三湘名校教育联盟（五市十校）2022年高二期末考试数学试题及答案.pdf

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1、三 湘 名 校 教 育 联 盟五市十校教研教改共同体 2022年上学期高二期末考试数学试题审 题:南 县 一 中 郭 劲 松本 试 卷 共1页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答题前先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题

2、（本题共8小题，每 小 题5分.共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合 F=y ly 一l,yZ,Q=3ly&4,3W Z,则 PD Q=A.?|一1?0,6 0）的离心率为先.则直线=5与两条渐近线围成的三角形的面积为A.4&B.4 C.272 D.V24.已知。=（2-1）力=（12）.若向量。在向量b上的投影向量为c.则c=5.（1）卜 一 力 的展开式中的常数项为A.40 B.60 C.80 D.1206.已知圆C经过点P（1.0）,且与直线1=一1相切.则其圆心到宜线?一 y+3=0距离的最小值为A.3 B.2C.V3 D.727.已知定义域是R的

3、 函 数/（彳）满 足：1 T 七 八4+幻+/（一=0,/（1+工）为偶函数,/=1,则 f（2 023）=A.1 B.-1C.2 D.-3高 二 数 学 第1页（共页）8.现将除颜色外其他完全相同的6个红球和6个白球平均放入A J 3两个封闭的盒子中.甲从盒 子A中，乙从盒子B中各随机取出一个球.若2个球同色则甲胜且将取出的2个球全部放入盒子人中；若2个球异色,则乙胜，且将取出的2个球全部放入盒子B中.按上述规则重复两次后，盒子A中恰有8个球的概率是AA-7107 B口 -3157 rC.21 D-116二、选择题（本题共4小题.每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中有多项符合题目要求

4、。全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分）9.若复数之满足：之（+2i）=8+6i.则A.之的实部为3B.之的虚部为1C.zz=/10D.2在复平面上对应的点位于第一象限10 点P,Q为边K为1的正六边形A3CDEF的边界上的两个不同的动点,则彳6 不。的值可以为A.-5 B.-1 C.y D.411.已知a.。为正实数，且，茄=3 反 而 一4&则2a+的取值可以为A.1 B.4 C.9 D.3212.下列不等式正确的是A.Iog23logl:15D.logs 12log,i3V6三、填空题（本题共4小题，每 小题5分,共20分）13.从13,5,7这4个数中随机取出2个不同的数

5、a,则arb ab的概率为.14.孙子算经 是我国南北朝时期（公 元5世纪）的数学著作.在 孙子算经 中有“物不知数”问题.其中记载：有物不知数,三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个正整数为。，当100时，符合条件的所有a的个数为.15.已知点D为ABC的边3 c的中点，翁=a+b,公=。一2八|a|=2|b|=2,ab的夹角为，.则|G|=.16.已知函数）=一 的图象与函数3，=（一1 2一1）3的图象关于某一条直线z对称，若p,Q分别为它们图象上的两个动点则这两点之间距离的最小值为高 二 数 学 第2页（共4页）四、解答题(本题共6

6、小题，共 70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)在A B C 中，已知角A的对边分别为a,d c,且 2asin Boos C+2ccos Asin B=-/3b.(1)求 角B的大小；(2)若A A B C 为锐角三角形，且。=2,=1 求A A B C 的面积.18.(本小题 满 分12分)若 X N T，/),从 X 的取值中随机抽取 A G N 娱 2)个数据，记 这 个数据的平均值为 丫，则随机变量丫以下问题的求解中可以利用这一结论.根据以往的考试数据.某学校高三年级数学模考 成 绩 X N(1OO,52),设 从 X 的取值中随机抽取25个

7、数据的平均值为随机变量Y.现在从X的取值中随机抽取25个数据从小到大排列为 6,12，彳 3，孙5，1+才2 +=901.5,1 g十/17+45=1 048,其 余 5 个数分别为97,97,98,98,98.(1)求 ，肛门3，才 25的中位数及平均值;求 P(98&Y&103).附：随机变量？服从正态分布N(M，,)，则 P(。&7忘+。)=0.682 7)(串一2。1g+2(；)=0.954 5,2(一3 0咨 +3 0)=0.997 3.19.(本小题满分12分)已知等差数列%的前项和为S”，R=2,$=26.正项等比数列 儿 中，=2,庆+优=12.(1)求 a 与 b 的通项公式

