五年(2018-2022)全国高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷北京天津卷等)专题15概率(解析版).pdf

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1、2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编专题1 5 概率一、选择题1.（2022年全国高考甲卷数学（文）第6题）从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）1 1 2 2A.-B.-C.-D.一5 3 5 3【答案】C【解析】从6张卡片中无放回抽取2张，共有（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,5）,（4,6）,（5,6）15 种情况,其中数字之积为4的倍数的有（L4）,（2,4）,（2,6卜（3,4）

2、,（4,5卜（4,6）6种情况，故概率为=|.故选：C.【题目栏目】概率,事件与概率 随机事件的频率与概率【题目来源】2022年全国高考甲卷数学（文）第6题2.（2022新高考全国I卷 第5题）从2至8 7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）1112A-B.-C.D.一6 3 2 3【答案】D解析：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C；=21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有:（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共 7 种,21-7 2故所求概率尸=-故选：D.21 3【题目栏目】概率,古典概型与几何概型,古典概

3、型【题目来源】2022新高考全国I卷 第5题3.（2021年新高考全国II卷 第6题）某物理量的测量结果服从正态分布2V（10,（72）,下列结论中不正确的是（）A.b 越小，该物理量在一次测量中在（9.9,10.1）的概率越大B.。越小，该物理量在一次测量中大于1 0概率为0.5C.。越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.b 越小，该物理量在一次测量中落在（9.9,1 0.2）1 与落在（1 0,1 0.3）的概率相等【答案】D解析:对于A,为数据的方差，所以b 越小，数据在=1 0 附近越集中，所以测量结果落在（9.9,1 0.1）内的概率越大，故 A正确；对

4、于B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于1 0 的概率为0.5,故 B正确；对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于1 0.0 1 的概率与小于9.9 9 的概率相等，故 C 正确；对 于 D,因为该物理量一次测量结果落在（9.9,1 0.0）的概率与落在（1 0.2,1（）.3）的概率不同，所以一次测量结果落在（9 9 1 0 2）的概率与落在（1 0,1 0.3）的概率不同，故 D错误,故选D.【题目栏目】概率 正态分布【题目来源】2 0 2 1 年新高考全国II卷 第 6 题4.（2 0 2 1 年新高考I 卷 第 8题）有 6个相同的球，分别标有数

5、字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次，每次取1 个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1 ，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件”两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件”两次取出的球的数字之和是7 ，则（）A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共 2 0 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.【答案】B解析：P（甲）=2，P（乙）=1,P（丙）=，0（丁），6 o 3 6 3 6 6P（甲丙）=0 r尸（甲）尸（丙），尸（甲丁）=

6、P（甲）P（丁），3 6P（乙丙）尸（乙）P（丙），P（丙丁）=0 W尸（丁）P（丙）,故选B.3 6二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.【题目栏目】概率 事件与概率 事件的关系及运算【题目来源】2 0 2 1 年新高考I卷 第 8题5.（2 0 2 1 年高考全国甲卷文科第1 0 题）将 3个 1 和 2个。随机排成一行，则 2个 0不相邻 概率为()A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8【答案】c解析：解：将 3 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，可以是：0 0

7、 1 1 1,0 1 0 1 1,0 1 1 0 1,0 1 1 1 0,1 0 0 1 1,1 0 1 0 1,1 0 1 1 0,1 1 0 0 1,1 1 0 1 0,1 1 1 0 0,共 10种排法，其中2 个 0 不相邻的排列方法为：0 1 0 1 1,0 1 1 0 1,0 1 1 1 0,1 0 1 0 1,1 0 1 1 0,1 1 0 1 0,共 6 种方法，故 2 个 0 不相邻的概率为9=0.6 ,1 0故选：C.【题目栏目】概率,古典概型与几何概型 古典概型【题目来源】2021年高考全国甲卷文科第10题6.（2021年全国高考乙卷文科第7 题）在区间（0，:随机取1

8、个数，则取到的数小于工的概率为I 2 _ 3()【答案】B解析：设。=区 间 0,；随机取1 个数”=卜|0%；A=取到的数小于13=卜|0%5个点中任取3个有O,A,B,O,A,C,O,A,D,O,B,C O,B,D,O,C,D,A,B,C,A,B,D A C。,B C D 共1 0种不同取法，3点共线只有A。,C 与 氏0,0共2种情况，2 1由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为一=1 0 5故选：A【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题.【题目栏目】概率 古典概型与几何概型 古典概型【题目来源】2020年高考课标I 卷 文

