人教版导与练总复习数学一轮教师用书：第八章第3节　椭　圆.pdf

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1、第 3 节 椭 圆课 程 标 准 要 求1 .了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2 .掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.必备知识课前回顾 嫡 教 材夯实四条展知识梳理1.椭圆的定义平面内与两个定点Fb F2的距离的和等于常数（大于|FEI）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.其数学表达式:集合 P=M|l MF j+1 MF2|=2 a,|F,F2|=2 c,其中 a c 0,且a,c为常数.释疑上述表达式中，若 a=c,则集合P 为线段.若 a c,则集合P为空集.度 重 要结论质围-b W y W b-

2、a W y Wa对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点A i(_a,0),A 2 (a,0),B,(0,-b),B2(0,b)A i(0,-a),A 2(0,a),B,(-b,0),B2(b,0)离心率e，,且 e(0,1)aa,b,c的关系2 2 1 2c 二a-b1.焦点弦:焦点弦中以过焦点与长轴垂直的弦最短,弦长Lu,-.a2 22 .A B 为椭圆今+刍=l(ab 0)的弦,A(x i,y i),B(x2,y2),弦中点 M(x。,y。),贝！J (1)弦长 1=V1 +H|x i-x21=J 1 +?|y-y2|;直线A B的斜率G=-孕,即%k产与为定值.azyQ Q/3.焦点三

3、角形:椭圆上的点P(x。,y。)与两焦点构成的 P F E叫做焦点三角形,r尸|P F/，r2=|P F2|,N F F FZ=0 ,P F R的面积为S,则在椭圆2 7-7+7=1 (a b 0)中，(1)当n=n时,即点P的位置为短轴端点时，0最大.(2)S=b2t an c|y01,当|y o|=b时，即点P的位置为短轴端点时,S取最大值,最大值为be.(3)P F E 的周长为 2(a+c).+对点自测十2 21 .(选择性必修第一册P 1 0 8 例 3 改编)设P 是椭圆+9=1 上的点，25 16若 F/2 是椭圆的两个焦点，则iP F j+l P F zl 等于(D )A.4

4、B.5 C.8 D.1 0解析:依椭圆的定义知|P F +|P F 2|=2 义5=1 0.故选D.2 22 .椭圆上+-=1 的焦距为2,则 m的值为(C)m 4A.5 B.3 C.5 或 3 D.8解析：当m 4 时,m-4=l,所以m=5;当 0 m b 0).因为椭圆的一个焦点为a2 b2F(1,0),离心率e三，(c=1,所 以 鸿，解 啸 2 ；,=2,la2=b2+c2,2 2故椭圆的标准方程为+5=1.4 3答案:+春=14.焦点是F(0,5&)，并截直线y=2 x-1 所得弦的中点的横坐标是轲椭圆的标准方程为.2 2解析:设所求的椭圆方程为彳+a=1 (a b 0),直线被椭

5、圆所截弦的端a2 bz点为A(xb y.),B区,y2).由题意,可得弦A B的中点坐标为(詈,空),且 詈 4,工产=-*将A,B 两点坐标代入椭圆方程中，得a2 b2或+咳/丁 b2=1,二1,两式相减并化简,7_6得.必 义=一 2*手=3,2%1+%2-所以a2=3 b2,又 c2=a2-b2=5 0,所以a2=7 5,b2=2 5,故所求椭圆的标准方程为小y j 2 v2答案:匕+t=175 25关键能力课堂突破岐 考点一椭圆的定义及其应用美 中 者 支卷实四翼D(1)已知两圆 C t：(x-4)2+y2=16 9,C2:(x+4)2+y2=9,动圆 M 在圆 G内部且和圆G相内切,

6、和圆C 2 相外切,则动圆圆心M 的轨迹方程为A.-=1 B.+=164 48 64 48c.巴 匕 1 D.=l48 64 64 48(2)(多选题)已知P 是椭圆：+。=1 上一点,椭圆的左、右焦点分别为9 4FL 且 c o s N F JH=，贝 1)()A.PF E 的周长为12B.5，A PF1F2=2 V2C.点P 到 x 轴距离为争 D.Pa PF2=2解析：(1)设圆M 的半径为r,则|MCI|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16 8=|CC|,所以M的轨迹是以G,C2为焦点的椭圆，且2a=16,2c=8,2 2故所求的轨迹方程为芸+5=1.故选D.64 48由椭圆方

