人教版导与练总复习数学一轮课时作业：第八章第4节　双曲线.pdf

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1、第4节 双 曲 线灵活方医方致偎影0选题明细表课时作业知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练双曲线的定义及应用4,511双曲线的标准方程9,10双曲线的几何性质1,2,3,6,714,1517综合问题812,13,1618A级基础巩固练_ 2 21.经过点M（2V3,2而）且与双曲线氤-5=1有相同渐近线的双曲线方程是（D ）%2 y2A.二-匕=118 12%?y2B.3-匕=112 18V2%2C.=118 12D-7I-=12 2解析:设所求双曲线的方程为十与=人，将点M （2V3,2遮）代 入 得 等 二 等 二X,解得人=-6,2 2所以双曲线方程为9-3=1-12 18故选D.

2、2 2 2 22.若实数k满足0 k 9,则曲线？-上=1与曲线4-？=1的（D ）25 9一 化 Z 5_/C 9A.离心率相等 B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等解析：由 0。，b 0）的右焦点为F（2,0）,渐近线方程为a2 b2V5 xy=0,则该双曲线实轴长为（A ）A.2 B.1 C.V3 D.2V3解析：由题意知，渐近线方程为y=土8 x,则也遮，a又焦点为F （2,0）,即 c=2,所以 c2=a2+b2=4 a2=4,则 a2=l,即a=l 或T（舍去），则实轴长为2a=2.故选A.2 24.已 知 双 曲 线（a 0,b 0）的左、右 焦 点 分 别 为 F 2,

3、点P 在双a2 b2曲线的右支上，若|P F j-|P F z|=4 b,且双曲线的焦距为2遍,则该双曲线的方程为（A ）A.-y2=l B.或 匕 14 3 2C.x2-竺=1 D.次士=14 2 3fPF1PF2 =2a=4 b,解析：由题意可得卜2=。2+匕2,、2c =2 V5,解得 1 二:则该双曲线的方程为?-y2=l.故选A.5.已知双曲线y-y2=l 的左、右焦点分别为F F 2,点P 在双曲线上，且满足|PFI|+|PF2=2而，则P F F z的面积为（A ）A.1 B.V3 C.V51-2D.2解析:在双曲线$y 2=l中,a=V3,b=l,c=2.不妨设P点在双曲线的右

4、支上，则有 I P F 一|P F 21=2a=2g,又|P R|+|P R|=2 的,所以 I P F=V5+A/3,|P F2|=V5-V3.又|F 1F 21 =2c=4,而|PF1|2+|PF2|2=|FE|2,所以PFPF2,所以S F1F2=X IPFJ X|P F 2 1 g x （V5+V3）X（遥-遮）=1.故选 A.2 26 .已知双曲线C:=-3=1（a。，b 0）的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若N M A N=6 0 ,则双曲线C的离心率为（A ）2V-33V23-B.2V32D.解析：由题意，可得A到渐近线b x+

5、a y=O的距离为b c os 30 =争,可 得 益/臬，v a2+Z?2 2g哈 奈可得离心率为e=等.故选A.7 .已知双曲线C:g-l（a 0,b 0）的右焦点为F,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线的渐近线交于点A（A在第一象限内），以0 A为直径的圆与双曲线的另一条渐近线交于点B,若B F O A,则双曲线C 的离心率为（A ）A.手 B.V2 C,V3 D.2解析：因为A F,O F,所以点F 在圆上.又 B F O A,所以 N A 0 F=N 0 F B,而 N A 0 F=N B 0 F,所以A O B F 是等腰三角形，所以 N 0 A B=N B A F=N B 0 F=

6、N A 0 F.又因为N 0 A B+N B A F+N A 0 F=90 ,所以N A 0 F=30 ,所以 t a n 30 =,a 3所以e J 号+（=竽 故 选A.2 28.（多选题）（20 21 广东深圳一模）设F 2分别是双曲线C:-，=m+n m-n1 的左、右焦点，且|F E|=4,则下列结论正确的有（A C）A.m=2B.当n=0 时,双曲线C 的离心率是2C.F,到渐近线的距离随着n的增大而减小D.当n=l 时,双曲线C的实轴长是虚轴长的两倍解析:对于选项A,由双曲线的方程可得a m+n,b?=m-n,所以 c a+b m+n+m-n=2 m,因为2 c=4,所以c=2,

