北京市2021-2022学年九年级上学期期中数学试题（解析版）.pdf

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1、2021-2022学年人大附中九上期中数学试卷制卷人：王宇 审卷人：孙芳、左丽华第一部分：选择题一、选择题(共16分，每题2分)1.方程X?5 x-2=0 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是()A.1,-5,-2 B.1,5,2 C,1,5,-2 D.0,-5,-2【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程一般式，找出所求即可.【详解】解：方程/-5x-2=0,二次项系数是1，一次项系数是-5,常 数 项-2,故选：A【点睛】本题考查了一元二次方程 一般式，其一般形式为数2+法+。=()(2 工0).2.若 点 N(3,-2)与点8 关于原点对称，则 8 点坐标为()A.(3,2)B.(-

2、3,2)C.(3,-2)D.(-3,-2)【答案】B【解析】【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数求解即可.【详解】若点”(3,-2)与点8 关于原点对称，则 8 点坐标为(-3,2)故选B【点睛】本题考查了平面直角坐标系中对称点的坐标特点，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键.3.若点(0,a),(4,6)都在二次函数=。-2)2的图象上，则 a 与 6 的大小关系是()A.ah B.a=5,故选D.【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤.5.如图，亚8 c中，C=9 0。，4 C=4,B C=3,以8

3、点为中心，将A/8C旋转至AD B E,使E点 恰 好 在 上，则/E的 长 为()DO B-A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】先根据勾股定理可得力3=5,再根据旋转的性质可得8 =8 C=3,由此即可求得花 的长.【详解】解：*.,C=90,AC=4,BC=3,AB=A C2+BC=5，:以 8 点为中心，将旋转至AO B E,使 E 点恰好在Z 8 上，:.BE=BC=3,：.AE=AB-BE=2,故选：B.【点睛】本题考查勾股定理以及旋转的性质，熟练掌握勾股定理以及对应点到旋转中心的距离相等是解决本题的关键.6.数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小宇的解

4、决方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点Z,B,连 接 再 作 出 的 垂 直 平 分 线，交A B于-C点、,交 弧 于。点，测出Z8,CO的长度，即可计算得出轮子的半径，现测出/8=40cm,CD=10cm,则轮子的半径为（）A.50cm B.30cm C.25cm D.20cm【答案】C【解析】【分析】由垂径定理可得出8 c 的长，连接。8,在中，可用半径OB表示出O C 的长，进而可根据勾股定理求出轮子的半径即可.【详解】解：如图，设圆心为点。，连接。8,/OD _L A B,/IS=40cm,：.BC=-AB 20cm,NOCB=90,2VCD=10cm,OC=OD-CD =OB-W

5、,.,在 R t Q B C 中，OC2+BC2=OB-：.(OB-10)2+202=OB2,解得：0 8 =2 5 c m,.轮子的半径为2 5 c m.故选：C.【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.7.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线歹=2+&+。的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点为(1,0),则下列说法中不正确的是()A.a 0,c 0 B.4a+b=0C.方程a x 2+/)x+c=0的实数根为x i =l,X2=3 D.不等式a x 2+b x+c 0的解集为1 x 3【答案】D【解析】【分析】观察图象，得：抛物

6、线开口向下，与轴交于负半轴，可得。0,cV O；根据抛物线y=a x 2+b x+c的对称轴为直线x=2,可得4。+力=0 ；设抛物线、=0%2+加+(;与x轴的另一个交点为(x,0),再由抛物线y=a x 2+b x+c的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点为(1,0),可得抛物线夕=小+云+c与x轴的另一个交点为(3,0),可得到方程以2+6 x+c=0的实数根为月=1,刈=3,根据图象可得当X 3时，抛物线的图象位于x轴的下方，从而得到不等式帆2+&+0 0的解集为了 3,即可判断.【详解】解：A.观察图象，得：抛物线开口向下，与夕轴交于负半轴，,.a 0,c 0,故 N正确，不符合题意

7、；8、：抛 物 线 产=渥+云+。的对称轴为直线x=2,b，=2 ,即4。+匕=0 ,故2正确，不符合题意；2aC、设 抛 物 线 了=/+云+。与x轴的另一个交点为(x,0),抛物线y=Q/+fcc+c的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点为(1,0),2l=x 2,解得：x=3,.抛物线y=江+/+，与X轴的另一个交点为(3,0),方程数2+fcr+c=0的实数根为=1,由=3,故C正确，不符合题意；观察图象得：当X 3时，抛物线的图象位于x轴的下方，不 等 式+瓜+c 0的解集为 3,故。不正确，符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与X轴、

