人教版导与练总复习数学一轮课时作业：第八章第6节第一课时　最值、范围问题.pdf

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1、第 6 节圆锥曲线的综合问题第一课时最值、范围问题 课时作业 选题明细表灵活方4密致提卷知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练最值问题3,47,8范围问题1,2,5,6910A级基础巩固练2 21.设双曲线-卷=1(ab0)的左右焦点分别为F F2.过左焦点F,的直线与双曲线的左支交于点P,交双曲线的右支于点Q,若满足|P F?|=2|Q F2|=|FIF2|,则该双曲线的离心率的取值范围是(B)A.(1,2)B.(1,V2)C.(V2,2)D.(V2,+8)解析:因为|PF2|=2|QF2|=|FF21=2C,所以|PFZ|=2C,|QF21=C.由双曲线的定义可知I P F =2c-2

2、a,QF i|=2a+c,所以 IP QI=2a+c-2c+2a=4a-c.所以在 APOFz 中，有 IPF2IQF2klpQIVPF2I+IQF2I,即 c4a-c3c,解得 l =e b0,所以 a2b2=c2-a2,即 2a2c；所以有e22,即e V2.所以有l e 0,b0)上的任意一点P,作双曲线渐近线a2 b2的平行线,分别交渐近线于点M,N,若。力 加 斗 则双曲线离心率的取值范围是(B)A.手,+8)B.(1,f C.鲁+8)D.(1,学解析:双曲线-，=1 (a0,b0)的渐近线方程为y=设点 P (xo,y0),可得 y-yo=a-(x-xo),分别与渐近线方程联立,得

3、M (竺之山,竺之山)，N(竺 山，一丝山),2b 2a 2b 2a0M.QN-b2-a2y_b2xl-a2y4b2 4a2 2 2因为e所以 b2x -a2y=a2b2,所以。M -O N=i-,4由题意得w?，4 4所以a222b；即0 与端，所以 即 K e2-,a 2 2所以e(l,争.故选B.3.已知Fb F 2是椭圆与双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且|；P F 2|P F 1|,椭圆的离心率为e i,双曲线的离心率为e 2,若|P F =|F F 2|,则三+等的最小值为（C ）e1 3A.6+2V3 B.6+2 2C.8 D.6解析:设椭圆的长半轴长为a,双曲线的半实

4、轴长为a ,半焦距为c,则 以 或 巳*设 I P F2|=m,由椭圆的定义以及双曲线的定义可得|P F j +|P F2|=2a a=y+c,|P F2|-|P Fl|=2a/=a，=y-c,贝 仁+圣四+e13 c 3cC3(c+?，cC 3(-c)-6+3登 0+c 6+丁+薪26+23(万 一。c Q*-m=8.C 3(y-c)当且仅当a=c 时,取等号.故选C.4.已知F为抛物线y2=2p x （p 0）的焦点,P,Q 为抛物线上的两个动点,线段P Q的中点为M,过 M作 y 轴的垂线,垂足为H.若|P Q|-1M H|,则 cosN QF P 的最小值为（B）A.。B.|C4D 噂

5、解析:分别过点P,Q 作抛物线y2=2p x(p 0)准线的垂线,垂足分别为A,B,延长M H 交抛物线的准线于点N (图略),设|P F|=a,|QF|二 b,则由抛物线的定义，得 IAP|=a,|BQ|=b,因为线段P Q的中点为M,且 M H y轴,所以 I M H|+台|M N|=|(a+b),因为 IPQHM HI W所以|P Q|Wf+|M H|=|M N|,即|P Q|W|M N|(a+b),所以在AP E Q 中，由余弦定理得cosZ QF P=a 2+2 2-|p Q|2aba2+b2-i(a+b)三-2ab2-3-a-2-+-3/-7-2-2-a-b三、-6-a-b-2-a

6、-b=-1QabSab 2当且仅当|P Q|=a=b时，等号成立,故 cos/QF P 的最小值为去故选B.2 25.如图所示,B 与F z 是椭圆:彳+也=1 (ab0)的焦点,P 是椭圆上一动点a2 b2(不含上、下两端点)，A 是椭圆的下端点,B 是椭圆的上端点,连接P Fb P F2,记直线P A的斜率为L.当P 在左端点时,P F F?是等边三角形.若AP F F z 是等边三角形，则k,=;记直线P B的斜率为k2,则I k +1 k z|的取值范围是.2 2解析:对于椭圆彳+9=1(ab0),|F,F2|=2C,A(0,-a),B(0,a).Q/b因为当P 在左端点时，P F F

