2022年全国统一高考乙卷文科数学试卷含答案解析.pdf

《2022年全国统一高考乙卷文科数学试卷含答案解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年全国统一高考乙卷文科数学试卷含答案解析.pdf（18页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2022年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）一、选择题：本题共12小 题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .集合M=2,4,6,8,10,N=x-x 6,则 M|N=(A.2,4 B.2,4,6 C.2,4,6,82.设(l+2i)a+b=2i,其中，人 为实数，贝！J()A.a=1 ,b=l B.a=l,b=l C.a=l(b=3,已知向量4=(2,1),6=(-2,4),贝:下一5|=()A.2 B.3 C.4)D.2,4,6,8 ,10D.a=l,b D.54.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单 位：/?）,得如图

2、茎叶图：则下列结论中错误的是（）甲 乙6 18 5 3 07 5 3 26 4 2 14 25.6.37.4 68.1 2 2 5 6 6 6 69.0 2 3 810.1A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C.甲同学周课外体育运动时长大于8 的概率的估计值大于0.4D.乙同学周课外体育运动时长大于8 的概率的估计值大于0.6x+y.2,5.若 x,y 满足约束条件,2%4,则 z=2 x-y 的最大值是（）y.0,A.-2 B.4 C.8 D.126.设尸为抛物线C:y2=4x的焦点，点 A在 C 上，点 8（3,0）,若,则|A例=

3、（）A.2 B.25/2 C.3 D.3夜7.执行如图的程序框图，输出的=（）（结 束】A.3 B.4C.5 D.68.如图是下列四个函数中的某个函数在区间-3,3 的大致图像，则该函数是（）-2xcosx 八 2sinxc -y=-D.y=-5X+XT+19.在正方体A 8C D-A 4C Q 中，E,F 分别为AB,8 c 的中点，则（）A.平面B】E F，平面BDD、B.平面B,EF 1_ 平面 B DC.平面4 E F/平面AAC D.平面B|E F/平面AG。10.已知等比数列 4 的前3 项和为168,%-%=4 2 ,则 4=（）A.14 B.12 C.6 D.311.函数/（x

4、）=cosx+（x+l）sinx+l在区间 0,2加的最小值、最大值分别为（）A71 71 心 3 4 71 c 冗 兀、rx 37r 冗A.一，B.-，C.一,一+2 D.-,-+22 2 2 2 2 2 2 212.已知球。的半径为1 ,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱推的体积最大时，其高为（）A.-B.-C.-3 2二、填空题：本题共4 小 题，每小题5 分，共 20分。13.记 S.为等差数列”“的前项和.若2s3=3邑+6,则公差=DE14.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为15.过四点(0,0),(4,0),(-1,

5、1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为16 .若 f(x)=ln a+一|+b 是奇函数，贝I a =_ _ _ _,b=1-x三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、2 3 题为选考题，考生根据要求作答。(-)必考题：共60分。17.(1 2分)记A A BC的 内 角A ,B,C的 对 边 分 别 为a ,b,c，已知s in Cs in(A -B)=s in B s in(C-A).(1)若4 =23,求 C ；(2)证 明：2/=6+c?.18.(12 分)如 图，四面体/WC)中，A D I C D

6、 ,A D =C D ,Z A D B =Z B D C,E为 A C 的中 点.(1)证 明：平 面 阻)_ L平面A C D；(2)设A 5 =3 D =2,Z A C B =6 0 ,点尸在加 上,当A A F C的面积最小时，求三棱锥尸一A BC的体积.19.(12分)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了 10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单 位：，/)和 材积 量(单 位：力,得到如下数据：10 10 10并计算得2 1片=0.038,Zy；=L 6 158,工工),=0.2474.i=l i=l i=l样本号i1234

7、5678910总和根部横截面积X,0.04 0.060.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6材积量y,0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.360.460.42 0.403.9(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 .已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.之(七一稻(另一刃

8、 _ _ _ _附：相关系数厂=下皂-,VL 896 1.377.V i=l i=l20.(12 分)已知函数/(x)=a x -(a +V)lnx.x(1)当a=0 时，求 f(x)的最大值；(2)若/*)恰有一个零点，求”的取值范围.21.(12分)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A(0,-2),B (旦,2-1 )两 点.(1)求的方程；(2)设过点尸(1 ,-2)的直线交E 于 M,N 两 点，过 M且平行于x轴的直线与线段A B交于点T,点H满 足 证=TH.证 明：直线HN过 定 点.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则

