2023学年上海七年级数学下学期重难点讲义第18讲-三角形-单元综合测试(含详解).pdf

《2023学年上海七年级数学下学期重难点讲义第18讲-三角形-单元综合测试(含详解).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023学年上海七年级数学下学期重难点讲义第18讲-三角形-单元综合测试(含详解).pdf（55页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第18讲-三角形单元综合测试赛 学 习目标1.理解并掌握三角形全等的判定定理，能准确找到判定定理的条件，并熟练运用。动探索1.如果等腰三角形两边的长分别为8和4,那么它的周长是.2.如果等腰三角形两边的长分别为8和5,那么它的周长是.3 .在4 4 BC中，ZA=5 0 ,N B比/C大3 0。，则的度数是.4 .如果三角形的一个角等于其他两角的差，这个三角形为（填形状）.5 .如果等腰三角形中有一内角为7 0。，则它的底角是 度。6 .等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是5 0。，那么它的底角是.7 .等腰三角形的周长为20,那么它的腰长x的取值范围_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

2、 _,那么它的底边长y的取值范围.8.己知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为9和15两部分，则这个等腰三角形的底边长为.9.A 8 C中，A8=7,BC=4,8 c边上的中线长为x,则x的取值范围是。10 .斜边等于10的等腰直角三角形的面积为。11.如图，将长方形纸片AB C C沿8。对折，重叠部分是 若AB=4、AO=6,9.ABE的周长是。12.如图，在A ABC 中，己知/84 C=6 0。,如果N l =/2,N 3 =N 4,那么 N D4 C=。GA精讲提升轴对称型全等三角形把一个图形沿着某一条直线折叠过来，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称，下图是

3、常见的轴对称型全等三角形。例 1.如图，在NBAC的两边截取A8=AC,又截取A=AE,连 C。、BE交于F。试说明：AF平分DB平移型全等三角形把A A B C沿着某一条直线乙平行移动，所得 O E F与 A B C称为平移型全等三角形。有时这条直线就是 A B C的某一条边所在直线。下图是常见的平移型全等三角形。例2.如图，在A A B C和尸中，点B、E、C、尸在同一直线上，请你从以下4个等式中选出3个作为已知条件，余下的1个作为结论，并说明结论正确的理由.AB=O E；A C =D F；Z A B C=Z D E F；BE=CF.旋转型全等三角形将 ABC绕顶点B旋转一个角度后，到达A

4、 O B E的位置，则称 A 8 C和 O 2 E为旋转型全等三角形。如下图所示，这些是常见的旋转型全等三角形（通常用边角边（S AS）来识别两个三角形全等）。例 3.如图，已知AA8C 中，AB=AC,ZA=9Q,。是 BC 的中点，S.DEA.DF.试说明O E=O尸的理由。中心对称型全等三角形把 A B C绕着一个点0旋 转180。，得到 D E F,那么这两个三角形称为中心对称型全等三角形，点。称为对称中心。中心对称型全等三角形是旋转型全等三角形的一个特例(6=180 )。如图所示是常见的中心对称型全等三角形,对称点连线都经过对称中心O,且被点O平分。例4.如图,A D、E F、BC相

5、交于。点，且4。=。,8。=。(?,。=/。试说明：4 4 ；8丝/。尸(:。CD1达标PK一、单选题1.（2020 上海金山七年级期中）用以下各组线段为边能组成三角形的是（）A.1cm、2cm、3cm B.2cm、2cm 4cmC.10cm、2cm 8cm D.3cm、4cm 5cm2.（2021 上海嘉定七年级期末）如图，已知AO平分ND4E,AD=AE,A B=A C,图中全等三角 形 有（）.A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对，3.（2019 上海七年级课时练习）如图，某同学把一块三角形的玻璃块打碎成了 3 块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）C

6、A.带去 B.带去 C.带去 D.带去4.（2021 上海杨浦七年级期末）如图，在5x5方格中，每个小方格都是边长为1 的正方形,ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），那么与A43C有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）.A.2 B.3 C.4 D.55.（2021上海市久隆模范中学七年级期末）如图，是COD绕点。逆时针方向旋转60。后所得的图形，点C 恰好在A 8上，ZAOD=1 3 0,则N D 的度数是（）.A.40 B.50 C.60 D.706.（2021.上海市第二初级中学七年级期中）下列说法中正确的是（）A.三角形的三条高交于一点B.有公共顶点且相等的两个角是对

