广东省广州市2023届高三上学期8月阶段测试数学试题(含详解).pdf

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1、数学试卷一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集。=1,2,3,4,5,6,7,8,9,A =1,2,3,5 ,B =1,2,4,6 7,8 ,贝（）（始）心）=（）A.0 B.3,4,5,6,7,8,9 C.9 D.1,2 2 .已知x 0,y 0,成等差数列，x,c,d,y 成等比数列，则丝土蛆的最小值是cdA.O B.1 C.2 D.43 .记 P：“方程（m-Df+G-m）产=1 表示椭圆,，q:“函数/（力=：/+（/2）/+x无极值”，则p是 q的（）A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D

2、.既不充分也不必要条件4 .2 0 0 8 年北京奥运会游泳中心（水立方）的设计灵感来于威尔弗兰泡沫，威尔弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成（其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形），已知该多面体共有2 4 个顶点，且棱长为1,则该多面体表面积是（）开尔文胞体A.9 G+6 B.9 G+8 C.12+6 D.12+85 .四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的 是（）.A.平均数为3,中位数为2 B.中位数为3,众数为2C.平均数为2,方差为2.4 D,中位数为3,方差为2.86 .

3、（l +x）2+（l +x）3+.+（l +x）9 展 开 式 中 的 系 数 是（）A.4 5B.8 4C.1 2 0D.2 1 07.若空间中经过定点。的三个平面。，夕，/两两垂直，过另一定点4作直线/与这三个平面的夹角都相等，过定点A 作平面S和这三个平面所夹的锐二面角都相等.记所作直线/的条数为如 所作平面5的个数 为 小 则 加+=()A.4 B.8 C.1 2 D.1 60.48 .设。=/?=e0 1-b c =t a n 0.1,d=,则()71A a b c d B.a c b d C.a b d c D.a c d 0,对 W xeR 都满足了(x +a)+/(a-x)=,

4、(a,6 是实常数)11.已知抛物线 2=2 p x 上的四点4(2,2),B,C,P,直线A B,AC是 圆 例：(x 2)?+V =1 的两条切线，直线尸。、依与圆分别切于点。、R,则下列说法正确的有()A.当劣弧QR 的弧长最短时，cos N Q P R =_；B.当劣弧QR 的弧长最短时，cos N Q P R =；C.直线8C的方程为x+2 y +l =0 D.直线8c的方程为3 x+6 y +4 =012.已 知 函 数 及 其 导 函 数/(x)的定义域均为R,对任意的x,y e R,恒有/(x+y)+/(x-y)=2/(x /(y),则下歹i j 说法正确的有()A./(O)=

5、l B.r(x)必为奇函数i 2023 iC /(x)+/(O)()D.若 1)=3 则 S )=32 M=1 乙三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.1 3 已知向量a,5满足向=M=i,无(万一)=，则悭-可=.14.若角a的终边经过点尸(s i n 7 0 ,c os 7 0),且 ta n a +ta n 2 a+根 ta n a Ta n 2a =6，则实数加=1 5已知随机变量J服 从 正 态 分 布 且 产 偌 6)=5 尸传 2),则 P(2 J 6)=.16 .折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延时服务中聘请了民间艺术传人给同学们教授折纸.课堂上

6、，老师给每位同学发了一张长为10 c m,宽为8 c m 的矩形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠.若折痕(线段)将纸片分为面积比为1:3的两部分，则折痕长度的取值范围是 cm.四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.已知集合4 =卜 卜=2-1,1 0成立,求实数。的取值范围.2 22 2.已知双曲线j=%=l（a2 0）,经过双曲线上的点A（2,l）作互相垂直的直线AM、AN分别交双曲线于 两 点.设 线 段 的 中 点 分 别 为B、C,直线OB、0C（0为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为.4（1）求双曲线的方程；（2）过点A作ADLM

7、 N（O为垂足），请问：是否存在定点E,使 得 目 为 定 值？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.数学试卷一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集。=1,2,3,4,5,6,7,8,9,A =1,2,3,5,B =1,2,4,6 7,8,贝（）（始）心）=（）A.0 B.3,4,5,6,7,8,9 C.9 D.1,2【答案】C【解析】【分析】求 出 领=4,6,7,8,9,u B =3,5,9,根据集合的交集运算即可求得答案.【详解】由题意可得瘩A =4,6,7,8,9,u 3 =3,5,9,故（楸）0（M