9、按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程(10分)22.(1 0 分)在直角坐标系x O y 中，曲线C 的参数方程为卜=为参数).以坐标y=2s in f原 点 为 极 点，入 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，已 知 直 线/的 极 坐 标 方 程 为冗p s in(e+g)+m=0.(1)写出/的直角坐标方程；(2)若/与C 有公共点，求机的取值范围.选修4-5：不等式选讲(1 0分)3 3 323.已知a ,b，都是正数，且 层+房+a=1,证 明：(1)ahc；，八 a b c 1(2)-F-+-j=，b+c a+c a+b 2 7 abe2022年全国统一

10、高考数学试卷(文科)(乙卷)参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小 题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .集合M=2,4,6,8,10 ,7V=x|-lx 6 ,则 M 0|N =(A .2,4 B .2,4,6 C.2,4,6 ,8【思路分析】直接利用交集运算求解即可.【解析】,.M =2,4,6 ,8,10 ,N =x -l x 6 ,.-.M p|7V=2,4 .故 选：A.【试题评价】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2.设(l+2i)a +h=2i,其中a ,6 为实数，贝！()A .a=l ,b=l B .a=z b=l C.

11、a =-1 ,b=【思路分析】根据已知条件，结合复数相等的条件，即可求解.【解析】,(l+2i)a+b=2i,.-.a+b+2ai=2i,即，解得.故 选：A.【试题评价】本题主要考查复数相等的条件，属于基础题.3.已知向量 1=(2,1),5=(-2,4),则|下一。|=()A .2 B .3 C.4【思路分析】先计算处&-的坐标，再利用坐标模长公式即可.【解析】a-白=(4,-3),故 卜-=&+(-3)2=5，故 选：。.【试题评价】本题主要考查向量坐标公式，属于基础题.)D.2,4,6 ,8,10D.。1 ,b=lD .54.分别统计了甲、乙两位同学16 周的各周课外体育运动时长(单

12、位：/?),得如图茎叶图：则下列结论中错误的是()A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4甲乙6 15.8 5 3 06.37 5 3 27.4 66 4 2 18.1 2 2 5 6 6 6 64 29.0 2 3 810.1B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C.甲同学周课外体育运动时长大于8 的概率的估计值大于0.4D.乙同学周课外体育运动时长大于8 的概率的估计值大于0.6【思路分析】根据茎叶图逐项分析即可得出答案.【解析】由茎叶图可知，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为空 上 至=7.4，选项A2说法正确；由茎叶图可知，乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8

13、,选项3 说法正确；甲同学周课夕体育运动时长大于8 的概率的估计值为9 =?0.6 ,选项。说法正确.16故 选：C .【试题评价】本题考查茎叶图，考查对数据的分析处理能力，属于基础题.x +y.2,5.若 x ,y 满足约束条件，x +2y,4,则 z =2x-)的最大值是()7-0,A .-2 B .4 C.8 D.12【思路分析】作出可行域，根据图象即可得解.【解析】作出可行域如下图阴影部分所示，由图可知，当(x,y)取点C(4,0)时，目标函数z =2 x-y 取得最大值，且最大为8.故 选：C .【试题评价】本题考查简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于基础题.6 .设下为抛物线

14、C:y 2=4x 的焦点，点 A 在 C 上，点 8(3,0),若|4尸|=|8用，则|A8|=()A .2 B .25/2 C.3 D.3y/2【思路分析】利用已知条件，结合抛物线的定义，求解A 的坐标，然后求解即可.【解析】F为抛物线C：V=4 x的焦点(1,0),点 A 在 C 上，点 8(3,0),尸|=2,由抛物线的定义可知A(1,2)(A 不妨在第一象限),所以|他|=八3-1)2+(-2尸=2 0 .故 选：B.【试题评价】本题考查抛物线的简单性质的应用，距离公式的应用，是基础题.7.执行如图的程序框图，输出的=()（结 束】A .3 B .4 C .5 D .6【思路分析】模拟

15、执行程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的值.【解析】模拟执行程序的运行过程，如 下：输入 a =l,b=l,n=,计算 Z;=l +2=3,6 7 =3 1 =2,n=2 ,32 i判断|育一2|=。.25.0.01,2 4计算 Z?=3+4=7,a =7 2=5/n=3/72 1判断 l r 2|=0.04.0.01；52 25计算=7+10=17,=175=12,=4,判断1昌-2|啾0.01；输出=4 .故 选：B .【试题评价】本题考查了程序的运行与应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题.8.如图是下列四个函数中的某个函数在区间-3,3的大致图像，则该函数是（）-24cos x

