2023年高考数学一轮复习重难点专题突破：专题01 玩转指对幂比较大小（解析版）.pdf

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1、专题0 1玩转指对嘉比较大小【方法技巧与总结】（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定小b,c的大小.（2）指、对、幕大小比较的常用方法：底数相同，指数不同时，如a%和a?,利用指数函数y=标 的单调性；指数相同，底数不同，如 和只利用累函数）/=/单调性比较大小；底数相同，真数不同，如1。%勺 和lo g a X z利用指数函数1。%单调性比较大小；底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.（3）转化为两函数图象交点的横坐标（4）特殊值法（5）估算法（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方

2、法【题型归纳目录】题型一：直接利用单调性题型二：引入媒介值题型三：含变量问题题型四：构造函数题型五：数形结合题型六：特殊值法、估算法题型七：放缩法题型八：不定方程【典例例题】题型一：直接利用单调性例1.（20 22江西二模（文）已知a=bgb2,b =s讥=则 ，儿。的大小关系 是（）A.a b c B.c b aC.a c bD.b c a【答案】C【解析】【分析】利用对数函数、三角函数、基函数的单调性比较大小即可.【详解】a=lo g/2 lo g 0 =1，因为y=sinxx e 0）是单调递增函数，所以0 b=sin c=gy （i y=i所以Q C 小故选：C.例 2.（20 22陕

3、西西安一模（理）已知b=bi（lg2）,c =Eg（b i 2）则 a,，c 的大小关系是（）A.c a b B.c b aC.a b c D.b c a【答案】A【解析】【分析】根据对数的性质比较大小【详解】先比较a,b,易知国2 V点故（句2）V m也 即b V Q又e 1 时 x lg x,0 x 1 时b i x 均：/有c Q故选：A例3.（20 22河南许昌高中高三开学考试（文）已知a n/。%/b =lo g在+式3-2夜），c=-2109 则a，b,c的大小关系为（）A.a b c B.b c a C.cab D.bac【答案】D【解析】【分析】利用对数的运算可知b =-2,c

4、 =一|,再利用对数函数y=，o g 3X的单调性可比较大小，进而得解.【详解】b=lo g 在+1（3-2V2）=lo g 迎+1（夜 -1，=2 lo g 四 十 1&-1）=2 lo g+1 就=-21,c=一 2,*=2lO922 =21 11、又y=/。9 3%为定义域上的增函数，二一2=log3-a=log3-log3=-所以 q c.故选：D题型二：引入媒介值例 4.（20 22全国高三专题练习）若。=小 23,b=log 34,c =/o g 45,则a、b、c 的大小关 系 是（）A.a b c B.b c aC.h a c D.c b 1,然后利用对数的运算化为同底并结合对

5、数函数的单调性，可比较出a,c的大小关系，a,b分别与中间值|比较，得出b,c 分别与中间值 比较，得出b：c,综合即可选出答案.4 4【详解】解：由题意，log2 3 log2 2=1,log3 4 log3 3=1,log4 5 log4 4=1,即 Q c 1,c=log4 5=log2z 5=o g2 5=log2 55=log2 V5iT iJ a=log2 3 log2 石，所以 Q c 1,a=log2 3 log2 2V2=j ,而人=log3 4 鼻 b 1,x =log3 34=log3 V?，b=log3 4=log3,而44 35,贝 Ij o g 3 l o g 3

6、疗，即b|,同理，=log4 44=log4 V?，c=log4 5=log4 而45 5 r 则log,舛log44F,B P|C,综上得：a|h c l,所以c h c 的 大 小 关 系 是（）A.b a c B.c b aC.b c a D.c a b【答 案】C【解 析】【分 析】分别求出a,b,c的大致范围，即可比较a,b,c的大小.【详 解】由题意得，&=6;6。=1，故2 a l；2b=log7 8+log56 4 9=log7 5 6 -1 +2 log56 7=/o575 6 +bo-1,2 2因 log7 56 log?49=2,根据对勾函数得 lo7 5 6 +-2 4

