三角恒等变换（解析版）.pdf

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1、三角恒等变换【考点9(窝】知织点一.两角和与差的正余弦与正切 sin(a/3)=sinacos。cosasin0；cos(a 0)=cosacosS+sinasin0；tan(a )=罂生第；1 4-tanatanp知识点二.二倍角公式 sin2a=2sinacosa；cos2a=cos2a-sin%=2cos2a-1 =1-2sin2a；tan2a=/t a咒；1 tan a知火点三，降次（暮）公式sinacosa=/sin2a;sin2a=1二?；cos%1+cos2a2知识点四:半角公式.asin=:4t an-a=土 产 普 酝 cos毋=土产铲sina _ 1-cosa1+cosdf

2、 sin a知织点五.辅助角公式asina+bcosa=v a2+b2sin(a+0)(其中 sin。=/?c，cos。=？=,tand=).V+b V+b a【方法技巧与总结】1.两角和与差正切公式变形tana tan=tan(a 0)(1 干 tan6ztan)；门 r tana+tan f tana-tan5 一tana tanp=1-；-=-；-1.tan(a+0)tan(a)2.降解公式与升塞公式si.n2 a=-1-c-o-s-2-a-；cos 2a =-1-+-c-o-s-2-a-:si.n acosa=q1s in.2na；1+cos2a=2cos2。；1 cos2a=2sin

3、2a；1+sin2a=(sine?+cosa)2；1 sin2a=(sina cos(z)2.3.其他常用变式si n2c a=r2s-i-n-a-c-o-s-a丁 =-2-t-a-n-a厂；cos2na =-co-s2-a-s-i-n-%厂=-1-t-a-n2-a;xt an-arr =-r-s.-in-a-=1：-c-o-s-a-sma+cosa 1+tai?。sirra+cosa 1+tarra 2 1+cosa sma3.拆分角问题:a=2；a=(a+)6；a=(0。)值。=/(。+6)+(a 0)；6=*(a +S)-3 砌；手+a=一 6一a)注 意 特殊的角也看成已知角，如 仪=

4、于 一 传 一 a).【题型归纳目录】题型一 3两角和与差公式的证明题型二:给式求值题型三:给值求值题型四:给值求角题型五:正切恒等式及求非特殊角【典例例题】题型一:两角和与差公式的证明例1.（2022山西看农治市第二中学校高一期末）试 证 明 差 角 的 余 弦 公 式G a-/0：co s（a -0）=cosacos/3 +s i n a s i n ；（2）利用公式GE推导：和角的余弦公式C（“+8），正弦公式S（a+.），正切公式T（a+.”倍角公式S（2 a）,。（勿），益方【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析;答案见解析【解析】在单位圆里面证明c（“f）,然 后 根 据 诱

5、导 公 式 即 可 证 明 阴 和S（“+H）,利用正弦余弦和正切的关系即可证明Z 4）；用正弦余弦正切的和角公式即可证明对应的二倍角公式.【详解】（1）不妨令 a W 2 k 7 r +6，k eZ.a依动如图，飞,终边设单位圆与x轴的正半轴相交于点4（1,0），以7轴非负半轴为始边作角a,6，。-6,它们的终边分别与单位圆相交于点/、匕a-夕 终边B(co s Q,s i n a),A(co s 0,s i n/?),P(co s(a -/7),s i n(a /?).连接APhA P.若把扇形O 4P绕着点O旋转/7角，则点AP分别与点4,E重合.根据圆的旋转对称性可知，粉 与 褐 重合

6、，从而，AP=AP,AP A P.根据两点间的距离公式，得：co s (a -7?)1+s i n S)=(co s a -co s夕产十(s i n a -s i n)?,化 简得：co s(a )=co s cr co s/?+s i n a s i n y?.当a =2 A m:+(k e Z)时，上式仍然成立.；，对于任意角 a,8 有：co s (a -8)=cosacosp+s i n a s i n/3.(2)公式。(团的推导：co s (a +)=co s a (/?)=co s a co s(一夕)+s i n a s i n(一 )=co s mea s/?s i n s

