2022年浙江省宁波市海曙区自主招生数学试卷（附答案详解）.pdf

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1、2022年浙江省宁波市海曙区自主招生数学试卷1.4BC中，乙4和4B均为锐角，AC=6,BC=3 且sinA=?,则cosB的值为若实数满足/+2。-1=,则(言身一a2+4a+4-.a 4 a+23.已知关于x的方程|x|=a x+1有一个正根和一个负根，则实数a的取值范围是4.如果方程(x-1)(/一 2x+=0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数%的 取 值 范 围 是.5.如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点。在边0 C上，且BD=0 C,以 为 边 向 下 作 c|_3矩形B O EF,使得点E在边0 A上，反比例函数y=x 0)的图象经过边E尸与A

2、B的交点G.若AG=*DE=2,一则k的值为.E A x6.如图，A,BE,CFgiJJA BC,AC,AB 若乙ABC=45,AACB=60。，则变=.7.已知x,y为正整数，且满足方程表-5=看 则 该 方 程 的 解 为.8.在平面直角坐标系中，同 时 满 足 下 列 两 个 条 件 的 点 的 坐 标 为.(1)直线y=-2%+3通过这样的点；(2)不论机取何非零实数值，抛物线y=mx2(2m-l)x-37n都不通过这样的点.9.如图，点A、B、C均在坐标轴上，AO=BO=CO=1,、过A、0、C作O D,E是0。上任意一点，连结CE,A氏B E,则CE2+BE2的 最 大 值 是.A

3、 10.已知关于X的方程x+日+b=0的两根均大于1且小于2,则a+b的取值范围是X11.如图，已知A/IBC内接于0。，A 8是该圆直径，。是弧4 c 上的点，线段BO与 AC交于点 E,若48=5,sinCAB=-,C E=m,=k.5 BE(1)试用含，”的代数式表示k;若A D/O C,求 k 的值.12.给 出 如 下 2405个平方数：M,22,32,，24052,规定可以在其中的每个数前任意添加上“+”号或号，所得的代数和记为L,试设计可行方案使得L 2 0,且L 最小.第 2 页，共 10页答案和解析1.【答案】y【解析】解：过点C 作CD 1 4B于点D.在RtzM CD中，

4、AC=6,s in 4=f,V3 厂CD=AC x sin/=6 x =2V3.在RtABCD 中，BC=3 1 BD=yjBC2-CD2=J(3V3)2-(2V3)2=V15.BD V15 y/5 cosB=-=-z=.BC 3V3 3过点C 作CO 1 4 8 于点D.在RtZiACD中，已知sinA和 4 c 的值，根据三角函数可求C的长；在R tA B CC 中，运 用 勾 股 定 理 可 求 的 长，代入cosB=罢进行求解.BC根据三角函数定义求值须先构造直角三角形再解.2.【答案】1【解析】解：(等-一 等 一)+胃va2+2a a2+4a+47 a+2Q 2 C L 1 Q+2

5、=r-1-a(a+2)(a+2)2 Q 4a2 4 a2+a a+2a(a+2)2 a 4a 4 Q+2a(a+2)2 a 41a(a+2)1a2+2a，,Q2+2Q 1=0,a2+2a=1,当 a?+2a=1时，原式=1=1,故答案为：1.先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把M+2a=1代入化简后的式子进行计算，即可解答.本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键.3.【答案】Q。11【解析】解：当x 2 0,则x=ax+l.X=-.1-a1-0.1 a:.a 1.当X 1.综上：a H-1.故答案为：a中-1.根据绝对值的定义，从而进行分类讨论，再分别解一元

6、一次方程.本题主要考查绝对值、解一元一次方程，熟练掌握绝对值的定义、一元一次方程的解法是解决本题的关键.4.【答案】3 n)；则m+几=2,mn=m n=y/(m 4-n)2 4mn=V4 k；根据三角形三边关系定理，得：m n l m +n,即 k 1 2；北二解得3 k W 4.根据原方程可得出：-1 =0,产 一 2%+；=0；根据根与系数的关系，可求出方程的与+犯 和石-亚 的表达式，然后根据三角形三边关系定理求出人的取值范围.此题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系以及三角形三边关系定理.5.【答案】,【解析】解：如图，连接。凡 BE,四边形0ABe是矩形，四 边 形 是 矩 形,