7、-=3,因此 b 3-1 =c-Cz Wy/2；由勾股数可知72+242=2 5 2,又因7b+24=25c且b 2,故b c 2；因此b c a.故选：C.例6.（2022.广东茂名.模拟预测）已知a=sin2,b=m 2,c=2心，则。，b,c的大小关系是（）A.cba B.a b c C.b a c D.b c sin =W Ze*4 3 3 3 =e3 24=2=）n e4 =3|n2 即 bbv（r0 十 J c b：囹27一 641、62司-=2甘，二 a c；4 64 2.a c b.故选：D.【点睛】本题关键是利用正弦函数的值域求出s i n 2 的范围，以9 n 式两个值作为

8、中间值，比较“、4 26、c 与中间值的大小即可判断a 氏 c的大小.例 7.（2 0 2 2全国高三专题练习）己知a =3 吗，b=log2 42 5,c=log2 52 6,则a,b,c的大小关系为A.a b c B.a c bC.c b a D.b c a【答案】D【解析】先由题，易知a =3 品 1,c =i o g 2 52 6 1,再将b,c 作商，利用对数的运算以及基本不等式，求得比值与1 作比较即可得出答案.【详解】因为，几：0，故a =3l nz 1,c=|Og2 52 6 1；=鬻 嗖=log25 2 6.log25 2 4 （皿 吟 空 吟 2 =1 Z o5（25+1）

9、.（2 5-l）2 1所以c c a故选D【点睛】本题考查了对数的运算以及基本不等式的综合，解题的关键是在于运算的技巧以及性质，属于中档偏上题型.例 8.（2 0 2 2.北京通州.模拟预测）已知a u l o g s g,b=I nn,c =b。，则a,b,c 的大小关系（）A.b c a B.b a c C.c b a D.c a b【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可；【详解】解：因为-l =l o g 3 g l o g 3 g l o g 3 1 =0，即-1 a ，n e=l,即b 1,所以0 b。b =1,即0 c c a,故选：A题型三：含变量问题例

10、9.(2 0 2 2 全国高三专题练习)已知。(0 3),Oln(2 cos2 0-1)2,_ ln(cos 0-1)2(2 cos2 8-1)2 (cos 8-1)2b i(s*8-1)2(sin 1)2则a,瓦c 的大小关系为()A.b c aC.a b cB.a c bD.c a b【答案】A【解析】【分析】山 已 知 构 造 函 数/(%)=鬻 畜，可得;(X)的图象关于直线X =1 对称.再求导，运用导函数的正负研究函数的单调性，最后由角的范围得出三角函数的范围可得选项.【详解】由 题 可 设/(乃=若 9，因为/(2-x)=f(x),所以;(%)的图象关于直线4=1 对称.因为尸(

11、X)=21含”,当 x G(1,2)时，0 (x-1)2 1,所以 1 n(x -I)2 0,(x-I)3 0,所以/(x)0,所以/O)在(1,2)上单调递增，由对称性可知/(x)在(0,1)上单调递减.因为。G(0 ),所以0sin。三与 c o s 9 f(cos 0)=b；又 2cos0sin0|1，由对称性可知/(2 c o s?8)=f (2 2 c o s 2 8),且0 2 2 cos2 0 p 因为2 2 cos2 0-sin 0=2 sin2 0 sin 0=sin 0(2 sin 6 -1)V0,所以0 V 2 2 c o s2 6 sin9 又/(%)在(0,1)上单调

12、递减，所以 c =/(s 讥 8)V/(2 2 c o s 2 8)=/(2 c o s 2 e)=Q,所以h c 1,则 x,y,z 大小关系为()A.y x z B.x z y C.y z x D.x y z【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，可得xl,z 3 W n x 0,-z 0,B P x l,z 1，则/(x)=l ：0,函数/(x)在0,+0 0)上单调递增，有/(x)/=1 0,即I n x c x,从而当时，=等 福，令=g，(t)=l,y l,得y xl,所以y x z.故选：A【点睛】思路点睛：涉及不同变量结构相似的式子相等，细心挖掘问题的内在联系，构造函数，分析并

13、运用函数的单调性求解作答.例 11.(2 0 2 2天津高三专题练 习)已知x e(e T,l),记a =n%，b=G)屏，c =eM,则a,b,c 的大小关系是()A.a c b B.a b cC.c b a D.b c nx e Q,所以a c b,故选：A例 12.(2 0 2 2安徽合肥一中高三阶段练习(文)若 2?mm me B.me em mm C.me mm em D.em me mm【答案】D【解析】【分析】利用第指函数的单调性可得e7 小小，me mm,构造函数g(x)=x -e/n x (x 2),可得e m 7 n e,从而得到结果.【详解】当2 r n mm,me mm