7、i n/?.公式S()的推导：4(1,0)Ts i n(a +)COSCC一 传 一 砌-6)+s i n a s i n(y -0)=co s a s i n +s i n co s y?正切公式Ta”)的推导：_ sinacos+cosasincosacosy?-sinasin/tancz+tan1 tanatan公式 S2”)的 推导：由知,sin2a=sin(a+a)=cosasina+sinacosa=2sinacosa.公式。(加)的，隹导：由知,cos2a=cos(a+a)=cosacosa sinasina=cos%sin%.公式 北加)的推导：由知,tan2a=tan(a+a

8、)=-+=-an%卬 1 tana tanez 1 tan%例2.(2022云南昭通市第一中学高三开学考试(文)已知以下四个式子的值都等于同一个常数sin2260+cos234-V3sin26cos34；sin239+cos221 V3sin39ocos21o；sin2(-52)+cos2112-V3sin(-52)cosll20；sin2300+cos230-V3sin30cos300.(1)试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数.(2)根 据 的 计 算 结 果，推广为三角恒等式，并证明你的结论.【答案】(1)选第四个式子，：；(2)证明见解析.【解析】(1)选第四个式子，由sin300

9、=-y,cos30=即可求三角函数式的值；(2)由题意，设一个角为明 另一个角为60%应用两角差的余弦公式展开三角函数，由同角正余弦的平方和关系化简求值【详解】(1)由第四个式子：sin230fl+cos230 /3sin3()cos30=q-F-y =(2)证明：sin%+cos2(60 a)V3sinacos(60-a)=sin%+(-c o sa +-sina)Vasina(cosa+sin a)2 1 1 2 1 .3 2 3 2=sin tz+cos(2-sin(2cos(2+-7-sin a-smacosa sin iz4 /4 Z z=J_一彳【点睛】本题考查了三角函数，利用特殊

10、角的函数值求三角函数式的值，应用两角差余弦公式展开三角函数式及同角的正余弦平方和关系化简求值，属于简单题例3.(2022陕西省育丹高新学校模拟覆测()如图带有坐标系的单 位 圆。中，设ZAOT=a,ZBOx=0,Z.AOB=a-0,利用单位圆、向量知识证明：cos(a-0)=cosacos0+sinasin0 若(半 兀)，E(子)，cos(a 0)=-，tana=一求cos 的值【答案】(1)证明见解析；(2)票.00【解析】(1)根据向量的数量积公式即可证明；(2)根据角的范围分别求出正弦和余弦值，利用两角和的余弦公式计算得出答案.【详解】)且 tana=一 宣5，则 sina=而5,co

11、sa=一1而2；(1)由题意知：|T|=|O S|=1,且 6?与 血 的 夹 角 为。一丛所以 O4OJB=1 x 1 x cos(tz 8)=cos(a ),又 0 4 =(cosa,sina),OB=(cos/?,sin/?),所以 OA OB=cosacosB+sinasin,故 cos(a 一夕)=cosacos/?+sinasin.(2)1 e管 用B (。奇),则一 艮 W (y,0),又a W (专，兀),，a 一夕 W(0,兀),c o s(a-0)=一名 sin(a-)=y,cos/?=cos a (a)=cosacos(a 一夕)+sinasin(a-0)=-Jy x(+

12、吉 x|=【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的定义，考查平面向量数量积的坐标运算，考查两角和与差的余弦公式,属于中档题.例4.(2022全国高三寿题练习)如图，考虑点 4(1,0),R(cosa,sina),g(cos,sin),P(cos(a+0),sin(a+)，从这个图出发.(1)推导公式：cos(a+)=cosacos/3 sinasin/?；利 用 的结果证明：cosacos6=/c o s(a +)+cos(a 0)，并计算 sin37.5 cos37.5 的值.【答案】(1)推导见解析；(2)证明见解析，达 吉 -【解析】根 据 图 象 可 知|存 =|座 再 展 开 化 简，