7、顶角C.两条直线被第三条直线所截，所得的内错角相等D.两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直7.（2021 上海.七年级期中）等腰三角形的周长为1 6,且边长为整数，则腰与底边分别为（）A.5,6 B.6,4C.7,2 D.以上三种情况都有可能8.（2021 上海民办浦东交中初级中学七年级期末）如图，A8CD是正方形，C D E 绕点C逆时针方向旋转90。后能与 CBF重合，那么“是（）C.直角三角形B.等边三角形D.等腰直角三角形二、填空题9.（2021上海普陀七年级期末）如图，AB/CD,Z A=5 6 NC=2 7,那么NE=10.（2021.上海市市西初级中学七年级

8、期末）如图，在 f i C中，NC8A=35。，把AABC绕着点B顺时针旋转到4 3 C,连接C C,并且使CCA 8,那 么 旋 转 角 的 度 数 为 11.（2021上海市向东中学七年级期末）如图，在ABD E中，NE=90。，AB CD,N A B E=2 2 ,则 NEDC=.ABECD1 2.（2 0 2 1 上海杨浦七年级期末）如图，已知直线/1 4，等边三角形A 5 C 的顶点A、C分别在直线卜4 上，如果边A3与直线4 的夹角N l =2 6。，那么边BC与 直 线 的 夹 角 N 2度.1 3.（2 0 2 1 上海市西南模范中学七年级期末）如图，已知等边IBC中，点。为边

9、8 C 上一点，延长AC至点E,使得C E=8 ,联结E D并延长交边A B于点F,联结AD,若N D A B =a,则NE的度数为（用含的式子表示）.1 4.（2 0 2 1 上海市徐汇中学七年级期末）如图，在 A B C 中，已知点。、E分别在A B、AC上，B E 与 CD相交于点。，依据下列各个选项中所列举的条件，能说明A B =AC的是.（填写序号）B E =CD,Z E B C =N D C B ；O D =OE,Z ABE=ZACDi BE=CD,B D =C E；O B =OC,B D =CE.15.（2021上海市南洋模范初级中学七年级期中）如图，AB/CD,4=30。，ZC

10、=50,16.（2021上海市西南模范中学七年级期末）如图，已知AABC中，AC=8C,ZACB=100,将AM C绕着点B逆时针旋转，使点C落在A B边上的点。处，点A落在点E处，那么Z A E D的度数为 度.17.（2021上海市第二初级中学七年级期中）如图，加油站A和商店B在 马 路 的 同 一 侧，A到M V的距离大于B到M N的距离，钻=700米.一个行人P在 马 路 上 行 走，当P到A的距离与尸到8的距离之差最大时，这个差等于 米.418.(2021上海市徐汇中学七年级期末)在 ABC中，24c8=90,Z A B C =3Q,ABC绕点A顺时针旋转到A A O E,点C与点E

11、对应，直线CE交边AB于点F,旋转角为a(0 0 a 平分N 8 A C,点E在A8 上，EG/AD,E F L A D,垂足为 F.(1)求/I和N 2的度数.(2)联结O E,若SAADE=S梯 形E F D G,猜想线段EG的长和A尸的长有什么关系？说明理由.20.（2021.上海普陀.七年级期末）如图，在等边三角形AABC的AC边上任取一点D,以8。为边作等边三角形ABDE,联结CE.（1）试说明4）=C E的理由，（2）如果。是AC的中点，那么线段8C 与0 E 有怎样的位置关系？试说明理由21.（2021上海普陀七年级期末）如图，已知4 4BC=ZACB,N1=N2,A D A E