7、程知a=3,b=2,所以c=V5,所以|PFJ+1PF21 =6,|F E|=2而，得a P F E的周长为6+2相A错；在P F E 中,由余弦定理得|FF2|2=|PFl|2+|PF2|2-2|PFJ|PF2|cosZF1PF2=(|PFI|+|PF2|)2-2|PFi|PF?|-2 1PFJ|PF2|cosZ FIPF2,解得 I PFIPF21=6,所以S&F】胡 沙FJ|PF2|sinNFFF2=2VI,B 正确；设点P到x轴距离为d,则5.抵=杆用14 ,PR PF2=PFr IPF2|COSZF,PF2=2,D 正确.故选 BCD.解题策略I1.椭圆定义的应用主要有:判断平面内动

8、点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.2.通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.针对训练(1)已知AABC的顶点B,C在椭圆1+y2=l上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则aABC的 周 长 是()A.2V3 B.6 C.4V3 D.122 2R,F2是 椭 圆 的 两 个 焦 点,A为椭圆上一点,且NAFF2=45,则a A F E的 面 积 为()A.7 B.-C.-D.4 2 2解析：(1)由椭圆的方程得a=V3.设椭圆的另一个焦点为F,则由椭圆的定义得|B A|+|B F|=|C A|+|C F|=2 a

9、,所以4 A B C 的周长为|B A|+|B C|+|C A|=|B A|+|B F|+|C F|+|C A|=(|B A|+|B F|)+(|C F|+|C A|)=2 a+2 a=4 a=4 V3.故选C.(2)由题意得 a=3,b=V7,c=V2,所以|F E|=2 VI,|A F+|A F 2 1=6.因为|A F 2|2=|A F/2+|F F 2 2|A F I F F 2 I -c o s 4 5 0=I AM I I A F+8,所以(6 -|AFJ)2=|AFJ2-4|AFI|+8,所以|A F i I=g,所以 A F E的面积$=乔2近Xy=1.故选C.置 考点二椭圆的

10、标准方程C M)(1)一个椭圆的中心在原点,焦点Fb F 2在x轴上,P V3)是椭圆上一点，且I PF，I F F 2 I,|PF z|成等差数列，则椭圆的标准方程为.2 2(2)已知椭圆C:?喂=1(a b 0),A为右顶点.过坐标原点。的直线交a2 b2椭圆C于P,Q两点,线段A P的中点为M,直线Q M交X轴于N(2,0),椭圆C的离心率为|,则椭圆C的标准方程为.2 2解析：设椭圆的标准方程为=+=l(a b 0).a2 b2由点P(2,0)在椭圆上知W+5=La2 b2又忸|,代正2|,回2|成等差数列,则|PF j +|PF 2|=2|F F 2 l,即 2a=2X2c,-=,a

11、 2又 c2=a2-b2,+三=1a2 b2,联 立 彳 c 2 =a 2 f 2,得 a 2=8,b 2=6,la-2，2 2故椭圆的标准方程为2+5=1.8 6设 P(xo,y0),Q (-x。,-y。)，A (a,0),所以 M(等,罗，由于 Q,N,M 三点yp共线,所以竺全2一2/解得&=6-由于椭圆离心率转，所以。=4,所以b2=a-c2=2 0.2 2所以椭圆的标准方程为2+5=1.36 20答案：直+匕1 匕 匕 18 6 36 20一解 题 策 略 I求椭圆方程的方法(1)定义法.定义法的要点是根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.待定系数法.待定系数法的要点是根据

12、题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为m x，n y 2=l (m 0,n 0,m Wn),再用待定系数法求出m,n 的值即可.针对训练(1)已知F,(-l,0),F2(l,0)是椭圆C的焦点,过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C于A,B 两点,且|A B|=3,则 C的方程为()y2 c V2 yj2A.+y2=l B.土+匕=12 3 2口次+匕1 D.a 匕 14 3 5 4已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴,且经过两点P l (遥,1),P 2(-b,-&)，则该椭圆的方程为.2 2解析：(1)由题意，设椭圆方程为t+2=1

