2022考研数学（三）10月模考试卷附答案解析.pdf

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1、2022考 研 数 学（三）10月模考试卷附答案解析1设当 x 0 时，a(x)=t a n x-s i n x,/3(x)=Jl+x2-fl-x1,父力=tdt都是无穷小，将它们关于x的阶数从低到高排列，正确的顺序为()A.a(x),凤 x),y(x)B.a(x),y(x),尸(x)D.A)=a(x)，X x)参考答案D 答案解析当 Xf 0 时，/6=4+X2 7 1-X2=t,X,),Jl+x2+J1-X2a(x)=t a n x-s i n x =(1-c o s x)t a n x ,y(x)=J*；0 s飞n/jr fr =-c o s/jj0 0 51=1-c o s(l-c o

2、 s x)三 故 D 正确.已知y=+o x?+bx+c在x =-2处取得极值，且与直线y =-3%+3相切于点(1,0),则()A.a=1.6=&c =6B.a =-L b=8.c=-6C.a=1.6=8.c =-6D.a =-L b=8：c=6 参考答案A 答案解析由已知，y(-2)=0,/(l)=-3,j(l)=0(/+皿2+取+。)_2=0,fl2-4a +6=0s即(x +ax1+bx+c)|x J=3,即，3+2a+b=-3,解得a =Li =-8,c =6 一 故 选 A.(j?+a x2+6x+c)|I_1=0,l+a +b+c =O,31设反常积分/（丁 -/班 收 敛，则正

3、确的是（）A.k-1C.klD.kl 参考答案D 答案解析i i,i.1。一年一一=/（/叫T）.当x 时，与/（l c o s B是等价x无穷小，又l-c o s L与人是等价无穷小，则/（）布-J）与丁:是等价无穷小一x 2x lexi当左 ,故/（）、-厂）成收敛；当上N 1B寸，2-k ,上是阶数不高于工的无穷小，故lex x1/0s l-火 发 散.故选D.4y a r c t a n 7,(x,v)H(050)s设次+6 则/(x,y)在点(0,0)处().0,(乂)，。0),A.连续但不可微B.偏导数存在但不连续C.可微D.连续但偏导数不存在 参考答案C 答案解析由 a r c

4、t a n 1 】有界，知 Hm /(x.v)=li m v a r c t a n j 1=0 =f(Q.0),历7 浮湛 历7故f(x j)在点(0,0)处连续.於 0)=li m /)二/。)=5 =0,3 X O Xfy(0.0)=li m-=li m a r c t a n =,i V 3To|y|23-可 乂)，)一0。-J(0,0)x+4(0。川p p1 m n 、v a r c t a n ,、O x H-j:此.2旧+/所以/(x,y)在点(QO)处可微，故C正确.5设%=(%),，叼=(bi，b2,b3)T,a3=(c1,c2,c3)T,其中 a：+6：H 0(Z=L2,3

5、),则三条直线。/+3+6=0(1=1,2,3)恰好仅交于一点的充要条件是().A.r(a1.n-r(4)之2=r(A)4 -2 =/中-1阶子式全A1=0.A*x=0有 n-r(A)=C 基础解.又 AA*=h N|E=O及.4x=0 n AAx=0 ,即.4x=0的解均是 Ax=0 的解，故选B.显然可排除A.由于出：=0与 氐=0,当：4 4 4 4)+/9)时，；,=0有非零解，即出:=0与 外=0有非零公共解.又44=O=r(4)+r(4)W，故当广(+(/)时，4 r=0与/、=0有非零公共解，故排除C.而4 r=0与Ax=0恰好由一个非零解构成公共基础解系，需条件=:)=1，故排