12、,试说明ND3C=NECE的理由.解：因为NABC=NACB（已知）,所以AC=43(又因为N1=N2（已知）.所以N1+N.N2+N（等式性质）所以 ZE4c=在AEC和4 5 3 中,AE=AD ZEAC=ZDAB,AC=AB所以A4CwAAD3()(完成以下说理过程)22.(2021上海市第二初级中学七年级期中)解答下列各题(1)如 图 1,已知直线机，点A、8 在直线上，点C、尸 在直线加上，当点P 在直线机上移动时，总有 与AABC的面积相等.图1解答下题.如图2,在AABC中，已知BC=6,且 8 c 边上的高为5,若过C 作 CEA 3,连接AE、B E,则ABAE的面积为.图2

13、如图3,A、B、E 三点在同一直线上，B H 1 A C,垂足为H.若 AC=4,B”=历,ZABC=ZACB=60,NG=NG8/=60。，求 AACF 的面积.(3)如图4,在四边形ABC。中，4 8 与。不平行，A B C D,且右八叱$。8，过点A 画一条直线平分四边形ABC。的面积(简单说明理由).23.(2021.上海嘉定.七年级期末)在等边三角形ABC的两边4 8、AC所在直线上分别有两点M、N ,尸为 AABC外一点，且 NMPN=60,ZBPC=120,BP=C P.探究；当点M、N 分别在直线4 3、AC上移动时，BM,NC,MV之间的数量关系.(1)如图，当点“、N 在边

14、A B、AC上，且 PM=PN时;试说明MN=8M+CN.（2）如图，当点、N 在边A B、AC上，且 R 0X/W时，M N =B M +C N 还成立吗?答：（请在空格内填“一定成立”“不一定成立 或 一定不成立（3）如图，当点M、N 分别在边48、C 4 的延长线上时，请直接写出B M,N C,M N 之间的数量关系.2 4.（2 0 2 卜上海市风华初级中学七年级期中）（1）如 图 1,在AABC中，已知N A 8 C 和 Z A C B的角平分线8。、C E 相交于点O,若2 4 =8 0。，求 N 3 O C 的度数，并说明理由.（2）如图2,在中，ZABC.NA C 8 的三等分

15、线交于点0 1、02,若 N 4 =加。，则N B O -N B O C=（用含有机的代数式表示，直接写出结果）.B图2C25.（2021上海市西南模范中学七年级期末）如图，己知：在四边形ABCZ）中，A B/C D,Z B =Z A D C,点 E 是 BC 边上的一点，S.AE=DC.求证：AD/BC.(2)求证：ABC 也EAD.(3)如果 A 3 _ L A C,求证：Z B A E =2ZACB.26.（2021.上海市徐汇中学七年级期末）如 图1,A A B C中，=AC,点。是 ABC内一点，&O A =OB=OC.（1）试说明：Z B A C =2ZABO.（2）如图2,延长8

16、。交边A C于点 ,当2CZ）满足BC=B时:A求/BCD的大小.将 AB。沿 翻 折 到 E5O,边BE交AC于点凡 若AB=AC=5,CF =m,请用含机的代数式表示AO的 长.（直接写出结果，不用写说明理由）ADBC备用图第18讲-三角形单元综合测试赛 学 习目标1.理解并掌握三角形全等的判定定理，能准确找到判定定理的条件，并熟练运用。动探索（以提问的形式回顾）1.如果等腰三角形两边的长分别为8和4,那么它的周长是.2 .如果等腰三角形两边的长分别为8和5,那么它的周长是.3 .在4 4 B C中，Z A =5 0 ,N B比/C大3 0。，则的度数是.4 .如果三角形的一个角等于其他两

17、角的差，这个三角形为（填形状）.5 .如果等腰三角形中有一内角为7 0。，则它的底角是 度。6 .等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是5 0。，那么它的底角是.7 .等腰三角形的周长为2 0,那么它的腰长x的取值范围_,那么它的底边长y的取值范围.8 .己知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为9和15两部分，则这个等腰三角形的底边长为.9.A 8 C中，A 8=7,BC=4,8 c边上的中线长为x,则x的取值范围是。10 .斜边等于10的等腰直角三角形的面积为。11.如图，将长方形纸片A 8 C C沿8。对折，重叠部分是 B ED,若A B=4、A O=6,9.ABE的周长是。12.如图，