14、,下面比较e7 7 1与 的 大 小，即比较m与e/n zn 的大小，考察函数g(x)-x-e l n x(x 2),g(x)=1 一5 =当2xe时，g3 0,.g(x)在(2,e)上单调递减，因为2 n i g(e)=0,即m e hi m 0 n m e所以e m m e,综上：当2m me mm.故 选:D例 1 3.(2 0 2 2.江苏.扬州中学高三阶段练 习)已知0 a /?(S i na)c o s/JB 1 0 gs i n C 0 Sa 1 0 gs inaC 0 S c-(c o sa)s i n a(c o s 夕)s MD-(c o s )S i n/?(s i 8

15、s 6【答案】C【解析】【分析】A.构造函数y =(sina)x,利用其单调性比较大小；B.构造函数y =k gs m a X，利用其单调性比较大小；C.构造函数y =(c o s a 尸及函数y =/加以 利用其单调性比较大小；D 将(c o s a)s d l o g s i na,判断ta n/?，3 小。s i n a 的大小关系即可.【详解】v 0 a /?,则0 s i n a V c o s a c o s ,s i n a s i n/?A因为函数y =(s 讥a 产在H上单调递减，故s 讥 出 。$讥公$6,A错误；B.因为函数y =，。9 5 山1%在(，+8)上单调递减，

16、H Llogs i n acosa (c 0 Sa)s i n/?(c o s H)s i n 0，C 正确;D.(c o s a)s M (s i n 8 s 0 =s i n Zn(C 0 Sa)cos p Z n(sjna),0 3 vsin 8-cos pA 0 tan 0 仇0 心)c os 0)=logcosa s i nan7l09C 0Sa Si na l09C 0Sa c o s a=1，：tanB b 0,a b =1,若 =092(。+%),z =a +g,则E og%(3x),E ogy(3y),E o&(3z)的大小关系为()A.logx(3x)logyy)logz(

17、3z)B.logyy)logx(_3x)logz(3z)C.logx(3x)logz(3z)logy(3y)D.logy(3y)logz(3z)logx(3x)【答案】D【解析】【分析】先化简 l o g )=l +，log、.(3y)=l +,log=(3z)=l +r ,log,x log3 x log3 y log3 z再根据x,y,z 的大小关系，利用对数函数的单调性即可得到其大小关系.【详解】因为 log.(3x)=，式=1 +,log v (3y)=1 +,log：(3z)=1 +,log3 x log3 x log3 y log3z函数y=i d _:在()和a，a)上均单调递减

18、，又 a b 0,a b =l,所以 a 1,0 b 1.而x =log 2(a +b),z =a +所以0 c x l,z 2,即yx,zx,可知 log x(3x)最小.由于=1 082(。+加=1 082，+：),2=2。=1 08222=1 082 4 ,所以比较真数a +2与4a 的大小关系.当a 1.时，a +2 y l,即1 +7+.综上,log、.(3y)b g-(3z)logr(3x).I og3 y log,Z故选：D.(多 选 题)例 1 5.(2022山东威海三模)若 a b 1,0 cm 1,贝！I()A.am bm B.ma mbC.log,a【答案】BCD.log

19、,m log；,m【解析】【分析】根据塞函数、指数函数、对数函数的单调性分别可判断A、B、C,结合C 和对数换底公式即可判断D.【详解】对于A,恭函数尸吊口（0 7 n b 1可知a1 b1,故 A 错误；对 于 B,.指数函数尸小 0 小 b l 可知故 B 正确；对于C,对 数 函 数 尸 log m久（0 小 b 1可知 log”,a log,b,故 C 正确；对于 D,由C 可知log,“alog,4.1.,g|J log,m log,m,故 D 错误.log,a log,b故选：BC.（多选题）例 16.（2022.广东佛山三模）已 知 则 下 列 不 等 式 成 立 的 是（）A.