8、）39 ，故选：C2.已知x 0,y 0,x,a,女y 成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则 十份一的最小值是cdA.O B.1 C.2 D.4【答案】D【解析】【详解】解：:x,a,b,y 成等差数列，x,c,d,y 成等比数列根据等差数列和等比数列的性质可知：a+b=x+y,c d=xy,（a+b）2（x+4（2 而另cd xy xy当且仅当x=y时取3 .记 P：“方程（加l）f+（3 加）y 2=i 表示椭圆，4：“函数/（力=夫 3+（加-2*+x 无极值,，则?是 q的（）A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先

9、利用命题和q 命题各自推出加的范围，接着利用小集合推出大集合得到答案7 7 7 -1 0【详解】由可得 3-m 0，解得1“3且m w 2,加 一 1 w 3 m所以加的取值范围为 制1 m 3且m工2由 4：“函数/（%）=3%3+（加一2卜2+无极值，可得 r（x）=f+2（m 2）x+l结合开口向上，可得抛物线与x轴最多一个交点，所以 A =4（加一2）一 一4 4 0,解得 14 m 4 3所以小的取值范围为同加3 因为 司 1加 3 且m#2 u 1 m /3+6，2故选：C.5 .四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6

10、的 是().A.平均数为3,中位数为2 B.中位数为3,众数为2C.平均数为2,方差为2.4 D.中位数为3,方差为2.8【答案】C【解析】【分析】根据题意举出反例，即可得出正确选项.【详解】解：对于4当投掷骰子出现结果为1,1,2,5,6时，满足平均数为3,中位数为2,可以出现点数6,故A错误；对于8,当投掷骰子出现结果为2,2,3,4,6时，满足中位数为3,众数为2,可以出现点数6,故8错误；对 于C,若平均数为2,且出现6点，则方差(6-2)2=3.2 2.4,二平均数为2,方差为2.4时，一定没有出现点数6,故C正确；对于。，当投掷骰子出现结果为1,2,3,3,6时，满足中位数为3,_

11、 1平均数为：x =w (1+2+3+3+6)=3方差为(1 -3)2+(2-3)2+(3 -3)2+(3-3)2+(6-3)2=2.8,可以出现点数 6,故。错误.故选：C.6 .(l +x)2+(l +x f+(1 +力9的展开式中炉 的系数是()A.4 5 B.8 4 C.1 2 0 D.2 1 0【答案】C【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式，组合数的性质，求得含项的系数.【详解】解：(l +x)2+(l +x)3+.+(l +x)9的展开式中,含下项的系数为C；+C；+C：+.+C；=C：o=120,故选：C.7.若空间中经过定点。的三个平面。，/，/两两垂直，过另一定点A 作直

12、线/与这三个平面的夹角都相等，过定点A 作平面S 和这三个平面所夹的锐二面角都相等.记所作直线/的条数为，小 所作平面b 的个数为，则加+n=()A.4 B.8 C.12 D.16【答案】B【解析】【分析】根据正方体的对称性可知，正方体的四条对角线满足与三个平面a,/，/所成角都相等，将不过A 点的三条对角线平移到过A 即可求出加=4 ,过 A 分别作与正四面体。-BtC Dt四个面平行的平面即可，根据题意可求出=4,即可得出答案.【详解】将 e,力，/放入正方体片G A，根据对称性可知，对角线O G 分别与三个平面a,0 ,7 所成角都相等，对 角 线 分 别 与 三 个 平 面 a,(3,

13、7 所成角都相等，因为平面B /平面a,所以对角线8。分别与三个平面a,/3,7 所成角都相等，同理对角线耳。,A C 分别与三个平面a,/3,7 所成角都相等，过点A 分别作3 R,耳A。,O G 的平行线，则所作四条平行线分别与三个平面a,夕，/所成角都相等，所以加=4.如下图，正方体的内接正四面体。-8 c A 的四个平面与a,B，7 所夹的锐二面角都相等，所以过A分别作与正四面体。-用四个面平行的平面即可，所以“=4.故选：B.8.设 =/?=e0 J-B c =t an 0.1,d=,则()71A.a b c d B.a c h d C.a b d c D.a c d (4 y =匚

