2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第四章导数及其应用第四节 第1课时导数与不等式.pdf

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1、第四节导数的综合应用第 1课时 导数与不等式。、涛点探究 悟法培优心一。，考点一 利用导数证明不等式讲练互动 典例1 已知函数f(x)=x In x.(1)若/(x)W aV 恒成立，求 a 的取值范围;证 明:f(x)V 2ei.1 n v【解析】(1)由题意可得aN2恒成立，X所以 a24 则，令 g(x)=也，(0，+),g(x)=上，当*6(0，e)时,g(x)0,g(x)单调递增；当 xW (e,+)时，g(A-)0,g(x)单调递减，所以g(x)01ax=g(e),所以.1n v 9p(2)原不等式等价于(x)0,力(x)单调递增,所以力(x)“i n =/?(2)=:-=(史J

2、m u”2 e x)1n v 9p1 所以一 g(x)的基本方法(1)若/(X)与 g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)n i n g(x)n x；(2)若/(x)与 g(x)的最值不易求出，可构造函数为(x)=F(x)g(x),然后根据函数为(X)的单调性或最值，证明力(x)0.2.证明不等式时的一些常见结论(Di n x W x-l,等号当且仅当x=l 时取到；e”2 x+l,等号当且仅当x=0 时取到；In x x 0；V(4)CT In (x+l)W x,x ,等号当且仅当x=0 时取到.提醒：(D若构造的新函数为(x)的最小值或最大值不存在，需要求出尔x)的一个范围；(2)

3、若力(x)的导函数的零点不能求出具体值，需要虚设零点如 通过代换确定为(荀)的值或符号等.射对点训练1.证明对数平均不等式：ymn 0,n Q,mn)v In /T n n 2【证明】先考虑不等式如(心0,心 0,丘)设%0,即证In mmn-In n I-m即证In 一n./n令即证不等式25 l)2 1(t 1)2则，(f)=1-+?=-p-0,所以函数 尸 g()在(I,+)上单调递增，则g(。g(l)=0,所以当心。，心。且 肾 时,二 上 n；接 下 来 考 虑 不 等 式 u 0,/7 0,勿,设 Z Z 7 0,即证I n 勿 一In 772(加 一 )/n+n即证】d设 W 1

4、,即证不等4 2(1)式 In -2(t_ 1)构造函数力(。=l n t(f l),/1 4 (t1)2则“=7=717前 0,所以函数尸力(D 在(1，+8)上单调递增，则方金)/?(1)=0,所以当加 0,?7 0且加W”时，有;7 Q,nIn /z z In n 2厂 ,/-m-n m+n 0 且 r W 时，ymn -z-.v In 勿 一In n 22.已知函数/(x)=x 2x In x,g(x)=x+(i n x)2,其中 a W R,及是 g(x)的一x个极值点，且 gGo)=2.(1)讨论函数/1)In (2/7+1)(/?GN*).t f V 4k2-1 2【解析】函 数

5、 f(x)的定义域为(0，+)，且 F (x)=2x21n *2,令力(x)=f(x),2(x 1)则有力(X)=-,由A(X)=0 可得x=l,如表：X所以力(X)2 力(1)=0,即 F G)20,K x)在(0,+8)上单调递增；X(0.1)1(1,+0)h(x)0+A (A)单调递减极小值单调递增函数g(x)的定义域为(0,+8)，且 g，3 =1 予 一切黄，由已知，得 g，&)2=0,即 2xQln 及一a=0，2由 g(x0)2 可得 XQ(i n A b)22x()+a=0，联立消去a,可得2 x 一(l n x。)2 2 1 n 左-2=0，A/2 1 n x 2 2(x I

6、 n 矛-1)一令 tx)=2x(i n x)-2 1 n x 2,则 t(x)=2-=-，由x x x知 x I n x 1 2 0,故 F (x)20,所以 Mx)在(0,+0)上单调递增，M l)=0,所以方程有唯一解蜀=1,代入，可得a=L 由 知 f(x)=*2 x l n x 在(0,+8)上单调递增，故当x e(l,+)时，f(x)/(1)=1,，/、1 2 1 n x f(x)-1所以 g(x)=1 -=-0,可得g(x)在(1，+8)上单调递增.当x l 时，g(x)g(l)=2,即 叶 卜(I n x)22,(1、亦即小 一 下2 (i n x)2,这时/取 户2 +12