9、科 第 4 题9.（2020年高考课标IH卷文科第3 题）设一组样本数据xi,X2,X。的方差为0.0 1,则数据lOxi,10 x2,10 xn的方差为（）A.0.01 B.0.1 C.1 D.10【答案】C【解析】因为数据叫+4为=1,2,L ,）的方差是数据x,（i =l,2,L ,）的方差的“倍，所以所求数据方差为I O?x 0.0 1=1故选：C【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题.【题目栏目】概率、离散型随机变量的均值、方差【题目来源】2020年高考课标in卷 文 科 第 3 题10.（2020年新高考全国I 卷（山东）第 5 题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中

10、有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A.62%B.56%C.46%D.42%【答案】C解析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件5,则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A +3,“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件43,则P（A）=0.6,尸（B）=0.8 2,P（A+B）=0.9 6,所以尸(A B)=尸(A)+P(B)尸(A +B)=0.6 +0.8 2 -0.9 6 =0.4 6所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为4 6%.故选：C.【

11、题目栏目】概率 事件与概率随机事件的频率与概率【题目来源】2020年新高考全国1卷(山东)第5题11.(2020年新高考全国卷H数学(海南)第5题)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%【答案】C解析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为 事 件 则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，”该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件则 P(A)=0.6,P(8)=0.82,P(A+3)=0.96,所以 P

12、(A B)=P(A)+P(B)P(A+8)=0.6+0.82-0.96=0.4 6所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为4 6%.故选：C.【题目栏目】概率、事件与概率随机事件的频率与概率【题目来源】2020年新高考全国卷II数学(海南)第5题12.(2019年高考浙江文理第7题)设随机变量X的分布列是则当。在(0,1)内增大时()A.O(X)先增大B.0(X)减小C.4 X)先增大后减小【答案】【答案】DD.D(X)先减小后增大【解析】解 法：E(X)=，R X)=(0一 竽W+(一 号)2xg+(l一 苧2xg=飘一 步+/所以当0 a l时，C(X)随。增大先减小再

13、增大.解析二：D(X)=E(X2)-2(X)=0+a2x l +lx l-(-)2=-(?-)2+1,所以当O c a v l 时，D(X)3 3 3 9 2 6随a增大先减小再增大.2解法三：当时，此时数据分布最为均匀；当a=0或a=l时，两种数据分布对称，且都比较分散.故可知Q（x）随。增大先减小再增大.【题目栏目】概率离散型随机变量的均值、方差【题目来源】20 19年高考浙江文理第7题1 3.（20 19年高考全国H I文 第3题）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（）【答案】【答案】D【解析】用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列，有 可 卷=12种排法，再

14、所有的4个人全排列有：A；=2 4种排法，利用古典概型求概率原理得：,故 选：D .注：文科方法为枚举法.【题目栏目】概率、古典概型与几何概型、排列组合与古典概型【题目来源】20 19年高考全国I I I文 第3题14 .（20 19年高考全国H文 第4题）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（）【答案】【答案】B【解析】设其中做过测试的3只兔子为a/,c,剩余的2只为A,B,则从这5只中任取3只的所有取法有a,dc ,a,0,A,a,6,5 ,a,c,A,a,c,B ,a,A,5 ,a c,A,）,c,8,b,A3 ,

15、c,A 3共 10种.其中恰有2只做过测试的取法有a,加A,a也8,。,。4 ,。,，,8,电。,外,也,：,阴 共6种,所以恰有2只做过测试的概率为*=|,故选B.【点评】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查.应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用 树图法，可最大限度的避免【出题错目.栏目】概率 古典概型与几何概型,古典概型【题目来源】2 0 1 9年高考全国II文 第4题1 5 .（2 0 1 8年高考数学浙江卷第7题）设随机变量J的分布列是4012P22P_2则当p在（0,1）内增大时，（）A.。（乡 减小 B.增大C