14、/5v 乃)3.2ye,即(3 e,故 1 0 1 n l,即1 6)1 6 J 2)J 冗I n 0.1,故d(0.1)力(0.1)d(0)力(0)=0,即设y =Z 7(x)c(x)=e l t an x,J J P J y=ex-e cos x-1 设/(1)=c o s 2%1,则c o s-x c o s x/r(x)=ev(c o s2 x _2 s i n x)=e(s i n?九 一 2 s i n 九+1).设g(x)=x-s i n x,则g s i n x.故 (九)之已，(一/-2 x+l)=e*-(x +1)2+2 ,当x w(),0.1 时f (x)=e c o s

15、 2 x-l为增函数，故/(无)N e。8 s 2。-1 =0,故当x w 0,0.(时y =A(x)c(x)为增函数,故/?(O.l)-c().l)Z?()-c(O)=0,故c.1 x+s i n?x设 y =c(x)a(x)=t an x l n(x+l),y=-=-；-,易得当 X E(0,0.1)时，c o s x x+1 (x+l)c o s-x/0,故c(0.1)-Q(0.l)c(0)_a(0)=0,即c a.综上 d h c a故选：B【点睛】本题主要考查了构造函数求导根据单调性分析函数大小的问题，需要根据题中所给的信息判断出需要构造的函数，再求导适当放缩分析函数的单调性，进而得

16、出函数值的大小即可.属于难题.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.1 8 世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如忸=|Q Z|,也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点z到原点的距离.下列说法正确的是（）A.若 回=1,则 2 =1 或 z =iB.复数6+5 i与-3 +4 i分别对应向量方与 丽，则向量而对应的复数为9+iC.若点Z的坐标为（T/），则1对应的点在第三象限D.若复数z 满足l w|z|40,则复数z 对应的点

17、所构成的图形面积为万【答案】B C D【解析】【分析】由复数的几何意义对四个选项依次判断即可.【详解】对于选项A,设 2 =。+为，只需/+=1 即可，故错误；对于选项B,复数6+5 i与-3 +4 i分 别 表 示 向 量 砺 与 砺，表示向量丽的复数为6+5 i-（-3+4 i）=9+i,故正确；对于选项C,点Z的坐标为（T/），则I 对应的点为（-1,-1）,在第三象限，故正确；对于选项D,若复数z 满足掇仙|0,则复数z 对应的点在以原点为圆心，内圆半径为1,外圆半径为0的圆环上，故所构成的图形面积为2 万-万=万，故正确；故选：B C D.1 0.若.”%）=卜山m+|8 5%|,则

18、下列说法正确的有（）A.“X）的最小正周期是兀B.方程是/（X）的一条对称轴C./（X）的值域为 1,拒 D.3a,b 0,对 V x e R 都满足/(x+a)+/(。-x)=2 Z;,(a,b 是实常数)【答案】B C【解析】【分析】根 据/x+不 H(x)，可判断A,根据“x-兀)于(x)可判断B,根据周期性以及三角函数的性质可判断C,根据图象可判断D.【详解】对A,因为/(x)=kinR +|c os x|,所以/f x+I 2)+c os x+)=|COSX|+|s in%|=/(x),故 是/(x)的一个周期，故最小正周期是兀是错误的,对B,因为/(%兀)=忖1 1(%一 兀)|+

19、卜0 5(%兀)|=卜泊目+|8 5目于(尤)，故x=-5是/(x)的一条对称轴是正确的,对 C,当 x 0,时，/(x)=|s inx|+|c os x=s in x+c os x=y2 s in x+由,八0,兀2则x +e,，故 s in(x+)e 4,1，因此由 A 知:是/(x)周期，故/(x)的值域为 1,3 ,C正确，兀对D,因为当X E 0,-时,/(x)=|s in x|+|c os x|=s in 尤 +c os x=/2 s in X +且T是/(x)的周期，故画出/(x)的图象如图:/(x)=|sinx|+|cosx|y3兀2O7 1 2X由图可知，/(X)没有对称中心