8、；(2)求数列数力力 的前曾项和T“.20.(本小题满分12分)在 三 棱 锥A B C D中已 知 平 面 A3 D_L平 面 BCD,且B D=娓、A D=&、A B=2 9，B CAC.(1)求证：坎 平 面 ACD；(2)若E为A B C 的重心C D=W，求 平 面 CDE与平面A B D 所成锐二面角的正弦值.21.(本小题满分12分)已知椭圆E：，+2 (a 0)的右焦点与抛物线丁=4 1 的焦点重合，且 椭 圆 E 截抛物线的准线得到的弦长为3.(1)求 椭 圆 E 的标准方程；(2)设两条不同的直线？与直线，交 于 E 的右焦点F,且互相垂直,直线/交椭圆E 于点A,B,直线

9、相交椭圆E 于点C.D,探究：A、I3、C、D 四个点是否可以在同一个圆上？若可以,请求出所有这样的直线，与直线/：否则请说明理由.22.(本小题满分12分)设/(.r)=ln(.r+1)1 一号，q(i)=a a ,.r6 y 1).(1)求/Q )的单调区间；证 明：当 心 一 十 时,/(1)4(/).高 二 数 学 第3页(共1页)高 二 数 学 第1页(共1页)参考答案及解析 高二数学2022年上学期高二期末考试数学参考答案一、选择题1 .C【解析】由题意可知,Pn Q=-1,0.1.2,3.4.故 选C.2 .B【解析】因 为2./+A r-加0,60)的离 心 率 为 ，所 以1

10、十3=乃,所 以 包=质,所 以a a渐近线的方程为？=7T r，所 以 直 线 了=即直线工=笈，与两条渐近线的交点坐标为(笈，2).所以直 线H=幺 与两条渐近线围成的三角形的面积为4aLX 4 X V 2=2 V 2.故选 C.4.D【解析】c=|。|co s 0 与=(a b)=b 也(一(，一 J-).故选 D.5.A 【解 析】在(了 一 春)，的 展 开 式 中，T+=(-D-Q x7*(y )，=(-2)rQ jr 2 r.(-y )(jy )的展开式中常数项为(-2),c-(-2)2 0 =40.故选A.6.D【解析】依 题 意.设 圆。的 圆 心C(/)，动 点C到点P的距

11、离等于到直线彳=-1的距离，根据抛物线的定义可得圆心C的轨迹方程为/=4 ,设圆心C到 直 线 工一、+3 =0距 离 为4=红二誓乳=I,4y+1 2|q，一2尸+8|当坛 472 4 伍y=2 时,d m i n =/2，故选 D.7.B【解析】因 为/(1+彳)为偶函数.所以/Q)的图象关于直线彳=1对 称，所 以/(2 I)=/(彳)，又由/(4+#)+/(一/)=0,得/(4+才)=-/(一1),所以/(8+7)=/(一4一/)=一/(6+幻 所以 f(x +2)=一/()，所 以/Q、+4)=f(.r),故/(力 的 周期为4,所以/(2 0 2 3)=/(3)=-/(1)=-1.

12、故选 B.8.A【解析】若两次取球后盒子A中 恰 有8个 球，则两次取球均为甲胜，即两次取球均为同色.若第一次取球甲、乙都取到红球,概率为4X，则第一b o 4次取球后 盒 子A中 有4个 红 球 和3个 白 球，盒 子B中 有2个红球和3个白球,第二次取同色球分为取到红球或取到白球.概率为等 乂 春+,X春=1故第一次取球甲、乙都取到红球且两次取球后，盒子八有8个球的概率为J g=累，同 理，第 一 次取球甲、乙都取到白球且两次取球后，盒 子A中 有8个球1 7的概率 为 毛.所以两次取球后，盒 子A中 恰 有8个1 40球 的 概 率 是 孟+孟=黑 故 选A.二、选择题9.A BD【解析

13、】设2=。+6(,6!),因 为 之(+2 i)=8+6i,所以 zz-Zz 8+6i,所 以(a?+-2 6)+2 a i =8+6i,所以/+/2 =8,2 0 =6,所以 a =3,高二数学参考答案及解析=1,所 以2=3+1所 以 宜 的 实 部 为3,虚 部 为1.故人1正确；6=|2|2 =10,故C不正确；Z在复平面上对应的点(3.D位于第一象限.故D正确.故选ABD.10.BCD【解 析】病 而=|就|TiQ|cos a=2|而|cos a,其 中a为向量而 与 乐 的 夹 角,即 灰与 拓 的 夹 角,当 点P为 点A,点Q为 点D时，市 讫=2|而|c o sa=2|F 3