13、 (a b 0),将 A(c,y)代入椭圆az bz方程得宗浮1,由此求得资!，所以|A B|=3?，又 c=l,a2-b2=c2,可解得 a=2,b2=3,2 2所以椭圆C的方程为+一=1.故选C.4 3(2)设椭圆方程为m x2+n y-l(m 0,n 0,且m Wn).因为椭圆经过Pb P2两点,所以点P i,P 2的坐标满足椭圆方程，则俨解得广彳1 3 m +2n=1,n =-I-3，2 2所以所求椭圆的方程为争,1.答案:C (2)衿=1联 考点三椭圆的几何性质2 2C D (1)已知椭圆+工-=1 的长轴在x 轴上,焦距为4,则m 等于m-2 10-mA.8 B.7 C.6 D.5

14、2 2已知椭圆5+2=1 (a b 0)的左、右焦点分别为Fb F2,过F,的直线交a2 b2椭圆C 于 A,B 两点，若 点B%2=0,且IB F 2I,|A B|,IA F 2I成等差数列，则 C的离心率为()A.B.C.D.i2 2 3 22 2(3)已知Fb F2分别是椭圆C曝+台1(ab0)的左、右焦点,若椭圆C上存在点P,使得线段PE的中垂线恰好经过焦点F2,则椭圆C的离心率 的 取 值 范 围 是()A.I，1)B.C.I，1)D.(0,2 2解析:因为椭圆B+荒m-2 0,=1的长轴在x轴上,所以卜0-6 0,m-2 10-m,解得6m(2)因 为 B尸2=0,所以NABF2=

15、90.由IBF2I,|AB|,|AFz|成等差数列,设|BF21=X,|AB|=x+d,|AF2|=x+2d,在 RtAABF2 中，x2+(x+d)2=(x+2d)2,解得x=3d,BP|BF2|=3d,|AB|=4d,I AF2|=5d,由椭圆的定义得 AABF2的周长为|BE|+1BF21 +1AR|+1 AF2|=2a+2a=4a,即 3d+4d+5d=4a,a=3d,在直角三角形B FE中，|BF2|=a=|BF-,|FIF2|=2C,则 a2+a2=(2c)故 a=V2c,即e上也.故选A.a 2(3)如图所示，因为线段PF1的中垂线经过F2,所以|PF?|=|F E I =2c,

16、即椭圆上存在一点P,使得|PF21=2C,所以a-c W2c b 0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率%直线y=l 与C的两个交点间的距离为竽.(1)求椭圆C 的方程；分别过F”F 2 作 L,I?满足L b,设 L,b与C 的上半部分分别交于A,B 两点,求四边形ABF 2 R 面积的最大值.解：(1)易知椭圆过点(竽,1),所以B Q 1，又W，a 2a2=b2+c2,由得a2=4,b2=3,2 2所以椭圆C 的方程为千+5=1.4 3(2)由(1)知 F,(-l,0),F2(l,0),设直线L：x=my-1,它与椭圆C的另一个交点为D.与椭圆C的方程联立，消 去x,得(3m2+4

17、)y2-6my-9=0,贝lj A=144(m2+l)0,yi+y?=J3mz+4-9y此际，所以|AD|=yjl+m2 I，；7 1 1：3?n2+4又F2到L的距离为d=A 4，所以S a*与ADI.d=i|.令 t=V l+m2 l,则SADF2三，因为y=3t+在 1,+8)上单调递增，所以当t=l时,S&DF2取得最大值3.又S四 边 形3&W dBRl+lA F)d=|(|A F1|+|DFI|)-d=|A D|-d=SD F2，所以四边形ABF2F1面积的最大值为3.:邂 题 策 喳解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根

18、与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单.口 角度二椭圆中的弦长问题密运)斜率为1的直线1与椭圆+y2=i相交于A,B两点,则|AB|的最4大值为()A.2 B.延淖 D.也5 5 5解析:设A,B两点的坐标分别为(%,y.),(x2,y2),直 线 1 的方程为y=x+t,x2+4y2=4,y=x+t,消 去 y,得 5x2+8tx+4(t2-l)=0,m.i ,8,4(t2-l)贝(J X i+x2=-t,X i X2=-.所以 I AB|=y/l+k2|x-x2|=y/l+k2 J (xt+x2)2-4x1x2=起J(1 t)2_4X筌干G,