13、得到两角和的余弦公式；首先令 =一0,求cos(a 6),再代入所证明的公式；首先根据二倍角公式和诱导公式化简为sin37.5 cos37.5c=gsin75=-ycosl5再根据两角差的余弦公式化简.【详解】(1)因为 B(cosa,sina),8(cos,sinS),P(cos(a+),sin(a+),根据图象，可 得 无 产=崩1即|而F=|福，即(cos(a+0)I)?+sin2(a+)=(cos cosa)2+(sin/S+sina)2.即 cos(a+)=coscosa-sinsina.(2)由(1)可得 cos(a+A)=coscosa sin6sina,cos(a 一夕)=co

14、sficosa+sin/sina 由+可得：2cos6cosa=cos(a+万)+cos(a /?)所 以 cos/3 cosa=-y cos(a+0)+cos(a A),所以 sin37.5 cos37.5=-ysin75=-1-cosl5=-cos(45 30).=-y(cos45cos300+sin45sin300)_ 1/V2 V3,V2 1 _ A/6+V2一万E 至 十 亍 X R -g-【点睛】本题考查两角和差余弦公式的证明，以及利用三甭恒等变换求值，重点考查逻辑推理证明，公式的灵活应用，属于基础题型.【方法技巧与总结】推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三

15、角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路.题型二:给式求值例5.(2 02 2 全国方三专题练习)已知sina=?乎,cos(a 0)=，且0 V a V普，0 V 0 V普，则sin/5=()A 9VI K 口 11VTU c VTK p.V10A-3 5-B-5-C-5 口.节【答案】A【解析】易知sinQ=sin(a-(a-),利用南的范围和同角三角函数关系可求得cosa和sin(a-/?),分别在sin(a-/?)=乂 兽 和 一 两 种 情 况 下，利用两角和差正弦公式求得sin,结合的范围可确定最终结果.0 O【详解】sina=2坐 0,，sinj=不合

16、题意，舍去；4 uO当sin(a。)=一卫萼，同理可求得sin/=驾 普 ，符合题意.J J0综上所述：sin=?参.J J故选：A.【点睛】易错点睛：本题中求解cosa时，易忽略sin a的值所确定的a的更小的范围，从而误认为cosa的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.例6.(2 02 0四川乐山外国语学校高三期中(文)已知sin(15 )=tan210,则sin(60+a)的值为()1 1 9 2A3 B-y cy D_y【答案】A【解析】根据题意得到sin(1 5 y)=-0-进而得到cos2(15 4,cos(30 a)=,从而有sin(60+a)=sin 90(30 a)=co

17、s(30-a).【详解】,:sin(15y)=tan210,/.sin(15y)=tan210=tan(180+30o)=tan30=,则 cos2(15y)=1-sin2(15o-y)=y,cos(30 tz)=cos2(15 siir(15y)=L/.sin(60+a)=sin90(30 a)=cos(30(Z)=J,o故选A.【点晴】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的底本关系，诱导公式，属于基础题.例7.（2020全国商三专题练习）若 c os信-2 x）=一看,则sin（x+g）的值为（）.1 7 1 7A-lB-l ai D-l【答案】c【解析】利用倍角公式以及诱导公式，结合已知

18、条件，即可求得结果.【详解】,/C O S（y 2 x）=C O S 1 2倩-X）=2c os2传 x）l=一三，C O S（y-x）=7-V si n（j j-F-y）=c os y-（+左）=C O S 借-N）二 土:，故选：C.【点睛】本题考查利用三角恒等变换解决给值求值问题，属层础题.例8.（多选题）（2022全国高三专题练习）设 si n（6 +*）+sin=A V IA.2B-1ai则 si n（）=（D-4【答案】4。【解析】利用三角恒等变换化简已知条件，结合同的三角函数的基本关系式，求得si n（一卷）.【详解】依题意 si n（+*）+si n/?=y/3+12si n（

19、-4+）+si n（0 -号 +y）=V3 +12c os（）+-y si n（/?）+-y-c os（/?号）=+12彳1 s.m（6o-冗y）H-A-/32-+-2 COS（Po 一 至兀）、二一 V32+-1si n（y j +（A/3+2）c os（0 =A/3+1,（A/3 4-1）si n（/?-c os（-y）=-下+2-，代入 si n +c o s：2（号）=1,（V3 +1）si n（0 y）si n2（/f f 与 j +V3 +22=1化简得（8 +4 V3）si i r（/?生）-（2，+2）si n（/?y）（3 +2V3）=0,两 边 除 以 一+2,4 si n

