五年(2018-2022)全国各省份高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷北京天津卷等)专题07数列解答题(解析版).pdf

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1、2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编专题0 7 数列解答题一、解答题1.（2022高考北京卷第 21题）已知Q：q,4,，4 为有穷整数数列.给定正整数m，若对任意的1,2,.,/,在 Q 中存在 4，4+,。+2,（/2 ），使得 ai+aM+ai+2 H-H ai+j-，则称 Q为相一连续可表数列.（1）判断Q：2,1,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；（2）若。：巧，4,，4 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；若。：4,。2,，为20-连续可表数列，且4+4+6 7.【答案】解析：（1）。2 =1，%=2,%+。2=3,%=4,+%=5

2、,所以。是5-连续可表数列；易知，不 存 在 使 得 q +i +%+=6,所以。不是6-连续可表数列.（2）若z 3,设为Q：a,c,则至多a+6,b+c,“+6+c,a,%,c,6 个数字，没有8 个，矛盾；当&=4 时，数列 Q：1,4,1,2,满足q =1,%=2，/+4 =3,%=4,q +%=5,at+a2+a3=6 ,4 +%+/=7,q +%+4 +4 =8,=4.。：4,4,若，=/最多有七种，若,最多有C；种，所以最多有人 +或种，若左4 5,则4,4，见 至多可表空士。=15个数，矛盾，2从而若%7,则=6,4。,。,久g/至多可表5 乎=2 1 个数，-a +b +c

3、+d +e+f m+m+2-i-m+5-m=4 m+5 ,4m+15/n=l,.a,b,c,”,ej=-1,2,3,4,5,6,再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足2 0 个，.1 =一 1+2（仅一种方式），1与 2 相 邻,若-1不在两端，则？,-1,2,形式,若x =6,则5=6+(-1)(有2种结果相同，方式矛盾)，:.x 6,同理X K5,4,3，故 1在一端，不妨为虫,2，A旦C，旦”形式，若A=3,则5=2+3 (有2种结果相同，矛盾)，A=4同理不行，A =5,则6=-1+2 +5(有2种结果相同，矛盾)，从而A=6,由于7=-1+2 +6,由表法唯一知3,4不相邻,、故只

4、能 1,2,6,3,5,4,或 1,2,6,4,5,3,这2种情形，对：9 =6+3 =5+4,矛盾，对：8=2 +6=5+3,也矛盾，综上女H 6：.k l.【题目栏目】数列数列的综合应用数列中的新定义问题【题目来源】2 0 2 2高考北京卷第2 1题2.(2 0 2 2年高考全国甲卷数学(理)第17题)记S“为数列 4的 前 项 和.已 知 二2+=2 q+1.n(1)证明：%是等差数列；(2)若4,%,%成等比数列，求S,的最小值.【答案】【答案】(1)证明见解析；-78.2 s【解析】(1)解：因为=+=2 a“+l,即2 s“+2=2 4,+”，n当时，2 S,+(n-I)2=2(n

5、+(n-l),一得，2 S +n 2 S _(n -1)=2nan+n 2(n (n 1),即 2 a“+2-1 =-2(-1)%+1 ,g|J 2(r t-l)a-2(n-l)tz _l=2(-l),所以a“a,i=l,N 2且“e N*,所以”“是以1为公差的等差数列.(2)解：由可得“4=4+3,%=4+6,%=q+8,又能，,。9成等比数列，所 以%2=%.%,即(q +6)2=(,+3 (q +8),解得 l.记 4 的前 n 项和为S.(e N*).若 S 4 2%+6 =0,求 S“；若对于每个“e N*，存在实数c“，使+4.,a“+2+l 5cl i成等比数列，求 d的取值范

6、围.【答案】解析:因为S 4-2 4%+6 =。，4=-1,所以-4+6 d 2(l +d)(T +2d)+6 =0,所以4 2 34=0,又 d 1,所以d =3,所以=3 n-4 ,所以也，2 2 因 为 a“+q,an+l+4%,an+2+15c 成等比数列，所以(%+4%y =(。“+c.)(4+2+15c,),+4cn)-=(-l +d-d +c“)(-l +d +d +15c”)，c-+(14d-8 nd+8)c“+d2=0 ,由已知方程c；+(14”-8d +8)c“+，=0 的判别式大于等于o,所以 A =(144-8m/+8)24d 2N0,所以(16 d 8加+8)(124

