人教版导与练总复习数学一轮教师用书：第七章第3节　空间直线、平面的平行.pdf

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1、第3节 空间直线、平面的平行课程标准要求1 .以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定.2 .能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.必备知识课前回顾 超 激 材夯实国基1.直线与平面平行的判定定理和性质定理A知识梳理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行（线线平行=线面平行）因为/7 a,ac a,I C a,所以1/a性质定理一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行（线面平行=线线平行

2、）因为 a,l u B ,a nB =b,/W y7所以1b2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判如果一个平面内的两条相交因为 a B,b B,a定直线与另一个平面平行,那么定这两个平面平行（线面平行=口A b=P,au a,bu a,理面面平行）所以a B性两个平面平行,如果另一个平_zzl_因为 a B,a C y质面与这两个平面相父,那么两5a,B C Y=b,所以 a定条交线平行（面面平行=线线%已/理平行）bW重要结论1.平行间的三种转化关系线线平行 定定里 线面平行 定定理面面平行t 性质定理 性质定理2.平行关系中的三个重要结论垂直于同一条直线的两个平面

3、平行，即若aJ_ a,a_L B,则a B.平行于同一平面的两个平面平行，即若a B,B 丫，则a 丫.垂直于同一个平面的两条直线平行，即若aJ_ a,b_L a,则ab.3.平行问题中的唯一性（1）过直线外一点与该直线平行的直线有且只有一条.(2)过平面外一点，与该平面平行的平面有且只有一个.对点自测1 .平面a 平面B的一个充分条件是(D )A.存在一条直线a,aa,aBB,存在一条直线a,au a,a BC.存在两条平行直线a,b,au a,b u B ,a B ,b aD.存在两条异面直线a,b,au a,b u B ,a B ,b a解析:若 a G B =1,al,a。a,aQ B

4、 ,则 a a,a 6 ,故排除 A;若 an B =1,au a,aL 则 a B ,故排除 B;若 a C B =1,au a,a 1,b uB ,b l,则 a B ,b a,故排除C.故选D.2 .已知直线1 和平面a,若 1 a,P a,则过点P,且平行于1 的直线(B )A.只有一条,不在平面a 内B.只有一条,且在平面Q内C.有无数条,一定在平面a 内D.有无数条,不一定在平面a 内解析:过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条，因为点P 在平面 a 内，所以这条直线也应该在平面a 内.故选B.3.在正方体A B C D-A,B,C,D,中,E 是 的 中 点，则B D,与平面A

5、 C E 的位置关系为解析：如图所示,连接B D 交 A C 于 F,连接E F,则E F 是B D D 的中位线,所以 E F B D i,又E F u平面A C E,B D Q 平面 A C E,所以B D 1 平面A C E.答案:平行4.设a,B,丫为三个不同的平面,a,b为直线，给出下列条件:au a,b u B ,a/B,b a；a,B y；（3）a y ,P y ;a a,b _ L B ,ab.其中能推出a B的条件是（填上所有正确的序号）.解析:中a,B可能相交也可能平行，中a B .答案:关键能力课堂突破类小考点既实四翼感 考点一直线、平面平行的基本问题1 .设Q,B为两个

6、平面，则a 6 的充要条件是（B ）A.a 内有无数条直线与B平行B.a 内有两条相交直线与B平行C.a,B平行于同一条直线D.a,B垂直于同一个平面解析:若&B,则a 内有无数条直线与B平行,反之不成立;若a,B平行于同一条直线,则a 与B可以平行也可以相交;若a,B垂直于同一个平面,则a 与B可以平行也可以相交，故A,C,D 均不是充要条件.根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行,反之也成立,因此B中的条件是a/B的充要条件.故选B.2.已知两条不同的直线a,b,两个不同的平面a,B ,有如下命题：若 a a,b u a,则 a/7 b