20、logab 1 C.alnb b In b【答案】BC【解析】【分析】作差法判断选项A；利用对数函数单调性判断选项B；利用基函数指数函数对数函数的单调性去判断选项C；举反例排除选项D.【详解】选项A：logufe-log/;a=lgb _ Iga _ lg%-g2 a _(lgb lgq)(lg&+ga)Iga lgt Igalgb galgb由0力。1,可得（g b ，g a 0,lg b lg a 0,lg b+lg a 0,logab 1。外。.判断错误;选项B：由0 a l,可得y=/o g aX为（。，+8）上减函数,又 0 b log.a=1 .判断正确；选项C：由0 a l,可知

21、y=a*为 R 上减函数，又b a。由a 0,可知y=x。为（0,+8）上增函数，又b 又 丁 =bix为（0,+8）上增函数，则 戒 仇b。，贝 la伍b b/n a.判断正确;选项 D：令。=-,b=f，贝 iJOvbvqvl,e ea I n a=-ln-=-blnb=-Z n-7=e e e e ez则a I na-b I n b=一+5=r ，即a I na bln b.判断错误.故选：BC题型四：构造函数例1 7.(2022辽宁实验中学模拟预 测)若。=s i n 1 +t a n 1,b=2,c =/n 4+则a,b,c的大小关系为()A.cha B.cah C.a b c D.

22、b c c,再构造函数g(x)=sinx+tanx-2x,x6(0,0,利用导数说明函数的单调性，即可判断“/,即可得解；【详解】解：令/=2 m%+-%,则/(%)=：+妥 1 =三 尹=与 义 三()，则/在定义域(0,+8)上单调递减，所以/(2)V/(l)=0,即2/2+3-2 0,所 以)4+c,令g(%)=s i n x +t a n%2%,则“()=cosx+加：.-2=cos x 2：os+1,因为%(0二)，所以COS X (0,1),令九(%)=/2/+1,%(0,1),则h(x)=3x2 4x =x(3x -4)九(1)=0,所以g(x)0,即g(x)在(0,9 上单调递

23、增，所以g(l)g(0)=0,即s i n 1 +t a n 1 -2 0,即s i n 1 +t f m 1 2,即a b,综上可得abc；故选：A例1 8.(2022全国高三专题练习)己知a =y，b=黑,c=sin 0.1,则a,b,c的大小关系正确的是()A.a b c B.c a b C.a c b D.b a c【答案】B【解析】【分析】作差法比较出a b,构造函数，利用函数单调性比较出c a,从而得出c a b.【详解】j 0.3 0.9 0.37T-0.9 0.3X3-0.9 n、八 ,T7.0 一匕=7 一荔=-=0,所以 a 0,故,h,又八x)=nsinx-3%,则 f

24、(x)=TTCOS X-3在x E(0,上单调递减，又/(0)=兀 一 3 0,/()=亨 一3 0,在 W1 0，9 时，/(%)0,所以又因为/(0)=0,所以当 6(0,3时，/(%)=nsinx-3x 0,其 中 因 为 看 所 以 1 W(O*o)，所 以/岛)=T T S出0.1n Q0.3 0,故 s in 0.1 ,即 c a b.7 1故选：B例 19.(20 22河南洛阳三模(理)己知。=8 叱b=9-c =108,则a,b,c 的大小关系 为()A.b c a B.b a c C.a c b D.a b c【答案】D【解析】【分析】构造函数/1(x)=(18 -x,x 8

25、,求其单调性，从而判断a,b,c 的大小关系.【详解】构造/()=(18 幻仇,%8,/(x)=/n%4-y 1,/(%)=/x +竺1 在8,+8)时为减函数，且/(8)=/n 8 +-1=-/n 8 -X 4 4 4lne2=-2 0,4所 以/Q)=-/nx+y-l f(9)/(10),即 10 m8 9 仇9 8)1 0,所以8 1。9 9 1。8,即a b 0故选：D【点睛】对于指数式，对数式比较大小问题，通常方法是结合函数单调性及中间值比较大小，稍复杂的可能需要构造函数进行比较大小，要结合题目特征，构造合适的函数，通过导函数研究其单调性，比较出大小.例 20.(20 22河南模拟预