7、8加+8)0 对于任意的“用恒成立，所以(一 2 1 (2 一 3)d -2 ()对于任意的 e N*恒成立，当=1 时，(n-2)J-l (2n-3)J-2=(J +l)(+2)0,当 ”=2 时，由（2 J-2 d-l）（4 d-3 d-2）2 0,可得d2当2 3 时，（n-2）J-l （2 n-3）J-2（n-3）（2 n-5）0,又 d l所以1 。4 2【题目栏目】数列等比数列等比数列的性质【题目来源】2022年浙江省高考数学试题第20题4.（2022新高考全国I I 卷 第 17 题）已知 4,为等差数列，是公比为2 的等比数列，且a2-b2-a3 一仇=b4-a4.证明：4=伪

8、；求集合&|a=am+ax,m 500 中元素个数.【答案】（1）证明见解析;9.解析：（1）设数列 q 的公差为d,所以，q +d 2Z?j =+2d _q +d 2b l =8 Z?|(q +3d)，即可解得，/?.=a =,2所以原命题得证.(2)由知 I,=%=g ,所以4 =a,“+4 o A X2*T=q+(m-l)d+4 ,即2 1=2 加，亦即m 2k-2 e 1,500,解得2 Z K 1(),所以满足等式的解左=2,3,4,10,故集合 k|bk=am+av m 500 中的元素个数为 10-2+1=9.【题目栏目】【题目来源】2022新高考全国I I 卷 第 17 题f、

9、s5.（2022新高考全国I 卷 第 17 题）记 S,为数列%的前n项和，已知q =1,j是公差为鼻的等差数歹 U.（1）求 为 的通项公式;1 1 1 c(2)证明：-H-1-H -2a a2 an【答案】%2（2）见解析SS i解析：（1）；%=1,，百=%=1,.-1=1,又：4。卜是公差为一的等差数列，.q l J 3Sn 1,1/1、n+2（n+2）an,+.a 3V 3 3 T 3；an=S S,i=（+；-（?%，整理得：一 1）%=（九+1）a,-,即 反 +la,ih.X%X。3 x x。-1 x%-A.-A .A-A-a a2 an-2 an-i 3 4 n +1 （九+

10、1）=lx X X.X-X-=-2 3 n-2 n-2显然对于扑=1也成立，；4 的通项公式a“=”（；+1）；1 2 1、（2）-=-7-=2-an+11 n n+lj【题目栏目】【题目来源】2022新高考全国I卷 第17题6.（2021年高考浙江卷第20题）已知数列%前n项和为S“，a,=,且4s.M=3S“-91.求数列%通项;设数列也 满足独+（-4）4,=。，记 的前n项和为北，若7；4劝,，对任意“eN*恒成立，求4的范围.【答案】a=3-（j；（2）-3 2-3 xh2 x(I Tx图 +呜+-+(-4).图,图-2 x g)-l x 图 +().图 +(-4).图，两式相减得;

11、7-3、；+图+图+图+图-(-4).图T+吧 7 -(“咽Y+河-3呜=-图 4所以北=-4 (；)M,由 7；4 血 得-4.(1)+,-4)(1)恒成立，即;1(4)+3 2 0 恒成立，=4 时不等式恒成立；4 时，4 2-=-3-,得 2 2 3；n-4 n-4所以一 3 4 几 a”成立的n的最小值.【答案】解析：(1)由等差数列的性质可得：$5=5%,则：4=5-=0,设等差数列的公差为d,从而有：。2 4=3-4)(%+4)=-屋，S4=q +ci-y+3+。4 =(%2d)+(3 d)+%+(%d)=-2d ,从而：-d2=-2 d，由于公差不为零，故：d =2,数列的通项公

12、式为：4=%+(-3)1=2-6 .(2)由数列的通项公式可得：q=2-6 =T,则：S“=x(-4)+8 7)x 2=/6”,则不等式S.4 即：2 5”2 6,整理可得：(-1)(-6)0,解得：相 6,又为正整数，故的最小值为7.【题目栏目】数列 数列的综合应用数列的综合问题【题目来源】2021年新高考全国H卷 第”题8.(2021年新高考I 卷 第 17 题)已知数列%满足4=1,+|%+1,为奇数,%+2,”为偶数.(1)记2=%,写出4，瓦,并求数列，的通项公式;(2)求 狐 的前20项和.【答案】4=2也=5；300.解析：(1)由题设可得优=生=01+1=2,&=%=0,+1