7、;若 a B ,au a,则 a B ;若 a B ,au a,b u B ,则 ab.以上正确命题的个数为（C ）A.3 B.2 C.1 D.0解析:若a a,b u a,则a 与b 平行或异面,故错误;若a B ,aua,则a 与B没有公共点，即a B ,故正确;若a B ,au a,b u B ,则 a 与 b 无公共点,得a,b 平行或异面,故错误.所以正确命题的个数为1.故选C.如图,平面a 平面B ,A P A B 所在的平面与a,B分别交于C D,A B,若P C=2,C A=3,C D=1,则 AB=.解析:因为平面Q 平面B,平面a G平面P A B=C D,平面B n平面P

8、 A B=A B,所以C D A B,所以A B=四步.PC 2 2答案卷一题后悟通解决有关线面平行、面面平行的基本问题的注意点判定定理与性质定理中易忽视的条件,如线面平行的判定定理中,条 件“线在面外”易忽视.(2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断.(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.愿考点二直线与平面平行的判定与性质口角度一用线线平行证明线面平行(W R)如图，在直四棱柱A BC D-A BC D中,E为线段A D上的任意一点(不包括 A,D 两点)，平面C EC,与平面BB,D交于FG.求证:FG 平面A A.B.B;(2)如图,在三棱台DEF-A BC 中，A B=

9、2 DE,G,H分别为A C,BC 的中点.求证:BD 平面FGH.证明：(1)在直四棱柱A BC D-A BC D中，因为 BBi C G,BBc 平面 BB.D,C C Q 平面 BBJ),所以C G 平面BBJ).又因为C Gu 平面C EC,.平面C EG与平面BB.D交于FG.所以C GFG.因为BB/C C,所以BB/FG.而 BBC 平面 A A BB,FGQ 平面 A A BB,所以FG平面A A BB.法一连接DG,C D.设 C DA GF=M,连接 M H.在三棱台DEF-A BC 中，由A B=2 DE,G 为A C 的中点,可得 DFGC,DF=GC,所以四边形DFC

10、 G为平行四边形，则M为 C D的中点，又因为H为 BC 的中点，所以 H M/7BD.因为H M u 平面FGH,BDC 平面FGH,所以BD平面FGH.法二 在三棱台DEF-A BC 中，由BC=2 EF,H为 BC 的中点，可得BH EF,BH=EF,所以四边形H BEF为平行四边形,所以BE/7H F.在A A BC 中，因为G 为A C 的中点,H为BC 的中点，所以GH A B.又因为GH Q 平面A BED,H F。平面A BED,A Bu 平面A BED,BEc平面A BED,所以GH 平面A BED,H F平面A BED.又因为 GH A H F=H,GH u 平面 FGH,

11、H Fu 平面 FGH,所以平面FGH 平面A BED.因为BDu 平面A BED,所以BD平面FGH.证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,解题的思路是利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行，注意内外平行三条件,缺一不可.口 角度二用线面平行证明线线平行do如图所示，四边形A BC D是平行四边形，点P是平面A BC D外一点,M是P C的中点,在D M上取一点G,过G和A P作平面交平面BM D于GH.求证:A P GH.证明：如图所示,连接A C交BD于点0,连接M 0,因为四边形A BC D是平行

12、四边形，所以0是A C的中点，又M是P C的中点，所以A P 0M.又M O u平面BM D,A P Q平面 BM D,所以A P平面BM D.因为平面P A H G A平面BM D=GH,且A P u平面P A H G,所以A P GH.，解题策略1 .通过线面平行可得到线线平行,其中一条线应是两平面的交线,要树立这种应用意识.2 .利用线面平行的性质必须先找出交线.降度三利用面面平行证明线面平行如图,在四棱锥P-A BC D中,P D_ L平 面 A BC D,四边形A BC D是矩形,E,F,G分别是棱BC,A D,P A 的中点.求证:P E平面BFG;(2)若 P D=A D=1,A

13、 B=2,求点C到平面BFG的距离.证明：如图，连接DE.因为在矩形A BC D中,E,F 分别是棱BC,A D的中点，所以 DF=BE,DFBE,所以四边形BEDF是平行四边形，所以DEBF.因为G 是 P A 的中点，所以FGP D.因为P DQ 平面BFG,DEQ 平面BFG,FGu 平面BFG,BFu 平面BFG,所以P D 平面BFG,DE平面BFG.又 P D n DE=D,P Du 平面 P DE,DEu 平面 P DE,所以平面P DE平面BFG.因为P Eu 平面P DE,所以P E平面BFG.(2)解：因为 P D_ L平面 A BC D,FGP D,所以FG_ L平面A