26、测(理)若。=6。2,b=y/12,c=ln3.2,则 a,b,c 的大小关 系 为()A.a b cB.a c bC.b a cD.c b a【答案】B【解析】【分析】构造函数/(x)=ex-x-l(x 0),利用导数可得a=e02 1,2 b,进而可得e】？3.2,可得a c,再利用函数g(x)=一 噌?，可得仇3.2 1.1,即得.【详解】令/(%)=ex-x-1(%0),则(%)=e*1 0,/(%)在(0,+8)上单调递增,.Q=e02 0.2+1=1.2 V12=b,a=e0,2 1,2=I ne1 2,c=in3.2,V (e1-2)5=e6(2.7)6 3874,(3.2)5

27、七 335 5,/.e1,2 3.2,故a c.设g(%)=一幺詈,则 g O)=(_ 2(%+11)-22 t =_(x-1)2 x(x+l)2 0,所以函数在(0,+8)上单调递增,由9(1)=0，所以x l 时，g(x)0,B|J/nx 2-x/n 3.2=Zn 2+in 1.6 2(2-1)+2(1.6-1)2+1 1.6+11 1=1.1,3 9 5 0又 1 V 1.2 1.21,1 b =V12 1.1 b.故a c b.故选：B.【点睛】本题解题关键是构造了两个不等式蜡 x+l(x 0)与仇x 第。1)进行放缩，需要学生对一些重要不等式的积累.22例 21.(2022新疆模拟预

28、测(理)实数x,y,z分别 满 足log iix=-21y=22,2 0 412()z=2 1,则x,y,z的大小关 系 为()A.x y z B.x z y C.z x y D.y x z【答案】B【解析】【分析】山题意得x=第，y=log2 122,z=log20 2 1,然后y与z作差结合基本不等式比较大小，构 造 函 数/(乃=手，可判断其在(e,+8)上单调递减,则f(21)f(2 0),化简可得21，。92()21=z,则可比较出zHy的大小即可【详解】由题意得=弓1)”，y=log21 2 2,z=log20 2 1.则z-y =log20 2 1-log21 22=丸 21 _

29、 丸 22 _ Ig2 2 i-ig 2 5 lg 2 2lg 20 Ig 21 Ig 204g 21因为s 2 0 e 2 2 2g?21-傅 lg 44。)_ (,g 21+lg 440)(lg 2 1-“g 44。)0lg20 lg21 lg 204g 21-lg 204g 21所以Z y,设/。)=，则/(%)=与 手，当为E(e,+8)时，fx)0,所以f(x)在+8)上单调递减，所以f(21)/(2 0),即 等/取。2 1=z,因为x =声%所 以 英 Z,207 20所以x z y,故选：B例22.(2022四川雅安二模)设a=M b=2 (sin+cos击)，。“碍，则Q,b

30、,c的大小关系正确的是()A.a b cC.b c aB.a c bD.ba 0),g(x)=(1+刀尸2 一靖，判断出其单调性，利用其单调性比较大小即可【详解】2 6因为Q=/威=I n e。%b=In(s i n+c os,c=In所以只要比较 =e002,y=(sin焉 +cos*)=14-sin联=14-sin 0.02,z=偌)=(1+0.0 2尸2的大小即可,令/(x)=靖 一(1+s in x)(x 0),=ex-cosx 0,所以/(x)在(0,+s)上递增，所以/(x)/(0),所以e l +s in x,所以e ，2 1+s in。0 2,即*y L令g(x)=(1+x)1

31、-2 ex,则g (x)=1.2(1+x)0 2 ex,g(x)=0.24(1+x)-0-8 ex因为g(x)在9+0 0)上为减函数，且g (0)=0.24-1 0时，g(x)0,所以g (x)在(0.+0 0)上为减函数，因为 g 0,g (0.2)=1.2 x 1.20 2-e0 2=1.21-2-e02,要比较1.212与eg的大小，只要比较m 1.21-2=1.2伍1.2与|件 ,2=0.2的大小，令h(x)=(1+x)ln(1+%)-x(x 0),则(x)=Zn(1+x)+1-1=/n(1+x)0,所以/?(x)在上递增，所 以(x)(0)=0,所以当x (0,+8)时，(l +x

32、)Zn(l +x)x,所以 1.2，n 1.2 0.2,所以I 2”e0-2,所以g (0.2)1.2 x 1.20 2-e0 2=1.21 2 e0,2 0,所以当方(0,0.2)时-，gx 0,所以g(x)在(0,0.2)上递增，所以g(x)g(0)=0,所以(1 +x)。？e 所以(1 +0.0 2 尸2 e 0 0 2,所以zx,所以 z x y,所以c a b,故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数比较大小，解题的关键是对已知的数变形，然后合理构造函数，通过导数判断函数的单调性，利用函数单调性比较大小，考查数转化思想和计算能力，属于难题例 2 3.(2 0 2