13、=%+2 +1 =5又“2*+2=a2k+l+1 a2k+i =a2k+2,故 a2k+2=0 2k+3 即 时 =,+3 即“用-b”=3所以 为等差数列，故2 =2+(l)x 3=3 1 .设 4“的前2 0 项和为S2U,则$20=4+见+。3 +aM 因为 4=4 -1,%=%-1，19 =出0-1，所以 S 20=2(4+a4 H-1-|8+20)10(9 x 10、=2 仇+优 +d+/)-1 0 =2x 10 x 2+x 3j-10=300.【题目栏目】数列数列的综合应用数列的综合问题【题目来源】2021年新高考I 卷 第 17 题9.(2021年高考全国乙卷理科第19 题)记S

14、“为数列 4 的前“项和，为数列 的前n项积，已知2 1-1-=s.b“2(1)证明：数列 2 是等差数列;(2)求%的通项公式.【答案】(1)证明见解析；(2)4,=2（几+1）2 2b解析：由 已 知 鼠+厂2得S“=瓦、，且尸0,尸;,取=1,由E=4得仇=,由于勿为数列 S“的前n项积，所 以 券2b1-1 2b 2-12b、2b,所以布中2b z2%-1b.+i ，所以2+1一12%_%仇，由于瓦+1 h02所以豆72幻 一11下，即4+1 _ aUn其中H G N*2OI所以数列也“是以伪=为首项，以d=为公差等差数列；（2）由（1）可得，数列 5 是以4=白为首项，以 为 公 差

15、 的 等 差 数 列，乙L.h=F（-1）X =1H ,2 v 7 2 2S：2b“_ 2+2bn-1 +3当 n=l 时，a,=S,=,2c c 2+l+1当n 2吐%=S,-Sn_t=-=-、，显然对于n=l不成立，1 +n n+3,=i21,n2【点睛】本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和与项的关系，数列的前n项积与项的关系,2b,2 a 2b 7 2b,2b,2b .其 中 由 布 葩 二F 知得到不T知温口二 ”进而得到2b b丁*=资1是关键一步；要熟练掌握前0项和，积与数列的项的关系，消和(积)得到项(或项的递2%-1 b 推关系)，或者消项得到和(积)的递推关系是常用的重

16、要的思想方法.【题目栏目】数列 等差、等比数列的综合应用【题目来源】2 0 2 1年高考全国乙卷理科第1 9题1 0.(2 0 2 1年高考全国甲卷理科第1 8题)已知数列 4的各项均为正数，记S”为 q 的前n项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.数列%是等差数列：数列 是等差数列；出=3 6.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】答案见解析解析：选作条件证明：设 邪、a+b(a 0),则 S,+,当 =1 时，4=S =(a +0/；当 2 2 时，an=Sn-S“T=a n+/?)-(a n-a +/?)=a 2a n a +2b)因为%也是等差数列，所以

17、(a+3 2=a(2 a a+%?),解得人=0；所以=。2(2-1),所以。2=3%.选作条件证明：因为g=3 al,a,是等差数列，所以公差d =。2-=2%,所以 S“=q+；0d=，即疯=屈”,因为 =北 +1)西 =国，所以 疯 是等差数列.选作条件证明：设=加+仪”0),则 s“=(当 =1 时，q =S =（+）2；当 之 2时，an=SH-Sn=（a n-b）2-（a n-a +b y =a 2 a n-a +2h ；因为4=3。1,所以a（3 a+2 0）=3（a+b）,解得b =0或。=一半；当匕=0时，a a2,an a2（2n-1）,当22时，。“-明=2/满足等差数列

18、的定义，此时 q 为等差数列；当6 =-生 时，A/S?=a n+b=a n-a ,护 7 =-3 0 ,S.a2+p =o;外-i 0,a2=0,由性质 4,+2 w 4”,a“,+l ,因此=%或%=卬+1，%=。或 4=1，若%=0，由性质可知由%，即。|0或4+1 0,矛 盾；若%=1,“3 =4+1，由/%有 4+1 1，矛盾.因此只能是g =1，4 =q.又因为=q+/或%=q+%+1，所以q=；或q=o .若q=5,则4 =4+eq+4+0,4+O)+0+1=2q,24+1=1,2,不满足为=o,舍 去当4=0,贝ij%前四项为:0,0,0,1,下面用数学归纳法证明田=(1=1，