16、.）先减小后增大 D.OC）先增大后减小【答案】D解析：【基本解法1】由EC）=0 x.+l x g +2x5=g+p,xX P2;（z P?+；）+夕 4/?+2）=_/+p +：,表示开口向下的抛物线，对称轴为g,所以当p =g时，。(。)取得最大值，又因为0 1,所以当p在(0,1)内增大时，。(4)先增大后减小.【基本解法2】特值法：由E C)=0 x，+l x 3+2 x 5 =g +，当 时，%4 g19当 p =时，E(J=1,D()=(0-1)2 X-1 +(1-1)7-X-I +(2-1)72 X-I =-1;3(3 V 1 E )0 x-F 1 x F 4 x =1-2p，

17、2 2 2 2 2)=($)一 2)=2 +2 _(!+=_P 2 +J,2 2 J 4表示开口向下的抛物线，对 称 轴 为;，所以当p =g时，取得最大值，又因为0p 0（i=1,2,p,=1 ,定义 X 的信息烯”（X）=-p,log2 P i.r=lf=l（）A.若n=l,则，（X）=0 B.若n=2,则H（X）随着P i的增大而增大C.若 口=4=1,2,则H（X）随着n的增大而增大nD.若n=2m,随机变量丫 所有可能的取值为1,2,加，且尸（丫 =力=丹+J=1,2,，贝I【答案】AC解析：对于A选项，若=1,贝=所以(X)=(l x l o g21)=0,所以A选项正确.对于 B

18、 选项，若=2,则 i=l,2,p2=1 -p,所以H(X)=p -l o g?P|+(l p j-l o g2(l i ,1133、当时，H(X)=_,10g2-+-10g2 J-当 P i=1时，+两者相等，所 以B选项错误.对于C选项，若P：=(i =1,2,则nA/(X)=-f-l o g,-|x z 2=-l o g,-=l o g1,n n J-n则”(X)随着“增大而增大，所以C选项正确.对于D选项，若n=2 m,随机变量y的所有可能的取值为1,2,?，且P=力=为+0,用-)(j=l,2,?).?吗?2 1(X)=P,1幅 Pi=Pi,log?i=l i=l PiI 1 1 1

19、 I 1 1 1=P l -l o g,一 +2 10g2 +P2m-I -l o 2-+，2,”,l o g?一.P Pl P2nLi Pim”(y)=(P+P 2”,).l g2-+(P 2+P 2,”T).l 0g2-+-+(Pm+P ,+J ,l g2；一Pl+P2m Pl+P2,n-P,+P,+i,1,1 ,1 ,1=P-l O g2-+P2.l g2-+P 2,-l b g2-+2,“.b g2-由于Pl+P 2m Pl+P 2,-l P 2+P2,n-Pl+P2m,、1 1 ,1 ,1p,-0(i=l,2,2根)，所以一 -,所以l o g2 l g2-Pi Pi+P2 g i

20、Pi P,+P2m+I-,所以 P,10g2 Pi-10g2-Pi Pi+Plm+-i所以H（X）H（y）,所以D选 项 错 误.故 选：AC【题目栏目】概率 离散型随机变量及其概率分布 二项分布【题目来源】2020年新高考全国I 卷（山东）第 12题三、填空题2 0.（2022年浙江省高考数学试题第15题）现有7 张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3 张，记 所 抽 取 卡 片 上 数 字 的 最 小 值 为 则 P（J =2）=,E =【答案】.，.35 7 7解析:从写有数字1,2,2,3,4,5,6的 7 张卡片中任取3 张共有C；种取法，其中所抽取

21、的卡片上的数字的最小值为2 的取法有C：+种，所以P记=2）=M,由已知可得的取值有1,2.3,4,1吟唱A）嘴C2 3 1 1%=3）=消=行，P（J=4）7=R所以E =故答案为：|12T【题目栏目】【题目来源】2022年浙江省高考数学试题第15题21.（2 0 2 2 新 高 考 全 国 I I 卷 第 1 3 题）.已 知 随 机 变 量 X 服从正态分布,且尸（2 2.5）=.【答案】0.14解析：因 为 XN（2,吟,所以 P（X 2）=0.5,因 此P（X2.5）=P（X 2）-尸（2 X W 2.5）=0.5-0.36=0.14.故答案为：0.14.【题目栏目】【题目来源】20