7、所以c2=2 m=4,可得m=2,故选项A 正确；对于选项B,当n=0 时，双曲线C：y-=1,此时a2=b2=2,c2=4,所以离心率e=J=V ,故选项B 不正确；2 2对于选项C,在双曲线C:-=1 中，由选项Am+n m-n知，m=2,a2=2+n,b2=2-n,且双曲线的渐近线方程为y=-x,a不妨取焦点F,（-2,0）,则 3到渐近线的距离d=*=b=HL所以日到渐近线的距离随着n的增大而减小,故选项C正确；对于选项 D,当 n=l 时,a=V 2 +1=V 3,b=，2 T=l,所以实轴长为2 V 3,虚轴长为2,不满足双曲线C的实轴长是虚轴长的两倍,故选项D不正确.故选AC.9

8、.（2 0 2 1 广东汕头高三一模）写一个焦点在y 轴上且离心率为V 3的双曲线的标准方程.解析：取 c=V 3,贝 1 J e=K,可得a=l,a所以 b=V c2-a2=V 2,因此,符合条件的双曲线的标准方程为y2-y=l.c v-2答案:y?=1（答案不唯一,符合要求就可以）10.（2 0 2 1 辽宁铁岭高三一模）已知双曲线与椭圆捻+。=1有相同的16 6焦点,且双曲线的渐近线方程为y=j x,则此双曲线的方程为解析：由题意得椭圆焦点为（4 6 0）,所以C=V 1O,2 2设双曲线的方程为卷=1 (a 0,b 0),a2 b2则安，C L 3由 片“解得R=+ka2+b2=c2=

9、10,5=L丫2 所以双曲线的方程为+y2=l.v2八答案y2=lB级综合运用练2 211.已知双曲线9-9=l(a 0,b 0)的左、右焦点分别为口(-2,0),a2 bzF2 0),P 为双曲线上位于第二象限内的一点，点Q 在 y 轴上运动,若i PQ l +l Q F z l-|PF j 的最小值为苧，则双曲线的离心率为(B)A.V 3 B.2 V 3 C.3 V 3 D.4 8解析：如图所示，连接PF2,因为 I PQ I +I Q F 2 I-I PF J2 I PF 2 I-|PF=2 a,当且仅当P,Q,F 2 三点共线时,等号成立，所以|PQ|+|Q F 2 卜|PF j 的最

10、小值为2 a,所以2 a=竽,解得a=.由题意知c=2,所以e=-=2 V 3.故选B.a2 212.(多选题)已知双曲线C 曝 噌=1(a 0,b 0)的左焦点F(T,0),过 F且与x 轴垂直的直线与双曲线交于A,B 两点,0为坐标原点，AAO B的面积为|,则下列结论正确的有(ABD )A.双曲线C的方程为4 x 2-差=1B.双曲线C的两条渐近线所成的锐角为60 C.F 到双曲线C的渐近线的距离为V 3D.双曲线C的离心率为2解析：因为双曲线的左焦点为F(T,0),所以c=l,又因为过F与 x 轴垂直的直线与双曲线交于A,a a所以a AO B 的面积为S X 1 -=-,即f,2 a

11、 2 a 2又 a2+b2=c2=l,所以 a=|,J*所以双曲线C的方程为4 x 2-警=1,故A正确；则双曲线C的渐近线方程为y=V 3 x,所以两渐近线的夹角为60 ,故B 正确；F到双曲线C的渐近线的距离为d=苧,故C 错误；双曲线C的离心率为e/=J=2,故D 正确.故选ABD.a-22 213.(多选题)已知双曲线C:=1的左、右两个焦点分别为B,F 2,直线y=k x (k WO)与 C 交于A,B 两点,AE _ L x 轴，垂足为E,直线BE 与 C的另一个交点为P,则下列结论正确的是(AC )A.四边形AR BF 2 为平行四边形B.N F F F 2 9 0 解析:如图,

12、双曲线C关于原点对称,又直线y=k x过原点，所以A,B关于原点对称，由|O A|=|O B|,|0FI|=|0F2|得四边形AF 1BF 2为平行四边形,A正确;当k-0,P点趋近于右顶点,此时N F F F z趋近于平角，因此不可能有ZF,PF2 ZAE B ZAE 0=9 0 ,因此N PAB9 0 ,D错误.故选AC.14.（2 0 2 1 浙江宁波高三开学考试）抛物线y2=4x的焦点到双曲线g-y2=l的一条渐近线的距离是y,则 双 曲 线 的 实 轴 长 是,离心率是 解析：由题意，得抛物线y2=4x的焦点为(1,0),双曲线於-丫2=1 的一条渐近线为x+a y=0,因为抛物线y