19、2,3),。4“+4 =+1(GN)：当=0时，经验证命题成立，假设当0)时命题成立，当=左+1时：若，.=1 ,则 a4(k+)+。4*+5 =aj+(4k+5-j)利用性质：力+4 +5-/je N*/W jW4Z+4=Z,A+l,此时可得：a4k+5=k +；否则，若 a4k+5=k,取 攵=0可 得：a5=0,而由性质可得：区=4+4 e 1,2,与%=。矛盾.同理可得：%+%+6一/6，1工/4 左+5=伙,Z+1,有。软+6=女 +1 ;为+a4A8j/eN*,2W/W 4Z +6=伙+1,攵 +2,有*+8=k+2;%+。4A7 j./e N*/W jW 4+6=伙+1,又因为“

20、4&+7 0,b2=a2+p=0,/?4_,=,+p a4n+p=b4n,因此数列出 弭)数列.由(2)可知：若 N,4.=一。=1,2,3),。4+4=+l-P ；S”几=a”=42+3=2-p N 0,S9 S)0=al0=G4X2+2=(2 一 p)N 0，因此 =2,此时a1,4,q()0(j 1 1),满足题意.【题目栏目】【题目来源】2021高考北京第21题1 2.(2020年高考课标I卷理科第17题)设 4 是公比不为1的等比数列，4为内，%的等差中项.(1)求%的公比；(2)若4=1,求数列 4 的前项和.【答案】一2；(2)Sn=1 二(1 +3 )(一 2)：9【解析】(1

21、)设 0“的公比为夕，%为%，%的等差中项，2at=a2+a3,at w 0,;.d +q-2=0,设 /前几项和为S，q =l,%=(2严，5=lx l+2x(-2)+3x(-2)2+.-+(-2)n-1,-2S=1 x(-2)+2 x(-2)2+3x(-2)3+(?1-1)(-2),_|+(一2)”,一得，3S,=1 +(-2)+(2)2+(2)1-(一2)=:二三.-n(-2)=1二 0 十：磔一2)一,1 一(-2)31_(1 +3)(一2)S“=-【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.【题目栏目】数列数列的综合

22、应用数列的综合问题【题目来源】2020年高考课标I卷 理 科 第17题1 3.(2020年高考课标HI卷 理 科 第17题)设数列 册 满足ai=3,a”=34-4 .(1)计算。2,。3,猜想 引 的通项公式并加以证明；(2)求数列 2 坊 的前n项和Sn.【答案】(1)4=5，4=7 ,。“=2 +1,证明见解析；(2)S.=(2 1)-2 +I+2.解析：由题意可得 4=34-4 =9-4 =5,%=3。2 一8 =1 5 -8 =7,由数列 勺 的前三项可猜想数列 4 是以3为首项，2为公差的等差数列，即=2+1,证明如下：当=1时，q=3成立；假设=%时，=2%+1 成立.那么=%+

23、1 时，4+i =3 a*4 k 3(2k+1)4 k 2k+3 =2(左 +1)+1 也成立.则对任意的“GN*，都有4=2 +1 成立；(2)由(1)可知，=(2 +1)-2 Sn=3X2 +5X2?+7X2 3+(2 -1)2 1+(2 +1 2”,2 S=3 x 22+5 x 23+7 x 24+-.+(2/?-l)-2n+(2/i +l)-2n+,由一得：-S“=6 +2X(2 2 +2 3 +.+2 )(2 +1 2 E=6 +2 x _(2 +1).2 向=(1 一 2 )2+|-2,即 5.=(In-1)-2n+,+2 .【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相

24、减法求数列的和，属于中档题.【题目栏目】数列数列的综合应用数列的综合问题【题目来源】2 02 0年高考课标H I 卷 理 科 第 1 7 题1 4.(2 02 0年新高考全国I 卷(山东)第1 8 题)已知公比大于1 的等比数列 q 满 足/+%=2 0,4=8.(1)求 4 的通项公式；(2)记 粼 为%在区间(0,加l(?e N”)中的项的个数，求数列&,的前1 00项和51 00.【答案】%=2 ；(2)5 3=4 8 0.,、a,q +ayq3=2 0解析：(1)由于数列 q 是公比大于1 的等比数列，设首项为,公比为彘 依题意有 国2q q 8解得解得q=2,4=2,或q=32,g=

25、g (舍)，所以。“=2,所以数列 a,的通项公式为%=2.(2)由于T=2,2?=4,2,=8,24=16,2、=32,26=64,2,=1 28,所以对应的区间为：(0,1,则4=0；打 也 对应的区间分别为：(0,2,(0,3 ,则2=仇=1,即有2个1；以,4也 也 对应的区间分别为：(0,4,(0,5,(0,6,(0,7,则 仇=4=4=4=2,即有22个2；也,，丸 对应的区间分别为：(0,8,(0,9,(0,1 5,则4=-=九=3,即有r个3；bl 6,b,-,b3l对应的区间分别为:(0,16,(0,17,(0,31,则九=%=%=4，即有24个4；为 也3,也3对应的区间分