22、22新高考全国II卷 第 13题22.（2022年高考全国乙卷数学（文）第14题）从甲、乙等5 名同学中随机选3 名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为一3【答案】-10解析：设这5 名同学分别为甲，乙，1,2,3,从 5 名同学中随机选3 名，有：（甲，乙，1）,（甲，乙，2）,（甲，乙，3）,（甲，1,2）,（甲，1,3）,（甲，2,3）,（乙，1,2）,（乙,1,3）,（乙,2,3）,（1,2,3）,共 10 种选法;3其中，甲、乙都入选的选法有3 种，故所求概率？=一 .103故答案为：.【题目栏目】概率、事件与概率、随机事件的频率与概率【题目来源】2022年高考全国乙卷数学（文）

23、第 14题23.（2021年高考浙江卷第15题）袋中有4 个红球m 个黄球，n 个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为4,若取出的两个球都是红球的概率为7，一红一黄的概率为，则帆-=_，E =6 3【答案】（1）.1（2）.1解析：p（n C：+“+4=3 6,所以%+4=9,p（一 红一黄）=%工=黑=?=；=机=3,所以=2,则相一 =1.由I 于T PD（。=2c）、=_1,PD（J n C：V 4x5 5 n，C：10 5=1）=,，=-=0）=y=一 =一6Ck 36 9 36 18i c c 1 5 2.E）=-x 2 +-x l+x 0 =-+-=-.故答案为 1；【题目栏目

24、】概率 离散型随机变量的均值、方差【题目来源】2021年高考浙江卷第15题 24.（2021高考天津第14题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为之和,，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不6 5影响，则一次活动中，甲获胜的概率为,3 次活动中，甲至少获胜2 次的概率为【答案】.；2 .工205 4 2解析：由题可得一次活动中，甲获胜的概率为一x-=；6 5 3则 在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为C；x (-x-1 +-20.3 3 27故答案为：2；鸟20.3 27【题目栏目】

25、概率、事件与概率、随机事件的频率与概率【题目来源】2021高 考 天 津 第1 4题25.(2020年浙江省高考数学试卷第1 6题)一个盒子 里 有1个 红1个 绿2个黄四个相同的球,每次拿一个,不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为4，则P=0)=；E(J)=.【答案】(1).1 (2).1解析：因为 =0对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以 P=0)=；+；x g =g,随机变量g =0,l,2,“八 2 1 2 1 1 1 2 1 1P(c=1)=x-+X-X +X X =-,43432432 3PC=2)=1；一冷，所 以 )=0、!+1、；+2乂!=1.【题目栏

26、目】【题目来源】2020年浙江省高考数学试卷第1 6题2 6.(2020天 津 高 考 第1 3题)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为1和 假 定 两 球 是 否 落 入 盒 子 互N J不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为【答案】【答案】(1).21&)23【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为1：，I：，且两球o32 3是否落入盒子互不影响，所以甲、乙 都 落 入 盒 子 概 率 为2 3 6甲、乙两球都不落入盒子的概率为(l-g)x(l-g)=g,2 1 7所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为彳.故答案为：-；3 6 3【题目栏目】概率,事件

27、与概率 随机事件的频率与概率【题目来源】2020天津高考第1 3题27.（2020江苏高考 第 4 题）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2 次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是【答案】【答案】-9【解析】根据题意可得基本事件数总为6x 6=36个.点数和为5的基本事件有（1,4）,（4,1）,（2,3）,（3,2）共 4 个.,出现向上的点数和为5的概率为尸=弓=；.故答案为：-36 9 9【题目栏目】概率,古典概型与几何概型 古典概型【题目来源】2020江苏高考第4 题2 8.（201 9 年高考上海第1 0 题）某三位数密码锁，每位数字在0-9 数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率

28、是.27【答案】【答案】【解析】法一：2=必与&=卫-（分子含义：选相同数字X选位置X选第三个数字）1 03 1 00法二：P=1-邙1=（分子含义:三位数字都相同+三位数字都不同）1 03 1 00【点评】本题主要考查排列组合、概率.【题目栏目】概率,古典概型与几何概型 排列组合与古典概型【题目来源】201 9 年高考上海第1 0题2 9.（201 9 年高考江苏第 6 题）从 3 名男同学和2 名女同学中任选2 名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1 名 女 同 学 的 概 率 是.【答案】【答案】口1 0【解析】从 5名学生中抽取2 名学生，共 有 1 0种方法，其中不含女生的