14、BC D.过点C 在平面A BC D内作C M BF,垂足为M,则FGC M.因为 FGA BF=F,FGu 平面 BFG,BFu 平面 BFG,所以C M _ L平面BFG,所以线段C M 的长是点C到平面BFG的距离.在矩形A BC D中，因为F 是 A D的中点,A D=1,A B=2,A BC M A FBA,u 匚 、I C M BC所以一=.BA FB因为 FB=AMB2+A 尸 夸,BC=A D=1,所以C M=甯，即点C到平面BFG的距离为甯.解题策略I证明线面平行,可先证明直线所在的平面同另一个平面平行,再运用面面平行的性质得到线面平行.针对训练1.Di如图，直四棱柱A BC

15、 D-A BC D的底面是菱形,AAL4,A B=2,ZBA D=6 0,E,M,N 分别是 BC,BBb A.D 的中点.求证:M N平面 C DE.证明：连接BC,M E.因为M,E分别为BBi,BC的中点,所以 M EB,且 M E B C又因为N为A,D的中点，1所以 N D=-A i D.由题设知A,B,JLD C,可得B C上AD故 MEJLN D,因此四边形M N DE为平行四边形,所以M N ED.又M N Q平面C,DE,EDu平面GDE,所以M N平面C DE.2.如图，四边形A BC D是矩形,P 4平面A BC D,过BC 作平面BC FE交A P 于点E,交 DP 于

16、点F,求证：四边形BC FE是梯形.证明：因为四边形A BC D为矩形，所以BC A D.因为A Du 平面P A D,BC Q 平面P A D,所以BC 平面P A D.因为平面BC FE G 平面P A D=EF,BC u 平面BC FE,所以BC EF.因为 A D=BC,A D/EF,所以BC W EF,所以四边形BC FE是梯形.康 考点三面面平行的判定与性质如图所示,在三棱柱A BC-A BC 中,E,F,G,H分别是A B,A C,A B,A的中点,求证：(1)B,C,H,G四点共面;平面EFA i 平面BC H G.证明：因为G,H 分别是A B,A的中点，所以GH 是 A B

17、G的中位线,GH BC.又因为B BC,所以GH BC,所以B,C,H,G四点共面.(2)在A A B C 中,E,F 分别为A B,A C 的中点,所以EFBC.因为EFQ 平面BC H G,BC u 平面BC H G,所以EF平面BC H G.因为 A GEB,A,G=EB,所以四边形A.EBG是平行四边形,则A EGB.因为A EQ 平面BC H G,GBu 平面BC H G,所以A E 平面BC H G.因为 A,En EF=E,A i Eu 平面 EFAb EFu 平面 EFAt,所以平面EFA i 平面BC H G.典例迁移1 (变条件)在本例条件下，若点D 为B G 的中点,求证

18、:H D平面A BBA.证明：如图所示,连接A.B,因为D 为B G 的中点,H为AC的中点,所以H DA B又 H DC 平面A BBA,A i Bu平面 A BBA,所以H D平面A BBA.典例迁移2（变条件）在本例条件下,若Di,D分别为BC,B C的中点,求证:平面A BD1平面A C i D.证明：如图所示,连接A i C交A G于点M,因为四边形A A C G是平行四边形，所以M是AC的中点，连接M D,因为D为B C的中点，所以 A i BDM.因为A i Bu平面A.BD,DM C平面A M D”所以DM平面A BD,又由三棱柱的性质知,D C&BD,所以四边形B D C D

19、为平行四边形，所以D3BDL又 DGQ平面 AIBDI,BDi U平面 A,BDb所以DC 平面A i BL.又因为 DC,A DM=D,DC DM u平面 A C.D,所以平面AIBDI 平面A GD.，解 题 策 略判断、证明面面平行的方法(1)面面平行的定义.(2)面面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)如果两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行.利 用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化.慢 考点四平行关系的探索问题C1D如图，四边形A BC D是边长为3 的正方形,DE，平面A B