26、别为：(0,32,(0,33,(0,63,则%=为=%=5,即有展个5；瓯 也5,，伪oo对应的区间分别为：(0,64,(0,65,(0,10 0,贝屹4=1=瓦o=6,即有37个6.所以0G=1x2+2x22+3x23+4 x 24+5 x 25+6 x 37=480.【题目栏目】数列等比数列等比数列的前n项 和【题目来源】2020年新高考全国I卷(山东)第18题15.(2020年新高考全国卷II数学(海南)第18题)已知公比大于1的等比数列 凡 满足4 +%=20,%=8.(1)求 凡 通项公式；(2)求 q 4 a2a3+(-1)anan+【答案】(1)q=2；(2)-(1)空*3解析：

27、设 等 比数列/q、的公比为q(q l),则氏2+。/=CIM+axq=204 2 1,1%=%q=8整理可得：2/-5 g +2=0,.g l,g=2,6=2,数列的通项公式为：an=2-2T=2.由 于：(1)T anan+=(1)T x 2 x 2向=(T)T 22 n+1,故：a,a2-a2a3+.+(-1)an+l=23-25+27-29+.+(-I f1-22 n+123 l-(-22)n)=|-(-i r【题目栏目】数列等比数列等比数列的前n 项和【题目来源】2 02 0年新高考全国卷H数学(海南)第 1 8 题1 6.(2 02 0年浙江省高考数学试卷第2 0题)已知数列 叫，

28、6,金 中，b ,4 =4 =q =l,q,=/“一 凡,%=/0,且+a=6，求 q与%的通项公式;(H)若数列 6 为等差数列，且公差d0,证明：0+C 2+a1 I 7 -k 9【答案】q =上,凡=.；(I I)证明见解析.解析：依题意乙=1也=/a=d,而a +8=6 仄,2 3即1+4 =6,由于4。，所以解得q =；,所以a=白1所 以 心=白故%=卒仁=，所以数列匕 是首项为1，公比为4的等比数列，所以所以。+1 一。=Cn=4“(2 2,N).所以4+1+4 +4 2 =:十2Q b(I I)依题意设=+n-d =d n+-d ,由于上 二丁，Cn%2c b所 以 工=铲(2

29、 2,“%*),*bn+l 7故8-=2 骼答。C,I%一2 。2 A 2+1 hn b-i A 仇b%i d bn bn+i)I d)bn b,所以 G+C 2+L +C =(i+-r -I d j S十 b?)2+L +-b3)3，bn+i)I d 人 b“*J由于40,4=1,所以b”+1 0,所 以+1 +.V 人 b“+J d即 q +2 +c“1 +7,n e N*【题目栏目】数列 等比数歹八等比数列的判定或证明【题目来源】2 02 0年浙江省高考数学试卷第2 0题1 7.(2 02 0天津高考第19题)已知 狐 为等差数列，也“为等比数列,%=瓦=l,a5=5(4 -%)也=4(

30、%-4).求 册 和 包 的通项公式;(I I)记 册 的前 项和为5 ,求证：S 5n+2 5：式 e N,(I H)对任意的正整数，设的(一),为奇数，4 4+2 求数列 g 的前2“项和.也，为偶数.b+【答案】【答案】(1)%=，b=2-；(H)证明见解析；(HD*咨十 1?X 4 y【解析】(I)设等差数列 叫的公差为d,等比数列出 的公比为4.由4=1,%=5 3-3)可得d x l.从而 4“的 通 项 公 式 为 由 4=1,%=4 色一)，又“沪0,可得d-4 4 +4 =0,解得q 2,从而出 的通项公式为=2。(I I)证明：由(I)可 得 ,=能 辿，故 S,S“+2

31、=；(+1)(+2)(+3),吃 1 =；(+i f (+2,从而 S +2 -喘=一，+1)(+2)0,所以 S +2 0,求数列%的通项公式；(3)对于给定的2,是否存在三个不同的数列/为“4-3”数列，且。“2 0?若存在，求 2的取值范围；若不存在，说明理由，l,n =1【答案】【答案】(1)1(2)%=,*_ 2 (3)0 2 2【解析】（1）S.+1-S,=Aan+Ial l+i=2。用 Q4 =1，an+l O.-.2 =l/、1 1 J5 （2）Q 册 0 A 5+1 S“二 S _ S,0，Q S,/-S,2 =-y（5+1-S）22 i 1 1 i i）2=/-S,）+s/