18、在A A B C 中，己知/8 4 C=6 0。,如果Nl =/2,N3 =N4,那么 ND4 C=。AG参考答案：1、2 0；2、2 1 或 18：3、8 0 ；4、直角三角形；5、7 0。或 5 5。；6、7 0 或 2 0 ；7、5cx 10,0 y 1 0；8、4；9、5cx9；10、2 5；11、10；12、2 0。J精讲提升（采用教师引导，学生轮流回答的形式）轴对称型全等三角形把一个图形沿着某一条直线折叠过来，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称，下图是常见的轴对称型全等三角形。例 1.如图，在NBAC的两边截取A8=AC,又截取AO=4E,连 C。、BE交于

19、F。试说明：A 尸平分/B A C。DB解析：联结8 C,证明A8E 丝 ACO(S A S),得到NB=NC由 AB=AC 得至I NA8C=NACB,所以得至l NFBC=NFCB,B P FC=FB所以 A8F丝 C F (S A S)所以/C4F=N 8A F平移型全等三角形把 ABC沿着某一条直线L 平行移动，所得AOE产与 ABC称为平移型全等三角形。有时这条直线就是 ABC的某一条边所在直线。下图是常见的平移型全等三角形。例 2.如图，在AABC和 /中，点 8、E、C、F 在同一直线上，请你从以下4 个等式中选出3 个作为已知条件，余下的1 个作为结论，并说明结论正确的理由.A

20、B=DE-,AC=DF-.ZABC=ZDEF；BE=CF.解析：、作为条件，作为结论。证明：略旋转型全等三角形将4 A8C绕顶点B 旋转一个角度后，到达 DBE的位置，则称 48。和小OBE为旋转型全等三角形。如下图所示，这些是常见的旋转型全等三角形(通常用边角边(SAS)来识别两个三角形全等)。DBCBBE例 3.如图，已知A A 8C中，AB=AC,Z A=9 Q,。是 BC的中点，且。_ 1_。凡试说明OE=O尸的理由。解析：联结A),证明 ADE尸匚解析：证明 AOE 4cmC.10cm、2cm 8cm D.3cm、4cm 5cm【答案】D【解析】【分析】根据三角形的三边关系“任意两边

21、之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”和等腰三角形的定义进行判断即可【详解】解：A、1+2=3,不能组成三角形：B、2+2=4,不能组成三角形；C、2+8=10,不能组成三角形；D、4-354+3,这三条线段够组成三角形；故选：D.【点睛】此题考查了三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数.2.（2021 上海嘉定七年级期末）如图，已知AO平分ND4E,AD=AE,A B=A C,图中全等三角 形 有（）.DEA.1对 B.2对 C.3对 D.4对【答案】D【解析】【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以写出图中的全等三角形，本题得以解决

22、.【详解】解：YAO平分ND4E,.,.Z1=Z2,AD=AE在 AOO 和AAOE 中，Z1=Z2,AO=AO：./AOD/AOE(.SAS),：.ZDZE,OD=OE；AC=AB在AAOC 和 A4O8 中，-Z1=Z2,AO=AOAOCAAOB(SAS)；ND=NE在 COO 和 80E 中，-DO=EO,NDOC=NEOB.,.CO度BOE(ASA)；AD=AE在 AOAB 和 EAC 中，ZDAB=ZEAC,AB=AC.OA8且E4C(S4S)；由上可得，图中全等三角形有4对，A故选：D.【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想

23、解答.3.（2019 上海七年级课时练习）如图，某同学把一块三角形的玻璃块打碎成了 3 块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）CA BA.带去 B.带去 C.带去 D.带去【答案】C【解析】【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解.【详解】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃.应带去.故选C.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定方法，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，

24、要认真观察图形，根据已知选择方法.4.（2 0 2 1上海杨浦 七年级期末）如图，在5 x 5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，4 3 C是格点三 角 形（即顶点恰好是正方形的顶点），那么与AABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）.A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】以8 c为公共边时有3个三角形，以A C为公共边时有1个三角形与A B C全等.【详解】解析：画出符合题意要求的三角形如图所示以B C为公共边的三角形有8个，分别是 8 8,ABCE,ABCF以A 8为公共边的三角形有0个以A C为公共边的三角形有1个，为AACG共3+0+1=4个故选：C【

