2022考研数学（三）9月模考试卷附答案解析.pdf

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1、2022考 研 数 学（三）9月模考试卷附答案解析11 _函数虹在x =0处 为（）1+一|X|A.可去间断点B.跳跃间断点c.无穷间断点D.振荡间断点 参考答案A 答案解析“x）在x =0处间断，考虑间断点处的左、右极限.故x =0是“X）的可去间断点，A 正确.2力=（1 +3+2）|9r|不可导点的个数为（）.A.1B.2C.3D.41 参考答案B 答案解析/(x)=(x+2Xx+l)|x+l|x|x-l|,由常用结论：设“x)=ax)|x-a|,其中火在a处连续，则/(x)在a处可导的充要条件是以a)=0.可知显然，/(x)有x =O,x=l两个不可导点.K K设人=|:s i n(s

2、 i n x)dx,I2=F c o s(s i n x)dx，贝I ()C.lIl Z2 参考答案A 答案解析因为xe O,g,所以在该区间上s i n x单调增加，c o s x单调减少，而兀s i n x x ,故当 X6(0：彳)时，有 s i n(s i n x)c o s x ,故 I =2 s i n(s i n x)dx|；c o s xdx=s i n 喏=1.综上可知，10%X TO%（0,0）=l i m=l i m 3 rc s g：=.匕=0,故 B 正确.串-0 p J TO i，J TO i，已知公恰是非齐次线性方程组人=6的两个不同解，疏叁是时应齐次线性方程组=

3、0的基础解系，原质为任意常数，则 击=6的通解为（）A A 4+似4+&）+巧 生B A藁+伤（亡 之）+生 子c.占或+向（/+小）+D.履氤+用（%一 小）+:参考答案B 答案解析3.4x=b的通解为4r =0的通解加上.4x=b的一个特解，根据非齐次和齐次线性方程组解的性质与结构，知 一.叫）=；（即+-海）=3，即;8-2）是 毋=0 的解，故排除A,C.因不能判定%-秘是否与线性无关，所以不能选D.事实上，由gm +2）是 为=6 的解，且与媪-刍线性无关，所以4，。-刍是4 x=0 的基础解系，故 B 正确.t设向量组al,”4 6，%线性无关，则下列向量组线性无关的是（）.A.%

4、+/：/+%+a4z a4+佝B.%+a”G?+%：a3+”4：一 佝C.+a2sa2-a3：a3+a4：a4-axD.a1一 a1：a?一%：a,一 a4：a4 ax 参考答案B 答案解析考 虑 到 选 项 中 每 个 向 量 均 为 的 线 性 组 合，记 片=%+生,旦=生+生,旦=里+：月=4 一%,loo-rn.1 1 0 0 记则（月g,3）=（%/）o 1 0 r 4%）c、o o I L由%巧,4 线性无关,及|C|=2w O,即C 可逆，故昂弁0,女线性无关.47(a b b、设/=J a b(。力均不为0),且“/*)=1，则必有(I6 b%A.a=bB.a=6 或。+26

5、工 0C.a+2b=0 D.aw 方且。+26=0 参考答案C 答案解析由 (/*)=1，知，04)=-1=3-1=2,故|.4|=0 一a b b 1又|/|=b a 6=(a 4-2b)1b b a 10 0a-b 0=(a+2b)(a-b)2=0 a-b,得 a+2b=0或。=b.又当a=6时，(4)=1 0 2,故a+2b=0(由a力均不为零,可知a+2b=0已经蕴含a H b),故 C 正确.8下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数的是(1+x2B.Fx)=arctanx+-71 2)C.F(x)=0,0,x 5 参考答案B 答案解析产(x)要成为某一随机变量的分布函数，必满足以下