16、 八 2sinxC y=、1 D,y=-+1x-+1【思路分析】首先分析函数奇偶性，然后观察函数图像在(1,3)存在零点，可排除3 ,。选项，再利用 cosx在(0,+co)的周期性可判断C 选项错误.【解析】首先根据图像判断函数为奇函数，其次观察函数在(1,3)存在零点，而对于B 选 项：令 y=0，即。=0，解得x=0，或 x=l 或 x=-l,故排除8 选 项，X+1对于。选 项，令 y=0,即 犁 丫=。，解得工=觊，y，故排除。选 项，r+1C 选项分母为x2+1恒 为 正，但是分子中cosx是个周期函数，故函数图像在(0,+00)必定是正负周期出现，故错误，故 选：力.【试题评价】

17、本题主要考查函数图像的识别，属于基础题.【解法二】(补 解)对 B 令 x=l,y =0,.B 不对2xcosx=2cosx 2 x 2 s in x ,y ,A C l D Dt,BDpDDt=D，且 3。,QRu平面,A C 1 平面 8 0.,则 EF _L 平面 BDD、，又 E F u 平面4E F,平面片EF 1 平面BD,选项A正 确；对于B,由选项A可 知，平面用EF 1 平面BDDt,而平面BDDt C 平面 B D =B D ,故平面B,EF不可能与平面A3。垂 直，选项8 错 误；对于C ,在平面48MA上，易 知 照 与 用E 必 相 交，故平面BtE F与平面A.AC

18、不 平 行，选项 c 错 误；对于。，易知平面A 4 C/平面4 G。，而平面A 4 c 与平面片所有公共点与，故平面4EF与平面4 G。不可能平行，选项。错 误.故 选：A.【试题评价】本题考查空间中线线，线 面，面面间的位置关系，考查逻辑推理能力，属于中档题.10.已知等比数歹 “的前3项和为16 8,a2-as=4 2，贝！%=()A .14 B .12 C .6 D .3【思路分析】由题意，利用等比数列的定义、性质、通项公式，求得生的值.【解析】设等比数列“的公比为q，尹0,由题意,q*l.前 3 项和为 q +“，+%=16 8,a,-%=弓 q -%q =a I q(l-/)=42

19、,i-q；.q=g ,4 =9 6，贝！I 4 =4 ,4,=96 x 盘=3,故 选：D .【试题评价】本题主要考查等比数列的定义、性质、通项公式，属于基础题.11.函数f(x)=co s x +(x+l)s in x+l在区间 0,2 的最小值、最大值分别为()4 7 1 7 t 八 37r 7 C -7 T 7 1 _ 37r 7 1.A .，一 B .，一 C .，一+2 D .，一+22 2 2 2 2 2 2 2【思路分析】先求出导函数r(x)=(x +l)co s x ,令co s x =0得，x =或 与，根据导函数广(X)的正负得到函数/(X)的单调性，进而求出函数/(X)的

20、极值，再与端点值比较即可.【解析】/(x)=co s x +(x+l)s in x +l ；XG 0,2乃,贝U W =-s in x +s in x +(x 4-1)co sx=(x+1)co s x,令co s x =0得，x =E或 网，2 2.当xe 0,9时，fx)0,f(x)单调递增；当xe弓 多 时，八x)0,f(x)单调递增，.J(x)在区间 0,2加上的极大值为/(g=1 +2，极小值为/(当)=一 当,又(0)=2,f Q 储=2 ,，函数/(x)在区间 0,2m的最小值为-9,最大值为生+2,2 2故 选：D .【试题评价】本题主要考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题

21、.12.已知球O的半径为1 ,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为()B.-2【思路分析】由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为。，由勾股定理可知该四棱锥的高力=/，所以该四棱锥的体积旷=31，再利用基本不等式即可求出丫的最大值，以及此时。的 值，进而求出/，的 值.【解析】由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为。，底面所在圆的半径为，该 四 棱 推 的 体 积口=寿。与(上 送行=当，2 2 A当且仅当9 =1-5，即“2=3时，等号成立，4 2 3该四棱锥的体积最大时，其高 =R=y ,故 选：C【试题评

