2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第九章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程.pdf

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1、第九章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程【考试要求】1 .在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3 .能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.4 .掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.【高考考情】考点考法：直线及其方程在高考中单独考查的较少，通常与其他知识结合起来进行考查，有两种常见方式：一是与导数结合，求曲线的斜率、倾斜角和切线方程等；二是与圆、圆锥曲线结合，考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系等.核心素养：逻辑推理、数学运

2、算Q一.如包林理二思傕激活,一 oa【归纳】温故而知新，上下而求索；【注解】即时点拨，秒懂闪过；【智学】走进散材，探源海流快练小题；对点对题，轻巧落实过四基归纳知识必备1 .直线的倾斜角川(1)定义：当直线/与X 轴相交时，取 X 轴作为基准，X 轴正向与直线,向上方向之间所成的角.(2)规定：当直线/与x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0.范围：直线/倾斜角的取值范围是 0,).,注 解 1平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.2.斜率公式J I(1)定义式：4=四 1 三(1 的倾斜角为a ,).(2)坐标式：

3、),P2(x2,在直线,上，且 小#如 则1的斜率k=丫2 一%.X2-X1注 解 2如果%=%,也工用，则直线与X轴平行或重合，斜率等于0；如 果 必/%，Xi=X则直线与X 轴垂直，倾斜角等于9 0 ,斜率不存在.3.直线方程的5 种形式r 注 解 3把直线 取十分+。=0（留 华 0）化为下面的形式:X V化为截距式：Ax+By=-C B p-+：,=1.A B名称程适用条件点斜式斯）不含垂直于x 轴的直线斜截式y=kx+b不含垂直于X 轴的直线两点式 必 xXxJ2-Z i 至 一 为不含直线X=X 1 （不W3和直线y=y （%W%）截距式一 +7 =1a b不含垂直于坐标轴和过原点

4、的直线一般式卬/x+的+C=0,平面内所有直线A r化为斜截式：y n X.D D（2）在一般式4 x+C=0（4 6 不全为0）中，若力=0,则 尸一），它表示一条与y 轴垂D直的直线；若 8=0,则x=一 ,它表示一条与x 轴垂直的直线./1智学变式探源1.（改变问题）若过两点/（一 加，6）,6（1,3 4的直线的斜率为1 2,则 直 线 的 方 程 为.1.选择性必修一 P 5 7 T32.选择性必修一 P 6 7 T1 0【解析】由题意得誓=1 2,解得勿=一 2,1 十 加所以4（2,6）,所以直线4 7 的方程为y6 =1 2 （x 2）,整理得 1 2-y-1 8=0.答案：1

5、 2 x y1 8=02.（改变题型）若 方 程 及+的+。=0表示与两条坐标轴都相交的直线（不与坐标轴重合），则应 满 足 的 条 件 是.【解析】由题意知直线斜率存在且斜率不为零，所以/W 0 且 后 0.答案：4 W 0 且 屏 0慧 考 四基自测3.基础知识4.基本方法5.基本应用6.基本能力3.（求斜率）若直线/为5 x 1 2 y+3 =0,则直线/的斜率为（）1 2A-T5c 1 2D.1 2T5B-1 25 1 5【解析】选 B.直线/方程5 x 1 2 y+3 =0 可化为：y=x+,所以直线/的斜率为力.4.（点斜式求直线方程）经过点（0,3）且倾斜角为0 的直线方程为（）

6、A.x=3 B.y=3C.y=x+3 D.y=2 x+3【解析】选 B.因为直线倾斜角为0 ,故斜率为t a n 0 0 =0,则直线方程为y3 =0 X （“一0）,即 y=3.5 .（一般式与截距式的互化）直线2 x+y+l =0 不通过第 象限.【解析】当 x=0 时，y=-1,当旷=0 时 =一；,故直线2 x+y+l =0 过第二、三、四象限，即直线2 x+y+l =0 不通过第一象限.答案：一6 .（直线方程的综合应用）已知直线yl =A（x l）恒过定点A且 点A在直线mx+ny-2=0（勿 0,0）上，则“的最大值为.A 1=0 x=l【解析】由直线yl =A（x 1）得，八即

7、，.l y-l=0 l y=l所以直线yl =4（x l）恒过定点2（1,1）,代入勿x+“y2 =0 得加+=2.又就0,7?0,所以“W （詈了=（|了=1,当且仅当/=1 时取等号，所以“的最大值为1.答案：1O 空 点 探 究.悟法培想 O9【考点】自主练、互动研、多维探；【方法】简单自通，指导悟通；【纠偌】貌似神异对对碰，触类旁通；【新视角宽命题新方向，创命题新情境.考点一 直线的倾斜角与斜率|讲练互动 典例1 (1)直线X s i n a y+l =O的倾斜角的变化范围是()JIA.(0,)B.(0,n)rC.一n了，yJ T r!D.r 0,yJ I r u r3 J I ,n)