29、方法有3 种，因此所求概率为t3 71 .1 0 1 0【题目栏目】概率 古典概型与几何概型 古典概型【题目来源】201 9 年高考江苏第6 题3 0.（201 8 年高考数学江苏卷第 6 题）某兴趣小组有2 名男生和3 名女生，现从中任选2 名学生去参加活动，则恰好选中2 名女生的概率为.,3【答案】-1 0解析：从 5名学生中抽取2 名学生，共 有 1 0种方法，其中恰好选中2 名女生的方法有3 种，因此所求3概率为2.1 0【题目栏目】概率,古典概型与几何概型 古典概型【题目来源】201 8 年高考数学江苏卷第 6 题3 1.（201 8 年高考数学上海第 9题）有编号互不相同的五个祛码

30、，其中5克、3 克、1克祛码各一个，2 克祛码两个.从中随机选取三个，则这三个祛码的总质量为9克的概率是.【答案】-5解析：因为9为奇数.所以拿取祛码的情况有：三个祛码中有2 个偶数克（2 克），一个奇数克（5克）；三个祛码中没有偶数，三个全为奇数克，即 5克、3 克、1 克祛码全部取出.2 2 1所以所求概率为一T =.C；1 0 5【题目栏目】概率古典概型与几何概型古典概型【题目来源】2 0 1 8 年高考数学上海第 9题四、解答题3 2.（2 0 2 2 高考北京卷第1 8 题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.5 0 m以上（含9.5 0 m）的同学将获

31、得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.8 0,9.7 0,9.5 5,9.5 4,9.4 8,9.4 2,9.4 0,9 3 5,9.3 0,9.2 5；乙：9.7 8,9.5 6,9.5 1,9.3 6,9.3 2,9.2 3；丙：9.8 5,9.6 5,9.2 0,9.1 6.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设 X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军

32、的概率估计值最大？（结论不要求证明）【答案】解析：。）由频率估计概率可得甲获得优秀的概率为0.4,乙获得优秀的概率为0.5,丙获得优秀的概率为0.5,故答案为0.4（2）设甲获得优秀为事件4,乙获得优秀为事件A2,丙获得优秀为事件G-3p（X=0）=尸（444）=0.6 x 0.5 x 0.5 =/P（X=I）=尸（.豆）+P（4&W）+Q=0.4 x 0.5 x 0.5 +0.6 x 0.5 x 0.5 4-0.6 x 0.5 x 0.5 =,2 0P（X=2）=P（A44）+P（44A）+P（A 4 4）7=0.4 x 0.5 x 0.5+0.4 x 0.5 x 0.5+0.6 x 0.5

33、 x0.5=，20P(X=3)=尸(AA2 A3)=0.4X0.5X0.5=2.，x 的分布列为X0123p3208207202203 8 7?7E(X)=0 x +lx +2x +3x =-20 20 20 20 5（3）丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.8 5 的概率为,，甲获得9.80的概4率为，乙获得9.7 8 的概率为并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越10 6有利.【题目栏目】【题目来源】2022高考北京卷第18题33.（2022年全国高考甲卷数学（文）第 17题）甲、乙两城之间的长途客车均由A 和 8 两家公司运营

34、，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表:准点班次数未准点班次数424020B21030（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率;（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附:n(acl-be)2 32.7063.841K2(+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2.Ie)0.100 0.050 0.010k6.635【答案】1 2 7（1）4 8两家公司长途客车准点的概率分别为卷，（2）有1 3 8【解析】根据表中数据，A共有班次2 6 0 次，准点班次有2 4 0 次,

35、设 A家公司长途客车准点事件为M,则尸（知）=需=/；B共有班次2 4 0 次，准点班次有2 1 0 次，设B家公司长途客车准点事件为N,2 1 0则 心）=砺784家公司长途客车准点的概率为百；、7B家公司长途客车准点的概率为6.O（2）列联表准点班次数未准点班次数合计A2 4 02 02 6 0B2 1 03 02 4 0合计4 5 05 05 0 0(a d-b c)2 =5 0 0 (2 4 0 3 0-2 1 0 x 2 0)2(a +b)(c+d)(a+c)(b +J)-2 6 0 x 2 4 0 x 4 5 0 x 5 0 3.2 0 5 2,7 0 6 ,根据临界值表可知，有9