20、 2（0-4 j-）+（2-2V3）si n（/S-y）-V 3 =0,2si n（6 y）+l 2si n（y）A/3=0,解得 si n（/?一 y）=J 或 si n（-y）=故选：AC例9.（2022全国模拟f l 测（文）已知 E（0 作），c os2/?=y,c os（a+0）=，则 c osa=【答案 埸 显【解析】由a,G（0,-y）,c os（a+0）=看，即可求得si n（a+/?）,用二倍角公式即可求得si n 和 c os，用拼凑角思想可表示出a=（a+0）一依用三角恒等变换公式求解即可.【详解】因为 c os(a+)=工 且%6 6(0,-y),所以 si n(a+6

21、)=-p-.又因为 c os2 =1 2si n羽=-p-,解得si nf =,则 c os/?=J l _ si nT=?著,o o故 c ost?=c os(a+)0 =c os(tz+0)c os +si n(a+0)si n=x 2 g+g x -.故答案为：卑 工25例10.（2022上海磐安模拟预测）已知si n（a+孑）=【答案】枭#0.5【解析】由倍角公式以及诱导公式求解即可.【详解】亨则 si n2a的值为+c os2(a+-y)=1 -2si n a A)=1_2XA=一攵c os2（a+亍）=c os(勺+2a)=si n2asi n2a=-y故答案为：十例11.（202

22、2江苏泰州模器UX测）若。=/）时，/（。）=si n2。c os?。取得最大值,则si n（2%+给=.【答案】嚅【解析】首先利用二倍角公式和辅助角公式，化简，再代入求值.【详解】/（。）=si n2 一 y（l +c os2）=si n2 9 y c os2/7 一 y=J（s i n 2 0-J c o s 2 0）g=s i n 2 夕一p）-g（其中 c os?=,si n?=,当/（。）取最大值时，2仇一卬=手，,2%=9+手si n2/=si n（+-y）=c o s。=,c o s 2%=c o s（p +专）=_ s i n =丽（2/+半）=（竽）x乡+（卷）x字=嚅故答案

23、为：第【方法技巧与总结】给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件,或将所求函数式变形为可使用条件的形式.题型三:给值求值1 _ t a nA例12.（2022福建省福州第一中学三模）若sina=,且a C（兀，萼），则-工=（）32 1+tan 号A.【答案】DC.2D.-2【解析】由 sina=2sin-cos-y2sin-ycos-y2tan-sin2-y+cos?号 tan2-+1，可解得ta崂，即可求解【详解】.日 a a J.也 2tan-Q2-sina=zsin-Trcos-Tr=-T,故-=-2 2 5 bl

24、.l JL2 A+r o s2A t a n2+1I 2 J L ）I JL35 n 1 tari-K可解得 tan-y=-或 tan-y=-3,又 a （7r,好）,故 tan-y=-3,故-=2,/J*/1+tan 号故选:D例13.（2022湖北武汉模拟演测）已知sin借 一 土）=:,则cos-给=（）A-工 B/c D”A.8 B 。4 口 4【答案】B【解析】根据题意得sin（x 专）的值,再根据cos（2工一号）=1-2sin2（z 专）求解即可.【详解】因 为 sin（方 一7）=sin（x 一*），所以 sin（a;一 专）=一 ；，cos（2x-y）=cos 2（a:一a）

25、-1 2sin2（x -1-）=1-2（-1）=故选：B.例14.（2022湖北模拟演测）已知a C（多 勃 且cos（a-给，则cos2a=（）A.-空 B.土 号 C.y D.年【答案】D【解析】由已知a的取值范围，求出a 方的取值范围,再结合cos（a 亍）=-y即可解得a的值，cos2a即可求解【详解】因为一与 a V 等，所以一年 V a 一 手 V 与又 cos（a ）=/，所以 a-=-Y，所以 a=一台所 以 cos2a=cos（-=cos/=故选：D例15.（2022全国模拟覆浏）已知sin（y +a）=/,则cos（2a y）=（）A23 n 23 八 2/275A-25