32、）2 2 i 11 1 1 .V-S?=（S,3 +S,），S,，=2 S,.,S+I=4 5.-.S =4 T ,S,=4、a =4T _42=3 4T,n2l,n =1杵2 c（3）假设存在三个不同的数列/为“43”数列.3 ,4 ，之 21 I 1 1 1 1 1 1 I 2 2 IjS -S:=也）.（S +S）3=，（%-一）.S M =“或 -5/）2=应5,.+“+加 阿3）2 2 1-SM=S或（万-1）S+I5+（A3-1）S,J +（23+2）s,=0.对于给定的2,存在三个不同的数列 4为 2-3 数列，且 为20I l,n=1 2 2 1，册=卜,4 2或（万-1电+j

33、+（万-DSj +（A3+2）S,S,=0（/1丰1）有两个不等的正根.22 1 1（A3-l）5+l5+（r-1）5/+（r +2）S,J s J =0（2 X 1）可转化为2 1 1（万 一?卡 （纪_）+史+2产 四：=刊,不妨设T=x（x 0），贝IS5/1S,J（才-l）x2+（23+2）x +（23-1）=0（2 1）有两个不等正根，设/（x）=（A3-l）x2+（23+2）x +（笳-1）=0（2 3 1）.当九0 n 0；l 3 4,即0 /1 1,此时/（0）=-1 o,满足题意 当/1 时，A =（A3+2）2-4（A3-1）2 0 0 23 4 ,即 0,%0,此情况有两

34、个不等负根，不满足题意舍去,2（4 -I）综上，0 2 力，在%中 都 存 在 一 项 使”=%;a.i对于%中任意项为(”3),在 ”中都存在两项4,4(%/).使得。“=.al(I)若q=(=1,2,)，判断数列%是否满足性质，说明理由；(H)若q=2-(=1,2,)，判断数列4是否同时满足性质和性质，说明理由；(III)若 册 是递增数列，且同时满足性质和性质，证明：4为等比数列.【答案】已知%是无穷数列.给出两个性质：对于 册 中任意两项4吗 力，在 册 中都存在一项勺，使 =金；aj对于%中任意项4(3),在%中都存在两项4吗(%/).使 得”“=.al(1)若4=(=1,2.)，判

35、断数列 4是否满足性质，说明理由；(H)若“=2-(=1,2,)，判断数列 册 是否同时满足性质和性质，说明理由；(III)若 册 是递增数列，且同时满足性质和性质，证明：%为等比数列.【题目栏目】【题目来源】2020北京高考第2 1题20.(201 9年高考浙江第20题)设等差数列”“的前项和为S“，4=4,a4=S3.数列 耳 满足：对任意e N*,Sn+b,Sl l+l+bn,S“+2+打成等比数列.(I)求数列 4,2 的通项公式;(H )记%=,7 7 G N 证明：q +。2+C 【答案】【意图】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和

36、综合应用能力。满 分1 5分。4 +2d=4,【解析】(I)设数列/的公差为d,由题意得 公7公2,解得4=0,d =2,q +3d =+3d,从而-2,所以 S“=2-，e N”.解法一：由S“+%5”一”,端+”成等比数列得+|+)2=(S“+4)(S.+2+a)，解得2=7 7(S“1 S S,+2)，所以=/+，n eN*.aS.i +bn S,9 +bn解法二：由s“+a，s,川+d，S m+2 成等比数列得:j，两边同减去1，得，+Dn，+l +Dn+l _ ”+2S“+2 5Z I+1+bnSQ+b,a.2.即 年 才=广，再两边同减去1，得0=1，所以2(S+)=&+j 2,十

37、 4 an+十 弓】C ln+即 2(二一雇+4)=47,所以力 =?+,H GN*.(II)解法一：由于c =2J-1 +y/n=2(V-V/2-1),从而 q +C 2+。/1 /o+5/2 V T +y fn J -1)=2/n.解法.:由于 c n e N.我们用数学归纳法证明：当=1 时，C =0 v 2,不等式成立；假设n=k (k G N)时不等式成立，即(?+c?+/v .则当=攵+1 时,q +G+/+或+2y/k +k伏+1)伏+2)2,k H.-产2,y Jk+2(J l +l y fk =2q k+1 ,y jk +l+y l k即=A +1 时，不等式也成立.根据和，