20、，故不存在a,b,使得y(x+a)+/(a x)=2/2,故D错误.故选：B C1 1.已知抛物线y 2=2 px上的四点A(2,2),B,C,P,直线A B,AC是圆M :(x 2)2+丁=1的两条切线，直线PQ、网 与 圆M分别切于点Q、R,则下列说法正确的有（)A.当劣弧QR的弧长最短时，cosNQPR=g B.当劣弧QR的弧长最短时，cosNQPR=；C.直线BC的方程为x+2y+l=0 D.直线8C的方程为3x+6 y+4=0【答案】BD【解析】【分析】对于AB选项，当劣弧最短时，即NQMR最小，NQPR最 大,cos/QPR最小，根据二倍角公式及三角函数可得cos/QPR=l-两r

21、,设点P底,为 ,求的最小值即可得解；对于C D选项，根 据 相 切 可 得 直 线 与A C的方程，进而可得点5与点C的坐标，即可得直线8C.【详解】由已知得抛物线V=2 p x过点A（2,2）,l|J 22=2/7 x 2,所以 =1,即抛物线为V =2x,对于AB选项，如图所示，设点尸当劣弧QR的弧长最短时，NQMR最小，又NQMR+NQOR=，所以NQPR最大，即cos/QPR最小，2MQ f又cosNQPR=cos2ZQPM=l-2 sin2 NQPM=1-2-,一 PM又圆M:（x 2 +y2=i,所以圆心M（2,0）,半径=|加|=1,cos/QP/?=l-J一 PM/2 2 1

22、又+乂=；（乂 _2丫+3,o2 1所以当需=2时，|PM 取最小值为3,此时cosNQPR最小为1一=,所以A 选项错误，B选项正确；对于CD选项，设过点A 作圆M 切线的方程为y-2 =M x-2）,即辰一丁2左+2=0,|2左_0 _ 2 女 +2|l所以 d=-/-r ,解得 k=5/3，yjl+k2则直线A 8 的方程为：y-2 =3（x-2）,即 旷=后 一 2 6+2,直线A C的方程为：y-2 =-V 3（x-2）,即 y=6x+2 6+2,y=-JSx 2 G+2,2 P联立直线A 8 与抛物线厂2 ，得 丁 一 生|y=2 x 3痂 c 4百,c/8 4 G 2V3故2%=

23、亍-4 ）亍 一 2,噌-亍，亍-同理可得迪，一 述 一？,（3 3 3 JPHU 所 以 噎|一竽|+竽12，直线B C的方程为3-）/一卜3）正确；5 46一、-yd-4=0,3、2,7,即3x+6 y+4=0,所以C选项错误，D选项故选：BD.12.已知函数“X）及其导函数/（力 的定义域均为R,对任意的x,y w R,恒有/（x+）+/（x-y）=2/（x）-/（y）,则下列说法正确的有（）A./(0)=1C./(x)+/(0)0B.r（x）必为奇函数 2023 1D.若 1)=5,则 Z/()=5L n=l 乙【答案】BC D【解析】【分析】赋值法求/（0）的值，判断A；赋值法结合导

24、数以及函数奇偶性的定义，判断B2023；赋值法结合换元法判断C;利用赋值法求得/(),eN*的值有周期性，即可求得/()的值，判断=1D.【详解】对于 A,令x=y=0,则由 x+y)+/(x _ y)=2/(x /(y)可得2/(0)=2(0),故/(0)=0或 0)=1,故A错误；对于 B,当/(0)=0时，令 y=0,贝！/(x)+/(x)=2/(x)/()=0,则 f(x)=0,故 尸(幻=0,函 数/(x)既是奇函数又是偶函数；令x=0,则 )+)=2/(O)-/(y),则r(y)7(y)=2,“0 r(y),当 0)=1时，r(y)-r(-加2 r,则，(一丁)=/刈为奇函数,综合