36、 0%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.【题目栏目】概率,古典概型与几何概型古典概型【题目来源】2 0 2 2 年全国高考甲卷数学（文）第 1 7 题3 4.（2 0 2 1 年新高考全国I 卷 第 2 1 题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第。代，经过一次繁殖后为第1 代，再经过一次繁殖后为第2 代，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P（X=0=A（/=0,l,2,3）.(1)已知 PQ=0.4,px=0.3,p2=0.2,p3=0.l,求 E(X)；（2）设 p 表示该种

37、微生物经过多代繁殖后临近灭绝 概率，p 是关于x 的方程：P.+P,x+p y +p =x的一个最小正实根，求证：当 E（X）41时，p=l,当E（X）1时，p l;(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.【答案】解析：(X)=0 x0.4+lx0.3+2x0.2+3x0.1=l.(2)/(x)=p3x3+p2x2+(pi-l)x+p0,因为。3 +P l+P o =1 1，故 f(x)=+P2X2-11%+P o +P 3)x+P o ,若 E(X)4 1,贝！J P i+2 幺+3入 41,故 p?+2p34P o.fx)=3p3x2+2p2x(p2+p0+p3),因为r(O)=-(

38、P 2+P +P 3)0，/=e+2,3-局 4 0,故广(x)有两个不同零点不尼，且X,0 1 0；xe(x1,x2)0 t,f (x)w)=l)=o,故1为 O o +0|X+p2x2+P 3V=x 的一个最小正实根，若 1,因为/=0 且在(0,当)上为减函数，故 1 为 p0 +Plx+p2x2+P3X3=x 的一个最小正实根，综上，若 E(X)4 1,则 p=l.若 E(X)1,则 P +2P 2+3。3 1,故 P 2+2P 3”).此 时:()=-(P 2+P o +P 3)，故广(X)有两个 不 同 零 点%匕，且且 工-0 0,七川(匕,+8)时，/(X)O;犬巧,工4)时，

39、/，(%)0;故 x)在(-,刍)，(+)上为增函数，在(七,%)上为减函数，而 7(1)=0,故 )0,故“X)在(O,xJ 存在一个零点，且 P 1.所以为见+n x+2 2/+夕 3*3=的一个最小正实根，此时P 1时，P 1.(3)意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过 1,则若干代后被灭绝的概率小于L【题目栏目】概率 离散型随机变量的均值、方差【题目来源】20 21年新高考全国H卷 第 21题35.(20 21年新高考I 卷 第 18题)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A,8 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从

40、中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0 分：B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0 分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8,能正确回答8 类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求 X 的分布列；(2)为使累计得分期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【答案】解析：(1)由题可知，X 的所有可能取值为0,20,100.p(X=0)=1-0.8=0.2

41、；P(X=20)=0.8(1-0.6)=0.32；产(X=100)=0.8x0.6=0.48.所以X 的分布列为X020100P0.20.320.48 由 知，(X)=0 x0.2+20 x0.32+100 x 0.48=54.4.若小明先回答5 问题，记 y 为小明的累计得分，则 y 的所有可能取值为0,80,100.p(y=0)=1-0.6=0.4；p(y=80)=0.6(l-0.8)=0.12；P(X=1(X)=0.8x0.6=0.48.所以E(y)=0 x0.4+80 x0.12+100 x0.48=5 7.6.因为54.4 E（X）.解 析：（1）对每组进行检测，需要10次；再对结果

42、为阳性的组每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次；由题意，X 可以取20,30,P（X=2 0）=（,p（X =3 0）=l-=S，则X的分布列：（2）由题意，y 可以取25,30,X2 03 0P1n1 0T T1 10 320所以E（X）=2 0 x +3 0乂一=7；V 1 1 1 1 1 1两名感染者在同一组的概率为4=下20C产 C=言4，不在同一组的概率为4=器OS，贝 I JCl0G 99 99E（y）=2 5 x +3 0 x =E（X）.）9 9 9 9 9 9 v【题目栏目】【题目来源】2021高考北京第18题37.（2020年高考课标I 卷 文 科 第 17题

43、）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为A,B,C,。四个等级.加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了 100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的