25、点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，找出符合条件的所有三角形是解此题的关键.解题时考虑要全面，不要漏解.5.（2021上海市久隆模范中学七年级期末）如图，AAOB是 ）绕点。逆时针方向旋转60。后所得的图形，点C 恰好在A 3上，NAOD=130。，则N D 的度数是（）.A.40 B.50 C.60 D.70【答案】B【解析】【分析】先根据旋转的性质可得4 0。=60。,4=/0。,。4=0。，再根据等边三角形的判定与性质可得2 4 =60。，从而可得NOC=60。，然后根据角的和差可得NCO=70。，最后根据三角形的内角和定理即可得.【详解】解：由旋转的性质得：N4OC=60。,NA=

26、NOCE,04=OC,:.AAOC是等边二角形，.-.ZA=60,;.NOCD=60,vZAOD=130.ZCOD=ZAOD-ZAOC=70,:.Z）=180-ZCOD-NOCD=180-70-60=50,故选：B.【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练学握旋转的性质是解题关键.6.（2021上海市第二初级中学七年级期中）下列说法中正确的是（）A.三角形的三条高交于一点B.有公共顶点且相等的两个角是对顶角C.两条直线被第三条直线所截，所得的内错角相等D.两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直【答案】D【解析】【分析】分别对每个

27、选项进行分析，即可解题.【详解】A 选项：三角形的三条高所在直线交于一点，所以本选项不符合题意，故 A 错误；B 选项：有公共顶点且两边互为反向延长线两个角是对顶角，所以本选项不符合题意，故 B错误；C 选项：两条平行直线被第三条直线所截，所得的内错角相等，所以本选项不符合题意，故C 错误；D 选项：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直，本选项符合题意，故 D 正确.故选：D.【点睛】本题考查了三角形的高线所在直线交于一点，对顶角的定义，平行线内错角相等、同旁内角互补的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键.7.(2021 上海七年级期中)等腰三角形的周长为1 6,且边长为

28、整数，则腰与底边分别为()A.5,6 B.6,4C.7,2 D.以上三种情况都有可能【答案】D【解析】【分析】设腰长为x,则底边为1 6-2 x,根据三角形三边关系可得到腰长可取的值，从而求得底边的长.【详解】解：设腰长为X，则底边为16-2X,.,16-2x-xx16-2x+x,.,.4x=OE,ZABE=Z A C D,结合=在 BOD和 COE中，利用“44S”可证明ABODq&COE,OB=OC,NOBC=NOCB,：.ZABC=ZACB,：.AB=AC,故能得到A8=4 C；当 BE=CD,3Z)=CE 时，结合 3C=C3,可证明BCD 四C B E,可得 N 4?C =NACB,

29、可得AB=AC,故能得到A3=A C；O B =OC,3=CE 时，根据已知条件无法求得AB=AC,故不能得到AB=AC,所以能得到A8=AC的有.故答案为：.【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA.A4S和 HL.15.（2021上海市南洋模范初级中学七年级期中）如图，AB/CD,NA=3O。，Z C=50,则 度.【答案】20【解析】【分析】山得到NEEB=NC=50。，再利用三角形的外角定理可以求出NE.【详解】AB/CD,：.N C =2 E F B,V Z C=50,.,.ZFB=50,又：N E F B=N A +N

30、E,而/A=30,N A=50-30=20,故答案为：20.【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角定理，利 用 外 角 定 理 得 到/A 是解题关键.三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.16.（2021上海市西南模范中学七年级期末）如图，已知AABC中，AC=5C,N4CB=100。，将 ABC绕 着 点B逆时针旋转，使 点C落 在AB边 上 的 点。处，点A落 在 点 正处，那 么ZAED的度数为 度.【答 案】30【解 析】【分 析】由旋转的性质得到，ZDBE=NCBA,AB=EB,NC43=NOB,再利用等腰三角形的性质,求 得N C 84与 3 E的度