19、当 1=0时，4 8|3=蜉.故 选 c.解题策略I解决椭圆中的弦长问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程求解.。角度三椭圆中的中点弦问题一 _ 丫2/4-3 已知椭圆万+y L 过 A(2,1)的直线1 与椭圆相交，求 1 被截得的弦的中点轨迹方程；求 过 点 P 6，且被P 点平分的弦所在直线的方程.解：设弦的端点为N(xi,yi),Q(X2,y2),其中点是M(x,y),则X2+XI=2X,y2+yi=2y,由于点N,Q在椭圆上,则有+资=1,V 2-得,x2-X!2(y2+y1)2y,+龙=1,旷2寸 J 必+X X所 以-产,2y x

20、-2化简得x?-2x+2y2-2y=0(包含在椭圆(y 2=l 内部的部分).由（1）可得弦所在直线的斜率为k=-=4，2y 2因此所求直线方程是丫-蓑-场-?，化简得2 x+4 y-3=0.解 题 策 略I处理中点弦问题常用的求解方法根与系数的关系联立直线与椭圆的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解设山弦的两端工至标后，定入椭圆方程，将两式相减，式中含有的+物，为+%,的 一 切三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率 针对训练2 2（1）过椭圆刍+一=1内一点P（3,1）,且被点P平分的弦所在直线的方程16 4是（）A.4 x+3 y-1 3

21、=0 B.3 x+4 y-1 3=0C.4 x-3 y+5=0 D.3 x 4 y+5=0已知椭圆J+y 2=l与直线y=x+m交于A,B两点，且|AB|=竽,则实数m的值为（）1-2+B.-+-C.V 2 D.V 2（3）椭圆a x +b y =1 （a 0,b 0）与直线y=l-x交于A,B两点，过原点与线段A B中点的直线的斜率为,贝哈的值为（）2 aAA.V3 D 2V3 r 9V3 n 2V3D.-L.-1 J.-2 3 2 27解析：（1）设所求直线与椭圆交于A（xb解，B（X 2,解两点,由于A,B两点均在椭圆上，故,+*1，邑 亭=1，两式相减得蛆+可卜-知+16 4 16 4

22、 16（、1+丫2）（%-丁2）04因为 P（3,1）是 A（X1,y j,B（X2,丫2）的中点，所以 x i+x2=6,y i+y2=2,故以尸汉二V，Xi-x2 4直线A B 的方程为y-l=(x-3),即 3 x+4y-1 3=0.故选 B.(蒐2万+必=1,消去丫并整理，y=x+m,得 3 x2+4m x+2 m2-2=0.设 A(x i,y),B(X2,y2),4m 2 n l 2-2则 Xi+X2=-,XiX2=-.由题意，W I A B|=J 2 +X2)2-QX1X2=9 3-巾2=子,解得m=1.故选A.设 A(x i,y j,B(X2,y2),贝！J a*+b y*l,a

23、据+b 泥=1,两式相减得 ax f-ax f =-(b y f-b y f),即从 丁1一 丁2)(、1+丫2：_ a(x1-x2)(%i+x2)所 以 (-1)x =-l,a 2所以组等.故选B.a 3一 备选例题2 2a m 若点o 和点F分别为椭圆亍+g=i的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则 小 访的最大值为()A.2 B.3 C.6 D.8解析:设点P(x。,y。)，则曰+?=1,即诏=3-苧.因为点F(T,0),所以T T 11OP FP=Xo(xo+l)+y =-%J+x o+3=-(xo+2)2+2.又 x()-2,2,所以4 4t (O PFPQx=6.故选 C.C

