山东省济宁市中考数学试题（含解析）.pdf

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1、2019年山东省济宁市中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1.（3 分）下列四个实数中，最小的是（）B.-52.（3 分）如图，直线0,6 被直线c,d所截，若N1 =N2,N3 =1 2 5 ,则/4 的度数是A.65B.60 C.55D.7 53.（3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）4.（3 分）以下调查中，适宜全面调查的是（）A.调查某批次汽车的抗撞击能力B.调查某班学生的身高情况C.调查春节联欢晚会的收视率D.调查济宁市居民日平均用水量5.（3 分）下列计算正确的是（）A.（.3）2=7

2、 B.浜=相 C.7 3 6=+6 D.-V O.3 6=-6.（3 分）世界文化遗产“三孔”景区己经完成5 G 基站布设，“孔夫子家”自此有了 5G网络.5 G 网络峰值速率为4 G网络峰值速率的1 0 倍，在峰值速率下传输50 0 兆数据，5 G 网络比4 G网络快45秒，求这两种网络的峰值速率.设4 G网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，依题意，可列方程是（）A.50 0 -50 0=45x 10 xB 500 _ 500 45.Io 7Q 5000 _ 5OO_45 D 500 _ 5000-45X X X X7.（3分）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有

3、颜色，该几何体的表面展开图是（）a8.（3分）将抛物线y=x 2-6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A.y=G-4）2 -6 B.尸（x-1）2-3 C.尸（%-2）2-2 D.尸（%-4）2-29.（3分）如图，点/的 坐 标 是（-2,0）,点8的坐标是（0,6）,。为 的 中 点，将48 C绕点8逆时针旋转9 0。后得到/B C .若反比例函数尸K的图象恰好经1 0.（3分）己知有理数a l,我们把 为。的差倒数，如：2的 差 倒 数 是 工=-1-a 1-21,-1 的差倒数是 1=1.如果田=-2,。2 是。1 的差倒数，的 是。2 的差

4、倒1-（-1）2数，码 是。3 的差倒数依此类推，那么幻+矽+”1 0 0 的值 是（）A.-7.5 B.7.5 C.5.5 D.-5.5二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。1 1.（3分）己知x=l是方程f+b x-2=0 的一个根，则 方 程 的 另 一 个 根 是.1 2.（3分）如图，该 硬 币 边 缘 镌 刻 的 正 九 边 形 每 个 内 角 的 度 数 是.1 3.（3分）已知点尸G,y）位于第四象限，并且x W 4（X,y为整数），写出一个符合上述条件的点P的坐标.1 4.（3分）如图，O为 R t Z U B C 直角边/C上一点，以 OC为半径的。与 斜 边

5、相 切于点。，交 0 4 于点、E,已知8 c=我，A C=3.则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 是.则不等式（7,T2+/M X+C 的解集是三、解答题：本大题共7小题，共55分，1 6.（6 分）计算：6 si n 6 0 -（工）+|右-2 0 1 8|21 7.（7分）某校为了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调查了部分学生，调查结果按性别整理如下:女生阅读时间人数统计表阅读时间/(小时)人数占女生人数百分比0WY0.5420%0.5 1m15%1/1.5525%1.5WY26n2/=9,ta n C=，求 直 径 的 长.42 1.（8分）阅读下面的材料:如果函数V=/

6、（X）满足：对于自变量X的取值范围内的任意X|,X 2,(1)若X 1 X 2,都有/(X I)f(x2),则称/(X)是增函数;(2)若X 1 /(x2),则称/(x)是减函数.例题：证明函数f(x)=(x 0)是减函数.X证明：设0 工1工2，/(x.)-/(x2)=g-L=6X2-6X1 =6(X2-X 1)x X2 x j x 2 X|x2V0X 0,1 1工2 0.6 5 2 x p-o.即/(打)-f(X 2)0.xlx2/(x2).二函数/(x)=1(x 0)是减函数.X根据以上材料，解答下面的问题：已知函数/(x)=1-+%(x 0),X/(-1)=_l+(-1)=0,/(-2