38、不等式q +。2+c”2册 对 任 意 e N*成立.【题目栏目】数列 数列的综合应用 数列的综合问题【题目来源】201 9年高考浙江第20题21 .(201 9年 高 考 天 津 理 第 19 题)设 是 等 差 数 列，5是 等 比 数 列.已 知 1 =4,瓦=6 也=2a 2-2,4=2a 3 +4 .(1)求 4 和 的通项公式；(H)设数列%满足q=l,c =,其中k t N .bk,n=2,(i)求数列 4,&，-1)的通项公式;2n(i i)求 Z aici(e N)1=1【答案】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前“项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和

39、的基本方法以及运算求解能力.满分1 4分.(I)解：设等差数列但“的公差为d，等比数列 的公比为q.依题意得 工 解得6q-=1 2+4J,d =3 故 a“=4+(l)x 3 =3 +l,2=6 x 2 T=3 x 2 .所 以，%的 通 项 公 式 为4 =2,an=3 n +l,2 的通项公式为d=3 x 2.(II)解：4，(c2 -1)=%(2-1)=(3 x 2+1)(3 x 2 1)=9 x 4”1 .所以，数列 4，(c2-l)的通项公式为4”(C2-1)=9X4 -1.2 2 2 n(ii)解：+4(G T)=Z4 +Z%L Tr=1 i=l i=1 i=l=2x 4+-M+

40、Z(9 x4-)=(3 x 22-+5x 2-2)+9x-i-j-n 7/-1=27 x 22n-+5x2“T-1 2(“e N)【题目栏目】数歹八数列的综合应用数列的综合问题【题目来源】201 9年高考天津理第1 9题22.(201 9年 高 考 上 海 第2 1题)数 列 g有1 00项，a,=a ,对 任 意 w 2,1 00,存在an-a.+d,i E,n-,若4与前项中某一项相等，则称为具有性质尸.(1)若4=1,求为可能的值；(2)若 凡 不为等差数列，求证：q 中存在满足性质P；(3)若 凡 中恰有三项具有性质P,这三项和为C,使用a,d,c表示q+。2+%0().【答案】【答案

41、】(1)3 57；(2);(3)97a+4656d+c 解析】(1)由题意，g=4+d=3 若4、为 具有性质P，则4 =%=生=3 若 内、4具有性质P而。4不具有性质尸，则/=4 =4+1 =3,4 =+=。3+。工4 +“，即%=5；若 的 不具有性质P，则必有%=4 +d工4+4，即q=5；此时若为 具有性质尸，则4=5；若(不 具 有 性 质P,则4=%+=7综上所述，为 可能的值为3、5、7(2)假设%中不存在满足性质P的项，即对任意均有.*为；下面数学归纳法证明，%是等差数列；当 =2时，g=4+d，成立；设 当”,0 2,99且Z e N*时，ak=%+d；则当”=Z +1时，

42、因为a*不具有性质P ,故4+|工勾+d(i=l,2,Q而又存在4+i=4+1(7=1,2,./)故，i =k,即4+=&.+d；综上所述，当%中不存在满足性质P的项时，4 时等差数列成立；故其逆否命题：当 a,不是等差数列时，4 中存在满足性质P的项成立.(3)由题意，不妨设这三项为%,4,a,“，其中2V q 0.因为qWb.Wc k.i,所以q i W k W q11,其中5=1,2,3,当左=1时，有 小 1;当=2,3,加时，有电与winqW电勺.k k 一1n In”1-lnx设f(x)=。1),则/*)=XX令(九)=0,得 x=e.列表如下:X(1,e)e(e,+8)fW+0-

43、/(x)极大值r au ln2 In8 In9 ln3 匚 匚 八、In3因为一7=二-?=丁，所以 f（Q,皿=3）=2 6 6 3 5取 =百，当 =1,2,3,4,5时，n q,即k W,经检验知广W k 也成立.k因此所求小的最大值不小于5.若加2 6,分别取k=3,6,得 3Wq）且 W 6,从而1 2 2 4 3,且/W 216,所以4 不存在.因此所求用的最大值小于6.【题目栏目】数列 数列的综合应用 数列的综合问题【题目来源】2019年高考江苏第20题25.（2019年高考北京理第20题）已知数列9“,从中选取第,项、第 4 项、第 2 项Q v 4），若a-%”,则称新数列a