25、以上可知/(X)必为奇函数，B正确；对于C,令”=y,则/(2X)+/(0)=2/2(X),故于(2X)+/(0)-0。由于X GR,令=2x,fwR,即/(。+)(0)之0,即有x)+/(0)2 0,故C正确；对于 D,若/=1),即/(4)：=一1,，/(4)=一3，令 x=4,y=l,则/(5)+/=2/(4)/，即“5)1 /(5)=g,令x=5,y=l,则 6)+/(4)=2/(51),即 6)-；=；,;./=1,令x=6,y=l,则/+/=2/(6)/，即7)+g=l,.J=；,L由此可得/(),eN*的值有周期性，且6个为一周期，且/(D +/(2)+/(3)+/(4)+/(5

26、)+*6)=0,2023|故 X ”)=337 x +./+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)+/(1)-,故 D 正确，n=2故选：BCD【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性和特殊值以及求函数值的和的问题，涉及到导数问题，综合性强,对思维能力要求高，解答的关键是利用赋值法确定/（）,e N*的周期性.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.rQ13.已知向量汗，日满足同=1,无（万 一 5）=,则忸一.=.【答案】n【解析】【分析】先根据求出%=g,故求出悭 一 小 求出忸一可【详解】a a-b =,所以a-a b=,因为向=1，所以l-a/u l，所以a 4 =-g,忸 一 年=

27、422 4万石+7=4 +2+1 =7,所 以 悭 一 同=疗故答案为：不14.若角a 的终边经过点 P(sin70,cos70),且tana+tan2a+mtana-tan2a=6，则实数加=【答案】6【解析】cos 70【分析】由题意可得角a是第一象限的角，且tana=-,根据诱导公式可得sin 70a-20+k-360,k e Z,不妨取 a =20，代入 tan a+tan 2a+m tan a-tan 2a-y/3 中利用两角和的正切变形公式化简可求出m的值【详解】因为角a的终边经过点P（sin 70。,cos70。），所以tanacos 70.cos(90-20)-sin 20 2

28、20。sin 70 sin(90-20)cos 20因为 sin70 0,cos70 0,所以角。是第一象限的角，所以 a =20+k 360,k e Z9不妨取攵=0,则a=20,所以 tana+tan 2a+m tana tan 2a=tan 200+tan 40+mtan 200-tan 400=tan(20+40)(1-tan 20 tan 40)+皿 an 200-tan 40=tan 60(1-tan 20 tan 40)+mtan 20-tan 40=g (1 tan 20 tan O)+m tan 20 tan 40,所以 G (1-tan 20 tan 40)+m tan 2

29、0 tan 40=0),所以(加 一 JJ)tan 20 tan 40=0,所以，w =V3，故答案为：x/315.已知随机变量自服从正态分布N(4Q2),且尸偌6)=5尸(J 2),则P(2 J 6)=.【答案】|【解析】分析根据正态分布的对称性即可得到答案【详解】因为随机变量J服从正态分布N(4,C T2),其对称轴方程为X=4设P(42)=x,所以尸修 6)=又尸(J6)=5尸(自2)尸(246)=4x根据题意x+4x+x=l,.-.x=16P(2 J 8 0 ,即 MN 2 4 逃，当且仅当 x =2，历时取等号;X设 A M =x,A N =y,则 xy=20孙=4 00 x1 0,

30、解得：5x 0f04y4 8令t =x 2,/e 25,10 0 ,则/(7)=r +l ,/在 25,4 0 上单调递减，在 4 0,10 0 上单调递增,又 f(25)=8 9J(4 0)=8 0 J(10 0)=116 ,故 阿 融 8 0,116 ,故 M N 也,2 晒；当折痕如下图所示时,(x+y)x 8 =20设 A M=x,D N =y,贝 卜 0 4 x 4 1 0 ,解得:O M y W l Ox +y =50 x5MA2=(x-y)2+64=(2x-5)2+64,0 x5,当尤=g时，M N2=(2x 5)2+6 4取得最小值6 4,当x =()或5时，政7 2=(2*5

31、)2+6 4取得最大值8 9,则MNe 8,廊;当折痕如下图所示时，(x+)x l 0 =202f x+V =4设A M=x,8 N =y,则 0 4 x W 8 ,解得：,0 x 40 y 8 I则 M N2=(x-y)2+l00=(2 x-4)2+10 0,令/?(X)=(2X-4)2+100,(0 4X 4),则力(幻在 0,2上单调递减，在 2,4 上单调递增，又(2)=10 0,(0)=(4)=116,故(x)e 10 0,116 ,W e 10,27 29；综上所述：折痕长的取值范围为 8,2 a ,故答案为：8 2回【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的应用问题，涉及到求函数最值以

