二重积分计算方法.pdf

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1、二重积分计算方法l利用直角坐标系计算1.1积分区域为X型或Y型区域时二重积分的计算对千一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决在直角坐标系下，被积分函数f(x,y)在积分区域D上连续时，若D为x型区域（如图1)，即D=(x,y)队(x)x气(x),ax b，其中(f)1(x)，(f)2(x)在a,b上连续，则有ff f(x,y)da-=dx厂f(x,y)dy;。llI(x)D(1)若D 为y型区域（如招2)，即D=(x,y)忆(y):s;y:s;f/2(y)，c:s;y:s;d，其中肌(y)，胚(y)在c,d上连续，则有肛x,y)dCY=叫动）f(x,y)dx.I c.D 叽(y)

2、中i(x 。(I.b.x 图1y 巳.U.I .V.,r,r cl(2)例l计算ff心dy，其中D是由x=2,y=x，及xy=l所围成X 2 D 分析积分区域如图3所示，为x型区域D t(x l:;x 2,确定了积分区域然后可以利用公式(1)进行求解解积分区域为x型区域D=(x,y)I区x2,：勺yx则。X 图2+iy2 y=x。2 X fIY 产rdy=叶气yD;x 寸12:！dx寸12（千归尸匠心三l.2积分区域非X型或Y型区域二重积分的计算当被积函数的原函数比较容易求出，但积分区域并不是简单的x型或y型区域，不能图3y。图4X 直接使用公式(1)或者(2)进行计算，这是可以将复杂的积分区

3、域划分为若干x型或y型区域，然后利用公式ff f(x,y)dcr=ff f(x,y)dcr+ff f(x,y)dcr+ff f(x,y)dcr(3)9乌D进行计算，例2计算二重积分II应，其中D为直线y=2x,x=2y及x+y=3所围成的区域分析：积分区域D如图5所示，区域D既不是x型区域也不是y型区域，但是将可D划分为D1=(x,y)I肛xsl，王sys2x2 均为x型区域，进而通过公式（3)和（1)可进行计算D2叶(x,y)IIs x s 3,2y sys 3-x 解D划分为D,=(x,y)o气l,；声2x,D2叶(x,y)ll:;立3,2 y:;y:;3叶则JJ da=lj da+lj

4、da=f dxft dy+f dxf;-x dy D D,乌2y x=2y X 心X一产f(3-X一护卢产主：分1.3被积函数较为复杂时二重积分的计算二重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复杂，虽然能定出积分限，但被积函数的原函数不易求出或根本求不出，这时可根据被积函数划分积分区域，然后进行计算例3计绊二重积分JJRdxdy,其中D为区域1中1,0至店2分析由千被积汤数含有绝对值，其原函数不能直接求得，以至于不能直接化为二次积分进行计算，观察函数本身，不难发现当我们把积分区域划分为D,=卢卢2,D2=肛y釭2两部分后，被积函数在每一个积分区域都可以1三x三ll

5、三x三ly DI x 化为基本函数，其原函数很容易求得。图6解区域D如医6可分为D1UD2,其中D2=归y 三x21 x 1 Dl=x2三y三2l 5x三l由公式（3)则ijRdxdy匠汇dxdy匠扣玉xdy寸1dx.2卢办f：ldxf。飞二办曰2利用变量变换法计算定理1设f(x,y)在有界区域D上可积，变换T:x=x(u,v),y=y(u,v)，将u,v平面按段光滑封闭曲线所围成的区域A一对一地映成x,y平面上的区域D,函数x(u,v),a(x,y)克比行列式J(U,V)=-;/:.0,(U,V)E 则a(u,v)y(u,v)在A内分别具有一阶连续偏导数且它们的雅归x,y)d(J=fj小（u

6、,v),y(u,v)IJ(u,v)ldudv(4)(4)式叫做二篮积分的变量变换公式，2.1根据被积函数选取新变量使被积函数简化当被积函数较为复杂，这时可以考虑利用变量变换化被积函数为简单函数，原积分区域相应的转化为新的积分区域，进而利用公式进行计算x-v 例4求ffex+y心dy,其中D是由x=O,y=O,x+y=l所围曲线（图7)D y D x。图7分析由于被积函数含有e的指数，且较为复杂，这时可以考虑替换变堂，简化被积函数，如果做替换T:u=x+y,v=x-y在变换T作用下区域D的原像A如图8所示，根据二重积分的变量变)VV+I.uu 了（l-21_2=单xy 简别l T 算十、V换变分

