征：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.十一.北师版数学未出现的有关圆的性质定理1.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。如图6,.PA,PB分 别 切 于A、B.,.PA=PB,PO 平分NAPBA2.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。推论：如果两个弦切角

24、所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。如图 7,CD 切。O 于 C,贝，NACD=NB3.和圆有关的比例线段：相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等；推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。如图 8,APPB=CPPD如图9,若 CD_LAB于 P,A B 为。O 直径，则 CP?=APPB4.切割线定理切割线定理，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。如 图1 0,PT切。于T,PA是割线，点A、B是它与。的交点，

25、则PT2=PAPBPA、PC是。O的两条割线，贝ij PDPC=PBPA5.两圆连心线的性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，或者说，连心线过切点。如果两圆相交，那么连心线垂直平分两圆的公共弦。如 图1 1,。1与。02交 于A、B两点，则连心线OQ2_LAB且AC=BCo6.两圆的公切线两圆的两条外公切线的长及两条内公切线的长相等。如 图12,AB分别切。Ch与。02于A、B,连结OiA,O2B,过02作OzCLOiA于C,公切线长为/,两圆的圆心距为d,半径分别为R,一则外公切线长：L=“2-(R-r)如图 13,AB 分别切。Oi 与。O2于 A、B,ChCAB,02C I0 iC于

26、C,O O i半径为R,。2半径为r,则内公切线长:L=d2-(R+r)2第四章统计与概率1.实验频率与理论概率的关系只是在实验次数很多时,实验频率接近于理论概念，但实验次数再多,也很难保证实验结果与理论值相等，这就是“随机事件”的特点.三.游戏公平吗？1.游戏的公平性是指游戏双方各有50%赢的机会，或者游戏多方赢的机会相等.2.表示一个事件发生的可能性大小的数叫做该事件的概率.一个事件发生的概率取值在0 与 1 之间.3.概率的预测的计算方法:某事件A 发生的概率：D事件A包含的基本事件的个数r -基本事件的总数4.用分析的办法求事件发生的概率要注意关键性的两点：(1)要弄清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果；要弄清楚所有机会均等的结果.