7、k-M N*，可 得 耒”十 0,I n x 0,故得正1-r=I n x,年In(2 4+1)In(2 4 1),仔2 ,S 2,2,，故小必一1 fV4k2-lln(2k+l)-ln(2k-l)=ln(2A+1),k=l所以应/I I n(2/?+l)(AN*).白 J 4 k 2-1 27 考点二求参数范围历练互动 典例2 (1)若不等式a I n (x+D，+2*0 在区间(0,+8)内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是()9 3 22 1 n 2 l r T _9 3 2 2 1 n 2(9 3 2 )1 2 1 n 2 h Ts JD，Qn 2 +0 )【解析】选 C

8、.设函数 F(x)=a I n (x+l),g(x)=x-2 x ,可得 g (x)=3 1?4 矛,4 4 ,令(x)=0,所以*=0 或彳=鼻，当O V x V 鼻时,O O4g (A)鼻或 x VO 时,H(x)0,g(0)=g(2)=0,其图象如图:o当 a W O 时，fx)g(x)至多一个整数根；g(3)当 a 0 时，f(x)g(x)在(0,+8)内的解集中仅有三个整数，只需，所f(4)W g(4)a I n 4 33-2 X 32 9 3 2以，3 ，所以不一 o a -.、a I n 5 0恰有两个整数解，求实数a的取值范围.【解析】由题意，得 f(x)的定义域为(0，+8)

9、,f(x)=：+2 a x+2 a+l =(x+1)(2 a x+l)x若则当x (0,+8)时，ff(x)0,故 F(x)在(0,+8)上单调递增；若 a V O,则当 日 0,一日 时，f(x)0,当(一吉，+8)时，f(x)0,故 f(x)在(o,上单调递增，在(一/，+J 上单调递减.综上所述，若 a 2 0,f(x)在(0,+8)上单调递增；若 a VO,f(x)在(0,一自上单调递增,在(一(，+8)上单调递减.由知，当a 0；x.当 x d(l,+8)时 g，(x)v o,所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，故当x=l 时，g(x)取得最大值，最大值为g

10、(D=O,所以当x 0 时，g(x)W O,从而当 a VO 时，一；0,I n|+；+K 0,2 a 1乙 a)2 a3即 f(x)W六 2.4 a当a 2 0 时，由知f(x)在(0,+8)上单调递增，因为f(l)=l +3 a 0,所以当x l 时,f(x)0 恒成立，不符合题意；当 a V O 时，由知f(x)在(0,一5)上单调递增，在(一白，+8)上单调递减且/(X)则=一表)W京-2,33(i)当 z W 6 时，此时一丁 2 0,8 4 a所以f(x)皿WO,即 F(x)W O 恒成立，显然不符合题意；3 1 (4 、(i i)当一d V aV O时，此时一五金可，+0 ,8

11、2 H J 0 f W 01 当一白G停，21,即Y V aV；时，此时结合题意有1 f(2)0或4 f(2)0 ,解2a o J 8 4l/(3)W O l/(3)0得一；0,f(2)=2+l n 2+8 a 0,/(3)=3+l n 3+1 5 a 0,与题意矛盾.综上所述，a 的取值范围为卜；，一 岑 2 .，规律方法与不等式相关的参数范围问题的两种方法(1)使用分类讨论法：按照参数的取值分类讨论，利用导数，确定符合题意的参数范围.(2)使用参变分离法：把参数与变量分离，构造新函数，利用导数研究单调性、最值求解.(i n 5 I n 2C，1 5 2，对点训练1.已知函数f(x)=-，关