22、价】本题主要考查了四棱锥的结构特征，考查了基本不等式的应用，属于中档题.二、填空题：本题共4小 题，每小题5分，共2()分。13.记S“为等差数列 q的前项和.若2s 3=3S?+6 ,则公差d=2.【思路分析】根据已知条件，可得2(q +%+4)=3(6 +生)+6 ,再结合等差中项的性质,即可求解.【解析】.2邑=3 5+6,/.2(4+a2+a3)=3(“+4)+6 ,“为等差数歹，6 a 2=3q +3a2+6 ,.0.3(%4)=3d=6 f 解 彳 导 d=2 .故答案为：2.【试题评价】本题主要考查等差数列的前项和，考查转化能力，属于基础题.14从甲、乙等5 名同学中随机选3 名

23、参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为-.一 10一【思路分析】从甲、乙等5 名学生中随机选出3 人，先求出基本事件总数，再求出甲、乙被选中包含的基本事件的个数，由此求出甲、乙被选中的概率.【解析】由题意，从甲、乙等5 名学生中随机选出3 人，基本事件总数C；=10,甲、乙被选中，则从剩下的3 人中选一人，包含的基本事件的个数C；=3,根据古典概型及其概率的计算公式，甲、乙都入选的概率尸=冬=3 c；io故答案为：2 .【试题评价】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，熟记概率的计算公式即可，属于基础 题.15.过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为_

24、 x2+y2-4 x-6 y 0(或 x?+y2 _ 4 x-2 y =0或 d +y2-|x-弓 y=0 或 x2+y2-x-2 y-=0)_ .【思路分析】选其中的三点，利用待定系数法即可求出圆的方程.【解析】设过点(0,0),(4,0),(-1,1)的圆的方程为丁+/+瓜+砂+尸=。，F=0即(16+4Q+尸=0，解彳导尸=0,O=T ,E=-6,2-D+E+F=0所以过点(0,0),(4,0),(-1,1)圆的方程为/+y2-4乂-6尸 0.同理可得，过点(0,0),(4,0),(4,2)圆的方程为*2+2-4犬-2=0.过点(0.0),(-1,1),(4圆的方程为+尸 _(尸 0.过

25、点(4,0),(-1,1),(4,2)圆的方程为 x?+y2 T%2y 与=0.故 答 案 为：.【思路分析】(1 )由皿。疝1(4-B)=sinB sin(C-A)，结合 A=2 3，可得 sin C=sin(C-A),即 C+C-A =/，再由三角形内角和定理列式求解C；(2)把已知等式展开两角差的正弦，由正弦定理及余弦定理化角为边即可证明结论.【解析】(1 )由 sinCsin(A-8)=sin8sin(C-A),又 A=28,/.sinCsinZ?=sinB sin(C-A),sinB声 0,.sinC=sin(C-A),BPC=C-A (舍 去)或 C+C A=，A=2B联立，2(：

26、-4 =乃，解得C=9 万；A+B+C=7T证 明：(2)【解法一】由sinCsin(A 8)=sinBsin(C A),彳 导 sin Csin Acos B sin Ceos Asin B=sin Bsin Ceos A sin Bcos Csin A,由正弦定理可得 ac8 s B-bccos A=be cos A -ab cos C ,由余弦定理可得：改/+C2 一8 22ac=2hc-层+2 M2bc八 a2b2-c2-ab-2ab整理可得：2a2=b2+c2.【解法二】（补 解）A+3 +C=4,A=2B:.C-A =7r-5Bsin(C-A)=sin5B，原式可化为 sin3Bs

27、inB=sinBsin5B,vsinBO,sin3B=sin5B,3B+5B=%,8 4 8证 明：(2)由sinCsin(A-3)=sinB sin(C-A),彳 导 sin Csin Acos B sin Ceos Asin 8=sin Bsin Ceos A sin 8coscsin A,由正弦定理可得accosB-bccosA=bccosA-abcosC,整理可得：为2=+2.【试题评价】本题考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题.18.(12 分)如 图，四面体yWCD中，A D Y C D ,A D =C D ,Z A D B=A B D C ,

28、E 为 AC的中 点.(1)证 明：平面BE_L平面A C D；(2 )设 A B =B D =2,ZACB=60。，点 尸 在 加 上,当 AAFC的面积最小时，求三棱锥F-A B C 的体积.A【思路分析】(1 )易证AAZ出三 CD3,所以A C L 3 E，又 ACLQE,由线面垂直的判定定理可得AC 1平面比D,再由面面垂直的判定定理即可证得平面BED_L平面ACD；(2 )由题意可知A4BC是 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形，进 而 求 出BE=&,A C =2,A D =C D =/2,D E =,由勾股定理可得D E L B E,进而证得D E 1平面A BC,连接EF