33、2 浙江高三专题练习)a =当 尹,b =-,c =,则a,b,c的大小顺序为ez e 3()A.a c b B.c a bC.a b c D.b a 1),利用导数确定g(x)0,进而得到电孑乎 告，即可判断。、c 的大小，即可知正确选项.【详解】令/(乃=器 贝 b=/告)=将，b=/(e)=,c=/(3)=殍，3而/(x)=三詈且x 0,即0 x e时f(x)单调减，又1?e c,b a.若t=W 有两个解孙孙 贝 iJle 1),则g(%)=奈 福 ，即g(x)在(L+00)上递增，.g(x)g=0,即在(l,xo)上，m x 巡 手，若4=瓷即丝等 白,故 tx+l X1 x2xl

34、x2 +X1高？有XB2e2.当不=3时，e X i?，故/(9)c a.故 选:A【点睛】关键点点睛：利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定 a,b,c的大小.题型五：数形结合(交点问题)(多 选 题)例 24.(2022河北邯郸一模)下列大小关系正确的是()A.1.92 21 9 B.22-9 2.92。D-log4 /,当4 6(2,4)时，%2 2X,1,2 219,22 9 -3,故 C2A 1 Z,*1 2*n z 1 2y2 1错误.log74-log127=log74-1log712 y z B.x z yC.z x y D.2 y x【答案】c【

35、解析】【分析】根据题意，将问题转化为函数y=25y=3、,y=与直线y=t 1的交点的横坐标的关系，再作出图像，数形结合求解即可.【详解】解：因为y,z均为大于0 的实数，所以2*=3、=log5z=t 1,进而将问题转化为函数y=2x,y=3x,y-，。兆刀与直线y=t 1的交点的横坐标的关系,故作出函数图像，如图，由图可知z x y例 26.(2022全国高三专题练习)己知函数/(%)=2工+%-1,g(x)=log2x+x-l,(力=1+-1的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小为()A.c b a B.b c a C.c a b D.a c b【答案】B【解析】【分析】函数f(x)

36、，9(x)的零点直接求解即可，函数(x)的零点利用零点存在性定理求解即可，从而可得答案【详解】解：令/(=0,W2X+x-l =0,得x=0,即a=0,令g(x)=0,则log2x+x-1=0，得x=l,即b=1,因为函数Mx)=Y+x 1在 R上为增函数，且九(0)=1 0,所以依x)在区间(0,1)存在唯一零点c,且c e(0,1),综上，b c a,故选：B例 27.(2022.全国东北师大附中模拟预测(理)已知a 为函数f(x)=l ow：的零点，b=,c=则Q、b、c的大小关系正确的是()A.a b c B.b a c C.c a b D.b c a【答案】B【解析】【分析】对b、C

37、,同时进行6次方运算，利用y=”的单调性比较大小；先利用零点存在定理判断出：|a (|)=1 53 c6=(VTT)6=n2 c6.因为y=/在(0,+8)上单增，所以b c.因为a 为函数/(%)=/。出-(的零点，所以f(a)=log2 a=0因为y=/o g 2%为增函数，=-,为 增 函数，所以/(%)=，。出%-2 为增函数，所以xx/(x)=log2 x 一 1 有且仅有一个零点a.又/(|)=/。2 (I)-I =l 92(I)-1，因为|=(1)=(0卷=4】所以|2彳,所以 啕=为 9 2 (1)-1 =2(1)-|O:由零点存在定理，可得：|a 5Z5所以(I)C L3 (

38、I)=1=3.3 7 5 7 T =c3-因为y=/在(0,+8)上单调递增，所以Q c.因为I a 所以Q2 a2.因为y=/在(o,+8)上单调递增，所以b a.所以。a c.故选：B例 2 8.(2 0 2 2全国高三专题练习)已知a+2。=2/+3 8=2,则圻gQ 与 的 大 小 关 系是()A.5恒。V。恒 匕 B.匕 恒。=Q gbC.Z?|ga Q gb D.不确定【答案】C【解析】【分析】令/(x)=%+2x,gx=%4-3X,结合题意可知OvOvavl,进而有心 心 於，再利用对数函数的单调性和运算性质即可求解【详解】令/(%)=%+2 ,g(x)=x 4-3X,则当x0时