26、B-25 C.k D-一-1【答案】B【解析】利用诱导公式化简，然后利用二倍角公式即得.【详解】因 为 sin（-y+=cos信-a）=cos（a 专）=y,所以 cos（2a y）=cos2（a 看）-2cosa-1=2 x（-y）-1=一骨.故选：B.例16.（2022黑龙江哈”大附中三模（文）已知sin（45+a）=9 45 V a V 135,则cos2a=（）DAA-2245 R B-2245 r Q 275 n D -275【答案】B【解析】首先根据同角三角函数的基本关系求出cos（45+a）,再利用二倍角公式及诱导公式计算可得;【详解】解：因为 45 a 135,所以 90 V

27、a+45 180,又sin（45+z）=-7-,所以 cos（45+a）=7、sin2（45+a）=3,所以 sin2（45+a）=2sin（454-a）cos（45+a）=2 x-p-x（=一 箓。5 5，2594 94即 sin（90+2a）=,所以 cos2a=一而故选：B例17.（2022广东茂名模拟演测）已知sin（6-专）=+，则cos+专）=（）A.一坐 B.-i-C.y D.咨【答案】B【解析】利用题目条件结合诱导公式即可褥出答案.【详解】cos（0+专）cos仅 sin（J 故选：B.例18.（多选题）（2022江苏南三专题练习）已 知 春&。=兀，兀浮 sin2a=y,co

28、s（a+）=聆，则（）A.costz B.sina cosa-C.0-4=与 D.cosacos/3【答案【解析】先根据sin2a=4，判断角a的范围，再根据cos2a求cosa;根据平方关系，判断sina cosa的值；利用公式cos（a）=8 s （a+6）-2a求值，并根据角的范围判断角 a的值；利用公式cos（/?+a）和cos（/?a）,联合求cosacos/?.【详解】因 为 子&兀,所以今 0,故有 与 2&兀，与专，5 2 4 2解出 c o s 2 a =-7-=2 c o s%1=c o s 2 a =cosa=-，故工 错误；5 5 5(s i n a c o s t?)

29、2=1 s i n 2 a =4-,由知：牛&a c o s%4 2.所以 s i n a c o s a =,故 B 正确；5由知：a4卷，而兀6&,所以芈 a +4 2 兀，又 c o s(a +)=7 -V 0,所 以 甲 a +0 W 萼*,1U 4 Z解得 s i n(a +)=一 普，所以 c o s(-a)=c o s (a +)-2 a =x(一-F)+(一X T-=又 因 为 耳 a +4半,一兀&-2 a cosacos/3 s i n a s i n/?=-,J2由知,c o s(夕一a)=c o s a c o s/?+s i n a s i n/?=,两式联立得：co

30、sacos/3 =，故。错误.故选：3C【点睛】关键点点睛：本题的关键是三角函数恒等变形的灵活应用，尤其是确定角的范围，根据三角函数值s i n 2a =3,确定4 2a 冗,且 c o s(a +力)=V 0,进一步确定等 W。+0 W?二，这些都是确定函数值的正负，以及角的大小的依据.【方法技巧与总结】给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是:将待求式用已知三角函数表示；将已知条件转化而推出结论，其中凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选

31、择公式.题型四:给值求角例19.(2022全国模拟(浏)已知,V a V,4V 3s i n y|s i n+4s i n y-c o s(a)+t a n-=A/3,则a=.【答 案 噜【解析】由诱导公式、辅助角公式、倍角公式得出s i n(a -)=s i n*再由正弦函数的性质结合叫Va V0 J U v)半*得出a.【详解】由题知V3sin（6 z 生o寸 V3+cos（等 a）=-,则 V3sin（3 4sin/15T+COS（6Z =o4si n-rz-COS-T7r15 15，即 2sin（g+言）sin（6r JT）=cos-j5-=sin（4-=sin 1；：，则 a =1；