29、,因为A F =C F,则E F Y A C,所以当 砂 _L3D时，砂 最 短，此时AAFC的面积最小，求出此时点F到平面A B C的距离，从而求得此时三棱锥F-A B C的体积.【解答】证 明：(1 ),.,AE)=C,Z A D B =A B D C ,B D=B D ,:./SADB=A C D B ,.AB=B C ,又为AC的中点.AC1.BE,.A D =C D ,E 为 AC的中点.A C I D E ,5L-.-BEyDE=E,.4。_ 1_平 面 瓯),又 A C u平面ACE）,.平 面 平 面 AC ；解：（2）由（1 ）可知 A8=8 C ,:.AB=B C =2,Z

30、 A C B =6 0。，.A4B C是等边三角形，边长为 2,:.BE=&,A C =2,A D =C D =2,D E =l ,：D E1+BE2=B D：D E L B E ,又,._ L A C ,ACp|B E=E,.。匠，平面A B C,由（1 ）知 A W BMACDB,:.AF=CF ,连 接 所,贝!EF _ L AC,MFC=g x A C x EF=EF,当 EF _ L 5 D 时，E F 最 短,此时M F C的面积最小，过点尸作尸G _ L B E 于点G，则 F G /E,/.F G _ L 平面A BC,D E x B E 73;EF=-=，BD 2BF=jBE

31、2-EF=-,.-.FG=-P x 8 k-=-,2BE 4.三棱推F-A BC 的体积1/=1 乂 5比*尸6 =!*9*2 2、3=也.3 3 4 4 4【试题评价】本题主要考查了面面垂直的判定定理，考查了三棱锥的体积公式，同时考查了学生的空间想象能力与计算能力，是中档题.19.（12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单 位：川）和材积 量（单 位：加），得到如下数据：10 10 10并计算得 Zx：=0.038,2 4=1 6 1 5 8 ,工%=0.2474.r=l i=l/=1样

32、本号，12345678910总和根部横截面积X,0.04 0.060.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6材积量%0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.360.460.42 0.403.9（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为1 8 6 M.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.

33、Eu,-W,-y)附：相关系数，-=1 ”,VL896 1.377.位(士T比(y 5*=1【思路分析】根据题意结合线性回归方程求平均数、样本相关系数，并估计该林区这种树木的总材积量的值即可.【解析】(1 )设这棵树木平均一棵的根部横截面积为5，平均一棵的材积量为，则根据题中数据得：X210幻(一刃竺=0.06 m2,y =0.39w?3；10 10)由 题i=lio n Fioz*%一 时i=l0.01340.0134 0.01341010-可 Z(y _ 寸(gx：-怖 2)(Z.y：-F)V0.0()2x 0.0948 0.01 x J1.896 0.01377*0.97可知(3)设从根

34、部面积总和X，总材积量为y ,则 工=三，故y =义型X 186 =1209(加).Y y 0.06【试题评价】本题考查线性回归方程，属于中档题.20.(12 分)已知函数/(x)=a r-(q +l)/M X .x(1)当。=0时，求/(x)的最大值；(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围.【思路分析】(1 )将a =0代 入，对函数 X)求 导，判断其单调性，由此可得最大值；(2)对函数f(x)求 导，分a =0,a 0 ,0 a 1讨论即可得出结论.【解析】(1 )当 a =0时，f(x)=-lnx(x0),贝！/,x x x x易知函数/(X)在(0,1)上单调递增，在(1,g0

35、)上单调递减，/(X)在X =1处取得极大值，同时也是最大值，.函数/(X)的最大值为/(1 )=-1；(2)广 =口1 1 +1 二办2-(iz +l)x +l _(A：-l)(a r-l)X X当4=0时，由(1 )可 知，函数/(X)无零点；当a 0时，易知函数/)在(0,1)上单调递增，在(l,”o)上单调递减，又f (1 )=a-10,故此时函数/(x)无零点；当0。1时，易知函数/(力在(0,l),(L+o o)上单调递增，在(1一)单调递减,且/()=1 -a +(a +)lna +o o 时 z f(x)0,此时 f(x)在a(0,+o o)上存在唯一零点；当a =l时，/(幻

