2023年高三复习专项练习：第75练　双曲线.pdf

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1、第75练 双 曲 线础对遮练考点一双曲线的定义1.已知 M（3,0）,/V（3,0）,PMPN=4,则动点尸的轨迹是（）A.双曲线 B.双曲线的左支C.一条射线 D.双曲线的右支答 案 D解 析 根据双曲线的定义可得|P M T P N I=4|M N|,所以动点P的轨迹表示双曲线的右支.2.已知。为坐标原点，设吊，/2分别是双曲线看一 丁=1 的左、右焦点，尸为双曲线左支上的任意一点，过点R 作/分 尸 尸 2的角平分线的垂线，垂足为“，则|。印等于（）A.1 B.2 C.3 D.4答 案 C解析 延长F i H 交 P 出 于点B,/QPB的角平分线为雨，如图，F B V P A,所以为尸

2、|B 的中点，|P F i|=|8 P|.在中，。是 QB的中点，H 为 FiB的中点，可得|。”|=；|86 尸 如 F 2lT P F tl）=a=3.考点二双曲线的标准方程3.已知双曲线过点P（2,平）和尸2（华，4）,则双曲线的标准方程为（）A-9-l=1 13 g一金=1昂弋=1 D导一卷二1答 案 B解析 因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为nv（2+ny2=（mn0）.因为两点在双曲线上，所以4m=1,112gm+16=1于是所求双曲线的标准方程为f 1=L4.已知双曲线C的一个焦点为(0,5),且与双曲线3 尸=1 的渐近线相同，则双曲线C的标准 方 程 为()A-

3、/一：=1 B.9七=1C止一q=1 D汇一止=1C-2O 5 1”5 20 1答 案 D解 析 双曲线m 一产=1 的渐近线方程为1y=2x,由题意设双曲线C的方程为由焦点坐标(0,5)可得序+/=2 5,渐近线方程为y=1x,(1 1再由C与双曲线亍-9=1 的渐近线相同，所以由可得序=5,=20,所以双曲线C的方程为5 2 0-1考点三双曲线的性质5.若椭圆吉+=1和双曲线最一舟=1有相同的焦点，则 实 数 的 值 是()A.5 B.3 C.5 D.9答 案 B解析 由题意，可知椭圆盘+9=1 的半焦距。|=取 二 示，双曲线、一太=1 的半焦距Q =、2+16,所以734 2=山 2+

4、1 6,则实数=3.6.双曲线（一/=1 的渐近线与圆/+尸 4），+3=0 的位置关系是（）A.相切 B.相离C.相交 D.不确定答 案 A解析 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 为 即/x y=O,圆的标准方程为f+O-2）2=l,圆心（0,2）到直线小x y=0 的距离为=1,所以渐近线与圆相切.7.（多选）（2022.济南模拟）设吊，尸 2分别是双曲线C：高;一看；=1 的左、右焦点，且因B I=4,则下列结论正确的有（）A.m=2B.当”=0 时，C的离心率是2C.点 Q到渐近线的距离随着n的增大而减小D.当=1 时，C的实轴长是虚轴长的两倍答 案 A C解析 对于选项A,由双曲线

5、的方程可得a 2=m+，b2m n,所以c 2=/+b 2=,+/Wn=2 m,又因为2c=4,所以c=2,所以。2=2?=4,可得帆=2,故 A正确；对于选项B,当=0时，双曲线C：，=1,此时 2=/=2,02=4,所以离心率e=、=也，故 B不正确；对于选项C,由选项A得，,=2,则/=2+”，b22n（2n=令,又焦点尸i（2,0）,则 点 B 到渐近线的距离/=人=/工（一22）,所以点B 到渐近线的距离随着的增大而减小，故 C正确；对于选项D,当=1 时，a=y/2+l=事,。=0 0）的左、右焦点.若双曲线上存在点A,使=9 0。,且|A F|=3|A B I，则双曲线的离心率为