7、第4 页，共 10页 OC=AB,BE=D F,乙BAO=乙BDE=乙DEF=90,BD=OC,BD=AB,又 BE=BE,Rt BDE 三 Rt BAEfHL）AE=DE=2,：EG=yjAE2 4-AG2=/4 4-=4 2 /.DEO+乙AEG=9 0 ,乙EDO+乙DEO=90,:.乙AEG=乙EDO,又 乙 EOD=/-EAG=90,G-EE-D-G-E4-。s-2-2-3-2-O F6-5-O F OA=2+g=g,点 G 谭，|），.反比例函数y=K 0）的图象经过点G,.16 3 24k=x-=t5 2 5故答案为：p如图，连接。F,B E,由 “HL”可证RtABCE 三 R

8、 tA B A E,可得4E=DE=2由勾股定理可求E G,通过证明O E O s E G A,可 得 器=器，可求O E的长，即可求点G坐标，代入解析式可求人的值.本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，求出点G的坐标是本题的关键.6.【答案】曰【解析】解：vAD A.BC,BE 1,AC,CF L A B,:.乙ADB=/-ADC=乙BEC=乙CFB=90,ABC=45,乙DAB=乙FCB=/.ABC=45,:.BF=CF,AD=BD,BC=VBF2+CF2=72BF2=V2BF,AB=y/AD2+BD2=y/2A

9、D2=傍ID,BF V2:，一=一;BC 2 乙 ACB=60,CDAC“co 1 AD.a y/3cosz60=一，=sm60=2 AC 2 AC2ADv Z.ADC=乙BEC,Z-ACD=乙BCE,Ci4D0A CBE,DC ACEC BCtDC _ EC AC-BCv Z.DCE=乙ACB,AB _ 42AD _ V6就=岑-=万C D EsCAB,DE _ CDAB-ACi2 =，同理DF _ B F _ AC BC 2 DF=AC.DE%4B yfz AB yf2 y/6 6_ _ _ _ X _ _DF-叵AC 2 A。-2 2 2故答案为：与先由 BE LAC,CF L A B,

10、得上 ADB=ADC=4BEC=CFB=9 0 ,再由ABC=45,得=4FCB=AABC=4 5,贝|BF=CF,AD=B D,得BC=V2BF,AB=V 2 A D,由禁=sin6(T=争 得4C=詈，再证明 C/W s C B E,得差=箓变形为器=9,可证明 COES A以 8,得 警=*=；,所以0 E=；4 B,用同样的方AC BC AB AC 2 2法求得D F=A C,即可求得第=g 得到问题的答案.2 DF 2此题重点考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，证明三角形相似并且根据相似三角形的对应边成比例得出比例式是解题的关键.7.【答案】x=20,y=180

11、【解析】解：专-盍=盍，方程两边同 乘 看 得 盍-焉=2，则意或套，即x=5或 20,当 5时，焉建，解得：y=竽，不符合题意，第 6 页，共 10页当x =2 0 时，去=2,y/5y 30解 得:y=1 8 0,;该方程的解为=2 0,y=1 8 0.根据等式的性质得到看-焉=会，进而得到久=5 或 2 0,把 x的值代入计算即可.本题考查的是无理方程的解法，掌握二次根式的性质是解题的关键.8 .【答案】(3,-3),(-1,5),(1,1)【解析】解：设点Q oJ o)满足上述条件，则%=-2 与+3,对任意实数机都有mxg(2m-l)x0 3m,消 去 整 理 得 m(%o-3)(x

12、0+1)K -3(x0-1),从而可知当X。=3或-1 或 1 时才适合题意，适合题意的点为(3,-3),(-1,5),(1,1),有三个.故答案为(3,-3),(-1,5),(1,1).设点O o，y()满足上述条件，则y()=-2 x0+3,对任意实数机都有y()力mx(2m-l)x0-3 m,解之即可得出答案.本题考查了二次函数与不等式，属于基础题，关键是正确根据题意列出不等式.9 .【答案】6设 E(x,y),V LAOC=9 0 ,A C 是OD的直径，AO=BO=CO=1,4(0,1),C(l,0),B(-l,0),:.AC=V 2,CE2=(x-1)2 +y 2,BE2=(x +

