2022年考研数学三真题和答案.pdf

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1、一、选择题：110小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.当X-0时，a(x),尸(x)是非零无穷小量，给出以下四个命题：若 a(x)伏x),则 a2(x)，2(x).若a2(x)J32(x),则a(x)队若 a(x)伏x)，则 a(x)(x)o(a(x);若a(x)-P(x)o(a(x).则 a(k)户(x)，其中所有真命题的序号是().A.B.C.D.【答案】D.【解析】取a(x)=l-co sx,J3(x)=x 2,排除，故选D.2.已知 见=宿 一 且A(=1,2,)，则 q ().nA.有最大值

2、，有最小值 B.有最大值，没有最小值C.没有最大值，有最小值 D.没有最大值，没有最小值【答案】【解析】当为偶数时，an=y/n-tn当为奇数时，4 =标+1；nx y3.设函数/连续，令b(x,y)=o(%y)/(，)&,则().1dF dF d2F d2F dF dF d2F d2FA.-,=-B.-.=-dx dy dx2 dy dx dy dx dydF dF 82F d2F dF dF d2F d2F(、_ _ _ _-,D _ _ _ _ _ _dx dy dx2 dy2 dx dy 6 x2 dy2【答案】C.【解析】由于故=f./山+(x-j)/(x -y)-(x-y)f(x-

3、7)=f f(f)At，OX=y f(.t-(x-y)f(x-y)+(x-y)f(x-y)=-r ,Qy JO JO进而d2Fdx2=f(x-y),=f(x-y)故选 C.4.设“1：谓中 J：暇则A.Ix I2 I3.C.I2 IX /3.B./3/1/2.D./2 /,I3.【答案】A.x Y【解析】由于0 xl,-ln(l+x)x,所以2 1 +x-x-ln(-l-+-x)-x-2-x-2-x-,Z,Z,r2r(N)=l,线性方程组无解；若且则r(/,A)=3 r(N)=2，线性方程组无解.若且则r(4)=r(N)=3,线性方程解唯一，对称的有a/6 且6/1,则r(N,/)=，(/)=

4、3,线性方程解唯一.若且a =l,则r(N,6)=3 r(/)=2 ,线性方程组无解，对称的有a且 6 =1,则r(Z,6)=3 r(/)=2,线性方程组无解.因此线性方程组有唯一解或无解凶 (1、7 .设(Xy 1 ,a 2=吃,a、I若 ,%&与等价，则2G().A.A|2 G R)C.2|AGR,A-1,2-2【答案】C【解析】由于丸1|a,a2,a3|=1 21 1B.2|AGR,A-1D.2|R,A -2)11 =23-3 2 +2 =(2-l)2(2 +2),A34 1 1a,a2,a41=1 2 2=A4-2A2+1=(A-1)2(A+1)2.1 1储当2=时，%=。3 =。4

5、=|1 ，此时。1，%,里 与 ,区 等 价.当 2=-2 时，2=1,4,4)/，。4)=1，6，2，%与 P%,4 不等价.因此当2=-2或=-1时，里,。2，%与不等价等价，所以的取值范围为A14 e 肽,4 w L 4 4 2.8.设随机变量XN(0,4),随机变量丫 且X与丫不相关，则(X-3丫 +1)=().A.2 B.4 C.6 D.10【答案】D.1 2 2【解析】由题知，O(X)=4,D(Y)=3=,则3 3 3D(X-3Y+T)=D(X-3Y),因为x与y不相关，故D(X-3y+l)=D(X-3y)=D(X)+9D(y)=4+9|=10故选D.9.设随机变量序列乂,甚，X”

6、独立同分布，且用的概率密度为fl-|x|,I x|8时，-Z X?依概率收敛于().V,具匕.n,=1(A)-(B)-(0-(D)-8 6 3 2【答案】(B)【解析】由已知随机变量序列正,入2,，X，独立同分布，则,X：，亦独立1 n(1 、同分布，根据辛钦大数定律，当-8 时，依概率收敛于七一工年=E(X2).n 1=1 1=1 E(X2)=1x2/(x)dx=J x2(l-|x|)dx=2x2(l-x)dx=1,故选.10.设二维随机变量(X,y)的概率分布为012-10.10.1b1a0.10.1若事件 m ax(X,y)=2 与事件 m i n(X,y)=l 相互独立，则 Co v(

7、X,Y)=().A.-0.6 B.-0.36 C.0 D.0.48【答案】B.【解析】令事件/=m ax(X,y)=2 ,事件3 =m i n(X,Y)=1,则P(A)=P X =-l,y =2 +P X=1,7 =2 =0.1+6,P(B)=P x=i,y =1+尸 X =i,y =2 =o.i+o.i=o.2,P(AB)=P X =1,Y=2 =0A由于事件力与事件8 相互独立，故尸(48)=P(/)P(B),即0.2(0.1+6)=0.0 2+0.26=0.1,由分布律的性质可知0.4+Q+Z=1,综上，解得。=0.2,6=0.4,则(X,y)的概率分布为012-10.10.10.40.