6、（A 坐B.年C r-D.y5)答 案 B解 析 依据双曲线的定义知|A F i|A F 2|=2a,又|A Q|=3|A F 2|,.|A F i|=3a,A.Fa,；N Q A F 2=9 0,.在 R t A F M F2 中，由（3a）2+2=（2c）2,得 e=#=9 .设双曲线C：/一，=1（，匕 。）的左、右焦点分别为B，&，离心率为小.P 是 C上一点，且 F i P L F 2P.若的面积为4,则 a等于（）A.1 B.2 C.4 D.8答 案 A解 析 设|P Q|=m,PFn,P为双曲线右支上一点，则=4，L =2 a,小+层=4/,又 6=彳=小，所以。=1.10.（2

7、022南京模拟）已知双曲线一_?=13 0）的离心率6=坐，点 Q,尸 2分别是它的下焦点和上焦点.若P 为该双曲线上支上的一个动点，则IPQ I与 P 到一条渐近线的距离之和的最小值为.答 案 5解析 双曲线q-fnim 。）的离心率0=坐，所以e?=l+解得a=2,所以 F|（O,f）,F2（O,小）.双曲线一f=l的渐近线方程为y=2x,由 P 为该双曲线上支上的一个动点，根据双曲线的定义可得，PFi-PF2=2 a=4,所以|PFI|=4+|PF 2|.设点P 到渐近线y=2 x 的距离为乩贝i J|PQ|+d=4+|PB|+d,过 F 2作渐近线y=2 x 的垂线,垂足为M,所以|尸

8、2丘=1 所以|PQ|+d=4+|PB|+d24+|F 2M=5.所以IPQ I与 P 到一条渐近线的距离之和的最小值为5.力提升练1 1.（20 22 邯郸模拟）设 F i,B 是双曲线C：y-f=l的两个焦点，。为坐标原点，点 P 在 C4 o的左支上，且+且国=2小，则 PQ F 2的面积为（OP|O P|)A.8 B.85 C.4 D.4 小答 案 A解析,OX O P,FP OP由-+-I 两,0 l（话+不）5 丽 5 说OP OP=2 小，不妨设a（2小，0）,6（2小，0）,所以|。2|=加 周，所以点P 在以内尸2|为直径的圆上，即PF|F 2是以尸为直角顶点的直角三角形.故

9、|PFIF+|PF2|2=|FIE|2,即 IPF 1 F+IP尸 2产=4 8.又|P&ITPF i l=2a=4,所以 1 6=（|PF2|-|PFI|）2=|PFI|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=4 8-2|PFI|PF 2|,解得 1 PB l|PF 2|=1 6,所以 SAPFR=B|PF 2l =8.1 2.已知M（孙 泗）是双曲线C：上一点，Q,6 是双曲线C 的两个焦点.若 宿 加2 0,则加的取值范围是（A -5 回 3 1 3）D/-建，答 案 A解析 根据双曲线的标准方程，可知Q（一小，0）,&（小，0）.因为M（x o,州）在双曲线上,9所以，一=1,即焉=2

10、+2%,所以MF M F 2=（一小一M）,一泗）（小 一沏，一y o）=焉一3+此=3）/1.由 3j i o 得）|,解 得一 坐yo0,b 0）的左焦点 引圆+尸=2的切线，切点为T,延长F T 交双曲线右支于P 点，若 M 为线段F P的中点，O为坐标原点，则|M O|阳7与b a的大小关系为（）答 案 B一A.MO-MTb-aB.MO MT=b-aCMO Ml0,b0）近线于A,B两点，A,8 两点分别在一、A.1|B 邛 C.乎 D.V1 3AM xi,OT,FIHPQ +|F71=,过 c的右焦点尸作垂直于渐近线的直线/交两渐四象限.若哙我一古，则双曲线C 的离心率为（）y2 0,6 0)的右焦点为尸(c,0),渐近线方程为 尸 场.将渐近线方程化为一般式bxay=O.由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 可 知 第 涓=由 解=卷，可得|8同=号.设NA OF=a,由双曲线对称性可知N A 0 B=2 a,V8b.b L AB I Sb向 tun c t,ta n 2。一ic T,a OA a 5aL一 4 z L-八上-r 乙 一 2ta n a 2ab由一倍角正切公式可知t a n 2 a=T F r/叩 1 8/7 2ab即 不 一 广 庐化简可得4/=2,