20、C D,A F，平面A BC D,DE=3,A F=1.求证:平面A BF 平面DC E;(2)在 DE上是否存在一点G,使平面FBG将几何体A BC DEF分成上、下两部分的体积比为3：5?若存在，求出点G 的位置;若不存在,请说明理由.证明：因为DE_ L平面A BC D,A F J _ 平面A BC D,所以DEA F,又 DEu 平面DC E,A FQ 平面DC E,所以A F平面DC E,因为四边形A BC D是正方形，所以A B/7C D,又 C Du 平面DC E,A BQ 平面DC E,所以A B平面DC E,因为A BC A F=A,A Bu 平面A BF,A Fu 平面A

21、BF,所以平面A BF平面DC E.解：存在点G,满足题意，理由如下：假设存在一点G,过G 作M GBF交EC 于点M,连接FG,BG,BM,BD如图,由 VABCDEF=VB-A D E F+B-CDE=-X 3X （1+3i x 3+-X 3X 3 2 3 2_21一 _ T，设 EG=t,贝（J VGFBM E=VB-E F G+B-E G M=O=7ZL o 1 0设点M到ED的距离为h,贝隹乜_L7 J3 EC 3-1即 h=|t,贝 I SAEGMt 2 2 4VGFBM E=VB_/7G+VB_ G M=X 3 X X 3 t+X 3 2=J /J ，lo即 4 t2+8 t-2

22、 1=0,解得t m或 t=（舍去），则在D E 上存在点G,当E G=|,即G 为 E D 的中点时满足条件.，解题策略解决这种数值或存在性问题的题目时，注意先给出具体的值或先假设存在,然后再证明.针对训练如图,在正方体A B C D-A B C D中,P,Q分别为对角线B D,C Q上的点,且CQ _BP_2QDr PD 3求证:P Q平面A D D A;若R是A B上的点，当的值为多少时，能使平面P Q R平面A.D.D A?AB请给出证明.(1)证明:连接C P并延长与D A的延长线交于点M,如图,连接M D,因为四边形A B C D为正方形,所以B C A D,故P B CSAPDM

23、,匚匚 I、I CP BP 2所以前=而=5又因为CQ BP 2QDi PD 3所以CQ CP 2QDt PM 3所以 P Q M D i.又 M D i U 平面 A D D A,P Q C 平面 A D D A,故 P Q 平面A D D A.解：当算的值为|时，能使平面P Q R 平面A D D A,如图.证明如下:因为AB 5即 BR_2 _,.BR_BP AR 3，又4R PD所以P R D A.又 D A u平面 A D D A,P R Q 平面 A D D A,所以P R 平面A D D A,又 P Q 平面 A D D A,P Q A P R=P,P Q,P R u平面 P Q

24、 R,所以平面P Q R 平面A D D A.店 备选例题CBD如图,在长方体A B C D-A B C D 中,E,F 分别是棱A A,和 B B,的中点，过 E F的平面E F G H 分别交B C 和A D 于点G,H,则G H 与A B 的位置关系是（）A.平行 B.相交C.异面 D.平行或异面解析：由长方体的性质，知 E F 平面A B C D,因为E F u平面E F G H,平面 E F G H A 平面 A B C D=G H,所以E F G H.又 E F A B,所以G H A B.故选A.如图所示,在四棱锥P-A B C D 中,M,N 分别为A C,P C 上的点，且M

25、 N 平面P A D,则（）A.M N/7 P DB.M N P AC.M N/A DD.以上均有可能解析：因为M N 平面P A D,平面P A C A 平面P A D=P A,M N u平面P A C,所以M N P A.故选 B.如图所示,正方体A B C D-A B C D 中，点E,F,G,P,Q 分别为棱A B,C D,D A,D.D,C.C 的中点.则下列叙述中正确的是（）A.直线B Q平面E F GB.直线A B 平面E F GC.平面A P C 平面E F GD.平面A B Q 平面E F G过点E,F,G的截面如图所示（其中H,I分别为A A i,B C的中点）.因为A B