8、y轴的交点，对称轴，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键.8.如图，是半圆O的直径，小宇按以下步骤作图：(1)分别以/、8为圆心，大于工。长为半径作弧，两弧交于尸点，连接OP与半圆交于C点；(2)分别以/、C为圆心，大于g/C长为半径作弧，两弧交于。点，连接。与半圆交于。点；(3)连接/、BD、BC,8。与。C交于 E点.根据以上作图过程及所作图形，下轮结论：即 平 分 乙18C；BC/OD-C E=0O E.所有正确结论的序号是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据作图可知正确，再根据圆周角定理和垂直平分线的性质得到正确，根据平行线的性质证明OQE ZkBCE判断即可；【详解

9、】由(D可知，OP垂 直 平 分 由(2)可知，点D是AC的中点，AD=DC，二 ZABD=/CBD,.8。平分N/8 C,故正确；连接。C,AC,AD=D C,又口。4 =0。，OD=OD,AO A =A OCD，Z A O D =Z C O D =4 5 ,又 UOB=OC,Z.OBC=ZOCB=4 5 ,UBC/OD,故正确；NDOE=ZBCE,NODE=NCBE,/./DOE A B C E,.OP CB 二 ,OE CE设。B =r,则 0 =r,BC=6 r，.r 二 6 r EC E:.CE=叵O E,故正确；故选D.【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、平行线的判定与性质、圆

10、周角定理、相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键.第二部分：非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.利用圆弧，可以设计出很多有趣的图案.下图是小宇设计的三幅图案，所有中心对称图形的序号是 【答案】#【解析】【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案.【详解】解：是中心对称图形，符合题意；不是中心对称图形，不符合题意；是中心对称图形，符合题意；故答案为：.【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是要寻找对称中心，旋 转180度后两部分重合.10.将 抛 物 线 向 下 平 移3个单位长度，所 得 抛 物 线

11、的 表 达 式 为.【答案】【解析】【分析】根据“左加右减，上加下减的平移规律即可得答案.【详解】将 抛 物 线 向 下 平 移3个单位长度，抛物线平移后的表达式为y=万/一3,故答案为：y=-x2-32【点睛】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减的平移规律是解题关键.11.如图，在。中，弧/8=弧8。=弧。，连接/C,CD,W iJ A C 2 CD（填“”、或“=”）【答案】【解析】【分析】连接4 3、B C,根据题意得/8=8C=C。，再根据三角形的三边关系，即可求解.【详解】解：如图，连接力8、BC,:弧4 8=弧8。=弧 8,：.AB=BC=CD,：A C A B

12、+B C ,/.A C 2 C D.故答案为：【点睛】本题主要考查了圆的弧、弦，的关系，三角形的三边关系，熟练掌握同圆内，等弧所对的弦相等是解题的关键.12.一元二次方程/+21+左=0有两个相等的实数根，则的值为.【答案】1【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式等于0即可求得k的值.【详解】解：一元二次方程V +2x+左=0有两个相等的实数根，A A=22-4 =0即4 4 4=0解得k=1故答案为：1【点睛】本题考查了一元二次方程a r2+b x+c=o（。0,a,h,c为常数）根的判别式 =-4ac，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键.当八0时，方程有两个不相等的实数根；当

13、A=0时，方程有两个相等的实数根；当/(),下列结论：若这个函数的图象经过点(2,0),则它必有最大值；若这个函数 图象经过第三象限的点P,则必有。0；若。0,则当时，必有y随 X的增大而增大.结合图象判断，所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.【答案】【解析】【分析】将点(2,0)代入旷=以2+嬴 中，得b=-2 a,再将其代入。+80,判断出。与 0的关系，从而判断最值即可；通过a 0,b 0,可得抛物线过一、二、三象限，从而判断出。0 判断出对称轴的取值范围，再利用抛物线的对称性可判断方程的根；当。0时，0或b 0,即0抛物线开口向下，有最大值，故正确；.抛物线y=a +以 过原点，且

14、h,当a0,Z?()时，对称轴x=-(),二方程o x?+以=0的其中一个根为0,当 a v O时，b-a,则有对称轴x=一 二?，2a 2根据抛物线的对称性可知：方程0+加二()的另一根大于I，故正确；当。0,人之o时，抛物线对称轴x=2 o,2a：.x 0,匕0时，即一。v/?0,抛物线对称轴x=-2 J,2a 2：.x 0时，则当g v x K l,y随x增大而增大，故答案为：.【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练掌握其性质.三、解答题(共68分，第1721题每题5分，第22题6分，第23题5分,第2426题每题6分，第2728题每题7分)1 7.解方程：%26x=7