32、及对勾函数二次函数的性质问题，综合性强，计算量大，要注意分类讨论的思想方法.四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合4=1,=2-1,1*,8=xk =3,w N*,将A与8中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列4(若有相同元素，按重复方式计入排列)为1,3,3,5,7,9,9,11,.，设数列 叫 的前项和为S,.(1)若凡,=2 7,求m的值;(2)求S 50的值【答案】（1）加=16或17（2）2236【解析】【分析】（1）当。,“=27时，确定此时%含有A中的元素以及含有8中的元素，即可得答案；（2）确定数列 4 中前50项中含有

33、4中的元素以及含有B中的元素，分组求和，结合等差数列的求和公式即可得答案.【小 问1详解】因为。,“=2 7,所以数列%中前加项中含有A中的元素为1,3,5,7,9,27,共 有14项，数列 4 中前，项中含有B中的元素为3,9,27,共有3项，排列后为 1,3,3,5,7,9,9,.27,27,29,所以加=16或17.【小问2详解】因为2x50 1=99,34=81 99.所以数列%,中前50项中含有B中的元素为3,9,27,81共有4项，它们都是正奇数，均属于4所以数列%中前50项中含有A中的元素为1,3,5,7,9,27,29,79,81,83.2x46-1=91,共有46项，所以 0

34、50=46（；+9+（3+9+27+81）=2116+120=2236.18.某校所在省市高考采用新高考模式，学生按“3+1 +2”模式选科参加高考：“3”为全国统一高考的语文、数学、外语3门必考科目；“1”由考生在物理、历史2门中选考1门科目；“2”由考生在思想政治、地理、化学、生物学4门中选考2门科目.（1）为摸清该校本届考生的选科意愿，从本届750位学生中随机抽样调查了 100位学生，得到如下部分数据分布：选物理方向选历史方向合计男生3040女生合计 50 100请在答题卡的本题表格中填好上表中余下的5 个空，并判断是否有99.9%的把握认为该校“学生选科的方向，与“学生的性别，有关；（

35、2）记已选物理方向的甲、乙两同学在“4 选 2”的选科中所选的相同的选科门数为自，求 J的分布列及数学期望.八 9 n(ad-bcV附：K 9 H ci+h+c+d.(a +b)(c+d)(+c)(b +d)P(K2k0)0.100.050.0250.0100.0050.001冗）2.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）填表答案见解析，有 99.9%把握认为该校“学生选科的方向”与“学生的性别”有关（2）分布列见解析，数学期望：1【解析】【分析】（1）根据题意即可填表，得到列联表，计算K?的值，即可得到结论；（2）确定变量自的取值，计算每个值对应的概率，可得

36、其分布列，根据期望的计算公式可得答案.【小 问 1 详解】根据题意可得列联表，如图：选物理方向选历史方向合计男生3 01040女生2 0406 0合计5050100由于P（K2 10.82 8）=0.001,故而有9 9.9%的把握认为该校“学生选科的方向”与“学生的性别”有关【小问2详解】C2C2 1 C1 A2?g可能取值为0,1,2,则P传=0)=6蓑=p(g =i)=B=；o c2 I(或p(4=l)=l P偌=0)-p信=2)=g)，/3U=2)=-5A _=-;3 C4c4 6。分布列如下表:012p6236I 2 i所以 E(J)=0 x _+l x _+2 x _=l.6 3

37、619.在AABC 中，设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足（。+）人=。2.（1）求证：C =2 B；，八a+4b ，+（2）求;-的最小值.0 co s 5【答案】（1）证明见解析（2）4 G【解析】【分析】（1）由己知及余弦定理可推出人=a-勃co sC,利用正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式化简可得sin3 =sin（C-3）,即可证明结论；（2）利 用（1）的结论将手?边化角，结合三角恒等变换可得 手 段=4co sB+-,由基本不等bcosB bcosB cosB式可求得答案.【小 问1详解】证明：在AABC 中，由已知及余弦定理，得（a+=c2=a2+82 2 ab