24、已知椭圆C 9+、=l(a b 0)的左、右顶点分别为A i,A z,且以线段 AA为直径的圆与直线b x-ay+2 ab=0 相切，则C的离心率为()A.B.C.D-3 3 3 3解 析：以 线 段 A A 2 为 直 径 的 圆 的 方 程 为 x 2+y 2=a；该圆与直线b x-ay+2 ab=0 相切,所以 b x,ax o+2 ab =a,即 2 b=V d2+b2,Jb2+(-a)2所以 a2=3 b2,因为 a2=b2+c2,所以与3,所以e=J”.故选A.a2 3 a 3灵活于唬密致提保课时作业选题明细表知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练椭圆的定义及其应用3,4,5椭

25、圆的标准方程2,7,1 01 1椭圆的几何性质1,8,91 2,1 3直线和椭圆的位置关系6综合问题1 4,1 5,1 6,1 71 8A级基础巩固练2 21.已知椭圆C:今+-=1 的一个焦点为(2,0),则C的离心率为(C )az 4A.-B-C.D.3 2 2 3解析：因为aM+22=8,所以a=2V2,所以e=4rq.故选C.C L 2V2 22 22.是“方程三+4=1表示椭圆”的（B）m2 6-mA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2 2解析:若方程三+=1表示椭圆，m-2 6-mrm-2 0,则有 6-m 0,所以 2m6,且 mW4.jn-2

26、 W 6-m,2 2故“2QK6”是“J+=l表示椭圆”的必要不充分条件.故选B.m-2 6-m3.已知椭圆捻+b 0）相交于两点A,B,线段A B的a2 b2中 点 为 则 椭 圆 的 离 心 率 是（A）解析:设A(xb y j,B (x2,y2),则 胃+*1,冬喀=1,作差得0+噜 乜,a2 b2 a2 b2 a2 b2即；(X 1+X 2)+()y+y 2)=0,两 边 同 时 除 以 x,-x2,得+喀,卫=0,因为X i+X 2=2,y1+y2=2,代入得三+孚=0,az b x1-x2 x1-x2 4 aL 匕/所以与V，e=故选A.a 4 22 27.设 F F?为椭圆C邑+

27、9=1 (a b 0)的左、右焦点,经过F,的直线交椭Q2 b乙圆C 于A,B 两点,若Fz AB 是面积为4次的等边三角形,则椭圆C 的方程为.解析:由题意知，|AF2|=|B F2|=|AB|=|AF+|B F|,又由椭圆的定义知|AF2|+|AK|=|B F2|+|B Fl|=2 a,联立，解得 I AFz|=|B Fz|=|AB|=3，|AFJ =|B FJ =|a,所 以2AB=1|AB|AF2|si n 6 0 =4刃,所以 a=3,|F1 F2 1=?I AB I=2 V 3,所以 c=V 3,所以 b2=a2-c2=6,2 2所以椭圆c的方程为2+J=l.9 6答案2 28.(

28、2 0 2 1 浙江临海高三模拟)已知C,F 分别是椭圆邑+9=1 的左顶a2 b乙点和左焦点,A,B 分别是椭圆的下、上顶点,设AF和 B C交于点D,若 CD=2 D B,则椭圆r 的 离 心 率 为.解析:设椭圆的左焦点为F(-c,0),由题意得 A(0,-b),B (0,b),C(-a,0),由CD=2 D B 可得，CB=3DB,贝 I D (-p y),AF=(-c,b),AD-(-p y),因 为 向 量 肥 共 线，rr ri 5bc,ab 八所以-丁+m=0,解得e=J 3a 5答案q2 29.椭圆今a2+b22=1 (a b 0)的左、右焦点分别为Fb F2,焦距为2 c.

29、若直线y=V 5(x+c)与椭圆的一个交点M 满足N M FF2=2 N M F2 K,则该椭圆的离1L 率为.解析：由y=8(x+c)知直线的倾斜角为6 0 ,所以N M FF2=6 0 ,N M F2 R=3 0 ,所以 N FIMF2=90.所以|M F1|=C,|M F2|=FC.又|M Fd;+|M Fz|二 2 a,所以c+V 3 c=2 a,即 6=看 W T.答案:1 0.分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程.2 2 _(1)与椭圆+9=1 有相同的离心率且经过点(2,-8)；已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为 5,3,过点P 且与长轴垂直的直线恰