12、于x的不等式f“x)-a f (x)0有且只有三个整数解，则X实数a的取值范围是()I n 5 I n 2)I n 5 I n 3)A，5 ，2 J 5 ，3 JD。1(i n5 5 I n1 3_【解析】选 A.对函数f(x)求导可得f (x)J二 皆,令 (x)0,解得O Vx Ve,令 f (x)e,所以f(x)的递增区间为(0,e),递减区间为(e,+),故 f(x)的最大值为f(e)=-,当x f +8时 f(x)-0,e当 x-0 时，f(x)f 8,f(l)=0,故在(0,1)内，f(x)0,所以 a VO 时，由不等式 f“x)-a f (x)0,得 f (x)0 或 f (x

13、)0的解集为(1,+8)，整数解有无数多个，不合题意；a=0 时，由不等式f 2(x)-a f(x)0,得 f(x)W 0,解集为(0,1)U (1,+8)，整数解有无数多个，不合题意;a 0 时，由不等式f“x)-a f (x)0,得 f (x)或 6)0 有且只有三个整数解,f(x)在(0,e)上递增，在(e,十8)上递减，而 2 e 3,f(2)=f(4),所以三个正整数为2,3,4,/I n 2而 f=F-综上所述，实数a的取值范围是I n 5 I n 2522.(多选题)(2022 永州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)在(-8,0 上单调递增，则“对于 任 意 的(0,1 ，不等

14、式f(a e*+2x)+f(x I n 矛一步)2 0 恒成立”的充分不必要条件可以是()A.-W a V OeC.Ae e 1 -2B.a -2,即 1WW,力(x)在(一2,I n 力 上单调递增，在(i n p+-上单调递减，所以力(*)M a x=l n 1 J =l nL，A4 1 n k+22k,j(-I n A+l)=l n2A21 n AW O,故 O W l n k&2,解得 I W AW e：结合条件得i W 4 V e L综上所述，实数A 的取值范围是 1,e2.方法二：分离参数法由已知得不等式*+4X+2 W A -2e*(x+l)对矛2 2 恒成立.(1)当 矛=一1

15、 时，A6 R.(2)当一2 W x V -l 时,j*+4 x+2 LA 4(x+1)恒成”x+4 x+2设加口 1,/x(x+2)、川 =2ex(+1)2当一2 W x 1 时，4 2%(x)恒成立.因为R(X)在(一1,0)上单调递增，在(0,十8)上单调递减，所以加(X)W“=R(O)=1,故 A21.综上所述，IW A W e)即实数A的取值范围是1,el.角度2不等式中的存在性问题V 典例 4已知函数 g(x)=-,f(x)=g(x)ax.I.n x(1)若函数f(x)在(1,+8)上是减函数，求实数a 的最小值；(2)若三小，也金，e2,使 f (x)WF(在)+a(a 0)成立

16、，求实数a 的取值范围.x【解析】由已知得函数g(x),A x)的定义域均为(0,l)u(l,+8),且 *)=五；一数.In x-x 1 1小，/、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _In x-l(1)3 一(In x)：一(In x)：1 n V-1因为4)在(1.+8)上为减函数，故,(x)=FT W。在(1,+8)上恒成立.所以当 xw(l,+8)时，f (x)*W0.又 f3/、=i(nI nx x)i:-a=一，Mi 1 2-1 +或i 一a=仁1 一n/2 +71 一a,故,/当Iz 仁112即 x=e，时,F(X)M=；-a.所 以(一aW O,于是,故 a 的最小值为1.(

17、2)命题“若mx”G e,e2,使(G +a 成立”等价于“当 xGe,e时，有f(x)minWf(x)max+a”.由(1)知，当 x e,e l 时?(x)max=；a,所以F (x)皿+a=(,问 题 等 价 于 当 e,e?时，有/(x)1 当 a 2;时，由(1)知，f(x)在 e,e4上为减函数，1一4214e1则-a e2_N4-f(x)mi=f(e?)=2当O V a V：时，由 于/（x）=_1/9 2+）一a 在 e,e 4 上为增函数，4y i n X 乙）4故/（x）的值域为 F （e）,f （e2）,即 a,；a .由/（x）的单调性和值域知，存在唯一场e（e,e2）