38、co sC,即力=Q-2Z?COSC,由正弦定理，得5抽3 =$访4一2$出/以光。，又A =7i（B +C）,故 sin B =sin（3 +C）2 sin B co s C=sin B cos C+co s B sinC-2 sin B cos C=co s sin C -sin B co s C=sin（C-B）.,:0sinB =sin(C-B),/.0 C-B C nV B+(C-/?)=C 2A/4C OSB-=4A/3 ,co s B co s Bjr I TT 当且仅当8=0,时等号成立，所以当5=3时，的最小值为4 G.6 bcosB2 0.如图，在直三棱柱A B C-4 A

39、G中，平面ABC，侧面AABBL(I )求证：AB1 BC；(I I)若直线A C与平面4 B C所成的角为仇二面角4-B C-A的大小为如试判断。与0的大小关系，并予以证明.【答案】(I )证明见解析.(I D 6_L8C.因为三棱柱A8C4向G是直三棱柱，则A4|J_底面ABC,所以A4i_L8c.又 AAnA3=A,从而 8CL侧面 4A8所,又 ABU 侧面 A/B B i,故 AB_L8C.(H )解 法1：连接C D,则 由(1 )知NACO是直线AC与平面A J3C所成的角，NARA,是二面角 A.BC A 的平面角，即 Z A C D =0,ZABA,=,AT)AT)于是在 A

40、/AADC 中，sin=-，在 MAA)3 中，sin=-,A C A BTT由 ABAC,W sin 0 sin p,又 0 仇夕 ,所以。0,而 与 的夹角仅为锐角，则夕与。互为余角.所 以 即.,八=8.=丽riMC=定a而c，方B球AAJB二A 忑善c,所以s i n 9=ac a于是由C Z?,得/2 G /2 亍 bcr+c la+c兀即s i n 9 s i n(p,又0。，。耳，所以。0成立,求实数。的取值范围.6 Jo【答案】(1)极小值为 7,极 大 值 为 丝e 42 e7 2(2),-K c?兀)【解析】【分析】(1)直接求导计算即可.(2)将问题转化为/(w)+应/(

41、%)+竭，构造新函数g(x)=/(x)+a x 2在 。，句 上单调递增即可，然后参变分离或者分类讨论都可以.【小问1详解】由(x)=ex(s i n x+co s x)0,X G 一，%兀 3乃得/(X)的单调减区间是一肛一，了 jr 34同理，/(X)的单调增区间是一1，亍.故/(X)的极小值为/(一?)=一,极大值为:【小问2详解】由对称性，不妨设0 K%/(x j+o x；.尤 一龙2设g(x)=/(%)+o x2,则g(x)在 0,句上单调递增,故 g (x)=ev(s i n x+co s x)+lax N。在 0,句 上恒成立.方法一：(含参讨论)设(x)=g，(x)=e (s

42、i n x+co s x)+lax 0,则（0）=1 0,/?（万）=-6+2 4万20,解得J.2万”（x）=2（e co s x+a）,/Z（0）=2（a+l）0,/（乃）=2（a-e）.当 a Ne 时,”（x）=2 e （co s x-s i n x），故，当工 0,时，=2 ev（co s x -s i n x）0，（x）递增;当 代三 冗时，(切=2 e”(co s x-s i n X)(x)递减；此时，/7 (x)Nm i n /2 (O),(%)=/z ()=2(a-e)NO,(x)=g (x)在 0,句 上单调递增，故(x)=g，(x)i g，(0)=l 0,符合条件.当匚W

43、 a v e 时，同，当x e 0,时，递增；当x e ,万 时，(x)递减；2 n L 4 j 1 4 /(?)(0)=2(a +l)0,()=2(a e)0,(x)=g (x)单调递增;当 X G(X o,句 时，/z,(x)0,/i(-)=-e/r+2 0,二 g (x)=/z(x)2 m i n /?(0),/z(%)2 0,符合条件.e、综上，实数”取值范围是 丁,+8 .2万 )方法二：(参变分离)由对称性，不妨设OS%乃，则/(!f(xi)+a x-x -x )设g(x)=/(x)+办2，则g(x)在 0,句 上单调递增,故 g (x)=ev(s i n x+co s x)+la