30、过椭圆的一个焦点.2 2 2 2解：(1)由题意，设 所 求 椭 圆 的 方 程 为 或-+9=t 2(3 t20),4 3 4 3因为椭圆过点(2,一 遮)，所 以 中 尹 手2=24 3(-V 3)2,22 2 5或 t 2=-.4 3 1 22 2故所求椭圆的标准方程为3+5=18 62 2或$+套=1.3 42 2(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为今+2=1 (a b 0)az bz或*Q(a bO),由已知条件得像二二友解得 a=4,c=2,所以 b2=1 2.故椭圆方程为三+01或 与*L1 6 1 2 1 6 1 2B级综合运用练1 1.已知圆0:x?+y 2=4

31、,从圆上任意一点M向x轴作垂线段M N,N为垂足，则线段M N的中点P的轨迹方程为(A)A.+y2=l B.x2+=l4 4c Y+Z L i D.史+匕 11 6 4 4 1 6解析：设线段M N的中点P(x,y),M(x0,y0),所 嵋 阜 解 得 叱。君又点M在圆O x?+y 2=4上，则 x 2+(2 y)2=4,即0+y 2=l.4故选A.2 21 2 .已知A,B,C 是椭圆r:+=l（a b 0）上不同的三点,且原点0是AB C的重心,若点C 的坐标为（”,3,直线AB 的斜率为-当则椭圆的离心率为（B ）A.i B.2 C*D*3 3 3 3解析:设AB 的中点为点D,因为原

32、点。是AAB C的重心，所以C,0,D 三点共线，所以 k o D=k o c,由于k 上 广 经 卷所以6=乎.故选B./_ V 3 x b2 b_l（一T）=2 21 3 .已知椭圆G:京+靠=1 （a b 0）与圆C z：x?+y 2=b 2,若在椭圆G上存在点P,使得由点P 所作的圆C 2 的两条切线互相垂直,则椭圆G的离心率的取值范围是（C ）rLA.7B.过2V22D.7V2一,21V3X一,2解析:从椭圆上长轴端点P 向圆引两条切线P A,P，B,则两切线形成的NA P，B 最小.若椭圆。上存在点P,所作圆C 2 的两条切线互相垂直,则只需NA P BW 9 0 ,B P a=Z

33、 A Pz 0 W 45,所以 s i n a=-s i n 45 =.a 2又 b2=a2-c2,所以a?W 2 c 2,所以e?若,即e 2 1又 0 b 0)上一点,3,F z是椭圆的左、右焦点,焦距为2 c(c 0),若NF F F 2是直角，则(A B C )A.|0 P|=c(0 为原点)B.5/尸 钟 尸2=尸C.F F F 2的内切圆半径r=a-cD P F/m ax=a+c解析:R S F F F z中,0为斜边FR的中点，所以|0 P|=|F E|=c，故A正确；设|P F j =m,|P F21=n,则有 m2+n2=(2 c)2,m+n=2 a,所以 m n=|(m+n

34、)L，-(m2+n:)=2 b；所以5少产2=加+,故B正确；p f =-(m+n+2 c).r=b r=-2-=2(c)=a-c,故 C 正确;2 m+n+2c 2a+2c 2(a+c)I P F.I=a+c,当且仅当P为椭圆右顶点,此时P,F1,F 2不构成三角形，故D错误.故选A B C.1 5.(多选题)已知椭圆C:+g=l(a b 0)的离心率为纹，点M(2,1)在椭圆C 上，直线1 平行于0 M且在y 轴上的截距为m,直线1 与椭圆C交于A,B 两个不同的点.下面结论正确的有(A B C )2 2A.椭圆C的方程为8 2B.k o,M=-2C.-2 m 2D.m W-2 或解析：由

35、题意，得y/a2-b2 _、a&+工=0,解得-2 m 2,C正确,D 错误.故选A B C.v2 _1 6.(2 0 2 1 浙江杭州局三模拟)如图,M(l,0),P,Q是椭圆Y E上的两点(点Q 在第一象限)，且直线P M,QM的斜率互为相反数.若|P M|=2|QM|,则直线QM的斜率为.解析:延长P M,交椭圆于点N,由椭圆的对称性和直线P M,QM的斜率互为相反数可知|QM|=|MN|,如图所示.设直线P M的斜率为k,所以直线P M的方程为y=k(x-l)(k 0,设 P(x i,y i),N(x2,y2),根据根与系数的关系，可得十+丫2=总，1+4M因 为 幺=2,所以 y i