44、概率:(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的1 0 0件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?【答案】(1)甲分厂加工出来的A级品的概率为0.4 ,乙分厂加工出来的A级品的概率为0.28：(2)选甲分厂，理由见解析._40【解析】(1)由表可知，甲厂加工出来的一件产品为A级 品 的 概 率 为 而=0 4,乙厂加工出来的一件28产品为A级品的概率 为 丽=0.28；(2)甲分厂加工100件产品 总利润为40 x(9 025)+20 x(5 0-25)+20 x(20 25)20 x(5 0+25)=15 00 元，所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元每件；乙分厂加

45、工1()0件产品的总利润为28 x(9 0-20)+17 x(5 0-20)+34x(20-20)21x(5 0+20)=1000 元，所以乙分厂加工1 ()()件产品的平均利润为1 ()元每件.故厂家选择甲分厂承接加工任务.【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属于基础题.【题目栏目】概率 古典概型与几何概型,古典概型【题目来源】2020年高考课标I卷 文 科 第17题38.(2020江苏高考第25题)甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X,

46、恰有2个黑球的概率为p,恰有1个黑球的概率为q.求P l 和22吆2；求2p,+%与2p,i +q,i的递推关系式和Xn的数学期望E(X)(用表示).【答案】【答案】P i =；,功=:；0 =(，%=捺 2p,+%=(2p“T+-)+【解析】月=m=;闻=您=:,3x 3 3 3x 3 31x 3 1x 2 1 1 2 2 7=x-+q X-=X +X =,2 1 3x 3 1 3x 3 3 3 3 9 272x 3 l x l+2x 2 八 2 2 2 5 16 /、1x 3 1x 2 1 2%2 =P i1 x-3-x-3-+q1 x-3-x-3-F 0=_3 x _3 +_3 x _9

47、 =27 (2)p=P 11 x +q”1 x-=一 ”|+1，3x 3 nl 3x 3 3,-1 92x 3F+3l x l+2x 23x 3八 、3x 22 1 2因此2p“+)，所以仅需考虑X n的情况.若b =d,则A B W，不存在X的取法;若A =O，d =l,则 4?=J(a-c)2+1 W A?+1，所以 X ”当且仅当 AB =Jn2+当且仅当A B =J 2+4,此时a =0,。=或4=，c =0 ,有 2 种取法；若8=1,4=2,则 A B =J(a -c P +1 W j/?+1 ,所以 X ，当且仅当 A B=J +i ,此时 a =0,c =或a=n,c=0,有

48、2 种取法.综上，当X时，X的所有可能取值是，2 +1 和 J 2+4,且P(X=V n2+1)=4c L?,P(X =J“2 +4)=因此,P(X W)=1 -P(X =J +D _ p(x=+4)=1 _【题目栏目】概率,离散型随机变量及其概率分布 离散型随机变量的分布列【题目来源】20 1 9年高考江苏第25题 40.(20 1 9年高考北京文第1 7题)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A ,8 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1 0 0 0 名学生中随机抽取了 1 0 0 人，发现样本中A，8 两种支付方式

49、都不使用的有5 人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额支付方式不大于20 0 0 元大于20 0 0 元仅使用A27人3人仅使用824人1 人(I)估计该校学生中上个1 目A,3两种支付方式都使用的人数；(H)从样本仅使用8 的学生中随机抽取1 人，求该学生上个月支付金额大于20 0 0 元的概率；(III)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用8 的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于20 0 0 元.结 合(H)的结果，能否认为样本仅使用3的学生中本月支付金额大于 20 0 0 元的人数有变化？说明理由.【答案】【答案】（I ）40

50、0 人；（II）-；（III）详解解析.25【解析】（I）由题意得：从全校所有的1 0 0 0 名学生中随机抽取的1 0 0 人中，A,8 两种支付方式都不使用的有5 人，仅使用A的有3 0 人，仅使用3的有2 5 人，所以A,8 两种支付方式都使用的人数有：1 0 0 -5-3 0 -25=4 0,所以估计该校学生中上个月A,3两种支付方式都使用的人数为：40l O O O x =40 0 人.1 0 0（II）从样本仅使用8 的学生有2 5 人，其中不大于20 0 0 元的有2 4 人，大于20 0 0 元的有1 人从中随机抽取1 人，基本事件总数=25该学生上个月支付金额大于20 0 0