6、三个条件:(3)O0=-4D.PmaxXn0=-4 参考答案c 答案解析6令4=X 2 0 ，4=F N。，则4 与遥相互独立，且尸(4)=尸(4)=,吠*必=；，其中火力为N(M)的概率密度，故 Pmi n r 0=P osr 0)=尸(4 4)=尸(4)尸(4)=L c 正确.4由 相 互 独 立 且 均 服 从 N O 1),知X+EX-F 服从N 2),故尸x+y 2。=尸 万一20 =:，.3尸 max XJ0 =尸(4 U 2)=l-尸(4 U/%)=1-产(&)尸(X?)=4选项A,B,D 错误.10设袋中有6 只红球，4 只白球，任意摸出一只球，记住颜色后放回袋中，共进行4 次

7、，设X 表示摸到红球的次数，则 百=().参考答案C 答案解析依题设，可知试验为有放回摸球，故每次摸到红球的概率为|,1 3 12所以X 3(4 1),故m=4x=q.故选 C.11设y =/(x)由方程x=s i n 丑地确定，贝 l j l i m河八1)-U =_J1 4 n-o 7 参考答案x=P、s i n，(马山两边同时对X求导，得1=(_/-1)7山，隹0-切,“4 4解得y=c s c 2隹(y-x)+L又由已知,当X=o时，V=l,4即/(0)=1,故川2=3,/(-)-/(0)于是 l i m 4/(-)-l =H m=/(0)=3.WX -0 0 1n12积 分 厂 吧f

8、=_-1 X参考答案rh*-a-r c-t a；n xd.x =_|l ar c t an x ar(z-L)=-1 ar c t an”兀 L dx4 J i 式1+)而 1 x(l +x：)H+=l i m(i n 巴_-I n -4=)=I n 2,i yll+b2 0 213二重积分I=f s i n好+(去 北 而 崇=+p _h K l+x2)9E)卜 s戒故原积分=+m1!2.4 28 参考答案由已知，作出积分区域。，交换积分顺序，如图所示,2 r 2 兀分部积分4-ycos-v -3（2+）.14设二阶常系数线性微分方程/+砂，+by=c/有特解/=尸 Q+必，,则该方程的通解

9、为.参考答案由特解/=1 Q+-X)=1,知该方程对应的齐次微分方程有特征根勺=-5=1，且 是 其 特 解，故该方程的通解为尸4。-+6/+行(G，G为任意常数)-15x -2 x 1 2设x)=；1:r；1-1，则/的 系 数 为-1 1 1 x9 参考答案若 按 第1行展开，只有-2x乘以其代数余子式会出现x3项,故只要求出这一项即可.1 1-1 1(-2力(-1严 3 3x 1=2x 31 1 x 103x 30-11 =2x(3x-3)(x+l)=6x，-6x,x故x3的系数为6.16设事件 A H C满足 P(A)=P(B)=P(C)=尸(且8)=P(BC)=O:P(JQ =-,4

10、 8则4 5c三 个 事 件 中 至 少 出 现 一 个 的 概 率 为.参考答案由 X B C u HB,知尸(且BC)SPQI B)=O,所以PQL8 C)=0,故所求概率为尸(X u B u。)=尸(，。+尸(B)+P(Q -P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)1 1 1八1八 八54 4 4 8 817求下列极限：(1)设l i m L、sinx(.o ),求一。a-1 2 J。三(2)设 是 三 次 多 项 式，且 有l i m2Q2=l i m1=1(。工0),求3 4-4ax 4。./(X)lim-.T a%3。答案解析10皿1+萼 1(1)由已知lim严 工=：,结

11、合极限和无穷小的关系，有一。a-1 2皿1 +萼 1 =-+,其中lima=O,又当x f 0时，ax-l-xna,所以有x-*0il nMl +-/-(-X-)1n -1 xln a+axln a,sinx 2从 而&Lxlna(这里axlna是比x高阶的无穷小)，即有sinx 21.-j-(-x-)-1-si.n xlin a,故品 li.m /(x)=hrm -2-=1 I1n a.x 2 i。x x x 2(2)由1 而 且 2 =1 而/曳=l(0),可知/(2a)=/(4a)=0(否则极限为xiax-2a x X x T aoo).因而x-2 4 x-4 a 均为 x)的因式，又/