36、=-2 y2,所以 y i+y2=-y2=-3，贝“y 2=3 万，x2=-l-j+i,l+4/c2 l+4k2把 N(鼻 +1，鼻)代入椭圆方程中，得1+4H l+4/c2(二一+1 尸+4(二)2=4,工+4-b 0)的右焦点为F,右顶点、上顶点分别为A,B,H|A B|=y|B F|.(1)求椭圆C的离心率；若斜率为2 的直线1 过点(0,2),且 1 交椭圆C 于P,Q两点,0 P 1 0 Q,求直线1 的方程及椭圆C的方程.解：由已知|A B I-I B F I,H P Va2+4a2+4b2-5a4a2+4(a2-c2)=5a2,l 3 a2=4c2.所以a 22 2 由 知 a

37、M b2,所以椭圆C:3+卧4bz b,设 P(xb y i),Q(X2,y2),直线1 的方程为y-2=2(x-0),即2 x-y+2=0.(2x-y+2 =0,由x2 y2.消去 y,-=I4b2 丁 b2 得 x?+4 (2 x+2)-4 b2=0,即 1 7 x2+3 2 x+1 6-4 b2=0,=3 22+1 6 X 1 7 (b-4)0,解得 b 誓,32 16-4D2X i+X 2-,X 1 X 2.-17 17 因为 0 P 1 0 Q,所以O P O Q=0,即 X i X2+y i y2=0,X 1 X 2+(2 x i+2)(2 x 2+2)=0,5X,X2+4(X i

38、+x2)+4=0.“=5(16-4炉)128,从 而-+4=0,解得b=l,满足b 萼.17所以椭圆C的方程为？+y 2=l.综上可知,直线1 的方程为2 x-y+2=0,v2 椭圆C的方程为十+y2=l.4c级应用创新练2 218.已知椭圆C的方程为今+-=1,斜率为k(kWO)的直线与C相交于az 3M,N两点.若G为MN的中点，且凄=-1求椭圆C的方程；4k(2)在(1)的条件下,若P是椭圆C的左顶点,kpM kpN=q,F是椭圆的左4焦点,要使F在以MN为直径的圆内，求k的取值范围.解：设M (x%),N 3 yz),MN的中点G (xo,y0),代入椭圆方程得五 名滔1.滔+京1,1

39、,-得(乙+工2)(久广。2)十(1+丫2)(为一丫2)0a2 3可得k”产红”=一指且出=持,也=2包=太Xi-x2 a2 yi+y2 a.2 2y0 a2 y0因为限=-。山，所以4(=)=k,4k x0 标 3所以aM,2 2椭圆c的方程为+5=1.(2)设MN方程为y=kx+m,则 产 2+4y2=i2,y=kx+m,(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,-8km 4m2-12X 1+X 2女 而，*M=后 记，y1+y2-k(x1+x2)+2m=k (熬)+2 m=/，yi,y2=(kxi+m),(kx2+m)=k2XiX2+km(Xi+x2)+mJ=k24m212,./8

40、km-+K D 1 (-T3+4/c2 3+4/c2)+m2=-3m2-12k3+4/c2kp”.L-y1.，2 y】丫2 _ y】丫2 _ 3 7 n 2 _ 1 2 I 一1“x1+2%2+2(%i+2)(X2+2)g+2(%I+%2)+4 4m2-1 6 km 4-1 6/c2 4解得m=2k(舍去)或m=-k,-T若 F 在以MN为直径的圆内，则F MFN 即FM FN=(xi+l,y j,(x2+l,y2)-XiX2+xi+x2+l+yiy20,4m212 8km.3m2-1 2 k2 1 1-+1U,3+4 f c2 3+4 H 3+4/c2即 4k2-12+8k2+3k2-12k2+3+4k20,即 7k-90,且 kWO,解得一学 k 学,且 kWO.所 以 k 的取值范围为(-平,0)U(0,学).