32、+2A：兀 或 a=加 +2卜 兀,fe 6 Z.因为专V V华，所以OVa V，所以1一专二q涓，解得a=-y-.故 答 案 为 金例20.（2022河南南FH中 学 方 三 阶 段 练 习（文）已 知sin传-a）=一 字,sin（华+0）=嚅，且a C传，弩）l 6（0奇），求的值为-【答案】与#:兀【解析】注意到。一 =冗一（左一。+苧 +）,利用诱导公式和两角和的正弦公式求解，注意仪一6范围的确定.【详解】a （半 今），6 （。左），则a S （，4 ），注意到 0 =兀一（宁一a+学+）,于是sin（a-0）=sin（7i（号一1+半+）=$山（十一 +洋 +夕），不妨记x=1=

33、年 +0,于是sin（a-0）=sin（x+g）=sinicosg+sini/cosx,而 i （一-,0）,sina:=一 芈 于 是cosi=2 3（负值舍去），又y G（小,兀）,sing=则cosy=一 曾 羔（正值舍去），于是计算D0 4 1U 1U可得：j 9 3sin（a-6）=sin（x+y）=sinircosy+sinycosa;=，而 a 一夕 （0,竽）,于是0一3=多故答案为：彳.sina sin 需例21.（2022河北石家庄一模）已知角a e（0,y）,tan专=-+，则a=_.-cosa+cos 全【答 案 吟sina-sin-ry=_【解析】化简tan备=-,即

34、可得到sin杳=sin（a 一 备），再根据。的范围，即可求出结果.cosa+cos,【详解】sina sin 缶 sin-777-sintz sin会 tan 需=-=-,12 兀 7 T ,7 Ucosa+cos-cos-j2*cos2+cos 历sin令(coscz+COS-jy)=cos7T/si.n cz-si.n7T),.兀.7T 7T 7U K.7T.sin-jycosa+sin-p-cosy-=cos-sina-cosysiny,.兀 7T.K.7T 7T 7T.SI DCOS+C O S-rz-S in-ry=C O S-jyS lll。-S ill行C O Sd,兀.s i

35、n-0sin(a 一仓)，;aW(0,m),.a-金 W.,.百7U =a-五7T，m则 )=兀正 1+7万r=了7L故答案为：多4例22.(2022上海市大同中学方三开学者诫)若a G(0,兀)，且cos2a=sin(-1-a),则a的值为【答案】y或卷【解析】根据二倍角的余弦公式和两角差的正弦公式可得(cosa+sina)(cosa-sina)=-(cosa-sina),分类讨论当cose sina=0、cosa-sin aW O时的情况，结合(0,兀)和辅助角公式计算即可.【详解】由题意知，cos2a=sin(-a)则 cos2a sin2a=(co sa-sina),即(coscr+s

36、ina)(cosa-sina)=-(cosa-sina),当 cosa sina=0 时，cosa=sina,即 tana=1,由a W (0,兀)，得。=彳；2当 cosa-sina 力 0 时，cosa+sina=-y-,所以&sin(a+)=、即 sin(a+?)=:，由(0,兀)，得a+左E(?当_),所以1+彳=3 ,得1=生.4 4 4 7 4 1)12故答案为：年 或 旁例23.(2022全国商三专题练习)若sin2a=曾 ,sin(a)=，且a 才 受 ，B G卜,/兀，则a+0的值是.【答案】手#1 兀4 4【解析】由sin2a=T-以及a 求出cos2a的值，再求出夕一a

37、今,兀 ，再由sin(a)=DL 4 Z J L/4 1U可求出cos(3 a)的值，利用两南和的余弦公式计算cos(+a)=cos(0 a)+2 a的值，结合角 +a的范围即可求得答案.【详解】因为a e 茅 ,所以2QC盖 灯,因为 sin2a=,所以 cos2a=-sin/2a=J l 22V55因为a e冗5 1因为 sin(6 a)=，所以 a C所以 cos(0-a)=-y/1-sin2(-a)=-J l-=一 当 会，所以 cos(+a)=cos(0 a)+2a=cos(/?a)cos2a sin(/?a)sin2a因为aC 看6,6 卜,标|,所 以 夕+共 国 兀 叫,所以a