12、(x)是三次多项式,故可令/(x)=K(x-2aX x-4aX x-3),其中4 3 为待定常数.4,.f(x),4(x-2aXx-4aXx-B).田 lim-=lim-=-2Aa(2a-B),XM x 2a X T2ZI x-2a知-2,4a(2a-3)=L出田 rli m-f-(-x-)-=hrm-/-(-x-2-a-X-x-4-a-X-x-3-)=2.4a(4a-BD),X x-4 a x-4a知 2/a(4a-3)=L联立式，解得，白1=3*从而/(x)=，y(x-2a)(x-4a)(x-3a),故前血=】而 表XT3ax-3a r-3a X-3df 218设Z)：x+y1/2x,0y

13、d r d 6-(-r)rdrd6A zi D zi=2f(l-ry-drde-(y-ry-drde=2 d6(-rrdr-J d 61：方 Q -r)rdrAD 19=_f(c o s12 J。注c o s，0)d071 S X 71=-+.-.-.12 9 4 811 7136-24计算r1 QQsOdr.答案解析直接计算极坐标下的二次积分较烦琐，将其化为直角坐标下的二次积分.8 =三=y=x;42.r=-=x =2;c o s 81rVs i n c o s 户 s i n 8 c o s 6=1 =x v =1.炉 .积分区域如图所示，故在直角坐标系下有I=xdy=小一 班=d x-(

14、改=j.2012设数列 满足an=a()+nd,n=l,2,-,其中/H0,d h 0为常数(1)求f a“丁的收敛域;0求系 答案解析(1)利用公式求收敛半径 im|=lim|%+(+1”|=1,-an 29%+nd故出=1,收敛区间为(-LI).当x=1时，(1)”q发散(由lim a-0),故收敛域为(-11).一 ,0 0-0(2)求f a“9 的和函数S(力.S(x)=它 4%=(%+必/=4 式+d Mn-0 n-0 a。n-0记 0 a=S(x)+，2(力再(%)=a X =3M-0 1-X 1 五S2(x)=d n xn=d x =d x (x=杰(R xn)=dx(-)=-y

15、4。木 M AO 1-X(1X)故 S(x)=F+$令x=2 得黑=2%+2力l-X (l-x)2 40幺21设/为 3 阶实对称矩阵，二次型/(冷孙F)=x t如在正交变换x=0下的标准形 为 时+2为+*,其中的第1列为(+9)7,且|岗=-4.(1)求a的值；(2)求正交矩阵。.13 答案解析(1)由二次型在正交变换X=0,下的标准形为7 +2*+ayl,知矩阵A的特征值分别为4=-l，4=2,%=a.又由;/1=4&4 =(-1)x 2x a=-4,得a=2.(2)由正交矩阵。的第1列为可知特征值4 =-1时应的特征向量为名=(L Li)7.将 生&单 位 化，得%=今1令a =(再,

16、肛%3),是&=4 =2 对应的特征向量，则由+巧+演=0,解得生=(L-L 0)。生=(；：-I)，是4 =%对应的特征向量，且生，生正交.n(1、-1 Z=F 1)贝 IOj J1 1 0 0 巫,Q=*白：为所求的正交矩阵.1 0 2、忑 一 22 _ 婀 一 32亦 占 天)为 总 体 X 的0,x I n正-(2)片 0 0 =尸 4 =尸 111丫 4 =尸 刀 4 点r *1(h r-,l n r =产 1 U-,=._ e-dt _ _-e-du：0 yjljn yj27T故y=l n X服从正态分布N 3 D，所以项n X)=4，八 1 K 1 n故=(X I n X)=X E(l n X.)=/.n/.I n z15