39、，g(x)/(%)，当x 0 时，g(x)bb ba由a。b。,得Z g(Q”Lg(b。),即 b lg a alg b故选：C题型六：特殊值法、估算法例 29.(2 0 2 2全国高三专题练习)已知叵1 ,则a,b,c,d的大小关系 为()A.b a d c B.b c a d C.b a c d D.a b d c【答案】C【解析】【分析】对给定的塞或对数变形，借助基函数和对数函数单调性并结合“媒介”数即可判断作答.【详解】依题意，a=2；=(2 7 2)1-函数y=历 在。+8)上单调递增，而3 2近 3,于是得|一 1 1 3(2 7 2)2 a 函数y=，0%在(，+8)单调递增,并

40、且有2 0 0 4 3 0,log45 0,则 2 =log 1 6 log4 1 5=log4 3 +log4 5=区.，于是得1。9 4 3 x，。9 4 5 V 1,即/。4 5 d,又函数y=，。外%在(0,+8)单调递增，且43百，则有，。934 a -c d.故选：C例 30.(2 0 2 2全国高三专题练习)已知。=遮，b=2 4 c=log?e,则a,b,c的大小B.a c b关 系 为（）A.a b cC.b a c D.b c a【答案】B【解析】【分析】结合已知条件，比较不和匕4 的大小，进而可得到a 和b的大小，然后利用介值比较a 与c的大小，利用介值与口对数函数性质可

41、得b和c的大小，进而得出答案.【详解】由a，=9,b4=2,可知Q b 1,又 由/8,从而62鱼=2 5，可得c=l o g 2e -a因为 一 4 =2噗0,所以lb 2.7-6 4 0,从而e 5 2 6,即e 2*由对数函数单调性可知，c=log2 e i0 g2 2,=g，综上所述，a c b.故选：B.例 31.（2 0 2 2全国高三专题练习（理）三个数a =g b=竽，c=萼 的大小顺序为e 4 3（）A.b c a B.b a cC.c a b D.a b c【答案】D【解析】【分析】结合对数恒等式进行变换，利用对数函数的单调性即可证明Q V：V b C,由此得出三者的大小关

42、系.【详解】（2 =捺 3 =：=/，由于（e）=e2,（4 Z）=4 5=2 3 =8，所以e5 V 4 1，所以=I n6 3 /n 4 4 =即Q -bf 而（5）=23=8,（3 ）=3?=9，所以区,所以Z n 4 4 i/n 3 =I n 3,即b V c,所以Q V b c.3故选：D例 32.（2 0 2 2 黑龙江双鸭山一中高三期末（理）若a =l o g 43,b=log 54,c=2-003,贝必,瓦C的大小关系为（）A.cba B.a c b C.ba c D.a b c【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式和时数的运算法则得到a b,再利用指数函数单调性结合放缩法得

43、到b 0,b=log5 4 0,a b,99 410=1048576 59=9765625,.人 碗，.=logs4 2-8=-S-T-=-r T =0.9,b c,(V2)4(1.44)4(1.2)2(1.21)2 1 1 a b b c B.b a cC.c a b D.b c a【答案】B【解析】【分析】利用对数运算的性质将b=2四（化简为?，从而和c 比较大小，同理比较a,c的大小关系，再根据两个指数基的大小结合对数的运算性质可比较a力大小，即可得答案.【详解】由题意：b=2。呢=gc=2 4=段 故 b c.2 2又2正 2=2近 3，即2匹 3，所以2og42e/。纨 3，即?/孙

44、 3，因为Q=log2 V3=log43f 所以c 243=3 5,故log2 3 V ：V V 5,即2b 3，所以2遍 log,3，所以亨 log4 3,所以b a,所以b a c,故选：B.题型七：放缩法例 34.(2 0 2 2 江西模拟预测(理)设。=处誓，b=,c =宇，则a,b,c 的大小顺eL e 4序 为()A.a c b B.c a bC.a b c D.b a ()=a =/(y),b=/(e),C=/(4),/(x)在(0,e)上递增，在+8)上递减.则有b =f(e)最大,即Q b,c b.若亡=子有两个解，则1 xr e 1),则g(x)=-，故g(x)在(l,+8