7、)=_l+(-2)=-1(-1)2(-2)2 4(1)计算：/(-3)=,/(-4)=；(2)猜想：函数/(x)=-l-+x(x 0)是 函 数(填“增”或“减”)；(3)请仿照例题证明你的猜想.2 2.(1 1分)如 图1,在矩形/B C D中，4B=8,4 9=1 0,1是 8 边上一点，连接力E,将矩形488沿/E折叠，顶点。恰好落在8 C边上点尸处，延长力E交B C的延长线于点G.(1)求线段C E的长；(2)如图2,M,N分别是线段/G,0G上的动点(与端点不重合)，且N D M N=ND A M,设 N A/=x,D N y.写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；是否存在这样

8、的点“，使。仞V是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由.2019年山东省济宁市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1.（3 分）下列四个实数中，最小的是（）A.-&B.-5 C.1 D.4【分析】正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可.【解答】解：根据实数大小比较的方法，可得-5 -A/2 1 0 负实数，两个负实数绝对值大的反而小.2.（3 分）如图，直线a,b 被直线c,d 所截，若N1=N2,Z3=125,则N 4 的度数是

9、【分析】首先证明从 推出N 4=N 5,求出N 5 即可.【解答】解：,N1=N2,：.a b,A Z 4=Z 5,VZ5=180-Z3=55,：.Z4=55,故选：C.d1a【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解.【解答】解：A,既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；8、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；。、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误.故选：A.【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻

10、找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋 转 180后与原图重合.4.（3 分）以下调查中，适宜全面调查的是（）A.调查某批次汽车的抗撞击能力B.调查某班学生的身高情况C.调查春节联欢晚会的收视率D.调查济宁市居民日平均用水量【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答.【解答】解：/、调查某批次汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故 N选项错误；8、调查某班学生的身高情况，适合全面调查，故 8 选项正确；C、调查春节联欢晚会的收视率，适合抽样调查，故 C 选项错误；。、调查济宁市居民日平均用水量，适于抽样调查，故。选

11、项错误.故选：B.【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查.5.（3 分）下列计算正确的是（）A.寸 3 产-3 B.3 =3 C.倔=6 D.-VO.3 6=-0.6【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分析得出答案.【解答】解：4、示=3,故此选项错误；B、牛 石=-相，故此选项错误；C、7 3 6=6,故此选项错误：D、-Vo.36=-0.6,正确故选：D.【点评】此题主要考查了二次根式的

12、性质以及立方根的性质，正确掌握相关性质是解题关键.6.（3 分）世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设，“孔夫子家”自此有了 5G网 络.5 G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，求这两种网络的峰值速率.设4G网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，依题意，可列方程是（）A 500 _ 500=45 B 500 _ 500=45x 10 x-10 x xC 5000 _ 500-45 口 500 _ 5000=45X X X X【分析】直接利用5G网络比4G网络快45秒得出等式进而得出答案.【解答】解：设 4G网络的峰值速率为每秒

13、传输x 兆数据，依题意，可列方程是：500 _ 500 45 x Io 7 -故 选:A.【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等式是解题关键.7.（3 分）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（)【分析】由平面图形的折叠及几何体的展开图解题，注意带图案的一个面不是底面.【解答】解：选 项/和C带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；选项B能折叠成原几何体的形式；选项。折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同.故选：B.【点评】本题主要考查了几何体的展开图.解题时勿忘记正四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形.