38、+二号故答案为：号.例24.(2022吉林廉边州转T学虎一模(B e n,兀 ，所以6 a 专,兀 ,因为 sin(0-a)=,所以 cos(0-a)=-yj-s u r(p-a)=-J l -=3 -所以 cos(+a)=cos(/?a+2a)=cos(/?a)cos2a sin(p a)sin 2a=(3VT0/2V5 _ VTU x 逅 二 返-K 10/5/10 5-2,因为 卷 冗，-|兀 ,所以 +a 兀,2兀 ,所以a+=牛.故选:A例25.(2022上海交大附中方三开学考试)已知0、0都是锐角，且3sin%+2sin2=1,3sin2a 2sin20=0,那么*6之间的关系是(

39、)A.a+0=B.a (i -C.a.+2.-D.ct+2=【答案】D【解析】推 导 出 反 嘿=卑 盟，可得出cos(a+20)=0,求出a+2 0的取值范围，即可得解.COb/)Ollllx【详解】因为 3 s i n%+2 s i n2/5 =1,则 3 s i n%=1 -2 s i n力=c o s 2 ,所以,2 s i n2/?=3 s i n2 a =6 s i na c o s a,因为a、6都是锐角，由题意可得c o s 2 s =3 s i n%0,“e s i n2/7 3 s i na c o s a c o s a所以，-=-=-,c o s 2 3 s i rra

40、 s i n a所以，c o s 6 z c o s 2/?s i na s i n2 =c o s (a +2 )=0,因为 心 都 是锐角，则0。且0 合，则 0 0,t a n 0,有 0V 2aV g,于是得一兀V 2 a 0,因此，2 a 0 =一 华,4所以2 a B =率故选:c【方法技巧与总结】给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角.题型五:正切恒等式及求非特殊角例27.(2022湖北厘用四中模拟f l测)若 角 a的终边 经 过 点 P(sin 70,c os70),且 t a n a +

41、t a n 2a +m t a n a t a n 2a =通,则 实 数 m的值为()A.-V 3 B.-挈 C.噂 D.V3【答案】D【解析】先通过诱导公式变形确认”的值，再将t a n 6 Q =W 变膨化简.【详解】sin 70 =c os20,c os70 =sin 20,P(c os20,sin 20),故 t a n a =t a n 20,t a n 2a =t a n 4 0,又 t a n 6 0 =t a n(20+4 0)=J。工 g】?。=V 3,即 t a n 2()+t a n 4 0+4 t a n 20 t a n 4 0 =V3,/.m=V 3.1 t a

42、n 2(J t a n 4 u故选：D.例28.(2021直庆八中高三阶段练习)$也1 0+乎31 1 1 0 0 =()A.|B.乎 C.|D.年【答案】A【解析】先将t a n l 0 =朝 喘 代 入 所 求 式 子 通 分 化 简，再结合二倍角公式、两角差的正弦公式，即可得解.c osl O【详解】解:sin l(r+率t a n l。=sin l(r+率.鹏=蒯皿0。呼10。茅弧nlO。4 4 c osl O 4 c osl 0二 2sin 20+屈31 0 _ 2sin(30 1 0 )+4 sin l 0 4 c osl 0 4 c osl 0 2(y c o s l 0o-s

43、i n l 0 )+V3sin l 0 4 c osl 0 _ c osl O _ 14 c osl 0 0 4 -故选：A.例29.(2020庆一中方三阶段练习)求值：定)A.1B.V 2C.V3D.2 V 2【答案】D【解析】先化切为弦将t a n l。转 化 为 嚅，然后根据二倍角的正弦和余弦公式、辅助角公式以及诱导公式进行化简求值.【详解】原 式=1 _/Q sin 1 0 0“c osl()0 _ c osl O O V sin l O V2sin21 0 V2sin l 0 c osl 0 2c os(1 0+6 0)_ 2V?c os70 si 1 1 20sin 20 02，c

44、 os(9 0 20)_ 2 6 s i n 2 0。=2任sin 20 0sin 20 故选：D.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于弦切互化以及三角恒等变换公式的运用，一方面需要利用t a n l O sin 1 0 c osl O 整体.以及辅助角公式将分子化为一个整体，另一方面需要利用二倍甭的正余弦公式将分母化为一个例30.(2022全国高三专题练习)(t a n 30 0+t a n 70)sin l 0 =.【答案】卓O【解析】将原式化切为弦，通分，然后利用两角和正弦公式以及二倍角公式，即可求解.【详解】(t a n 30 +t a n 70o)sin l 0 =+*吗。)刖1