8、610.20.10.10.40.30.20.5(X)=0.4-0.6=-0.2,(Y)=0.2+1=1.2,(T)=0 0.3+(-l)0.1+(-2)0.4+10.1+20.1=-0.6C o v(X J)=E(X Y)-E(X)E(Y)=-0.6+0.24=-0.36,故选B.二、填空题：1 1 7 6 小题,每小题5 分，共 30 分.请将答案写在答题纸指定位置上.z xcotx11.极限 l i m -_ _ _ _ _ _ _ _.【答案】/limInf1 limln l+1 解析原 式=/川1mxi 2 川9nxi 2j =12.积分dx=_.J。x2+2x+471【答案】3V 3

9、13.13.已知函数/()=/0 +-x,则/”(2万)1 /一 1lim-x-otanx 2=”_5【解析】由 于/(冷=6，+疝、为周期为2乃的偶函数，求导不改变周期，只改变奇偶性,故/M(x)为周期为2万的奇函数，所以fMQ琦=f%0)=0.14.已知函数/(x)=5 二,，则f dx f(x)f(y-x)cfy=_.0,其 他，J J-【解析】由题可得积分区域D =(x,y)|0 x l,0 j x l|=(x,y)|0 x l,x y 【答案】-1-2 1-1、【解析】设5=1-1 0按照上述初等变换的逆变换将8的第二列的1倍加到第一、一 1 0 ,-1 1列，然后交换3的二，三行位

10、置，得到力=-1 0、0 -1-1、00 -1于是“T=0 0、T 1-1,因7此6不)=116.设4尻。满足4 8互不相容，4 c互不相容，邑。相互独立,=)=尸 =,则 p(B U C)|(J U 5 U Q =5【答案】8nMm_ A p(A C-P(BC)=P(B)P(C)=【解析】由题知，尸(皿-0,尸()-0,9,所求概率由条件概率公式得：尸(8UC)|(/U3UC)w u o n u u u o PUU5UQ6产(0U5 UC)_ P Q B U C)产(4 U5 U。)一 尸(4 U5 U C)_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ P(8)+尸(C

11、)一尸(8C)_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _P +P(B)+尸(C)一 P(叫 一尸(8C)尸(4 C)+P(AB C)P(B)+P(Q-P(BQ P(A)+P(B)+P(C)-P(B C)(P(/)=P(3)=P(C)=J P(B C)=P(B)P(C)=：将3.9 代入得1 1 1+-P(5UC)|(/U6UC)=7.=1-89三、解答题：17 22小题，共 7 0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分10 分)设歹=(x)满足y+=2+或 J(l)=3,求y(x)渐近线.【解析】由题意可得y(x)=e-(2 xe+C.又 y(l

12、)=3,有 C =e.故歹(x)=e-(2xe4 +e).设y(x)的渐近线方程为y =kx+b,k=l i m 曲=l i m 2 x*e =2,x-+x xf+b-l i m y(x)-2x=l i m 厂-2*二 0,x-s x x e 因此y(x)的斜渐近线为y =2x.18.(本题满分12分)1 1设某产品的产量。由资本投入量x 和劳动投入量y决定，生产函数为。=1 2/必，该产品的销售单价尸与0 的关系为P =116 0-1.50,若单位资本投入和单位劳动投入的价7格分别为6和 8,求利润最大时的产量.1 9.（本题满分12分）设 Z)=(x,y)|2+y 融“二7,0 领卜2,求

13、二重积分/=J(:y)2，dxcfy.x2+y2【解析】丈去勿=0D 十/Di 2叫x2+y2dxdy=公 力-“DD2xy/d yx2+y2上 2+2-/呵 2cos6+sin。2P2 cos Osin 6pdp=万 +2 4。co s O s in GdO+4E co s O s m。，八-:-r d夕J o (co s O +s in。)？.r y co s O s in。二万+4 2-%l +2co s O s in。itd0=%+4 厂J ot an。t an2 夕+2t an 9+l/上，1,4 1 产 1 1二 +4-dt=+4 -yJ (t+1)1+r 2J o+t(/+D=万

14、 +2 ar ct an +2=7r+7r-2=2 万 一2.02 0.（本题满分12分）求幕级数=0【解】由(-4)+1 4(2n +l)可得收敛区间当=1 时，因 为 n=0-M-令 S(x)=ZM=0(-1)(2+1),2 n的收敛域及和函数S（x）.l ir an o(-4)+1+l(2+3)(-4)+l4n(2n +l)(一 4)+14(2+1)s=z71=0 x2n,S2(x)=M=0.2/1+22nXdt=x2 =0,得”的特征值为24,4.当 4 =2 时，解(N 2E)x=0.由rA-2Eo10J10、0r00,020010得 4 =2 对应的特征向量为名=(1,0,-1)、

15、当4=4 =4 时，解(Z-4 E)x =0.由A 4E=r-l0J0001、rl 0-100 0 0T,k0 0 0得4 =%=4 对应的特征向量a?，a3=(0,l,0)T.%,%,%己互相正交，故只需将其单位化，得%1)，y2=-(1,0,1)T,=(0,1,0)T.令。=(九，及，为)，经正交变换x=2 v，将/化为标准形2讨+4婷+4/2.9(2)由(1)得，/(芍,工2/3)9/5 1，72，%)=2 乂2+4必2+4%2，而2（靖+%2+y2）2必2 +4%2+4%2 4（婷+%?+%?）,故242疗+4为2+4才必2+1+%2 U,fx（x）=e0,x o,y 0(i=l,2,%J =l,2,，?)，Z U0,其它.当演户2,，当，必，%，弘,0 时，似然函数两边取对数n m力I n L3 =ni I n 2（力 +加）I n 9-.J1Ad i n gd0-4-en m m23+匕 2口,+基,g二o,解得e=上 匕 2e 2（+加）102 Z X+2 Z故e的最大似然估计量为e=上-上 一.2（+?）由X E（）,y E（或）则。（冷=于,。（/）=/，1 n m A i贝 I D（否=；-D 2 Z X +Z Z =-（4 外+m 4 优）=4（+2（占 勺14（+m）211