14、注意做题时可亲自动手操作一下，增强空间想象能力.8.(3分)将抛物线y=/-6 x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是()A.y=(x-4)2-6 B.y=(x -1)2-3 C.y=Cx-2)2-2 D.y=(x-4)2-2【分析】先把y=/-6 x+5配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为(3,-4),再把点(3,-4)向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为(4,-2),然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式.【解答】解：y=x2-6x+5=(x-3)2-4,即抛物线的顶点坐标为(3,-4),把 点(3,-4)向上平移2个单位长度，再向右

15、平移1个单位长度得到点的坐标为(4,-2),所以平移后得到的抛物线解析式为y=(x-4)2-2.故选：D.【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故。不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.9.（3 分）如图，点 Z 的坐标是（-2,0）,点 8 的坐标是（0,6）,C 为 0 8 的中点，将/8 C 绕点8 逆时针旋转90。后得到/B C .若反比例函数y=K 的图象恰好经【分析】作才轴于证明ZO8安（AAS）,推出OB=AH,求 出 点 坐

16、 标，再利用中点坐标公式求出点。坐标即可解决问题.【解答】解：作轴于Z A O B=Z A HB=ZABA=90,A ZABO+ZA BH=90,NABO+NB4O=90,；.N B A O=N 4 BH,:BA=BA,AAOB义 ABHA（AAS）,：.OA=BH,OB=A H,点4 的坐标是（-2,0）,点 8 的坐标是（0,6）,OA=2,OB=6,:.BH=OA=2,A H=OB=6,：.0H=4,：.Af(6,4),：BD=Af D,：.D(3,5),V反比例函数y=K 的图象经过点D,x.%=15.故选：C.【点评】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化-旋转等知

17、识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.10.(3 分)已 知 有 理 数 我 们 把 为。的差倒数，如：2 的 差 倒 数 是 工=-1-a 1-21,-1 的 差 倒 数 是，1、=.如果I=-2,砌是 的 差 倒 数，。3是。2的差倒1-(-1)2数，。4是。3的差倒数依此类推，那么。|+。2+/0 0 的 值 是()A.-7.5 B.7.5 C.5.5 D.-5.5【分析】求出数列的前4 个数，从而得出这个数列以-2,1,3 依次循环，且-2+1+3 2 33=-L,再求出这io。个数中有多少个周期，从而得出答案.2 6【解答】解：.Z i

18、=-2,这个数列以-2,L,3 依次循环，且-2+叶3=-1,3 2 3 2 6V 1004-3=33-1,+。100=33 X(-A.)-2-7.5,6 2故选：A.【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况.二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。1 1.（3 分）已知x=l是 方 程/+公-2=0的一个根，则方程的另一个根是-2 .【分析】根据根与系数的关系得出x i X 2=S=-2,即可得出另一根的值.a【解答】解：x=l是方程/+-2=0的一个根，.X|X2=-2,a/.1 X x2=-2,则方程

19、的另一个根是：-2,故答案为-2.【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键.1 2.（3 分）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是1 40。.【分析】先根据多边形内角和定理：1 8 0 5-2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数.【解答】解：该正九边形内角和=1 8 0 X （9 -2）=1 2 6 0 ,则每个内角的度数=超0 0-=1 40 .9故答案为：1 40 .【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理：1 8 0 （-2）,比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和.1 3.（3 分）已知点尸（x,y

20、）位于第四象限，并且x 0,y y 2 -3,可以为：-2,故写一个符合上述条件的点尸的坐标可以为：（1,-2）（答案不唯一）.故答案为：（1,-2）（答案不唯一）.【点评】此题主要考查了点的坐标，正确把握横纵坐标的符号是解题关键.1 4.（3分）如图，。为R t Z I B C直角边N C上一点，以OC为 半 径 的 与 斜 边4 8相切于点。，交O A于点E,已知4c=3.则图中阴影部分的面积是_1匚.6【分析】首先利用勾股定理求出4 8的长，再证明8/）=8 C,进而由可求出 的 长 度；利用特殊角的锐角三角函数可求出/的度数，则 圆 心 角 的 度 数可求出，在 直 角 三 角 形 中