7、 z 是等边三角形，所以b=V3c,由对称性,若 P F E 是等边三角形,则P 为左端点或右端点,当P 为左端点时,k 尸 曾a_ V/二72一+c2_ 2二 一_ 2/-3-b b V3 3同理可求,当P为右端点时,k 尸孚,即若P F F z 是等边三角形,k 尸土乎.设 P（x0,y。）（x o W O）,2 2则 争*1.因 为 穿 心 等,所以k,k2=y o+a y（ra y A a 2 y行a 2x0 出 堤 a2yoQ2 Q2因为b=V 3c,所以9学V，所以 k,k2=-=-.所以 I k i|+1 k z|22J|自|伍|=2任，当且仅当I k J =|k 2|时，取等号

8、,即k i+k i 的取值范围是 学,+8).答 案:土 手 4V3+o o）6.（20 21 浙江温州高三模拟）如图,已知抛物线x 2=2p y（p 0）,点C（x0,y。）（x 20）为抛物线上一动点，以C为圆心的圆过定点A（0,p）,且。C 与 x 轴交于M,N 两点（点M 在点N 的左侧），则黑的取值范围是.解析：由题意，O C 的方程(x-x 0)2+(y-y )2=+(y -p)2.把 y=0 和就=2p y 0 代入，整理得x 2-2x x+贿-p?=0,即 x-(x0-p)x-(x0+p)=0.设 M,N 的横坐标分别为Xi,X2,贝 lj X i=x0-p,X2=X o+p,

9、所以 M(x0-p,0),N(x0+p,0),令贝|J(x()-p)2+p 2_ x F-2X o P+2P 4X o P A N1 2(x0+p)2+p2%o+2 xo P+2p2 好+2XOP+2P 2因为X o eO,所以t W l,当 X o O 时，t2=l-4x p好+2%()p+2P 24p2 k.4+2 P=1-空n.2P2X0+2p4-XQ二 1 一 忌=(V 2-1)J,所以（鱼-，W t 2W l,所以四-I W t W l.答案：加-1,1 B级综合运用练7.(20 21 浙江杭州高三模拟)已知抛物线C:y 2=2p x(p 0)经过点(2,2 P是圆M:(x+l)2+

10、y 2=l上一点,P A,P B都是抛物线C的切线.求抛物线C的方程及其准线方程；(2)求A P A B的面积的最大值.解：(1)将点(2,2V 2)的坐标代入抛物线C的方程,得2p -2=8,解得P=2,所以抛物线C的方程为y2=4x,该抛物线的准线方程为x=-l.先证明在抛物线C上一点Q(x。,y0)处的切线方程为2x-yoy+2xo=O.证明如下：由于点Q(x(),y o)在抛物线C上,则羽=4x o,联立 丁=4：k2x-yoy 4-2x0=0,v2可得1-y()y+2x o=O,即 y2-2yoy+y =O,则 A =4y -4y =0,所以在抛物线C上一点Q(x(),y0)处的切线

11、方程为2x-yoy+2xo=O.设点 A(xb y i),B(X2,y2),P (x3,y3),则直线P A的方程为2x-yi y+2x,=0,直线PB的方程为2x-y2y+2x2=0,因为点P在直线PA,PB上，斫以如一%为+2%i=0,叨 2%3 y2y3+2%2=0,所以点A,B的坐标满足方程2x-y3y+2x3=0,由于两点确定一条直线，故直线AB的方程为2x-y3y+2x3=0,联 立 片=4*n消去 x,得 y2-2y3y+4x3=0,由根与系数的关系，得yi+y2=2y3,yiy2=4x3,所以|AB|=J1+（1）1|y,-y2|=y1+4 I I I _ J +、2）-4yl

12、y2=J （资+4）（靖4句）,点P到直线AB的距离为d=z L,囚+4所以 SAPAB=|I AB|,d=W （资+4）（资-4%3）4言 些2.+41 3二（於-4X3）2,因为点P在圆M上,所以抬一4x3=据 一2X34X3=YX3+3）2+9,其中一2 WX3W0,所以当X3=-2时,川-4乂3取得最大值8,1 3 1 3因此 SAPAB=（y 4X3）X 82=8V2.所以4PAB面积的最大值为8V2.8.已知抛物线C:y J 2P x(p 0),焦点为F,直线1 交抛物线C 于A(x i,y j,B (x2,y2)两点,D(x0,y。)为 A B 的中点，且|A F|+1 B F|