26、H E,A B 6平 面E F G,H E u平面E F G,所 以A B 平面E F G.故选B.A级基础巩固练 课时作业 选题明细表灵活方履密致提修知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练直线、平面平行的基本问题1,2,8直线、平面平行的判定与性质3,4,9,1 0平面、平面平行的判定与性质综合问题5,6,71 1,1 2,1 3,1 4,1 51 6,1 71.已知a ,B表示两个不同的平面,直线m是a内一条直线,则“a /B ”是“m B ”的（A ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由a B ,m u Q,可得m B ;反过来由m B ,

27、m u a ,不能推出a B .综上，“a B ”是“m B ”的充分不必要条件.故选A.2.（2 0 2 1 四川泸州诊断）已知a,b是互不重合的直线，a ,B是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（B ）A.若 a b,b e a ,则 a/aB.若 a a ,a B ,a G B =b,贝 l j a b0若 2&,a B,则 a BD.若 2&通6,则a B解析:A 选项,若a b,b u a ,则 a a 或 a u a ,所以A 选项错误；B 选项,若 a/a ,a B ,a G B =b,贝！J a/7 b,所以B 选项正确；C 选项,若 a a ,a B ,则 a B 或 a

28、 u B ,所以C 选项错误；D 选项,若a a ,a B ,则a B或 a与B相交，所以D 选项错误.故选B.3.已知在三棱柱A B C 一 ABG中,M,N分别为A C,B的中点,E,F分别为B C,B B的中点，则直线M N 与直线E F、平面A B B A 的位置关系分别为(B )A.平行、平行 B.异面、平行C.平行、相交 D.异面、相交解析:因为在三棱柱A B C-A.B.C,中，M,N分别为A C,B,C,的中点,E,F 分别为B C,B,B 的中点，所以E F u平面B C C,B M N A 平面 B C C B 产 N,N 4 E F,所以由异面直线的定义得直线M N 与直

29、线E F 是异面直线.取 AC的中点P,连接P M,P N,如图，贝（I P N B A,P M A A 又 P N C 平面 A B B A,B A u 平面 A B B A,P M Q 平面A B B A,A i A u平面 A B B A,所以P N 平面A B B A,P M 平面A B B A.因为 P M A P N=P,P M,P N u平面 P M N,所以平面P M N 平面A B B A,因为M N u平面P M N,所以直线M N 与平面A B B A 平行.故选B.4 .如图,在正方体A B C D-A B C D 中,M,N,P分别是C D,B C,AD的中点,则下列

30、命题正确的是（C ）Di MBA.M N/7 A PB.M N/Z B D iC.M N 平面 B B,D,DD.M N 平面 B D P解析:取BC的中点为Q,连接M Q,N Q （图略）,由三角形中位线定理,得M Q B D,M Q C 平面B B D D,B R u 平面B B D D,所以M Q 平面B B D D.由四边形B B.Q N 为平行四边形，得N Q B B“N Q C 平面 B B D D,B B C 平面 B B D D,所以N Q 平面B B D D.又 M Q n N Q=Q,M Q,N Q u平面 M N Q,所以平面M N Q 平面B B D D,又M N u平

31、面M N Q,所以M N 平面B B D D.故选C.5 .（多选题）如图，正方体A B C D _ A B C D 的棱长为1,线段BD上有两个动点E,F,且 EF。则下列结论正确的是（B D ）A.线段BD上存在点E,F使得A E/7 B FB.EF 平面 A B C DC.A A E F的面积与A B E F的面积相等D.三棱锥A-B EF的体积为定值解析:如图所示,A B与BD为异面直线,故A E与B F也为异面直线,A错误;B D B D,故EF平面A B C D,B正确；由图可知，点A和点B到E F的距离是不相等的,C错误;连接B D交A C于点0,则A 0为三棱锥A-B EF的高