6、除D.7设兀二次型f(xl,x2,-,xn)=(xl+勺 毛)？+(巧+生再)2 +(玉+4百 了，其中q(i=L 2,均为实数，若二次型正定，则().A.l+C-l a -a OC.1(1广 x0D.1(I).%a*=0 参考答案A 答案解析由正定二次型的定义，知 冷 孙 正定的充分必要条件是对任意冷 孙,修，有/（不用，3）之 0,其中当且仅当方程组只有零解时等号成立 一再+为毛=0,毛+/演=0,A +a i =-方程组只有零解的充分必要条件是系数行列式不为零,100a20000即=1+(-1广 /w 0,因此，当0a“000010%11+(-1严 4%4*0 时，时任意不全为0 的再，

7、孙,修都有/（七,巧-3）0,故正定，A 正确.设/且尸（川口+尸（引豆）=1,则（）A N 与3 互不相容B.N与8 相互独立C.4 与3 对立D.H与3 不相互独立 参考答案B 答案解析由 1 一 尸(0 月)=P(A B),知 P(AIB)=P(A B),即尸(且 8)_ 尸(，p)_ 尸(X)尸(4g)尸(3)一尸 )1-P(5)-故可得，PG1B)=P(J)P(5),即4 8 相互独立.故选B.I设随机变量正,玛，,X 相互独立，记=冬+乂+X，根据列维T 木德伯格中心极限定理，近似服从正态分布(充分大),则只要与,为 二孤()A.服从同一离散型分布B.服从同一连续型分布C.服从同一

8、指数分布D.具有相同的期望与方差 参考答案C 答案解析列维T 木德伯格巾心极限定理的条件是区,区，.X 独立同分布，且期望与方差均存在.满足选项A,B 的随机变量的期望或方差不一定存在，故排除A,B.对于D,有相同的期望与方差未必有相同的分布，故排除D.只有C 正确，指数分布的期望与方差均存在.故选C.10_ 1 16设总体X-NadXM/s/16)为总体X的简单随机样本，了=7 7为M,161.PX-/k=PX-u 4,则左=()D.16O-参考答案C 答案解析由 丫 (。2),则了N(4学)，故 七 型N(0,1)(一旦阳0.1),16 a a于是尸|丫-川 无=尸|士|勺=2次上)-1,

9、a a a 4(X-Li 42 42PX-/i 4 =P 包|30。乂)-1出(工)，则rrA D =t a n(-x)-lf|X J-g(l)+0-gr(D=t a n g x)1|z 卜 a n(：V)-2t a n g )10 0|x 4=-(-99!)=-4 8鸿)2412设人力为连续函数，且/(x)=x+2：/S d f,贝 l f(x)=.答案解析令=4(常数)，KIJ/(X)=X+2J,/(x)d5c=xdr=lA dx,即/=g +2/4,解得N=-g,故/(x)=x-L13设乂乂2)=当”,且z=z(x,y)由 方 程d+V+z?-?中z=0确 定，则力(LL1)=_ 答案解

10、析由 f(x,y,z)=X2/z，,得以乂 y,z)=2xy2z3+3xy 2z2.ex方程r+F+z，-3型z=0两边同时对X求偏导，得2x2z 3yz-3xy=0,dx dx解 得/=多，故A x j,z)=2孙223+3/氏2一 手，所以ex 3 孙-2z 3孙-2zHQ,L1)=T.14设区域。由 x=-ly-y2,x=-2,y=0 =2 所围，贝lj/=y d x d y=.答案解析如图所示，设I-2 x Os0 y 2 ,=(xy)|一必一丁 4x40,则/=ff ydxdy=|j ydxdy-ydxdyr2 sinddrr 0 r 2 P K rising=LMM上 珂。15须+

11、2七+为=3S设方程组，2再+（上+4）电-5演=6：有无穷多解，贝|左=一 再 _ 2x2+%=-3,答案解析对非齐次线性方程组的增广矩阵7 作初等行变换,flA=2-12 1 3、1 2 1T 0 左-70 0 左+13、0,由方程组有无穷多解,知/(4)=N)3,故左=-1或左=0一16Q设随机变量KY均服从区间为 0:4的均匀分布，P maxXJ3 =.答案解析依题设，X J的概率密度均为“X)=3=尸 y 3 =L0,其他，49 7P(X 3)U(Ir3)=l-P 3,r 3=l-P m a x X.r 3 =PX 3,7 3 =PX 3 +PY 3-P(X 3)U(F 3)117