18、,使 F （吊）=0,且满足：当（e,荀）时，f （x）0,f（x）为增函数；所以A x）./及 J /2 S、1 1 1 1 1 1 1=/（Ao）=-H Ao W：，吊 他，e）所以-;-2 -=：，I n Ab 4 I n A b 4AO I n e 4 e 2 4 4与 O V a V；矛盾，不 合 题 意.综 上 得 一 白.4 z 4 e，规律方法1 .不等式恒成立问题的求解策略已知不等式f（x,八）2 0（4 为实参数）对任意的恒成立，求参数儿的取值范围.利用导数解决此类问题可以运用分离参数法，其一般步骤如下：|将原不等式加0胃0“6。,、为实参数）分高.I即 化 为 至 方（X

19、）或y;（）w八a）的形式|利用导数求出函数忌*）的最大（小）值|解不等式或/（）W石（X）而 ，从而|求出参数 的取值范用（2）如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法（a 0,0 或 aV O,/e 4-2 eC.a e +2 e D.a e +2 e【解析】选 6.f (x)=-A 7 -(x 2),令 f (x)=0,x 2 a可得x o=l 而 PT ,因为f（x）在 x。处取得极值，所以1+正不1 2,所以a 0.所以函数在（2,1+币）上单调递增，在（1+4 市，+8）上单调递减.因为 X o a e

20、+2,e2+2,所以函数在区间 e+2,+2上是单调函数.所以 1+户 2,或上;2 1 十户，f (e+2)2 0,f (e+2)0,所以a e +2 e 2,所以a 的取值范围是aA e +Z e)2.已知函数f(x)=ax +ln x+l.若对任意的x 0,f(x)V 0恒成立，则实数a 的取值范围为()A.(00,1 B.(8,1)C.(1,+)D.L +0)【解析】选 6.因为 f(x)0,所以 ax+ln x+l 0,a .由 g (x)=0 得 x=l,当 O V x V l 时，g(x)l 时，g (x)0,所以g(x)的单调减区间为(0,1 ,单调增区间为(1,+8),所以

21、g(x)2 g(l)=-1.所以 aV 1.3.已知函数 f (x)=。-2 ax 1,g(x)=2 a I n (x +1),aW R.(1)求/t x)的单调区间;(2)若对于任意x G 0,+8),f(x)+g(x)2才恒成立，求 a 的取值范围.【解析】(1)对函数 f(x)=e*2 ax 1 求导，得 f (x)=e -2 a,当 aW O 时，f (x)0,f(x)在 R 上为增函数，当 a 0 时，由/(x)=e 2 a=0,解得x=ln(2 a),而 F (x)在 R上单调递增，于是得当x e(8,i n (2 a)时，f(x)0,f(x)在(I n (2 a),+8)上单调递

22、增，所以，当 a W O 时，f(x)的单调递增区间为R,当 a 0 时，f(x)的单调递减区间是(一8,5(2 a),单调递增区间是(I n (2 a),+).(2)对任意的 x G 0,+),f(x)+g(x)恒成立，即/(x)+g(x)x 2 O 恒成立，将 f(x),g(x)代入，并整理得：e +2 a ln (x+1)x (x+1)2 0,设 0(x)=e*+2 a I n (x+1)x (x+1),则原不等式等价于对任意的 0,+),。(x)H 恒成立,则（x）=e、+干-3+1）,令力(x)=e“一x 1,则力(x)=e 一1,令力(x)=e*1=0,解得：x=0,则当x V O

23、 时，h(%)0 时，h(x)0,力(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，2 O9?于是得力32为(0)=0,即 e=x+l,从而有O x)=e+-7 一(2 +1)2+1+七-X 十1 X 十1(2 a+1)x-2x-1 +2 a (2 a+1)(2 5+1)x x-x2ax x(x+1-2 a)x+i=-TH-=x+i，当a W；时，O (x)2 0在 0,+8)上恒成立，0(x)在 0,+8)上单调递增，(I)()m.n=。(0)=0 2 0 恒成立，即 f(x)+g(x)对 Vxd 0,+8)恒成立，当时，因为e*2 x+l,即有 e、2 1 x,则有x 0,1)时