32、,SA B EF=|xi x 1号三棱锥A-B EF的体积为:X：*等,为定值,D正确.故选B D.6.已知m,n是空间中两条不同的直线，a ,B是空间中两个不同的平面，则下列命题正确的是（C ）A.若 a J _ B ,m a ,则 m_ L BB.若。则 mBC.若 m a ,n _ L B ,m/n,贝!J a BD.若 mu a ,n u a ,m/B ,n B ,则 a B解析:对于A,若a _ L B,m_ L a,则m B或m u B,故A错误；对于B,若a B ,m/a ,则m B或mu 6 ,故B错误；对于C,若m a ,m/n,则n _ L a ,又因为n B ,所以a B

33、，故C正确；对于D,若mu a ,n u a ,m B ,n B ,贝!I a ,B可能相交，故D错误.故选C.7 .（多选题）（2 02 1 河北保定模拟）在正方体A B C D _ A B C D中,M,N,Q分别是棱D C,A D,B C的中点，点P在B D i上,且B P=|B，则以下四个说法中正确的是（B C ）A.M N 平面 A P CB .C Q 平面 A P CC .A,P,M三点共线D.平面M N Q 平面A P C解析:如图,对于A,连接M N.A C,则M N A C,连接A M,C N,易得A M,C N交于点P,即M N u平面A P C,所以M N平面A P C是

34、错误的；对于B,由A项知M,N在平面A P C内，由题易知A N G Q,A N u平面A P C,G Q Q平面A P C,所以C Q 平面A P C 是正确的；对于C,由A 项知A,P,M 三点共线是正确的；对于D,由A 项知M N u平面A P C,又M N u平面M N Q,所以平面M N Q 平面A P C 是错误的.故选B C.8 .有 以 下 三 种 说 法,其 中 正 确 的 是（填序号）.若直线a 与平面a相交,则a内不存在与a 平行的直线；若直线b 平面a ,直线a 与直线b 垂直,则直线a 不可能与a 平行;若直线a,b 满足a b,则 a 平行于经过b 的任何平面.解析

35、:若直线a与平面a相交,则a内不存在与a 平行的直线,故正确;若直线b平面a ,直线a 与直线b 垂直,则直线a 可能与a 平行,故错误;若直线a,b 满足a/7 b,则直线a 平行或包含于经过b 的任何平面,故错误.答案:9 .（2 02 1 山东烟台模拟）下 列 各 图 中 A.B 为正方体的两个顶点,M,N,P 分别为其所在棱的中点，能得出A B 平面M N P 的图形序号是（写出所有符合要求的图形序号）.解析:对于,如图，作 M C N P,连接N C,P C,得平面M C P N,因为A B N C,N C u平面M C P N,A B。平面M C P N,所以A B 平面M C P

36、 N,即A B 平面M N P,故符合题意；对于,如图(2),连接A C,A D,C D,由已知可得平面M N P 平面A C D.因为A B 和平面A C D 相交,所以A B 不平行于平面M N P,故不符合题意；对于,如图(3),连接A C,B C,D E,由已知可得M N D E,因为D E A C,由平行的传递性可得M N/7 A C,M N u平面M N P,A C Q 平面M N P,所以A C 平面M N P.又因为N P B C,N P u平面M N P,B C Q 平面M N P,所以B C 平面M N P.A C A B C=C,A C,B C u平面 A B C,所以平

37、面A B C 平面M N P,又因为A B u平面A B C,所以A B 平面M N P,故符合题意；对于,如图(4),因为D B M N,M N u平面M N P,D B Q 平面M N P,所以D B 平面M N P,若A B 平面M N P,又A B C D B=B,则平面A C B D 平面M N P,由图可知平面A C B D 不可能平行于平面M N P,所以A B 不平行于平面M N P,故不符合题意.佟I答案:1 0.如图，在四棱锥P-A B C D 中，底 面 A B C D 是菱形,P A,平 面 A B C D,P A=3,F 是棱P A 上的一个动点,E 为P D 的中点

