2023年新高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题5.pdf

《2023年新高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题5.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年新高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题5.pdf（19页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、专题5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数（真题测试）一、单选题1.（2022.宁夏银川一中模拟 预 测（文）已知点P在角e 的终边上,且6 0,2 兀）,则角e 的大小为（）.7 1 c 2兀A.B.3 3c 5兀 r 4兀C.D.3 32.（2011山东高考真题（文）点（49）在函数丫=3*的图象上，则 t a n 的 值 为（）6A.0 B.立33.（2007北京高考真题（理）C.1 D.5/3已知cos夕ta n 0,则（）A.sin a 0 B.co sa 0 C.sin la 0 D.cos2zz 05.（2014.全国高考真题（文）已知角。的终边经过点（-4,3）,则c o s

2、 a=（）A.-B.-C.-D,-&5 5 5 56.（2015 上海高考真题（文）已 知 点Z的坐标为（4后 ，将。d绕坐标原点O逆时针旋转耳至。，则点B的纵坐标为（）.A.31 B.亚2 211、13C.D.2 27.（2020山东高考真题）下列命题为真命题的是（）A.10 且 34 B.12 或 45C.HreT?,cosx 1 D.Vxe/?,x2 08.（2020北京高考真题）2020年 3 月 14日是全球首个国际圆周率日（%Day）.历史上，求圆周率乃的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔 卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正6 边形的周长和外切

3、正6 边 形（各边均与圆相切的正6 边形）的周长，将它们的算术平均（30 30）数作为2%的近似值.按照阿尔 卡西的方法，万的近似值的表达式是（）.A.3n sin +tan I n 二、多选题B.6/i W+t a n 吗kn n)9.（2 0 2 2 江西高一期中）已知角。的终边与单位圆交于点P3 m5,5,则s in a的值可能是（）A.?B-Ic-4D-I1 0.（2 0 2 2 辽宁 建平县实验中学高一期中）已知点P（s in 夕-c o s。,t a n。）在第一象限，则在 0,2 划 内，的取值范 围 是（）A.B.7 1 7 14,2C.7 1 3乃D.3 45 4T,T54

4、彳1 1.（2 0 2 2 浙江 平湖市当湖高级中学高二阶段练习）在平面直角坐标系x O y 中，角。以3为始边，终边经过点P（T,?）（加0）,则下列各式的值一定为负的是（）A.s in a+c o s a B.s in a-c o s a s in aC.s in a c o s a D.-t a n a1 2.（2 0 2 2 云南 会泽县实验高级中学校高一开学考试）己知扇形的半径为小弧长为/,若其周长为4,则下列说法正确的是（）A.若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为1B.该扇形面积的最大值为1C.当该扇形面积最大时，其圆心角为22 1 ,D.-+:的最小值为3r I三、填空题兀 7

5、11 3.（2 0 2 0 山东 高考真题）已知a e ,若s in a =0.8,贝恒=r a d.1 4.（2 0 2 0.浙江高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：c m2）为 2 兀，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：c m）是1 5.（2 0 1 1 江西高考真题（文）已知角6 的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若 p（4,y）是角夕终边上一点，且s i n 0=-2,贝 y=.51 6.（2 0 1 0 北京 高考真题（理）如图放置的边长为1 的正方形P A B C 沿 x轴滚动.设顶点p（x,y）的轨迹方程是y=/（x）,则f（x）的 最 小 正 周 期

6、 为；y=f（x）在其两个相邻零点间的图像与x 轴所围区域的面积为.说明：“正方形以BC沿X轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点8 落在x 轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续.类似地，正方形以BC可以沿x 轴负方向滚动.四、解答题17.（2021 全国高一课时练习）（1）如果sin a 0,ta n a 0,则a 是第几象限角.（2）若 tanasina 轴上时，其正切线不存在；所以正切函数y=tam;的定义域是b+版#e Z的正切线研究得出正切函数y=tanx的单调性和奇偶性；（2）根据阅读材料中图，若角a 为

7、锐角，求证：sin a atan a.21.（2022 全国高一阶段练习）某圆台的侧面展开图为如图所示的扇环（实线部分），已知该扇环的面积为乃，两段圆弧所在圆的半径分别为1和 2.（1）求扇环的圆心角a 的大小；（2）求圆台的体积.22.（2022上海高考真题）如图,矩形ABC。区域内，。处有一棵古树，为保护古树，以。为圆心，D 4为半径划定圆。作为保护区域，已知AB=30m,4）=1 5 m,点 E 为 4B 上的动点，点尸为CD上的动点，满足EF与圆。相切.(2)当点E在A 3的什么位置时，梯形FE8C的面积有最大值，最大面积为多少？(长度精确到0.1 m,面积精确到0.01m2)专题5.