31、数，再利用等腰三角形的性质求得皿 的度数，进一步得到/4 E O的度数.【详 解】解：.二班。由 8AC绕 点8旋转而得，:/DBE=/CBA,AB=EB,ZCAB=ZDEB,V ZAO?=100,AC=BC,：.ZCAB=ZCBA.：./CBA=180-ZACfi2180o-1002=40:.ZDBE=ZCBA=40 t:AB=EB,/BAE=/BEA=180。一/。距2180。一40。2=70J ZAED=ZAEB-ADEB=70-40=30.故答案为：30.【点睛】本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键.1 7.（2 0 2 1 上海市第二初级中学七年级期中）如

32、图，加油站A和商店B在 马 路 的 同 一侧，A到 的 距 离 大 于 8到MN的距离，钻=7 0 0 米.一个行人P 在 马 路 上 行 走，当户到A的距离与尸到B的距离之差最大时，这个差等于 米.4【答案】7 0 0【解析】【分析】当A、B、P构成三角形时，4 P 与 3 尸的差小于第三边A8，所以A、B、P 在同一直线上时，A P h i B P 的差最大，算出这个最大值即可.【详解】当A、8、尸三点不在同一直线上时，此时三点构成三角形.,两边A P 与8 尸的差小于第三边AB.；.A、B、尸在同一直线上，尸到A的距离与尸到B的距离之差最大，此时，PA-PB=AB当尸到A的距离与P到B的

33、距离之差最大时，这个差等于7 0 0 米故答案为：7 0 0.【点睛】本题考查了利用三角形的三边关系求线段差的最大值问题.解题关键是弄清楚当三点共线时距离之差最大.1 8.（2 0 2 1 上海市徐汇中学七年级期末）在 A B C 中，Z A C B=9 0,Z A B C =3 0,将 A B C绕点A顺时针旋转到 A O E,点 C与点E对应，直线C E 交边A 8 于点凡 旋转角为（0 0 a 1 8 0）,如果ABCF为等腰三角形，贝 3=.B【答案】60。或150#150或60【解析】【分析】由题意知a(Ta18()。)，A B C F为等腰三角形时,分两种情况求解:C F =B F

34、,如 图1,此时E、尸重合，为 线 段 的 中 点，计算求解即可；CB=8 F,如图2,根据等边对等角,三角形的内角和定理求解即可.【详解】解：由题意知/0。03 中，AE=AD-ZEAC=NDAB,AC=AB所以AACMAATB()(完成以下说理过程)【答案】等角对等边；B A G BACx SAS【解析】【分析】根据等角对等边可证明A B=A C,根据SAS可证明M E C =M D B.【详解】解：因为NABC=NACB（已知），所以AC=AB（等角对等边）又因为N1=N2（已知）所以/1+/B 4 c =N 2+/R 4C （等式性质）所以 NE4C=ND4B在AC 和/XADB 中，

35、AE =A D-N E A C =N D A B ,A C =AB所以 AAEC 三 AADB（S4S）故答案为：等角对等边：BAC;BAC;SAS【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和全等三角形的判定，熟练掌握和运用全等三角形的判定方法是解答本题的关键.22.（2021上海市第二初级中学七年级期中）解答下列各题（1）如 图 1,已知直线?，点A、B在直线”上，点C、P 在直线加上，当点尸在直线加上移动时，总有 与 的 面 积 相 等.图1解答下题.如图2,在AABC中，已知BC=6,且 8C 边上的高为5,若过C 作CEA B,连接AE、B E,则484的面积为.图2如图3,A、B、E三点

36、在同一直线上，B H L A C,垂 足 为 若AC=4,B H =，ZABC=ZACB=60,ZG=ZGBF=6 0 ,求 AACF 的面积.(3)如图4,在四边形ABC。中，4?与C不平行，A B C D,且治“叱$。8,过点A画一条直线平分四边形A3C的面积(简单说明理由).15；2(3)图见解析，理由见解析【解析】【分析】(I)根据m/，可得AABC和48P同底等高，即可求解：(2)先求出S .=1 5,再由支 4 B,可得 ABC和 BAE是同底等高的两个三角形,即可求解；先求出 S.BC=2 0 1,再由 NABC=NAC3=60,ZG=ZGBF=60,可得 AC8尸，从而得到SA