21、 求 出 的 长，最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积.【解答】解：在R t zM B C中，,:B C=M，N C=3.,AB=V A C2+B C2=2 A：BC1.O C,.8 C是圆的切线，,/。与斜边A B相切于点D,：.BD=BC,.ADAB-BD2yfs-5 73V 3：在 R t Z /B C 中，V s i t v l=幽=.2 =,A B 2 V 3 2./=3 0 ,/OO与斜边A B相切于点D,J.O DLAB,：.Z A O D 900-Z J=6 0 ,P5,=tanA=t a n 3 0 ,A D _.0 D-V 3 -,M 3故答案是：2L.6【点评】本

22、题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键.1 5.(3分)如 图，抛物线夕=凉+。与直线y=?x+交于/(-1,p),B(3,q)两点，则不等式a/+m x+c 的解集是 工 -3或工1 .【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论.【解答】解：抛物线y=a/+c与直线y=m x+交于4 (-1,p),B(3,q)两点，-m+n=p,3加+=乡,.抛物线y=a/+c与直线y=-加什交于P(1,p),。(-3,夕)两点，观察函数图象可知：当x 1时，直线y=-mxn在抛物线y=a/+b x+c的下方，:.不等式ax2+mx+cn的解集为

23、x 1.故答案为：x V -3或x l.【点评】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键.三、解答题：本大题共7 小题，共 55分，16.（6 分）计算：6sin60-分（工）+|向-2018|2【分析】本题涉及零指数幕、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式化简4 个考点.在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.【解答解:原 式=6 X 除 一 2+1+2018飞，=2019.【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.17.（7 分）某校为了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调查了部分学

24、生，调查结果按性别整理如下：女生阅读时间人数统计表阅读时间f（小时）人数占女生人数百分比04V 0.5420%0.54V 1m15%W.5525%1.5WV26n24V 2.5210%根据图表解答下列问题：（1）在女生阅读时间人数统计表中，m=3,H=30%；（2）此次抽样调查中，共抽取了3 名学生，学生阅读时间的中位数在lWr1.5时间段；（3）从阅读时间在2 2.5小时的5 名学生中随机抽取2 名学生参加市级阅读活动，恰好抽到男女生各一名的概率是多少？男生阅读时间频数分布直方图人 数（A）A12-12【分析】（1）由0W f0.5时间段的人数及其所占百分比可得女生人数，再根据百分比的意义求

25、解可得；（2）将男女生人数相加可得总人数，再根据中位数的概念求解可得；（3）利用列举法求得所有结果的个数，然后利用概率公式即可求解.【解答】解：（1）女生总人数为4 20%=20（人），.?=20X15%=3,=且 X100%=30%,20故答案为：3,30%；（2）学生总人数为 20+6+5+12+4+3=50（人），这组数据的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据均落在范围内，学生阅读时间的中位数在W 1.5时间段，故答案为：50,1W/V1.5；（3）学习时间在2 2.5小时的有女生2 人，男生3 人.女 女 男 另/N /N /Z女 男 男 男 女 男 男 男 女 女

26、 男 男 女 女 男 男男女 女 男 男共有20种可能情况，则恰好抽到男女各一名的概率是丝=3.20 5【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.18.（7 分）如图，点和点N 在N N 08内部.（1）请你作出点尸，使点P到 点/和 点N的距离相等，且到N Z O 8两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；（2）请说明作图理由.【分析】（1）根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图；（2）根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质解答.【解答】解：（1）如图，点P到 点/和 点N

27、的距离相等，且到N/0 8两边的距离也相等；（2）理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、直平分线上的点到线段两端点【点评】本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本作图的一般步骤、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键.19.（8分）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进.图中的折线表示两人之间的距离y*机）与小王的行驶时间x Ch）之间的函数关系.请你根据图象进行探究：（1）小王和小李的速度分别是多少？（2）求线段8 c所表示的y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.【分析】