15、【答案】x i=-l或用=7【解析】【分析】用配方法对方程配方后解答即可；【详解】解：X2-6X=7X2-2X3X+9=7+9(x-3)2=1 6：.x-3=-4 或 x-3=4/.X i=-1 或用=7【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，灵活掌握方程的解法是解题的关键.1 8.如图，A B=A C,。平分D B C D,E点在8 c 上，且也1 后=口。=90。，求证：C D=BE.【答案】见解析【解析】【分析】先根据等边对等角可得n 8=Q 4 C 8,再结合角平分线的定义等量代换可得8=U A C D,再根据全等三角形的判定与性质即可证得结论.【详解】证明：DB=2 ACB,。平分 Z

16、L 8C D,D A CD=DACB,：.05=ACD,在 A B E 与 AC。中，NB=NACD；.ZAOC=NBOC,在 A O C 和ABOC中，OA=OB2-4 a c =(-m)-4(2 m-4)=m2-8 w +1 6 =(m-4)0.方程总有两个实数根；(2)x2-fw c+2m-4-0(x2)(x+2m)=0解得玉=2,/=m-2.方程有一个实数根为负数，解得力 2.加是正整数：.m=1【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握以是知识是解题的关键.2 3.在平面直角坐标系X/中，二次函数产/+次+的对称轴为直线=2,且经过点/(0,3).(1)求这个二次

17、函数的解析式，并画出它的图象；(2)将这个二次函数的图象沿y轴向下平移，请回答：当向下平移 单位时，所得到的新的函数图象与x轴的两个交点的距离为4.【答案】(1)y =x2-4 x+3；图像见解析；(2)3【解析】【分析】(1)根据二次函数的对称轴为直线X=2求出加的值，然后将点4(0,3)代入函数解析式即可得出”的值，二次函数解析式可得，画出图像即可；(2)根据题意得出平移后的函数解析式，然后判断平移方式即可.【详解】解：(1).二 次 函 数 的 对 称 轴 为 直 线 X=2,.b m x =-=-=2,2 a 27 7 2 =-4 ,将点/(O,3)代入二次函数解析式得：=3,二次函数

18、解析式为：)=%2-4%+3,(2)将原图像向下平移，则对称轴不变，新的函数图象与X 轴的两个交点的距离为4,则新函数图像经过点(0,0)，(4.0),则平移后得解析式为：y=x(x-4)=x2-4 x ,则 y =%2 -4x由y =%2 4%+3向下平移3 个单位得到，故答案为:3.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的平移，熟练掌握二次函数的图像与性质是解本题的关键.2 4.如图，放/B C 中，Z C=9 0,AC=6,5C=8,动点P、0分别从4、C两点同时出发，P 点沿边/C向 C以每秒3 个单位长度的速度运动，。点沿边8c向 8以每秒4个单位长度的速度运动，

19、当尸、0到达终点C、2时，运动停止，设运动时间为f (s).(1)当运动停止时，f 的值为；设P、C之间的距离为a 则y 与，满足 关 系(填“正比例函数”、“一次函数”或“二次函数”)；(2)设 PC 0的面积为S.求S的表达式（用含f的式子表示）；求当，为何值时，s取得最大值，这个最大值是多少？AC Q B【答案】（1）2；一次函数；（2）S=-6/+1 2f;1 =1，面积最大为6【解析】【分析】（1）根据P、Q运动速度，以及AC、8。的长度，即可求解；求得y与r的关系式，即可求解；（2）求得线段P C、CQ的长度，即可求得S的表达式；根据表达式可得S与t为二次函数的关系，根据二次函数的

20、性质即可求解.【详解】解：（1）运动停止时，尸、Q分别到达终点。点和8点，f =6 +3 =2（s）故答案为2由题意可得：A尸=3 r,P C A C-A P =6-3 t,即y=6 3 r,与,满足一次函数的关系故答案为一次函数（2）由题意可得：A尸=3/,C Q =4 fP C =A C-A P=6-3 rPC。的面积 S=；尸C x C Q =；x4 f X（6 3 f）=6/+1 2f故答案为：S=-6t2+l2 t由二次函数的性质可得：。=-6 BCEC=EBZEAB=ZEACOA=OE,ZE=NAB，:.ZE=ZEACABAC=ABAE+ZE4C=2ZE(2)A3是直径:.ZBCA

21、=90-OF 1 AB,OA-OB;.FA=FB:.ZFAB=ZFBA又.O4 =O E；./E=/E A B =/B;2N E=NBACZBAC+ZB=3ZB=90ZB=ZE=30.-.ZBFO=60-O D BC.-.ZFOD=30.-.OF=EF=2FDF D=lOF=EF=2在 府 A f O 中，NFAB=NB=30。,-.AF=2FO=4:.AE=AF+FE=4+2=6：.A E 6【点睛】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆周角相等，垂直平分线的定理，等边对等角，含3 0度角的直角三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，求得N 5 =N E =3 0。是解题的关键.26.在 平 面 直