37、 A C F=SA A B C，即可求解；(3)过点8作8EAC交。C延长线于点E,连接A E,取DE的中点F,作直线A/，则直线AZ7即为所求，可得SM/iC=SMEC,从而得到S四 边 形A 8C D =SgcD+=MCD+SMEC=AAED，即可求解.(1)解：,:mJIn,ABC和AABP同底等高，则与AAB尸的面积相等；(2)解：V fiC=6,且3 c边上的高为5,*,MB C=X6X5 =1 5 ,:C E/A B.48。和4 84E是同底等高的两个三角形，*,S&B A E =ABC=15;8_LAC,AC=4,BH=后，/.SMfiC=；x4x y2=2V2T,V ZABC=

38、ZACB=60,ZG=ZGfiF=60,/.ZABC=ZACB=ZBAC=60,/G =/G B F=4BFG=0)。,AZBG=120,NEBF=60。,：,/E B F=/B A C,：.AC/BF,S.B=2/21：(3)解：如图，过点8作8EAC交。延长线于点 连接A E,取OE的中点R作直线A F,则直线A F即为所求，理由如下：AfB广：BE/AC,.ABC和 AEC的公共边A C上的高也相等,S.MBC=SMEC，S四边形A8CD M C+S448c=S.MCD+MEC=MED S四边形ABCF=SMDF=2 ShAED=5 S四边形/8 c o，AACO S1MBe.所以面积等

39、分线必与8 相交，取D E中点F,则直线A尸即为要求作的四边形ABC。的面积等分线.【点睛】本题主要考查了平行的性质，熟练掌握两平行线间的距离处处相等，并利用类比思想解答是解题的关键.23.(2021 上海嘉定七年级期末)在等边三角形A 8 C的两边A 8、4 c所在直线上分别有两点、M、N,P为 AA8C外一点，且 NM/W=60,ZBPC=120,BP=C P.探究；当点 M、N分别在直线A 3、A C上移动时，BM,NC,M N之间的数量关系.图(1)如图，当点、N在边A B、A C上,且PM =P N时，试说明M N =8W+CN.(2)如图，当点“、N在边A B、A C上,且时，M

40、N=8W+C N还成立吗？答：(请在空格内填“一定成立”“不一定成立 或 一定不成立”).(3)如图，当点、N分别在边A 3、C 4的延长线上时，请直接写出BM,N C,MN 之间的数量关系.【答案】见解析(2)一定成立 MN =C N-B M,理由见解析【解析】【分析】(1)由 PM=PN,NM PN=6 0。,可证得 MPN是等边三角形，又由 A8C是等边三角形，C P=B P,易证得R d B P M 咨RtA C P N,然后由直角三角形的性质，即可求得8M、N C、M N之间的数量关系B M+N C=M N；(2)在CN的延长线上截取C H=8M,连接P H.可证 P8M也即可得PA

41、f=P/7,易证得NCPN=/MPN=60。，则可证得AMPN丝 然 后 由 全 等 三 角 形 的 性 质，即可得结论仍然成立.(3)在A C匕截取CK=B M,连接P K,分别证明AP3M丝APCK和AAPK丝&VPM即可得到结论(1),;PM=PN,NM PN=6 0,.例PN是等边三角形，ABC是等边三角形，/A=NABC=/AC8=60。，：BP=CP,Z BPC=1 2 0,：.ZPBC=ZPCB=-(180-ZBPC)=-(180o-120)=30,2 2/MBP=/NCP=600+30=90,:PM=PN,BP=CP,BPM gRfd CPN(H L),：.Z BPM=Z CP

42、N-(120-60)=30,BM=CN,2:.PM=2 BM,PN=2 CN,，M N=2 BM=2 CN=BM+CN；(2)延长AC到使CH=8 M,连接P H，由(1 )知 NPBM=NPCN=90,ZPCH=180J-/PC N =90,.NPMM=/PC H ,在八/必”和APCH中，PB=PC 4PBM=ZPCE,BM=CH.,.B M a P C H (SAS),:PM=PH,ZBPM=ZCPH,/BPM +ZNPC=/BPC -/M PN=120-60=60,ZCPH+/N PC =ZHPN=60,:H P N =4M PN，在AW W 和A PN 中，PM=PH NMPN=4H