28、(1)根据题意和函数图象中的数据可以分别求得王和小李的速度；(2)根 据(1)中的结果和图象中的数据可以求得点C的坐标，从而可以解答本题.【解答】解：(1)由图可得，小王的速度为：3 0 4-3=1 0 W A,小李的速度为：(3 0 -1 0 X 1)+1=2 0 加力，答：小王和小李的速度分别是0km/h.20km/h；(2)小李从乙地到甲地用的时间为：3 0 X 2 0=1.5/?,当小李到达甲地时，两人之间的距离为：1 0 X 1.5 =1 5人 加，.点C的坐标为(1.5,1 5),设线段B C所表示的y与x之间的函数解析式为尸=丘+6,k+b=0,得 件30,ll.5k+b=15

29、lb=-30即线段8 c所表示的y与x之间的函数解析式是y=3 0 x-3 0 (1 4 W 1.5).【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答.2 0.(8分)如 图，N 8是。的直径，C是。上一点，。是众的中点，E为OD延长线上一点，且/。E=2 N C,N C与8。交于点H,与OE交于点F.(1)求证：N E是。的切线：(2)若。，=9,t a n C=3,求 直 径 的 长.4【分析】(1)根据垂径定理得到OEL4C,求得/F E=9 0 ,求得/E/O=9 0 ,于是得到结论；(2)根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到/OD8=

30、/C,求得t a n C=t a n/0 Z)8=典=旦，设H F=3x,。尸=4 x,根据勾股定理得到。尸=毁，H F=2 L,根据相似三角DF 4 5 536 36形的性质得到CF=”=9 求得Z F=C F=坐，设O/=OD=X,根据勾股定空 5 55理即可得到结论.【解答】解：(1)是金的中点，：.OEVAC,：.ZAFE=9Q,：.ZE+ZEAF=90,V ZAOE=2ZC,ZCAE=2ZC,：.ZCAE=ZAOE,；.NE+NAOE=9Q,：.ZEAO=90a,二/E是。的切线；(2),:乙C=：OD=OB,:/B=/O D B,：.ZODB=ZC9/.t a n C=t a n

31、Z ODB=DF 4,设 F=3 x,DF=4x,:DH=5x=9,丫=9 x ,5；.。尸=箜，HF=生,5 5,:NC=N FDH,N D F H=N C F D,:.DFH sCFD,-D-F _ F H ,CF D F3 6 _x 3 6 _C F=5 5=壁,空 55：.AF=C F=-,5设 O A=O D=x,；.O F=x-竺5：AF2+O F2=O A2,(-)2+(X-2=/,5 5解得：x=10,.OA=O,二直径N 8的长为2 0.【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键.2 1.（8分）阅读下面的材料

32、：如果函数夕=/（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意修，肛,（1）若X1X2,都有/（X|）/（X2）,则称f（x）是增函数；(2)若 x i f(x2),则称/(x)是减函数.例题：证明函数/(x)=(x 0)是减函数.X证 明:设 0 七 工2，/3)-/(X2)=且X16 6入2-68 6(x2-x)x2 x j x2 X X2VOX 0,XX20.0 即/5)-/(M)0.xlx2 V 3)/(x2).函数/(x)一 (x 0)是减函数.X根据以上材料，解答下面的问题：已知函数/(x)=+x(x0),X/(-1)=_+(-1)=0,/(-2)=_+(-2)=-工(-1)2 (-2

33、)2 4(1)计算：/(-3)=-型，/(-4)=-毁；_9_ 1 6(2)猜想：函数/(x)(x 0)是 增 函 数(填“增”或“减”)；(3)请仿照例题证明你的猜想.【分析】(1)根据题目中函数解析式可以解答本题；(2)由(1)结论可得；(3)根据题目中例子的证明方法可以证明(1)中的猜想成立.【解答】解：(1)V/(x)=-l-+x (x0),2X：.f(-3)=-3=-型，/(-4)=-4=-毁(-3)2 9(-4)2 1 6故答案为：-空，-强9 16(2)V-4 /(-3)二函数/(x)=-i-+x (x 0)是增函数X故答案为：增(3)设 肛&0,、1 1 x ,+Xo :j 5