44、x 2。在 0,句 上恒成立.g (0)=l。,，g (x)=e*(s i n x+co s x)+2 a rN()在 0,上恒成立o_2aJ(s i n x +co s x),日 式。,可X设Mx）=e （s i n.：+co s x）,行 似 句，则，（力小的丁-co s x）,皿。设 0(x)=2 x-t a n x-l,则“（M=2-，龙。弓 卜 仁,万由 d(x)0,j ce(o,y j u(,得(x)在 K),(亍，乃 上单调递增;由0 (x)0,得 0（X）在，S，上单调递减故 x e|o,5时夕(x)9?*2。从而，(x)c os x =2x c os x-s i n x-c

45、os x 0,冗又=3时，2x c os x-s i n x-c os x =-l。，故=e*(2x c os x -s i n x -c os x)X20，x e(O,Mx）=e nx+cs”）,工（0,司 单 调递减，（九）疝 尸（）=、X G(0,句.于是，一2。（一 J =。之 71 2e、.综上，实数”的取值范围是,+00.一2万 ；【点睛】关键点睛：本题核心是将问题转化为函数g（x）=/（x）+G；2在 0,句 上单调递增，即g （x）N 0在 （）,句上恒成立.2 222.已知双曲线：，=多=1（。乃0）,经过双曲线上的点4（2,1）作互相垂直的直线A M、A N分别交双曲线于M

46、、N两点.设线段A M、A N的中点分别为B、C,直线。民O C （O为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为T（1）求双曲线r的方程;（2）过点A作A D _ L M N （O为垂足），请问：是否存在定点E,使 得 目 为 定 值？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.2【答案】（I）-/=12（2）存在，定值为2/【解析】【分析】（1）设出M、N点的坐标，代入双曲线方程后利用两式相减以及斜率公式即可求得双曲线的方程.（2）根据3 是否垂直分情况讨论，利用直线和双曲线方程联立后用韦达定理即可求得目为定值.【小 问1详解】解：设？/（和 丛），线段A M、V的中点分别为8（见）、C（p,

47、q）,2由已知，得 工-a23 ,h22_；臣 一*X两式相减，得匕24-22-XV2_-f1-2=O,a2 b2All.上1上 玉+2 x-2 a2即根据中点坐标及斜率公式，得y -1 n y +1%+2 =2加，y+l =2%=蔡=；7?代入，A2h2得 勤 先 产”同 理 得 噎=/，相乘，得加勺%=/1 1 /V kOB-koc ,kA M-kAN=-1,*,=4 4 a?2 I2由 二=1,与联立，得/=2，从=1,6r br2双曲线的方程为：-/=1.2【小问2详解】解：当脑V _L Q x 时，谈 M N:x =t,M（）,N（t,-y）,而彳=（f 2,y 1）,丽=（2,_y

48、 _l）由A M、A N互相垂直，得Z法 前=（，2）2 -（1一V）=0,由L y 2=i解得，=一（此时y无实数解，故舍去），或/=2（此时M、N至少一个点与A重合，与条件23不符，故舍去）.综上，此时无符合条件的解.当M N _ L Q r不成立时，设直线M V:y =A x +/n,/（石，X）、7 7（当，%）2代入、一 2=1 得（1 一2-）d-4 km:2（Z2+I）=O,1一2 1 NO =1 6严 加 4（1 2严乂2乂 川+1）=8（毋+1 2巧 0且 +/4 km 2（/+1）匚/9=一 心2V 而 丽=（七一2）.（修一2）+（%一1（%-1）=（k1+1）2.%2 +4（加1）2（X+电）+（加1）+4 =（）/.1 2 k2+8痴+（+2加-3）=0,即（6左+加+3）（2攵+加一1）=0 ,解得：加=-6 2-3 或机=-2Z+l.当m=一2%+1时，M V:y =h:+m=M x 2）+1过点4（2,1）,与条件不符，舍去.m-6 k-3,MTV:y=+机=Z（x-6）3,过定点尸（6,3）.AP 中点七（4,-1）,由于 A）_LMV（。为垂足），故|0E|=g|AP|=2 jL综上所述，存在定点仪4,-1）,使得|。目为定值2 J L