44、-,%,，”为 ,的长度为m 的递增子列.规定：数列 4 的任意一项都是%的长度为1 的递增子列.（1）写出数列1,8,3,7,5,6,9 的一个长度为4 的递增子列；（口）已知数列 4 的长度为夕的递增子列的末项的最小值为。伙,，长度为q 的递增子列的末项的最小值为若 p q，求证：；（in）设无穷数列 a 的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若 ,的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s-1,且长度为s 末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个（s=1,2,），求数列 4 的通项公式.【答案】【解析】（I）满足题意的一个长度为4 的递增子列为：1,3,5,6.（H）对于每一个长度为q 的递

45、增子列%，纥，,都能从其中找到若干个长度为p 的递增子列此时q,气，设所有长度为4 的子列的末项分别为：%,%,%,所有长度为P 的子列的末项分别为：卜 则%。=m in 。妨，%，%，,注意到长度为P的子列可能无法进一步找到长度为q的子列，故4%m i n a柄/外据此可得：a 叫 a,.f l -I 为 偶数(m)满足题意的一个数列的通项公式可以是=；:晏 蕾=2,1,4,3,6,5,8,7,，下面说明此+为奇数数列满足题意.很明显数列为无穷数列，且各项均为正整数，任意两项均不相等.长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1,下面用数学归纳法证明长度为S末项为2s-1的 递 增 子 列 恰

46、有 个(S=1,2,)：当=1时命题显然成立，假设当 =/时命题成立，即长度为k末项为2k -1的 递 增 子 列 恰 有 个，则当 =%+1时，对于 =A时得到的每一个子列%，%，a.%，2Z-1,可构造:4,%,2 1,2(左+1)-1和%,%,%2k,2(%+1)-1两个满足题意的递增子列,则长度为攵+1末项为2 Z+1的递增子列恰有2 x2-=2*=2八 A个，综上可得，数列为=；;为工偶登数=2,1,4,3,6,5,8,7,是一个满足题意的数列的通项公式.+1,”为奇数注：当s=3时,所有满足题意的数列为：2,3,5 ,1,3,5 ,2,4,5 ,1,4,5 ,当s=4时,数 列 2

47、,3,5 对应的两个递增子列为：2,3,5,7 和 2,3,6,7 .【题目栏目】数列 数列的综合应用 数列的综合问题【题目来源】2019年高考北京理第20题2 6.(2018年高考数学江苏卷第26题)(本小题满分1 0分)设对1,2,n的一个排列我小如果当s t时，有则称&%)是 排 列*的一个逆序，排列沦的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记为 1,2,，的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.(1)求 力(2),力(2)的值;(2)求 5)的表达式(用n表示).【答案】(1)2 5；(2)应5时

48、，力(2)=2 f-2.解析：记 曲 0 为排列ab c 的逆序数,对1,2,3 的所有排列,有7(123)=0,然132)=1,4 213)=1,T(231)=2,7(312)=2,7(321)=3,所以力(0)=1,&1)=力 =2.对 1,2,3,4的排列，利用已有的1,2,3 的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此，力(2)=6(2)+力+力(0)=5.(2)对一般的(应4)的情形，逆序数为。的排列只有一个：12.n,所以(0)=1 .逆序数为1 的排列只能是将排列12.中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以/,(1)=-1.为计算工出(2)，当 1

49、，2,，的排列及其逆序数确定后，将 添 加 进 原 排 列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此，以 =工 +力+力(0)=4(2)+n.当 n 5 时,力(2)=,(2)-(2)+力-(2)二力(2)+力(2)-力(2)+(2)n _ n _ 2=(-1)+(n-2)+.+4 +&(2)=-因此，*5时，,=匚；二2.【题目栏目】数列 数列的综合应用 数列的综合问题【题目来源】2018 年高考数学江苏卷第26 题27.(2018 年高考数学江苏卷第20题)(本小题满分16 分)设 可 是首项为q,公差为d的等差数列，也,是首项为乙，公比为q的等比数列.(1)设4 =0,4=l,q

50、=2,若|%-2|仿对=1,2,3,4 均成立，求 d的取值范围；(2)若 =4 0,，”eN,(7 e(l,啦,证 明：存在4e R,使得|q,-6 区片对”=2,3,加+1均成立，并求 d的取值范围(用b 1,m,q 表示).【答案】解析：(1)由条件知：an=n-V)d ,bn=2n-1,因 为 区 对=1,2,3,4均成立，即|(一 1)4 一 2|W 1 对”二 1,2,3,4 均成立，7 5即 1 W L l W d W 3,3W 2d W 5,7 W 3 d W 9,得一WdW.3 2因此，d的取值范围为匕,|.(2)由条件知：an=&)+(-1)J ,bn=bxqn.若存在 d