8、1 任意角和弧度制及任意角的三角函数（真题测试）一、单选题I.（2022.宁夏 银川一中模拟 预 测（文）已知点力；,书 在 角e的终边上，且6 0,2兀），则 角。的大小为（）.7 1-2兀 c 5兀 4兀A.-B.C.D.3 3 3 3【答 案】B【解 析】【分 析】根据给定条件，确 定 角e的范围，再利用三角函数定义求解作答.【详 解】依题意，点在第二象限，乂 同0,2兀），则 而tane=-G，所 以。号27r故选：B2.（2011.山东高考真题（文）点（49）在函数丫=3*的图象上，则tan 4的 值 为（）0A.0 B.爽 C.I D.J 33【答 案】D【解 析】【详 解】将（a

9、,9）代 入 到y=3x中，得3a=9,解 得a=2.a兀 兀-/t an 1=t an-7=V 3-0 o故 选D.3.（2007北京 高考真题（理）已知cos夕ta n 6 0,那 么 角 夕 是（）A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角【答 案】C【解 析】【分析】【详解】cos。tan 8 0时，第三象限；当 cos60,tan0 0,则（）A.sin a 0 B.cosa0 C.sin la 0 D.cos2a 0【答案】C【解析】【详解】sin a试题分析：由tan cr=-0，可得：sin a,cos a 同正或同负，即可排除A 和

10、B,又由sin 2a=2sinacosa,cos a故 sin 2a 0.5.（2014.全国.高考真题（文）已知角a 的终边经过点（-4,3）,则cosa=（）A.-B.-C.-D.-5 5 5 5【答案】D【解析】【详解】X 4试题分析：由题意可知x=-4,y=3,r=5,所以cosa=-=-匚.故选D.r 56.（2015 上海高考真题（文）已 知 点Z的坐标为（4j5，D，将CX绕坐标原点。逆时针旋转于至0 8，则点B的纵坐标为（）.A.童 B2 211 13C.D.2 2【答案】D【解析】【详解】试题分析：由题意0 4=0 8=7,设 OA与 x 轴所成的角为a,显然0 ia =4，

11、c o sa=4 g,故 血a+2)=2 x+述x 2 =U,故纵坐标为OB，(a +n)=U3 7 2 7 2 14 3 27.（2020山东 司考真题）卜列命题为真命题的是（A.10 且 34B.12 或 45C.BxeR,cosx 1D.Vxe/?,%2 0【答案】D【解析】【分析】本题可通过4 3、1 2、4 3,所以10且3 4 是假命题，A 错误；B 项：根据1 2、4 cos。，再分别讨论求解即可.【详 解】解：因 为 点P（sin。-cos。,tan。）在第一象限,所 以 t a n 。,即 位于第一象限或者第三象限且，且满足si n”8 S。,所以，当夕位于第一象限时，时，s

12、i n 8c o s，；当夕位于第三象限时，时，si n e c o s6.故选：A B11.（20 22浙江 平湖市当湖高级中学高二阶段练习）在平面直角坐标系X。），中，角a 以。r为始边，终边经过点P（-1,，）（相 0）,则下列各式的值一定为负的是（）A.si n a+c o sa B.si n a-c o s a_si n aC.si n a c o s a D.-tan a【答案】C D【解析】【分析】首先确定。在第二象限，得到si n c 0,c o s z v 0,tan a 0）,所以a 在第二象限，所以 si n a 0,c o s6Z 0,tan a 0,所以选项A不满足题

13、意；3 2 2si n asi n a-c o sa0；si n ac o sa0；-y =-37 1 6+/516.（2 0 10 北京高考真题（理）如 图 放 置 的 边 长 为1的 正 方 形P A B C沿x轴 滚 动.设 顶 点p （x,y）的轨迹 方 程 是y=f M,则f（x）的最小正周期为；y=/（x）在其两个相邻零点间的图像与X轴所围区域的面积为.说明：“正 方 形B 4 3 C沿X轴滚动”包 括 沿X轴正方向和沿x轴 负 方 向 滚 动.沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当 顶 点3落 在x轴上时，再 以 顶 点B为中心顺时针旋转，如 此 继 续.类 似 地