43、PN,PN=PN二.AA仍 WW(SAS),MN=H N,;HN=CH+CN=BM+CN,:.MN=BM+C N.故答案为：一定成立.(3)MN=CN BM在4 c 上截取CK=B M,连接PK,在 8 0和APCK中，PB=PCNPBM=ZPCK=90,BM=CK:.B M q APCK(SAS),:.PM=PK,ZBPM=/CPK,/NBPM+NBPN=/MPN=6 0，/CPK t /BPN=6O,./NPK=NBPC-(/CPK+/BPN)=120。-60。=60,:.ZNPK=ZNPM f在ANPK和ANPM中,PN=PN C.(1)求证：AD/BC.(2)求证：AABCAEW.(3

44、)如果 AB_L AC,求证：N B A E =2ZACB.【答案】(I)见详解；(2)见详解;(3)见详解：【解析】【分析】(1)由平行线定理两直线平行同旁内角互补证明；(2)根据平行线的性质和等腰三角形的性质先证 A B C/A C D A (A A S),再证 A B C A E 4 (S A S)；（3）过点4 作 AH _LBC于，由等腰三角形和余角的性质证明;(1)解：V A B/C D,：.ZB+ZBC=180,/ZB=ZADC,J ZBCD+ZADC=ISO0.：.A D/BC.(2)解：V A D/BC.:.ZCAD=ZACB,/B =/ADC在 AABC 和 ACZM 中，

45、,NACB=ZCADAC=CAA(A4S),:BC=DA,AB=CD,；AE=CD,.AB=AE,:./B =ZAEB,:A D/B C,：ZAEB:/E A D，ZB=ZEAD.AB=EA在 AABC 和 e D 中，ZB=ZEADBC=AD：.A A B C A EW (SAS).(3)解：过点A 作A N J.8C F”,：AB=AE,AH IB C,*.ZBAE=2ZBAH，在A/IBC中，ZBAC+ZB+ZACB=80,又 A8_LAC,ZZMC=90，ZB+ZACB=90,NB+NBAH=9G,：.ZBAH=ZACB,:.NBAE=2/ACB.【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三

46、角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定；熟练掌握其定理进行推理论证是解题关键.26.(2021.上海市徐汇中学七年级期 末)如 图1,AABC中，=AC,点。是 ABC内一点，且。4=O8=OC.试说明：ZBAC2ZABO.(2)如图2,延长8。交边AC于点。，当BCD满足8c=8。时:A 求/B C D的大小.将 AB。沿 翻 折 到 E5O,边BE交AC于 点 凡 若AB=AC=5,C F =m,请用含机的代数式表示AO的 长.（直接写出结果，不用写说明理由）ABC备用图【答 案】（1）说明见解析 6 7.5 ；+【解 析】【分 析】(1)根 据 他=AC,O A =O B =O

47、C,可 得A 08也AOC,AOC与AAQ3均为等腰三角形可得;(2)根据AABC和 为 等 腰 三 角形，设NR4O=a,表示出相应的角，利用三角形内角和为180。列方程解之即可；由NBAO=a=22.5。可得AAB尸是等腰直角三角形，可以表示出4f、M的长度，再过D作构造AAD”为等腰直角三角形，进而转化边的关系即可.(1)解：V AB=AC,OA=OB=OC,：.403 丝AOC(SSS),/.ZBAO=ZCAO=ZABO,NBAC=2ZABO.(2)解：设 ZfiAO=e,则/ft4 c=2。，ZABC=ZACB=90-a ,：.ZCBD=900-a-a=90-2ct,BC=BD,：.ZB)C=ZACB=90-a,在 BCD中，2(90-a)+90-2a=180,得a=22.5,NBCD=675。.翻折，NEBO=ZABO=22.5,.ZABE=ABAC=45,：.ZBE4=90,BF=AF,V AB=AC=5,CF=m,/.AF=BF=5-m ,过。作A:.DH=DF,在A。”中，AD=D H，*.AD+DF=5-tn,/AD+-A D =5-m,2：.AD=(2-yf2)(5-m)=10-5/2-2m+42m.【点睛】本题考查了三角形全等的性质和判定，等腰三角形以及等腰直角三角形性质.解题关键是学会添加辅助线构造等腰直角三角形，从而转化线段之间的关系.