24、，ewj 恒成立，1 X2Q 1 2 与当才6(0,1)时，/W=eA+4-(2 +l)j 时，当x e|。，_T时，不等式f(x)+g(x)不成立，综上得aW j，Z I ZJCI ij z所以实数a 的取值范围是(一8,1 .4.已知函数/(x)=e*2 ax(aG R).讨论/0,所以函数f(x)在R上单调递增;当 a 0 时，令 F(x)=0,A=ln (2 a),当 x W (8,in(2 a)时，f(x)o,所以函数f(x)在(一8,I n (2 a)上单调递减，在(i n (2 a),+)上单调递增；综上所述，当 a W O 时，所以函数fG)在 R上单调递增；当a 0 时，函数

25、f(x)在(-8,I n (2 a)上单调递减，在(I n (2 a),+8)上单调递增；当 x 2 0 时，f(x)/+(a 1)/+(1 2 a)x+1,*1 3 1e 2X-x 1即 a 1 W 2 ，所以 a 1 Wx1-2exxxl(x-2)ex x-x l令 g(x)=-2-，则 g(x)-3-，X.X令力(x)=e /1,x O,h(x)=exxl,h(x)=e -l,当 x N O 时，h(x)=e*1 2 O,所以函数为(x)=e x 1 在 0，+8)上单调递增，所以力(x)h(0)=0,所以力(x)=e ；/x 1 在 0，+8)上单调递增,所以力(王)力力(0)=0,所

26、以当x 2 时，g(x)0,当0 V x V 2 时 6 G)0,所以g(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，2 _ 7所以 g(x)m i n =g(2)=,所以a1 W，即aW,所以(一8,e2-3 1.曾 威【加练备选】ae*-1已知函数F(x)=一-In x.x(1)讨论函数A x)的单调性；(2)若 a l,+),证明：aexln(ax)(e l)x+L.A-/、，/aex(aer-1)x【解析】(D f (x)=-xae(x1)+1x(才 1)Q e-1)=7=7 当 aWO 时，匏*一1 0=0V xV l,由 /(x)V0=xl.所以F(X)在(0,1)上递增

27、，在(1,+8)上递减；当 OVaV，时，由 ael=0nx=ln-1,ea由 f (x)0=0V xV l 或 x ln 1，a由 f (x)V 0=lV x 0 恒成立，所以/(x)在(0,+8)上递增；e当工 V aV l 时，由 ael=O=x=ln 工 (0,1),由/(x)0=0 V x V ln 1 或才1,e a a由 (x)V 0=ln VxVL 所以 F(x)在a(0,In j和(1,+8)上递增，在(in：1)上递减；当 时，由 ael=0 n x=ln -0=1,由 尸(x)V0=0VxVl.所以Ax)在(0,1)上递减，在(1,+8)上递增.(2)要证：aex-(el

28、)rIn(ax)21,ae-1 、In(ax)即证-I n -I n x+e1.x x由(1)知当时，由力在(0,1)上递减,在(1,十8)上递增.所以 f(x)i n=F(l)=a e 1,.,、In (a x)、,r,、1-In (a x)x,.令 g(x)=-;-In x+e l,则 g (x)=-,令力(x)=l In ax)X XX,则为W=-l o,所以力(x)在(0,+8)上单调递减，x又力=-In a 0,g(x)单调递增，当 x G (矛 0，+)时，g(%)0,g(x)单调递减，所以 g(x)W g(x o)_ a x,In X o+e 1x0=In X o+e 2,因为

29、g(x()在 1 上递减，所以 g(x()0,所以函数F(a)在aa G 1,+8)上递增，所以F(a)2F(1)=e 1 10 e+2=0 成立，所以原命题成立.备选考点用洛必达法则求解不等式恒成立问题 典例(一题多解)已知函数f(x)=当 鲁 ，曲线y =f(x)在点(1,f(l)处的切线方X I 1 X程为 x +2y 3 =0.(1)求 a,b的值；1nx k如果当X 0,且 X#1 时，f(X)-7+-,求 k的取值范围.X 1 Xa|【解析】(l)f (x)=一乎Tnx(x+1)2_ b 2X由于直线x+2 y-3=0 的斜率为一：，且过点(1,1),故解得 a=l,b =l.(2