14、，正 方 形 以B C可 以 沿x轴负方向滚动.【答 案】万+1【解 析】【详 解】【分 析】试题分析：从某一个顶点（比如A）落在x 轴上的时候开始计算，到下一次A 点落在x 轴上，这个过程中四个顶点依次落在了 x 轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1,因此该函数的周期为4.卜面考察P 点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P 点从x 轴上开始运动的时候，首先是围绕A 点运动!个圆，该圆半径为1,然后以B 点为中心，滚动到C 点落地，其间是以BP为半径，旋转90。，然后以C 为圆心，再旋转90。，这时候以C P 为半径，因此最终构成图象如下：（2）若 tancrsinorvO,则a 是第几

15、象限角.（3）若sin a 与cosa异号，则a 是第几象限角.（4）若cosa与 ta n a 同号，则a 是第几象限角.【答案】（1）第一象限角；（2）第二或第三象限角；（3）第二或第四象限角；（4）第一或第二象限角.【解析】【分析】由三角函数在各象限内的符号可确定结果.【详解】sina fsina 0 4M a（1 ）vsintz 0,tana=-0,.cosa 0,由，八 知：。为第一象限角；（2）tan a sin tz=-0 cos a.cosa0 sina 0,（3）.sina与cos a 异号，即 或，a 是第二或第四象限角；cosa 0f tan a 0 ftancr 0 c

16、osa 0 时，r=5a,sina=-=一二，cosa=,二.2sina+cosa=；5a 5 5 5.3a 3 4c.2当 avO时，r-5a /.sina=-=-,cosa=,2sma+cosa=.-5a 5 5 52 2综上可知，2sina+cosa的值为）或一.19.（2021 全国高一专题练习）如图所示，滚珠P,。同时从点4 2,0）出发沿圆形轨道匀速运动，滚珠。按逆时针方向每秒钟转9 弧度，滚珠。按顺时针方向每秒钟转弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度36【答案】（1）时间为4 秒，（-1,-G）（2）P 点滚动的路程为 粤，。点滚动的路程为口.【解析】【分析】（1）设P、。第

17、一次相遇时所用的时间是入 列出方程，求出f,再求出相遇点的坐标；（2）再第一问的基础上，代入弧长公式即可求解.（1）设产、。第 次相遇时所用的时间是，则 t-+1-=2n,3 6.,r=4（秒），即第一次相遇的时间为4 秒.设第一次相遇点为C,贝 ija =2cos与=-1,yc=2 s in y =-3,，C 点的坐标为（-1,-百）,（2）第一次相遇时，P 点滚动的路程为W47r x2=R?ir,。点滚动的路程为947r*2 =4兀:，故第二次相遇时，P 点滚3 3 6 3动的路程 为 乂 2=学，。点滚动的路程 为 孚*2=等.3 3 3 320.（2021 江苏 高一专题练习（文）阅读

18、与探究人教A版 普通高中课程标准实验教科书数学4（必修）在第一章的小结中写道：将角放在直角坐标系中讨论不但使角的表示有了统一的方法，而且使我们能够借助直角坐标系中的单位圆，建立角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，从而用单位圆上点的纵坐标、横坐标来表示圆心角的正弦函数、余弦函数因此，正弦函数、余弦函数的基本性质与圆的几何性质（主要是对称性）之间存在着非常紧密的联系例如，和单位圆相关的“勾股定理 与同角三角函数的基本关系有内在的一致性；单位圆周长为2 7 与正弦函数、余弦函数的周期为2%是一致的；圆的各种对称性与三角函数的奇偶性、诱导公式等也是一致的等等因此，三角函数的研究过程能够很好地体现

19、数形结合思想.下而我们再从图形角度认识一下三角函数.如图，角。的终边与单位圆交于点P.过点P 作 x 轴的重线，重足为 M.根据三角函数定义.我们有：I MP=y|=|sina,OM =x=cosa|.如图.过点A（l,0）作单位圆的切线.这条切线必然平行于y 轴（为什么?），设它与“的终边（当。为第一、四象限角时）或其反向延长线（当。为第二、三象限角时）相交于点根据正切函数的定义与相似三角形的知识，借助有向线段04,A7.我们有tana=A7=）.我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、A T,分别X叫做角。的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.单位圆中的三商品数线是数形结合的有