14、 l=21而|,取最大值 为4；当 点P为 点 点Q为 点A Ht.AD-PQ=2 ITOI cos =-2 PQ=一2|俞 I，取最小值为一4.故选 BCD.11.B D【解析】因 为a 为正实数，/石=3 E在 一4至，所 以3 名可一4点舞红 投.42 2 7 2当且仅当2a=时等号成立,即3 7 2 7+6-4 7 2 0,所 以，2&+64&或32 或m V2a+b 4 8.故选 BD.12.C D【解析】选 项A：log23=log22 32=lo g 9故不正确；设/(2 =1密，(37)(/1),因 为N 1,所以3 In(2.r)2 In(3；z),.f(、In(31)1/3

15、1 2w2=L n r a J =h?(2 7 5In(2x)ln(3才).rln2(2vf)VO,所 以f(R)在 l,+8)上单调log,15logl215,故 正 确；选项 D：/(4)=log812/(18)=10怎,54=1。863区,故正确,故选 CD.三、填空题13.y 【解析】取 出 的6组 数 分 别 为1,3；1,5;1,7;3,5；3,7；5.7,其 中 有3组1,3;1.5；1.7满 足。+所 以a+b al的 概 率 为 春=+.14.7【解析】当口，1001时满足条件的整数组成一个等差数列，首 项 为8,公 差 为3与5的最小公倍 数15,令1=8+15*100,所

16、 以0 4 R logio 15=lgl5=：/(5),故不正确；选项 C：/(4)=log81 2 /(5)=：2-1距 离 的 最 小 值 为d=1+In 22+T+1|_参考答案及解析 高二数学也 工 中 色.所以这两点之间距离的最小值为2d=4&（4+ln 2）2,四、解答题17.解：（1）由正弦定理和 2asin Bcos C+2ccos Asin B=商 得，4Rsin Asin Bcos C+4Rsin Ceos Asin 3=2向Hsin 3,（2分）因为 sin BWO,所以 sin Acos C+sin Ceos A=吟.（4分）所以 sin（A+C）=g，即 sin B=

17、g.因 为8 6（0,3所 以B=件 或学.（6分）（2）因为三角形ABC为锐角三角形，所 以B=y.（7分）由 余 弦 定 理 得=。2 +（1 2 -2&CCOS 8,（8分）因为 c=2a =1,所以 1 2=/+4a2 2a 2a 7tCOST所 以。=号.，=竽，（9分）所以三角形A B C的 面 积 为/a c sin =y X y X粤唔翼,（1。分）3 2 618.解：（1）由已知得，有10个数不超过97,有10个数不低 于98,中间的5个 数 为97,97,98,98,98,所 以 为,12，加，I 25的中位数为98,（3分）进一 步 由 已 知 得，Nl,4，/3，/25

18、的 平 均 值 为9O1.5+97X2+98X3+1O48 匚 ”八、-2-=9/.5.(6 分)(2)由题意知 丫N(1 0 0,),即 Y-N(100,l)(8 分)，因为 P(98y102)=0.954 5,P(97&YW103)=0.997 3,所以 P(98y103)=y P(9 8 y =(3 w-l)2n,(7 分)所以 T=2X2,+5X 22+8X 23+-+(3/?-4)2 1+(3-1)2”，(8 分)所以 2T=2X22+5X 23+8 X 2,H-H 3 4)2”+(3%1)2+】，相减得，一T“=2X21+3X 22+3X 23+3X2+3 2”一(3-1)2 7

19、=2X2*+论21。了-(3 M-l)2fl+,(10 分)所以 丁“=(3-4)2 7+8.(12 分)3高二数学-20.解：（1）因为 B D=B，A D=&,A 8 =2&，所以 B D1-AD2=A B 所以 ADJ _BD,（1 分）又因为平面A3 D_L平 面BCD,平面八B D D 平 面 B C Q=3 D.因为八QU 平面ABD,所 以 AD_ _平 面 BCQ.因 为 BCU平 面 BCQ.（2 分）所以 ADJ _BC,又因为 BC A C,A C r A D=A,所 以 BC_L平 面 ACD.（4 分）（2）因 为 BCJ _平 面 A C A C D U 平 面 A