34、)-f(X2)=-+X1-%2-5 -X2)(1 -)X 2 X 22 X12X22 .工 1 V x 2 V0，/.X -X 2 0,工 1d 2 V0，./(XI)-f(x2)0 V(X!)f(x2).函数/(x)=_+x (x 0)o抛 物 线 与x轴 相 交；b有 一 个 交 点(顶 点 在x轴 上)=(=0)。抛 物 线 与x轴 相 切；c没 有 交 点 o (0 )=抛 物 线 与x轴 相 离。平 行 于X轴的直线与抛物线的交点同 一 样 可 能 有0个 交 点、1个 交 点、2个交点.当有2个 交 点 时，两交点的 纵 坐 标 相 等，设纵坐标为左，则 横 坐 标 是a/+b x

35、 +c =左的两个实数根。一 次 函 数y =kx+n(k H 0)的 图 像/与 二 次 函 数y =ax+bx+c(a H 0)的图U=+H像G的交点，由 方 程 组 一，的解的数目来确定：y-ax+bx+ca方程组有两组不同的解时o /与G有两个交点；b方程组只有一组解时o/与G只有一个交.点；C方程组无解时O/与G没有交点。抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点为 4人,0）5（X2,0）,则 48=一 即图形的定义、性质、判定一、角平分线性质：角的平分线上的点到角两边的 相等.判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在 h.二、线段垂直平分线1.性质：线

36、 段 的 垂 直 平 分 线 上 的 点 与 这 条 线 段 两 个 端 点 的 距 离.2.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 t.点拨线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点距离相等的所有点的集合.三、等腰三角形定义、性质：1.定义：有两 相等的三角形是等腰三角形.2.性 质：等 腰 三 角 形 两 个 腰.等 腰 三 角 形 的 两 个 底 角（简写成等边对等角）.等 腰 三 角 形 的 顶 角,底边上的,底边上的_互相重合.等腰三角形是轴对称图形，有 条对称轴.注意（1）等腰三角形两腰上的高相等.等腰三角形两腰上的中线相等.等腰三角形两底角的平分线相等.等腰三角形一腰上的

37、高与底边的夹角等于顶角的一半.等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行.等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高.判定：1.定义法.2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）.注意（1）一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形.一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.一边上的中线与三角形中这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.四、等边三角形1.等边三角形的性质等边三角形的三条边都相等.等边三角形的三个内角都相等并且每一个角都等于60.等边三角形是轴对称图

38、形，并且有 条对称轴.注意）等边三角形具有等腰三角形的所有性质.2.等边三角形的判定三条边相等的三角形叫做等边三角形.三个角相等的三角形是等边三角形.有一个角等于6 0的 三角形是等边三角形五、直角三角形1.定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形.2.直角三角形的性质 直 角 三 角 形 的 两 个 锐 角.直 角 三 角 形 的 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜 边 的.在直角三角形中，3 0 的 角 所 对 的 边 等 于 斜 边 的.(4)在直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30度。(5)、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c

39、,那么 a2+b23.直角三角形的判定(1)、判定：如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三角形是 三角形.(2)、如果三角形的三边长分别为a、b、C,满足a2+b2=c2,那么这个三角形是 三角形.(3)、如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。(4)、直径所对的圆周角是90度。(5)、如果一个三角形的外心在三角形的一条边上，那么这个三角形是直角三角形。(6)、圆的切线垂直于过切点的半径。六、相似三角形1.相 似 三 角 形 的 对 应 角,对应边的比.相似多边形对应角相等，对应边的比.相 似 多 边 形 周 长 的 比 等 于.相似多边形面积的比等于 的平