30、)方法一：由 知 f(x)=M+(,所以f(x)一7+KX 1 X1x2c i ,(k 1)(xJ 1)21n x+-X.(k 1)(x-1)令 h(x)=21n x+-(x 0),则 h,、(k-1)(x2+l)+2x(x)=X(7)设 k W O,由 h,(x)=k(x：+l)I(xT),知.X当 x#l 时，hz(x)0,可 得 士 h(x)0；当 x G(l,+8)时，h(x)VO,可 得 士 h(x)0,从而当 x 0,且 x W l 时，f(x)-%+KX 1 X。，即 f(x)(i i)设 0 k 0,对称轴为x=1，当x e(l,占时，(k-1)(x2+l)+2 x 0,故 h

31、 (x)0,而 h(l)=0,故当 x e(l,占)时，h (x)0,可 得 士 h(x)0=h/(x)0,而 h =0,故当x e(l,+8)时，h(x)0,可 得 士 h(x)v。，与题设矛盾.综合得，k的取值范围为(-8,0.9 v 1 n v方法二由题设可得，当 X 。，且 1 时，k V 后1+1 恒成立.令.g(/x)2x In x +,l(x 0,且 X W I)、,/(x2+l)In x x2+1则 g(X)=2-e刁-，再令 h(x)=(x+l)In x x2+l (x 0,且 x#l),则 h (x)=2x In x+-x,xh (x)=21n x+1A 易知 h (x)=

32、21n x+1 一士 在(0,+0)上为增函数，且 h x x(1)=0；故当 x G(0,1)时，h (x)0；所以h (x)在(0,1)上为减函数，在(1,+8)上为增函数；故h (x)hz(1)=0,所以h(x)在(0,+0)上为增函数，因为h(l)=0,所以当 x e(0,1)时，h(x)0,所以当 x e (0,1)时，g，(x)0,所以g(x)在(0,1)上为减函数，在(1,+8)上为增函数，因为由洛必达法则知x In x、.1 +l n x ,A,八l i m g(x)=2 h m -l-l=2h m -+1=2 X -+1=0,X f i X f i 1 -X X f i _2

33、x I 2)所以k W O,则k的取值范围为(一8,0.，规律方法1.应用洛必达法则解决的试题应满足的条件 可 以分离变量；(2)用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性;(3)出现”型式子;(4)若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.2.洛必达法则简介法则1：若函数f(x)和 g(x)满足下列条件：(1)l i m f (x)=0 及l i m g(x)=0；x f a x f a(2)在点a的去心邻域内，f(x)与 g(x)可 导 且 屋(x)W 0；,f(X)f(x).fz(x)(3)l i m =1,那么 l i m (=l i m T=1.x-a g (X)x-a

34、 g X j x f a g X/法则2：若函数f(x)与 g(x)满足下列条件：l i m f(x)=0 及l i m g(x)=0；x x x 0 0(2)3 A0,f (x)与 g(x)在(-8,A)与(A,+8)上可导，且 屋(x)W O；,f *(x),f (x).fz(x)(3)l i m 7-r-=1,那么 l i m z a x-a(2)在点a的去心邻域内，f(x)与 g(x)可导且g (x)W O；(X)1 ,r f (x)f，(x)(3)l i m 7 =1,那么 h m z =h m 7 v =1.x f a g(X)x r a g(X)x f a g(X),对点训练若不

35、等式SI力x x a x：对于x w o,三卜恒成立，求 a的取值范围.【解析】当x d(0,yj时，原不等式等价于a 一x,./、x-sin x ，/、3sin x-x cos x-2x令 f(x)=3 ，则*(x)=-，X X令 g(x)=3sin x -x cos x 2x,则 g (x)=2 cos x+x sin x 2,因为 g (x)=x cos x sin x=cos x (x tan x),g Q x)=x sin x 0,所以g (x)在 o,-f 上单调递减，且 g (x)0,所以g，(x)在(0,高上单调递减，且 屋(x)0.因此g(x)在(0,券)上单调递减，且 g(x)V O,故 f (x)=*?0 xO X X TO JX xfO OXCOS X 1 rlr1 rz,/1=hm-=-，即当 x-*0 时，g(x)一1，xo 6 6 6即有 f (x)x a x：对于x e(0,万卜亘成立.