20、CD,所 以B C_LCD,因 为。=，8/）=疝,所 以 BC=V3，ZBD C =-y，（6 分）以D为坐标原点，直 线D B.D A分别为父，之轴，在平面B C D内过点D与 B D 垂直的直线为了轴建立空间宜角坐标系，M）,所 以 E（g*,号），所 以 茂=（哼 4,o）,元=（哼 邛，考 （8 分）平 面 A B D 的一个法向量为小=（01,0）,（9 分）参考答案及解析设 平 面 C D E 的 一 个 法 向 所 为 ：？=（n y,z）,所以 ,.综+和争=。取/=1 ,）=1，则之=一，所以=（1 1 ,-V 3）,（11 分）设平面C D E与平面A 3D 所成的锐二面

21、角为8，即平面CDE与 平 面 A B D 所 成 锐 二 面角的正弦值为 缚.（12分）21.解：（1）抛 物 线/=4.r的焦点坐标为（1,0）,准线方程 为 H=一 1,（1 分）设。=由已知得 c=1,2/=3,解得 0=2,b=,则 椭 圆 E 的标准方程为?+q=1.（4 分）（2）因为两条不同的直线相与/直线均过椭圆的右焦点（1,0），且互相垂直，由题意可知当斜率均存在且不为0 时,可 设 宜 线I为 y=0 1 ），直 线m为 了=一 十（一 1 ），其中6#0,（5 分）A（.口，以）.13（2，）2），C（X3,3 3 ）,D（，M）,将 直 线/的方程代入椭圆方程1+=1

22、 得，（3 +4/）12-84。+（4/一12）=0,4参考答案及解析 高二数学-所以为+%2=3；4/3 +4/，（7 分）若A、B、C、D四个点可以在同一个圆上，则 FA-FB=FC FD.（8 分）所以 y/k2|1|x/H-p-I 1 X2 I=J l +g|1 1融|*+表|1Xi|,所 以 公（1一1）（1 2-1）=（l-J-3 ）（力一1 ）,所以 分 一彳|12+（4 +12）-1 =-13 14+（3 +4 ）1 ,I/I、4 一 12 8公 一 工 皿+3+工2）-1 =-罚官+市 后-1 =an/，23十 小 同理一小山+（g +不）-1 =3,2 4，所 以 状.吊卢

23、=禹,（1 分）则3 +442 =3/+4,所以归=1,此时存在这样的直线加与直线/其方程为y=J、-l和 y=z+1.当直线/的斜率为0或斜率不存在时，A,3,C D显然不在同一个圆上.综上，存在这样的直线加与直线，其方程为）=/一1 和 丁=一/+1.（12 分）22.解：（l）/（H）=y _ _ 3=_H（f%：+l）,r e T，l），（1 分）令/（了）0,得 x E 一9.0）;令/0,当才G ；,0)时，(/)0 (/)单调递增，当 n W(0,1)时,，(n)V 0 ()单调递减，所以A()mnx=A(0)=01时,0 0,令*=f +(20+1)比+(2。+1),则3=/+

24、(2+1)1+(2 0 +1)对称轴为直线1=一 婚 一？.所以当了9 一0,1)时，函 数y=3+(2&+1)工+(20+1)单调递增，当工=一十时,Q取最小值a+(),所以 V +(2a+1)彳 +2a+1 0,所 以 当.r 6/，0)时加D0(H)单 调 递 增，当/(0,1)时，()V O,/(T)单调递减“(工)3=八0)=0 0,(9 分)综上：当 时，=人(0)=0W0.即(12分)解法二：ln(1+J-)J一54a/2,5 高二数学参考答案及解析r31l n（l+1）一 1?ax24 0,a 一 下.只 需 证 In（1+文）一h 一女 十 十/&0 对 X G 一1）恒成立，（7 分）构造 M（x）In（1+才）一i 一十一.M（0）=0,（8 分）1M，（j）=-j-jr2-l +j-=p ,（9 分）可知MQ）在 力 十,0）单调递增，在（0,1）单调递减，（11分）】饮才）&”（0）=0,当。）一：时成立.（12分）6