36、=匕匚一0,函数/(x)在(0,转)上单调递增，X又f (1 )=0 ,故此时函数f(x)有唯一零点；当时，易知函数f(x)在(0,3,(1,3)上单调递增，在(L 1)上单调递减，a a且/(I )=。-10,且当x-0时，/(x)0 ,故函数f(x)在(0,+0 ,0且?*)，将A ,3两点坐标代a?_入即可求解；(2)由A(0,-2),8q,-1)可得线段A8:y =x-2,若过P(l,-2)的直线的斜率不存在，直线为x =1 ,代入椭圆方程，根 据 行=而 即 可 求 解；若过P(l,-2)的直线的kx-y-(k+2)=0斜率存在，设-n-伏+2)=0,y),N(X2,y2),联立,/

37、2,得 4-=13 4(3公+4)x2-6依2+k)x+3k(k+4)=0,结合韦达定理和已矢口条彳牛即可求解.【解析】(1 )设石的方程为，加+江=1(70,0且加工几)，4 =1将74(0,2),8(二,-1)两点代入得,92-=11411y2解得加=；,n=,故石的方程为丁+3 4 3=1；4Q 7(2)由 A(0,-2),B(-,-l)可得线段 AB.y=-x-2(I )若过点P。,-2)的直线斜率不存在,直线x =l.代 入:+?=1可得Af(l,N =(1,一 半),将 尸 半 代 入y =*2,可得T(#+3，),得到”(2遥+5,求得 N方 程：y =(2-=2 ,过点(0,-

38、2).若过P(l,-2)的直线的斜率存在，设 履-y-(Z +2)=0,M(x,y,),N(x2,y2),联立故有kx-y-(k+2)=0I1,3 4_ 6 k(2 +k)13k(4+Qx.x.,=-；-1-3k2+4,得(3公+4)x2-6化(2+3皈t +4)=0,_ ,一8(2+k)-V，3 +4 曰 -2 4k4(4+4 2的 且 刀2+N X=E(.)*必=3公+4y=y 3联立 2 c，可得T(+3,y),(3 x+6%，x),v=x-2 2I 3可求得此时HN:y-%=一工二上一(x-x,),3y+6-X w将(0,-2)代入整理得2(玉+入2)-6()+必)+西必+*2乂 -3

39、 必%-12=0,将(*)代 入，得 24无 +12=2+96+48-24昭 一 48-48)1+24左 2-3612-48=0,显然成立.综 上，可得直线HN过定点(0,-2).【试题评价】本题考查了直线与椭圆的综合应用，属于中档题.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程(10分)22.(1 0 分)在直角坐标系X。)，中，曲线C 的参数方程为卜=G c s 为参数).以坐标y=2sinf原 点 为 极 点，X 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，已 知 直 线/的 极 坐 标 方 程 为7

40、T/7sin(e+)+？=().(1)写出/的直角坐标方程；(2)若/与C 有公共点，求机的取值范围.【思路分析】(1 )由psin(e+q)+m=(),展开两角和的正弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式，可得/的直角坐标方程；(2)化曲线C 的参数方程为普通方程，联立直线方程与曲线C 的方程，化为关于y 的一元二次方程，再求解机的取值范围.【解析】（1 ）由/?sin（e+；）+2=0,得夕（sinecosq+cosesin$+m=0,psm 0+-pcos0+m=0,I又 =os。，y=psin0,y+x+m=0,即/的直角坐标方程为G x+y+2?=0；(2)由曲线C 的参数方程为卜=C

41、eo s2/,。为参数).y=2sinr消去参数/,可得 2=-当+2,f（3x+y+2m=0联立 2/3，得 3y22丁 一 4 7 6=。（一 2领/2）.户-亍x+2一 19 10 56,即-领丽z 10,-剜n ,3 12 2.，的取值范围是-丹,-J.12 2【试题评价】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题.选修4-5：不等式选讲不10分)3 3 323.已知a,匕，(,都是正数，且 a。+反+c=1 ,证 明：(1)的 二；9/c a b c 1b+c a+c a+b 2labc【思路分析】结合基本不等式与恒成立问题证明即可

42、.【解析】(1)证 明：“，b，。都是正数,3 3 3 r3 3 T _2?.d1+b2+滔.31出b2c2=3(abc)2,当且仅当Q=Z?=C=3 3时，等号成立.3 3 3因为出+b2+c2=1,所以L.3(bc)2,.I 1所以1.(4历)2 ,所以而G,g，得 证.(2)根据基本不等式/7+C.2痴 ,a+c.2yac,a+b.2ycib,3 3 3 3 3 3a h c a b c a”京 a2+b2+c2 1b+c a+c a+b 2bc 2ac 2x/ab 2abc 2abc 2x1 ahc 21abe 2abc当且仅当a=b=c 时等号成立，故得证.【试题评价】本题考查基本不等式的应用，属于中档题.