13、I)2+y2,A CE2+B E2=(x-1)2 +y 2 +(x +1)2 +y 2 =2(x2+y2)+2,OE2=x2+y2,.当OE为。的直径时，O E 最 大,C E 2 +B E 2 的值最大，O E2=AC2=(V 2)2=2,CE2+B E 2 的最大值=2 x 2 +2 =6,故答案为：6.连接AC,OD,D E,设E(%,y),利用90。的圆周角所对的弦是直径可得，AC是的直径，再利用平面直角坐标系中的两点间距离公式求出。盾+BE2=2(7+y2)+2,。非=%2+丫 2,可得当。E为 的 直 径 时，OE最大,CE2+8E2的值最大，然后进行计算即可解答.本题考查了三角形

14、的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，坐标与图形的性质，点与圆的位置关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.10.答案 3 Q+b V 3【解析】解：x+-+6=0,x去分母得，%2+bx+a=0,设2+b%+Q=o的两个根为J%2,由根与系数的关系可知，xr-x2=b,+%2=一。，Q +匕=%2 +%2)，%1，%2均大于1且小于2,1%2 4,1%1 4-%2 4,*4 V+无 2)V 1-：3%1%2 (%1+久 2)3.-3 V Q+b V 3.故答案为：-3 V a+b 3利用根的取值范围和根与系数的关系求Q +b的范围.本题考查分式方程的解、根与系数的关系

15、和不等式的运算，综合性较强，用转化的方式求Q +b的取值范围是关键.11.【答案】解：M B 是。的直径，:.乙ACB=90,-AB=5,sin CAB=3 .BC AB sinZ-CAB=5 X-=3,AC=7AB2 -BC2=V52-32=4,v 乙D=Z-ECB,Z-DEA=乙CEB,DE AsCEB,DE _ CEAE-EBDE _ m4-m BEDE=m(4-m)BE第 8 页，共 10页:k,BE.BE2=k在RMCEB 中，B E2=CE2+B C2,:.BE2=m2+9,.TR 2 十.Vn -m(4-m)，kt4 m-m2：k =；m2+9(2)-AD/OC,:.Z-DAC=

16、/.ACO,v OA-O C，Z.OAC=Z.ACOfv Z.DAC=乙D B C,:.乙DBC=Z-OAC,:Z.ACB=乙B CE,C B E sCAB,.CB _ CE*=,CA CB3=一m,4 39m=-,4j _ 4 m-m2 _ 4x：_(_ 7k=标 荷 =(+9 =瓦k的值为套【解析】(1)根据直径所对的圆周角是直角可得N4CB=90。，从而在RM ABC中，利用锐角三角函数的定义求出B C,再利用勾股定理求出A C,然后再证明 DEAS A从而利用相似三角形的性质可得DE=嗤2,BE再结合已知可得BE2=2,最后在RtzsCEB中，利用勾股定理可得BE?=m2+9,k从而可

17、得62+9=当 ，进行计算即可解答；k(2)根据平行线的性质可得ND4C=4 A C O,根据等腰三角形的性质可得N04C=乙4CO,再利用同弧所对的圆周角相等可得ND4c=乙D B C,从而可得4DBC=ZCMC,然后证明 C B E S&C A B,从而利用相似三角形的性质可求出机的值，再代入(1)的结论进行计算即可解答.本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.12.【答案】解：；k2-(k+I)2-(k +2)2+(k +3)2=4,-k2+(k +l)2+(k +2)2-(k +3)2=-4,8

18、个连续的正整数的平方数总可以使用其和为0,.从222,23 2,24 2,，24 0 5 2,每8个的平方数和按照此方案设置，则和为0,-I2+22-32+42-52=-15,62,7 2,82,-1 2/共16个数，每4个连续的正整数的平方数和为4,62,72,82,-1 2#的和为 16,I2,22,3 2,，2/的正整数的平方数和为1,此时乙最小值为1.【解析】由好-(/c +I)2-(f c +2产 +(k +3)2=4,-k2+(k +l)2+(k +2)2-(/c+3y=一4,可知8个连续的正整数的平方数总可以使用其和为0,每4个连续的正整数的平方数和为4或-4,再将所求的数分成三部分设计,第一部分从为2,23 2,24 2,，24 0 52,这部分和为0；第二部分6 2,7 2,8 2,212,这部分和为16；第三部分22,3 2,4 2,5 2的和为-15；由此可求L的最小值.本题考查数字的变化规律，通过分析计算数的特点，探索连续8个数和连续4个数的平方数和的特点，再设计方案是解题的关键.第10页，共10页