38、,。为 A C 的中点.求证:0E平面P A B;(2)若 A F=1,求证:C E 平面 B D F.证明:(1)因为四边形A B C D 为菱形,。为 A C 的中点,所以。为 B D 的中点,又因为E 为 P D 的中点,所以0EP B.因为O EQ 平面P A B,P B u平面P A B,所以0E 平面P A B.如图所示,过E 作 EG FD 交A P 于点G,连接C G,FO.因为 EG FD,EG。平面 B D F,FD u平面 B D F.所以EG 平面B D F.因为E为P D的中点,EG FD,所以G为P F的中点，因为 A F=1,P A=3,所以F为A G的中点，又因

39、为0为A C的中点，所以O FC G.因为C G Q平面B D F,O Fu平面B D F,所以C G 平面B D F.因为 EG n C G=G,EG u平面 C G E,C G u平面 C G E,所以平面C G E 平面B D F,又因为C Eu平面C G E,所以C E 平面B D F.B级综合运用练1 1.如图，在多面体A B C-D EFG中，平面A B C平面D EFG,EFD G,且A B=D E,D G=2 EF,贝！|(A )ABE FA.B F平面 A C G DB.C F平面 A B EDC.B C FGD.平面A B ED平面C G F解析:如图所示,取D G的中点M

40、,连接A M,FM,则由已知条件易证得四边形D EFM是平行四边形，所以 D EFM,且 D E=FM.因为平面A B C/平面D EFG,平面A B C G平面A D EB=A B,平面D EFG A平面A D EB=D E,所以A B D E,所以A B FM,又 A B=D E,所以A B=FM,所以四边形A B FM是平行四边形，所以B FA M,又 B FQ平面 A C G D,A M u平面 A C G D,所以B F平面A C G D.故选A.1 2.在三棱锥S-A B C 中，A A B C 是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=1 5,平面D EFH 分别与A B,B C,

41、SC,SA 交于点D,E,F,H.D,E 分别是A B,B C 的中点，如果直线SB 平面D EFH,那么四边形D EFH 的面积为（A ）肌 竺B.摩2 2C.4 5 D.4 5 V 3解析:如图，取 A C 的中点G,连接SG,B G.易知 SG A C,B G A C,SG G B G=G，故 A C _ L 平面 SG B,又 SB u平面 SG B,所以 A C _ L SB.因为SB 平面D EFH,SB u平面SA B,平面SA B G 平面D EFH=H D,贝！J SB H D.同理SB FE.又因为D,E分别为A B,B C 的中点，则H,F 也分别为A S,SC 的中点，

42、从而得 H FJ L j A C,D EJ L A C,所以 H FJ L D E,所以四边形D EFH 为平行四边形.因为 A C SB,SB H D,D EA C,所以 D E_ L H D,所以四边形D EFH为矩形，其面积 S=H F-H D=0A C)(|SB)=y.故选A.1 3.已知下列命题：若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；若直线1上有无数个点不在平面a内，则1 a ;若直线1与平面a相交,贝IJ 1与平面a内的任意直线都是异面直线;如果两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交；若直线1与平面a平行,则1与平面a内的直线平行或异面；若平面a 平面

43、B ,直 线a c a ,直线be 6 ,则a/7 b.上 述 命 题 正 确 的 是(填 序 号).解析:若直线与平面有两个公共点，由基本事实2可得直线在平面内，故正确;若直线1上有无数个点不在平面a内，则1 a或1与a相交,故错误;若直线1与平面a相交,则1与平面a内的任意直线可能是异面直线或相交直线，故错误;如果两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线可能与该平面平行或相交或在平面内，故错误;若直线1与平面a平行,则1与平面a内的直线无公共点，即平行或异面,故正确;若平面a 平面B ,直 线a ua ,直线be B ,则a b或a,b异面，故错误.答案:1 4.如图,四边形A B

44、 C D 与A D EF均为平行四边形,M,N,G分别是A B,A D,EF的中点.求证：B E平面D M F;平面B D E平面M N G.证明：如图,连接A E,则A E必过D F与G N 的交点0,连接M 0,因为四边形A D EF为平行四边形，所以0 为A E的中点，又M为A B 的中点，所以M 0为A A B E 的中位线，所以B EM 0,又因为B EQ 平面D M F,M O u平面D M F,所以B E平面D M F.(2)因为N,G 分别为平行四边形A D EF的对边A D,EF的中点,所以D EG N,又因为D EQ 平面M N G,G N u平面M N G,所以D E平面