22、 角 坐 标 系 中，已知抛物线y=x22根x+/i.(1)求抛物线的顶点坐标(用含”的式子表示)；(2)若这条抛物线过点(，一2,以)，(加+，)2),且结合图像，求的取值范围.(3)直线y=-x+b与x轴交于/(3,0),与y轴交于8点，过8点作垂直于y轴的直线/交这条抛物线于尸、。点，若O4 P和04。中有且仅有一个为钝角三角形，结合图像，求 7的取值范围.【答案】(1)A(m,-1)；(2)一2或2；(3)-29 1或29 7式，【解析】【分析】(1)根据二次函数顶点坐标公式求出抛物线的解析式；(2)根据二次函数的性质列出不等式，求解即可；(3)根 据 题 意 可 得 直 线 的 解

23、析 式 为y=-x+3,得B(0,3),在直线y=3上，当/A O P =9 0 时，点 P 与点 8 重合，当 y=3 时，y=x2-hnx+rtr-1 =3,则x m+2,得点P(加一2,3),。(加+2,3),若 Q4尸和AOAQ中有且仅有一个为钝角三角形,m 20 0 zn-2 0则 或，0/+23进行计算即可得.【详解】解：(1)：_ 2 =_ 0!=7%4函 622a 2 4a 4A(m,-1)；(2).此二次函数对称轴为X=/M,且。=10开口向上，.当x机时，y的值随x的增大而增大,又：2,及2 或 -2；(3)将/(3,0)带入y=-x+b中得，6=3,y x+3,当x=0时

24、，尸3,所以 8(0,3),如图所示，在直线y=3上，当NAOP=90时，点尸与点8重合,当 y=3 时，y=x2-2 mx+m2-i =3,则 x=?2,则点 P(m一 2,3),Q(m+2,3),若OAP和AOAQ中有且仅有一个为钝角三角形，则m-2 0 0 /77-2 3或 0 tn+2 3解得，一2m1或2Km5,加的取值范围是：一2 1或2K机5.【点睛】本题考查了二次函数的有关性质，不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质.27.在/B C中，AB=AC,Z B A C=a,。为平面内一点，S.A D ,进而可得2 A G =CD；由可知A G =工CD,根据已知条件

25、和含3 0度角的直角三角形的性质，进而可得，2C D =G E,在 用Z X AG E中，设A O =A E =G，进 而 求 得 型=也=避 二LC D G E 2【详解】N B =NC=(1 80 -a)=90 -a2 2【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质与判定，三角形全等的性质与判定，勾股定理，含3 0度角的直角三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键.2 8.在 平 面 直 角 坐 标 系 中，已 知 线 段 和 图 形 邛，如果对于给定的角a (0。a W 90。)，线段4 8 上存在一点C,使 得 线 段 绕 点 C顺时针旋转a角之后，所得线段与图形少有公共

26、点，则 称 图 形 少 是 线 段 的 a-联络图形.例如，下图中的正方形即为线段的90。-联络图形.Ox已知点/(I,0)(1)若点2(3,0),直线y=-1 是线段N8 的 a-联络图形，则 a可能是下列选项中的(填序号).1 5。3 0。5 4。(2)若点8(f,0),直 线 夕=立 龙+6 是 线 段 的 6 0。-联络图形，求 f 的取值范围.3(3)若第一象限内的点B满足/8=2,点尸(“，0),(2(/77-1,7 3).若存在某个点8 和某个 a,使得线段P。是线段48 的 a-联络图形，直接写出?的取值范围.【答案】；(2)r -l；(3)l w =3 0,如下图，将线段4?

27、绕 NB中点逆时针旋转90。，此时点B刚好落到直线尸-1 上的B点,y AAfA B 1 -x-；-y=-lBf-”即若直线产 1 是线段45的 原联络图形，。最大取值为90。,.3 0 (-3,0),OC=5 OD=3,.在吊OCO 3 6 3 6中，tan ZOCDOD 3OC 一也一显 出 一 3G；NOC=60,如图所示，连接zc,C.OA=,:在/OC4 中，tan ZOCAOAoc7s.ZOCA=30,AC=2OA-2,ZACD=NOCD+ZOCA=60+30=90,ZOAC=90-ZOCA=90-30=60,即 ACCD,-1 ：(3)如图所示，当A 5LPQ时，过点。作OC_Lx轴 于 点C,.在R/APCQ中，tanNQPC=_1=6,ZQPC=60,AR.在用ZSAPB 中，sin AAPB=，APADAP _A_B_=2=_sin 60 G 3，T4J3/.OP=OA+AP=-+3如图所示，当点8在y轴上时，NO43=60,.当?=1时，线段Z8在直线P0上,又.点8在第一象限，加的取值范围是：1加4生 叵+1.3【点睛】本题考查了旋转，直角三角形的性质，一次函数的性质，正弦，余弦，正切，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点.