45、0。v c os30 c os7(J)_(sin 30 c os70od-c os30 sin 70o)sin l 0oc os30 c os70 _ sin l O O siiil O _ 2sin l 0 0 c osl 0 0 _ 瓜瓜.Qno V3sin 20 32-sin 20故 答 案 为：号.例31.(2022江苏南通高三期末)若1 +=一,则a的 一 个 可 能 角 度 值 为t a n 8 0 sin a -【答 案】50 ,1 30 ,4 1 0 ,4 9 0 等答案较多【解 析】先 把1 +化 简 成.L。，解得sin。=sin 50 0后，解三角方程即可解决.t a n

46、 8 0 sin 50【详 解】一 V3 sin 8 0 +V3c os8 0 2sin(8 0 +6 0 )2sin l 4 0 0t a n 8 0 sin 8 0 sin 8 0 2sin 4 0 c os4 0 二 2sin 4 0 =1 =1=12sin 4 0 0 c os4 0 c os4 0 sin 50c sin a则 sin a =sin 50,故a =k 36 0 +50 ,k Z,或 a =k 36 0 +1 30 ,f c 6 Z故 答 案 为：50 ,1 30 ,4 1 0,4 9 0”等均符合题意.例32.（2022江苏扬州模拟预测）；：喘 =【答 案】空O【解

47、析】由 两 角差的正切公式化简求值.【详 解】1 t a n/；)t a n 4 5 t a.n()匕。4匚 4 .八。l +t a n 750 =1 +t a n 4 50 t a n 75 二 一匕山75-4 5)=T a n 3 0 =-丁.故 答 案 为：我.例33.(2022贵州静东朴一 模(文)若 t a n (a +6)=,t a n (a )=,则 t a n 2a =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _O V【答 案】吉【解 析】由2a =a +/7+a 丛 应用和角正切 公 式 即 可 求 值.【详 解】工+工t a n 2a =t a

48、 n (a +a -6)=-p r.1 L x J_ 【/1 3 6()故 答 案 为：彳亍1 7例34.(2022山东青岛二中高三开学考试)t a n l 0+t a n 35+t a n l 0 t a n 35=.【答 案】1【解 析】由1 =t a n 4 5=t a n(1 0 4-35),利用两角和的正 切 公 式 计 算 即 可.【详 解】因为 1 =t a n 4 5=t a n(l()0+35)=,所以 t a n l 0 0+t a n 35+t a n l()t a n 35=1.故 答 案 为：1【方 法 技 巧 与 总 结】正 切 恒 等 式：当 4 +8+。=卜兀时

49、，t a n A+t a n B +t a n C=t a n/I t a n B-t a n C.证 明：因为 t a n(X +8)=：a n4十?t a n C =t a n(4 +3),所以 t a n?l +t a n T?=t a n 7(1 t a n A t a n B)故 tan A+tanJB+tanC =tan?!taniS tanC.【过关测试】一、单选题1.(2022四川盾泸县第二中学模拟演测(文)已知角a与角6的顶点均与原点O重合,始边均与工轴的非负半轴重合,它们的终边关于立轴对称.若cosa=，则cos(a+)cos(a 6)=()A.一2 B1 C-l。.奈【答

50、案】A【解析】根据甭a与角0的位置关系可得a与的关系，进而得出a与6的三角函数关系，结合两角和的余弦公式计算即可.【详解】3因为a与0关于力轴对称，cost?=,D所以 a+0=2kn,k W Z,3 4则 cos(a+0)=1,sina=sin/?,cosa=cos=，sin”=g,O D当 sina=7-时，sin/?=-D 03 3 4cos(4?)=cosacos/?+sinasin/3=,-p-D 0 O当 sina=时，sin/=-y-,D 0cos(a-/?)=cosacosy?+sinasin/5=-p-p-o 0 07所以 cos(a+)cos(a )=而，=_7_了一一智鱼