13、 M x 的焦点到双曲线学y2=l 的一条渐近线的距离是第，2所 以 半 袅 告 解 得 a=l.V l+a2 2所以双曲线方程为x2-y2=l,所以 c=Va2+b2=V2,所以双曲线的实轴长为2,离心率e=V2.a答案：2 V21 5.(20 21 广 东 广 州 高 三 一 模)已 知 圆(x-l)2+y M 与双曲线C：马 一 1=1的两条渐近线相交于四个点，按顺时针排列依次记为a2 b2M,N,P,Q,且|MN|二 21 P Q|,则 C 的 离 心 率 为.解析:设k2,渐近线方程是y=kx,由对称性可设aM(xb kxi),N (xi,-kxi),P(X 2,kx2),Q (x2

14、,-kx2),贝 iJ|MN|=2kxi,|P Q|=_ 2kx2,所以 2kxi=2,(-2kx2),xi=-2x2.(y=kx,(%-l)2+y2=4,得(l+k?)X2-2X-3=0,X 2号，3X|X 2 诉,代入得X 2=品,X尸41+H 代入得-8(1+/C2)231+H 解得 l+k2=1.所以 e/Jl+()=+k2=.答案:亚g1 6.(20 21 浙江杭州高三模拟)在四边形A BC D中，已知A(-1,0),B(2,0),Z A BC=2N BA C,|D B|=21 D A|,若 C,D 两点关于 y 轴对称,则I C D|=.解析：设 C(x,y)(x 0),由 N A

15、 BC=2N BA C,得 t a n N A BC=t a n 2Z BA C,即 t a n Z A BC=2tanz.BXCl-tan2zBAC,当点C在X轴上方时，t a n Z BA C=kA C,t a n Z A BC=-kuc,故有；当点C在x轴下方时，t a n Z BA C=kA C,t a n Z A BC=ki!C,故有 k i s c=2 2C,1-%两者都有kn c+；yc=0,所以 kuc (1-嫉C)+2kA c=0,则 卷 1-+2七=0,x-2(x+1)x+1化简得-.2所以点C的轨迹方程为X2-=1(X 1),由C,D关于y轴对称知D(-x,y),由|D

16、B|=2|D A|,J (-x-2)2+y2=2(-%+1)2+y2,得(x-2)2+y2=4(yW 0),与 x2-?=l(x l)联立消 y,得(x-2)0 3x2-3=4,解得x=|或 x=3(舍去)，所以|C D|=3.答案：3C级应用创新练1 7.已知双曲线C:马名=1 (a 0,b 0)的两条渐近线均与圆M:x2+y2-6 x+5=0 相切,且双曲线的右焦点为该圆的圆心,则双曲线C的离心率为(C )A.B.C.D,3 2 5 2丫 2 A.2 u解 析:双 曲 线(a 0,b 0)的渐近线方程为y=土，即b xa y=0,圆 M:x2+y2-6 x+5=0 化为标准方程(x-3)?

17、+y2=4,所以M(3,0),半径为2.2 2因为双曲线3-3=1 (a 0,b 0)的两条渐近线均和圆M:x2+y2-6 x+5=0a2相切，所 以/整=2,y/bz+az所以 9b2=4b2+4a2,所以 5b2=4a2.因为 b2=c2-a2,所以 5d-a 2)=4a；所以 9a2=5c2,所以e=J 畔，a 5所以双曲线的离心率为手.故选c.1 8.已知F 是双曲线C:x2-1=l 的右焦点,P 是C 左支上一点,A (0,6 V6),8当4A P F 的周长最小时,则点P的坐标为.解析:如图，设E为双曲线的左焦点，由双曲线C 的方程可知a 2=l,b 2=8,所以 c2=a2+bJ

18、=l+8=9,所以c=3,所以左焦点E(-3,0),右焦点F(3,0),因为|A F|=j 32+(6 后产=1 5,所以当4 A P F 的周长最小时，|P A|+|P F|最小.由双曲线的性质得|P F|-|P E|=2a=2,所以|P F|=|P E|+2,又|P E|+|P A|2|A E|=|A F|=1 5,当且仅当A,P,E 三点共线，且点P 在线段 A E上时，等号成立，所以4A P F 的周长为|A F|+1 A P|+1 P F|=1 5+1 P E|+1 A P|+221 5+1 5+2=32.直线A E的方程为y=2遍 x+6 萌，将其代入双曲线的方程得X2+9X+14=0,解得x=-7(舍)或x=-2,由x=-2,得y=2V6(负值已舍),所以点P的坐标为(-2,2V6).答案：(-2,2V6)