20、效工具，借助它，不但可以画出准确的三角函数图象，还可以讨论三角函数的性质.依据上述材料，利用正切线可以讨论研究得出正切函数y=tanx的性质.比如：由图可知，角a 的终边落在四个象限时均存在正切线；角a 的终边落在x 轴上时，其正切线缩为一个点，值为0；角a 的终边落在y 轴上时，其正切线不存在；所以正切函数y=taiu 的 定义域是卜+的正切线研究得出正切函数y=tanx的单调性和奇偶性;(2)根据阅读材料中图，若角a为锐角，求证：sinac?tan.【答案】在区间+上单调递增；奇函数(2)证明见解析【解析】【分析】(1)在 单 位 圆 中 画 出 角 的 正 切 线，观察随X增大正切线的值

21、得变化情况，再观察时,正切线的值随x增大时的变化情况，发现正切函数y=tanx在区间+k乃+版 )k e Z)上单调递增，且为奇函数；(2)当a为锐角时，在单位圆中作出它的正弦线 而，正切线灯，根据图形判断出S，o“S扇形的&万,、十Z)上单调递增；山题意知正切函数y=tanx的定义域关于原点对称，在坐标系中画出角x和-x,它们的终边关于x轴对称,在单位圆中作出它们的正切线,可以发现它们的正切线长度相等，方向相反,即tan(-x)=-tanx,得出正切函数y=tanx为奇函数.如图，当a为锐角时，在单位圆中作出它的正弦线丽，正切线行,又 勿 心=；|衣 卜 与形必=?l x|a|,S =g x

22、 l x|阿，而 S 扇 形PQA SQAT,故|A f P|a|,t!J s i na a=15m,点E为AB上的动点，点F为C。上的动点，满足 尸与圆。相切.若N4E=20,求EF的长;（2）当点E在A8的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？（长度精确到O lm,面积精确到0.01m2）【答案】（l）23.3m（2）当AE=8.7时，梯形FE8C的面积有最大值，最大值为255.14【解析】【分析】（1）设E F与圆。相切于对点，连接DH，则DH=AD=5,在直角/和直角中分别求出 ，“尸,从而得出答案.（2）先求出梯 形 型D的面积的最小值，从而得出梯形尸EBC的面积的

23、最大值.设E厂与圆。相切于对点H,连接则Z）H_LEF,DH=AD=15则M =所以直角AADE与直角/）全等所以 ZADE=ZHDE=20在直角 的）中，EH=D/tan20=15tan20NHDF=90-2ZADE=50 在直角 AFHD 中，HF=ATtan50=15 tan50EF=EH+HF=15（tan 200+tan 50）=15cos20 cos5015x sin20cos500+cos20sin500 _J 5 xsin（20。+50。）。=5x sin70=15 cos20cos50-X cos20cos500 cos20cos50 cos50设 Z A O E =N H

24、D F=9 0-2 0,则 A E =15 t a n0,=15 t a n（9 0-2 ）SV Ero=-xEF xD W=15 t a n +15 t a n（9 0-2（9）=|i 5 t a n（9 +J2 2 2 1 t a n 2。）S、ADE=x A O X A E =X 15 t a n 6所以梯形A E F D的面积为 r L/L 1 2 2c c e15（”n 15 2 2 5 L c l-t a n2 S=SJD E+S DEF=彳 3Ot a n 0+-=2 t a n 0+-2 v t a n 20）21 2 t a n 夕）=竺（3t a n。+一 x 2.Istan&x=拦正当且当3t a n 6 =,BPt a n 0=时取得等号,4 1 t a n J 4 y t a n。2 t a n 6 3此时AE=15 t a n e =15 x 3=5ga8.7 即当t a n =立 时，梯形A 7Z 的面积取得最小值 空 叵3 3 2则此时梯形尸 E 8 C 的面积有最大值15 x 30-竺 坦。2 5 5.142所以当A E =8.7时，梯形F E 8 C 的面积有最大值，最大值为2 5 5.14