8、、【解析】选 D.直线x s i n a y+1 =0的斜率是A=s i n a,又因为一IW s i n aWl,所以一1 W A W 1.当 0 W A W 1 时，倾斜角的范围是 0,:,人 3 兀当一1 W A O 时，倾斜角的范围是 一 7，n ).(2)直 线/过点尸(-1,0),且与以4(2,1),8(0,乖)为端点的线段有公共点，则直线1斜率的 取 值 范 围 为.【解析】如图，过力(2,1),/(一1,0)的直线 的 斜 率 为 左=二/=|,过 3(0,小),产(-1,0)的直线的斜率为左=c守 一 心、=小.由图可知，过点尸的直线/与线段四有公共点的斜率的取值范围是旧，出

9、 .O答案：3,小/一题多变(1)本例改为：“若直线/的方程为X s i n a-y cos G+1 =0,其中a e(一5，0)”,则直线1的倾斜角为.s i n a【解析】直线1的斜率k=-cos 。=t an a,因为 a e(1-,0),所以 n +a G (y ,JI),故在=t an a=t an (JT+c).所以直线/的倾斜角为n +a.本 例 中 的 点 尸(一1,0)改为尸(1,0),其他条件不变，则直线1斜率的取值范围为【解析】直线P A的 斜 率 为 心=1,直线加的斜率为的=半=一 小，故过P点的直线/与线段力3 有交点的斜率的取值范围是(-8,_ 小 U 1,+8)

10、.答案：(l)+a(2)(8,-y/s U 1,+-)，规律方法1 .倾斜角a 与斜率4的关系J I(1)当 a W 0,)时，A G 0,+8).乙 当 a=5 时，斜率4 不存在.乙 当 a G (万，“)时，尾(一 8,0).2 .斜率的两种求法|自主完善，老师指导(1)定义法：若已知直线的倾斜角。或。的某种三角函数值，由 丘 因 L t 求斜率.公式法：若已知直线上两点/(，乂)，6(X2,%)，一般根据斜率公式k 二 必 二 乂 区 O X?)X2 -X|一求斜率.提醒：倾斜角。范围与直线斜率范围互求时，要充分利用尸t a n。的单调性.对点训练2L （2 0 2 2 江门模拟）如图

11、，平面四边形/腼的顶点都在坐标轴上，直线相的斜率为鼻，直线 8。的斜率为一;，则 t an NABC=（）【解析】选 C.由三角形的外角公式得所以t an Z ABC=t an(乙xCB4 xA由k/K-k,U!1 +kuckA B1 _ 22-374 ,2.（2 0 2 2 潍坊模拟）过函数F（x）=；f一系图象上一个动点作函数图象的切线，则切线倾O斜角的取值范围为（）3 J i 兀 3 兀A.0,B.0,万）U ,n）【解析】选 B.因为F （x）=f2*=（x 1,所以斜率4=t a n。一1,解得倾j i 3 J i斜角 a G 0,)U ,JT).【加练备选】1.若图中的直线儿1 2

12、,人的斜率分别为A”k2,k3,则（）A.kik2Vk.3B.k3ki 0,b 0,直线】的方程为是=1,所以|+(=LS|M B|=-M A M B =-(a-2,-1)(-2,b 1)=2(a 2)+b l=2 a+b 5=(2 a+b)()5=+勺 24,当且仅当a=b =3 时取等号，此时直线1 的方程为xa b a b+y-3=0.角度2 与数列综合 典例3 在直角坐标平面中，已知点列A(1,一习，A(2,A(3,一 J，A,(n,(1)f，其中n 是正整数.连接AA的直线与x 轴交于点B,(x,0),连接A 2 A 3 的直线与x 轴交于点B2(X2,0)，连接A A+i 的直线与

13、x 轴交于点B(x,0)，.则数列 xj的 通 项 公 式 为.【解析】由已知，直线A.A n+1 的斜率为k.=(-1)n+1(-1)2 1 i+l 2r l O /_ i n+l/_ j x n厂 F-=o.，所 以 直 线 A.,A +l的 方 程 为 y =（X n）,令 y =0,得 Xn =n+w.答案：x =n+-o，规律方法与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.(2)求直线方程：弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程.(3)求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标

14、适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.多维训练1 .已知直线(a l)x +ya 3=0(a l)，当此直线在x 轴，y 轴上的截距和最小时，实数a的值是()A.1 B.y2 C.2 D.3a+3 a+3【解析】选当 x =0 时，y=a+3,当 y=0 时，x=,令 t=a+3+=5+(a 1)a 1 a 1所以 a l 0.所以 1:2 5+2、(a-1)高=9.4当且仅当a 1=-a 1?，即a=3 时，等号成立.2 .已知直线1 过点M(2,1),且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A,B 两点，。为坐标原点，当A A OB 面积最小时，直线1 的方程为.【解析】设直线 1 的方程为 yl=k(x 2)(k V O),则 A(2；,0),B(0,1 2 k),S 栅=:(1 2 k),(2：)=7 4+(-4k)+(：(4+4)=4,当且仅当-4k=；，即 k=k 2 k 2 k一；时，等号成立.故直线1 的方程为y1 =-g (x 2)即x+2 y4=0.答案：x+2 y-4=0