12、1+-.4 4 16 1617求曲线y =二 相 显(x N O)绕x轴旋转所得旋转体的体积.答案解析先求 f(x)=-r Js i n x(x 0)的定义域.由s i n x N O,知x e2Ax.(2左+1)网(左=L2,)，如图所示则所求体积为V=句:如 产 s i n xdxX =t+2 k 7 l 司户2)s i n tdt s i n tdtM 如 i-0 *D =乃(产(等比级数求和)=双L=_L5 x 5 1 e 5(1 c18求函数/(%P)=Q+y)2+(1+力2在条件X2+丁+冲=3下的最大值.答案解析利用拉格朗日乘数法，令xj/W Q+j T+Q+xy+V+J+-B)

13、,则Z =2(1+力+A(2x+)=0,Z；=2(l+y)+X(2y +x)=0,A；=x2+y2+孙-3=0.由消去尤，得(一)(+y一1)=0,故x =y或x+y-1=0.当x=y时,代入式，解得x =y =l；当x+y =lB寸，代入式，解得x =2,y =-l或x=-l,y=2.比较大小：/(LI)=8s/(-l-l)=05/(2-1)=/(-L2)=9,故/(x j)的最大值为9.19K 2计算/=1d g 向 r2cos0dr.4 小-答案解析直接计算极坐标下的二次积分较烦琐，将其化为直角坐标下的二次积分一6=2 =y =%；42r=-=x=2;c o s 6A,=/y=11=,x

14、y=1.V s i n c o s J户 s i n 8 c o s 6 4工积分区域如图所示，故在直角坐标系下有1=峨9=J：x(x-)dx=fx2dx _ J；去=:20设4 =；/F7&bn=仔s i n。td代n=1 2），求级数冗（-1严:的 和.答案解析an=X|:s i n f-c o s2 tdt=;s i n 用一s i n:t)dt=1；同砒-J：s i n tdt=bn-b2.又KKb2-J sin=-o2 s i n z r f(c o s t)K K=-c o s Z s i n 史 一 (Q2 c o s (w+1)s i n 2 r-c o s tdtK=(+D

15、E s i n 1-s i n2 0 =(+1)久 一(+l)b*2，移项得晨2=不 如 所 以4 =如故？=bn1n+2 则之(-1尸？=(-1产 VZi bn t i n+2O D1构造黑函数，令S(x)=3(-l)M*-xm2,则(力=次(-1)5=匕|#1,-i 1+x积分得 S(x)-S(O)=J=；x2 x+ln(x+1),1 0 0 0、令尸=（氏/氏不向，故AP=P B,其巾5=1 0 1、0 1 0,即尸-%P=5,所以N-E 与8-E 相似,故 N N _ E)=3 E).而r-lr(B-E)=r(1、0 0、-1 1 )=2,所以r(4-E)=2.1-L22设 随 机 变

16、 量 见 工,及 相 互 独 立，且 均 服 从 参 数 为；I的指数分布，记T=max 匚及.（1）求丫的概率密度4。）；（2）求期望ET.答案解析（1）由已知，M 与工相互独立，故（理 区）的概率密度为再 嚏 0:0.其他.设丫的分布函数为耳。），则当）w o 时，耳3）=0；当），0时，有耳0，）=尸 minXi，X2”对=1 一 尸%以乙 用=1 一 尸 区 y PX2 乃=1一。-卬。-4=1 一。口,故 我）2）产；：。,I o.yo.（2）先求T 的分布函数与概率密度.当two时，片=0；当C 0 时,有耳=尸 7=f m a x U X J 3 =尸丫丸工二正而丫=min区/?与 区相互独立，故耳=PY t PX3 0.所以人（。=咛 =0,o于是 ET=tAe-lt+2 初-r -3Ae-3it）dt=-+-=.J。A 22 3A 6A