45、M N G.因为M为A B 的中点,N为A D 的中点，所以M N 为A A B D 的中位线，所以 B D/M N,因为B D Q 平面M N G,M N u平面M N G,所以B D 平面M N G,因为D E与 B D 为平面B D E内的两条相交直线，所以平面B D E平面M N G.1 5.如图，四棱锥 P-A B C D 中，P A L 平面 A B C D,A B A C,A B/7 C D,A B=2 C D,E,F分别为P B,A B 的中点.求证:平面P A D 平面EFC;若 P A=A B=A C=2,求点B到平面P C F的距离.证明：因为E,F 分别为P B,A B

46、 的中点，所以EFP A,因为EFQ 平面P A D,P A u平面P A D,所以EF平面P A D.因为 A B C D,A B=2 C D,所以 A FC D,A F=C D,所以四边形A D C F为平行四边形，所以C FA D.因为C FQ 平面P A D,A D u平面P A D,所以C F 平面P A D.因为 EFA C F=F,EF,C Fu平面 EFC,所以平面P A D 平面EFC.(2)解：因为 A B A C,A B=A C=2,F 为 A B 的中点,所以 SA B C EBF A C=-X 1 X 2=1,因为P A _ L 平面A B C D,所以匕0_ 30尸

47、=扣 35,*P A=|x 1 X 2=|,因为 P F=C F=V 5,P C=2 V 2,所以 5 的 寺 5 J P F2-（y）2=1 X 2 V 2 X V 572=V 6.设点B到平面P C F的距离为h,因为 VB-PC 产 二 U p-B C F，所以!*h=|,所以点B 到平面P C F 的距离为序C 级应用创新练1 6.（20 21 山东淄博模拟）如图（1）所示，在 边 长 为 12 的正方形A A A/A 1 中,BBi C G A A i,且 A B=3,BC=4,A A J 分别交 BB“C G 于点P,Q,将该正方形沿BB“C G 折叠，使得A，AJ与A A 1 重

48、合，构成如图（2）所示的三 棱 柱 A BC-A BG,在该三棱柱 底 边 AC上有 一 点 M,满足A M=k M C（0 k l）,请在图中解决下列问题.求证:当k=：时,BM 平面A P Q;(2)若 k=i 求三棱锥M-A P Q 的体积.4证明：如图，过 M 作 M N/7 C Q 交A Q 于点N,连接P N,?_ _ C i所以M N P B,所以点M,N,P,B 共面，且平面M N P B交平面A P Q 于P N,因为k=!器零又 C Q=7,所以 M N=3,M N=P B=A B=3,所以四边形M N P B为平行四边形，所以BM P N,因为P N u 平面A P Q,

49、BM。平面A P Q,所以BM 平面A P Q.(2)解：因为 A B=3,BC=4,所以A C=5,从而 A C2=A B2+BC2,即 A BBC.因为k g,所以A M=1,所以 VM-4PQ=VP-AMQ=|2 A M C Q ,1 7.如图所示,在四棱锥P-A BC D 中，底面A BC D 是平行四边形,M,N,Q 分别为BC,P A,P B的中点.p求证:平面M N Q 平面P C D;(2)在线段P D 上是否存在一点E,使得M N 平面A C E?若存在,求出知的值;若不存在,请说明理由.(1)证明：因为在四棱锥P-A BC D 中，底面A BC D 是平行四边形，此N,Q分

50、别为BC,P A,P B的中点,所以 N Q C D,M Q P C.又 N Q C 平面 P C D,C D u 平面 P C D,M Q C 平面 P C D,P C c平面P C D,所以N Q 平面P C D,M Q 平面P C D.又因为N Q A M Q=Q,且 N Q,M Q u 平面M N Q,所以平面M N Q 平面P C D.解:线段P D 上存在一点E,使得M N 平面A C E,且需理由如下：如图所示,取P D 的中点E,连接N E,C E,因为N,E,M 分别是A P,P D,BC 的中点,BC J L A D,所以N E 北M C,所以四边形M C E N 是平行四