40、方.2.相 似 三 角 形 的 周 长 比 等 于.3.相 似 三 角 形 的 面 积 比 等 于 相 似 比 的.注意相似三角形的对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比.判定定理：1.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.2.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.3.如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.注意直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形都相似.七、位似图形1.定义：两个多边形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图

41、形，这个点叫做.注意)位似图形是相似图形的一个特例，位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形.2.位似图形的性质位 似 图 形 上 任 意 一 对 对 应 点 到 位 似 中 心 的 距 离 之 比 等 于.对 应 线 段 互 相.3.坐标系中的位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为k,那 么 位 似 图 形 对 应 点 的 坐 标 的 比 等 于.八、平行四边形1.定义：两组对边分别 的四边形是平行四边形；2.平行四边形的性质(1)平 行 四 边 形 的 两 组 对 边 分 别;(2)平 行 四 边 形 的 两 组 对 边 分 别;平 行 四 边 形

42、的 两 组 对 角 分 别：平 行 四 边 形 的 对 角 线 互 相.总结平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点.判定：1.2.定义法.两组对角分别_ _的四边形是平行四边形.3.两组对边分别_ _的四边形是平行四边形.4.对角线_ 的四边形是平行四边形.5.一组对边平行且_的四边形是平行四边形九、矩形1.矩形的定义有一个角是直角的 是矩形2.矩形的性质矩形对边;矩形四个角都是 角(或矩形四个角都相等)；矩形对角线、.总结(1)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形：3.矩形的判定定义法；有三个角是直角的 是矩形；对角线相等的 是矩形.十、菱形1.菱形的定义一组

43、邻边相等的 是菱形.2.菱形的性质 菱 形 的 四 条 边 都;菱 形 的 对 角 线 互 相，互相，并且每一条对角线平分一组对角；(3)菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点;菱形也是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴.注意菱形的面积：由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积=底乂高；因为菱形的对角线互相垂直平分，所以其对角线将菱形分成4个全等三角形，故菱形的面 积 等 于 两 对 角 线 乘 积 的.3.菱形的判定定义法；对角线互相垂直的 是菱形：四条边都相等的 是菱形.十一、正方形1 .正方形的定义有一组邻边相等的 是正方形.2.正方形的性质正方形对边平行：正方形四边相

44、等；正方形四个角都是直角；正方形对角线相等，互相,每条对角线平分一组对角；正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有四条，对称中心是对角线的交点.3.正方形的判定定义法；有一个角是直角的 是正方形.注意 矩形、菱形、正方形都是平行四边形，且是特殊的平行四边形.矩形是有一内角为直角的平行四边形；菱形是有一组邻边相等的平行四边形；正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一内角为直角的菱形.十二、中点四边形1.定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形.2.常用结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩

45、形；对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正方形.十三、等腰梯形1 .等 腰 梯 形 在 同 一 底 上 的 两 个 角.2 .等腰梯形的两条对角线.总结(1)等腰梯形两腰相等、两底平行；(2)等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴.判定：1 .定义法；2 .同一底上的两个角 的梯形是等腰梯形.注意J等腰梯形的判定方法：(1)先判定它是梯形；再 用“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形.十四、三角形外心和内心(1)三 角形的内切圆的 圆 心 叫 做 三 角 形 的 内 心.三 角形的内心就是 三 内 角角平分 线 的 交点。(2)三 南形的外 接 圆 的 圆 心 叫 做 三 角 形 的 外 心.三角形的外心就是三 边 中 垂线的交点.常见结论：R t A A BC 的三条边分别为：a、b、c（c 为斜边），则它的内切圆认上以 a+b-c的半夜r=-;2SAA B C 的周长为/,面积为S,其内切圆的半径为r,则 2（3）、内心到三角形三边距离相等。（4）、外心到三能形三个定点的距离相等。（5）、锐角三角形的外心在三角形内部：钝角三角形的外心在三角形的外部,直角三角形的外心在斜边的中点处。