45、)上单增，所以g(%)g(l)=0,即在(1,+8)上，I nx 2-/、2强 7若 =令，则有I n 三 上 1,即7 3r.入 1y 4 2 一 4 十 兀 IX%+1X故”击，所以X】X 2 e 2.当4 2 =4 时，有?Xie,故/(?)/i(%)=/(4)所以a g4/，=l o g4 e e,p=e总 贝U m，几，P的大小 关 系 是（其 中e为自然对数的底数）（）A.p n m【答 案】C【解 析】B.m n pC.n m pD.n p J即知所，,P的大小关系.【详 解】山题意得,lg n Ign.Ig4，=1 0 g41 17t=诉蒜=1-诉藐，fIge Ige】lg4n

46、 =lo q m e=-=-=1-，口,e ig4e lg 4+Ige Lg 4+lg eI g4 l g7 t l g 0,则 I g4+l g4 l g4+l g兀 l g4+l ge,_ /4 _ _ _ _lg 4 _ _ 9 4 Ig4+lg4 lg 4+lg n lg 4+lgef/.nm 2而卷 共 冷，故选：c.例 3 6.（2 0 2 2全国高三专题练习）已知a =0.7 5,b=2log52,c=log 23,贝!a、b、c的 大 小 关 系 是（）A.a c b B.a b c C.b a c D.c b a【答 案】A【解 析】【分 析】根据对数的运算法则及性质比较瓦c

47、与a的大小，利用作商法比较b,c的大小.【详解】由 a =0.7 5=4因为（5力4 =1 2 5 44=2 5 6-故59 所以a =logs 5,因为（2力4 =8 （次 尸=9，故 三 百，所以a =log2 2 4 5 8,故1 6 5 L因为35 2 8,故3 logs 5)_1c-log23 log23 log23(o f l 2 2I-，所以b C,故a c b,故选：A【点睛】关键点点睛：根据时数的运算性质将a 写成对数log、5工 log2 2 1.利用函数的单调性比较真数大小即可，利用作商及放缩的方法可得也c的大小，属于较难题目.例 37.(2022.全国高三专题练习)已知

48、 =-3 =6-盖4 =小，则 小 b,c 的大小关101 100系 为()A.a b c B.a c b C.c a b D.b a x+l(x 力0),从而得到6=盖 -瑞+1=总 +=。，设g(x)=Inx-x+1,利用导数得到比x cc a,即可得到答案.【详解】设/(%)=靖%1，/X%)=ex 1,令/(%)=0,解得 =0.X 6(-oo,0),frM 0,/(%)为增函数.所以/(x)N f(0)=0,BPex-x-l 0,当且仅当x=0时取等号.所以e*x+1(%H 0).故匕=e-ioo +1=Q,即b Q.100 100 101设g(x)=仇工一%+1，g(x)=：i=，

49、令g(x)=0,解得=1.X e(0,1),grM 0,g&)为增函数,%6(l,4-oo),“(%)vO,g(x)为减函数.所以9(%)4 g(D =0,BP/nx-x+1 0,当且仅当x=1时取等号.所以，nx%1(%H 1).所以c=仇 芸 京，所以b c，/y、r-eix|,101.1 0 0、100,3 1又因为一Znx -+l(x H 1),所以C 二 丽=一)行7 一 赤+1=赤=。，即c Q,综上b c a.故选：B【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性来解决比较大小问题，解决本题的关键为构造函数f(x)=ex-X -1和g(%)=/n x-x +1,属于难题

50、.例38.(2022全国高三专题练习)已知a=sin：/=：sin；,c=jc o s j,则a,h c的大小关5 3 4 3 4系 为()A.a b c B.b c a C.a c b D.bac【答案】A【解析】根据sin：sin：=cos：cos：比较b,c的大小关系，构造函数/(x)=芋 ,1)比较a,6的大小关系，即可得解.【详解】-=sin-sin-sin-=cos-c o s-,所以b sin-所以一s出 x -4 2 2X e f-,1 1,必有 0%一 243 c o s X 1,所以(-/o s%V。4 /16 16所以一sinx+(%x2)cosx 0,日n,，/、1,1