13、=l+2x。.求抛物线C的方程；(2)若 x i x2+y i y2=-l,求%的最小值.AB解：(1)根据抛物线的定义知，|A F|+|B F|=X i+x 2+p x i+x 2=2x。,因为|A F|+|B F|=l+2x。，所以p=l,所以y 2=2x.设直线1 的方程为x=m y+b,代入抛物线的方程，得 y 2-2m y-2b=0,所以 y i+y 2=2m.因为 X i X2+y1y2=-l,即 孥+y 2=T,4所以 y i y2=-2.I A B|=V 1 +m2|y-y21=V1+m2 J (%+、2)2-4y l y 2=2V1+m2 Vm2 4-2,XO=12=ZL21

14、=1 (y +y 2)2 2y】y 2=m+1,2 4 4所 以 且=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _AB j 2y/m2+l A/m2+2,令 t 1,+,则-:-=1人LB 2近g 2 CI 4-即一卜的最小值为.AB 42 29.已知M 为椭圆C 嚎+9 1上的动点,过点M 作x 轴的垂线,垂足为D,点P 满足P O MD.(1)求动点P的轨迹E的方程；若 A,B 两点分别为椭圆C的左、右顶点,F 为椭圆C的左焦点，直线 P B 与椭圆C 交于点Q,直线QF,P A 的斜率分别为kQ 1,k p A,求”的取kpA值范围.解：(1)设 P(x,y),M(m,n),依题意知D

15、(m,0),且 y WO.由得(m x,-y)=j(O,-n),则有11V 5 =L _ 3又 M(m,n)为椭圆C曝+$1 上的点，所以2+驾 二=1,即 x?+y 2=25,故动点P的轨迹E的方程为x2+y2=25 (y WO).(2)依题意知 A (-5,0),B(5,0),F(-4,0),设 Q (x0,y0).因为线段A B 为圆E的直径，所以APL BP,设直线PB的斜率为kpB,则等=誓=kQFkpB=-kqFkQB=_-.7=-(-=kpA-7-%o+4 XQ-5(Xo+4)(%0-5)(久o+4)(%()-5)(%o+4)(%()-5)XQ+4 25因为点P不同于A,B两点且

16、直线QF的斜率存在,所以-5Xob0)的离心率为4,短轴长为2,椭圆C的左、az 2右顶点分别为A,B.过 点G(l,0)的直线1与椭圆C交 于M(xi,yj,N(X 2,y2)两点，其中 yi0,y20.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线A M,BN的斜率分别为k k2,AGAM,AGBN的面积分别为Si,S2.求答的值；若直线AM的斜率k f g 1,求8S?的取值范围.解：由条件知椭圆C的离心率为短轴长为2,贝I)b=l,e?等智=1-芸Q/az Q/4解得a2=4.所以椭圆C的方程为=+y 2=l.4(2)由可得 A(-2,0),B(2,0).y 2令直线M N为x=h y+l,代

17、入一+y-=l,4得(4+l?)y 2+2h y -3=0,则 卜+为小因为 k i=-=,卜2=2-二,久 1+2 hyx+3 X2-2 hy2-l所 以 詈=答 号 =：.f c2叱1丫2+3 y 2 3令直线A M为x=h i y-2,其中代工的由 k p 1,则 h l,3 ,联立行+V=LI%=b y -2,得(好+4)y 2-4 h i y=0,所以y尸 煞，4+帽设直线B N的方程为x=h z y+2,则h 2=,上2同理可得y z=*，4+帽1由有巨 与 半 则h2=i h.,K 2 九 1 3 3九2S i=|A G|y i|=|y i|,S2=I B G|,|y 2鸟Ml,所以 S 1S 2=-|Y1Y2|4_ 12九i九2一(好+4)(据+4)_ 36hj苗+4 0好+16X936,+40+*先求胫+40+岩的范围,设，则y=t+r+40,y=,令 y 1-詈0,解得 0t12,所以y=t+于+40在区间1,9上单调递减,所以 y=t+40e 65,185,所以居w ssw ff.185 65