7、积做,式解公以换所V 1 J(U,V)=0 2 u 竺巴lllv II 妒dxdy=ff矿dudv=f叫e-;duD 2 2。-VA,0 图8叶I；中e-1伈一le-e=4 2.2根据积分区域选择新变量计算二重积分当被积函数比较简单，积分区域却比较复杂时，可考虑积分区域，若有u=f(x,y),v=g(x,y)且mun,av/3，则把xy平面上的积分区域D对应到UV平面上简单的矩形区域A，然后根据二重积分的变罹变换公式(4)进行计算例5求抛物线y2=mx,y2=nx和直线y=ax,y=/3x所围区域D的面积(D).分析D的面积(D)=ff心dy.实际是计算二重积分Jfdxdy,其被积函数很简单，

8、但是积分区域却比较复杂，2 2 2 观察积分区域不难发现m=y y,n=,a=y y y;a=l,/32，如果设u=,v一，则有m u n,a v fJ,X X X X X X 解 D的面积(D)=ff dxdy D 作变换所以T f,A=m,nxa,fJ u u J(u,v)=了,（u,v)E V 心）ffdxdy=ff华udv=f/J勺1udu=（矿m2)（/3厂矿）V“V n1 6a3/J3 D A 3x 例6求II勹呐dy.D:.xy=l,xy=3,y2=x,y2=3x所围区域D y+xy y 分析积分区域的处理与上题类似，可以做变量替换T:u=xy,v=-，它把xy平面上的区域D对应

9、到UV平面X 上的矩形区域A.解令xy2y_x=UV LV、.T 在变换T作用下，区域D的原像1 =(u,v)II:;u:;3,1:;v:;3,J(u,v)=f-:/=-0 3v 所以肛归心dy=JJidudv=f dvf =%ln2 2.3利用极坐标变换计算二重积分当被积函数含有f(x归y2)、f(：）或JU)形式或积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，如圆形及圆形区域的一部分，可考虑用极坐标变换T:x=rcosO,0SOOO,0也2冗y=rsin0 这个变换除原点和正实轴外是一一对应的（严格来说极坐标变换在原点和正实轴上不是一对一的，但可以证明公式（1)仍然成立），其雅可比行列式为

10、r.(1)如果原点0在D,且xy平面上射线0 常数与积分区域D的边界至多交千两点，则A必可表示为片(0)sr江(O),aSOs/3.则有ff f(x,y严dy=可:)f(rcosB,rsinB)rdr(5)a Jri(0)类似地，若入y平面上的圆r常数与积分区域D的边界至多交千两点，则A必可表示为Bi(r)红0 红02(r)，片r气那么ff J(x,y如小fr2rdrfO,.(r)/)i JB,r)f(rcos0,rsin0忱0(6)(2)如果原点0为积分区域D的内点，D的边界的极坐标方程为r=r(0)，则A可表示成0匀:s;r(0),0红 0红则有fJ f(x,y严dy=l。2冗d0f。气(

11、rcos0,rsin0)rdrC7)D(3)如果原点0在积分区域D的边界上，则A为o:;r:;r(0),a:;e勺J3那么ff f(x,y忱dy=t/3d0l。1位）f(rcos0,rsin0),drC8)D 例7计算1=JI dCY D 二，其中D为圆域：XL+YL 1 分析观察到积分区域为圆域，被积涵数的形式为f(x2+y勹，且原点为D的内点，故可采用极坐标变换T:x=rcosO,0三r三l，可以达到简化被积函数的目的y=r sin 0,0.:;0.:;2冗解作变换T:x=rcosO,0三r三l,y=rsine,o:;0:;2兀则有l=JJ心才可11 D二0 d0j0rdr。言寸。2”汇；

12、d0=i。2兀d0=2冗例8计算二重积分Jfydxdy,其中D是由直线x=-2,y=0,y=2,以及曲线x=-闪尸了气所围成的平面区域分析首先根据题意，画出积分区域，由千积分区域D与趴一起围成规则图形正方形，且趴为半圆区域，根据极坐标变换简化被积函数解积分区域如图9所示，D+DI为正方形区域，DI为半圆区域，则有ff ydxdy=ff ydxdy-ff ydxdy,D D+D,D,而y D x 图9ff ydxdy=dxf:dy=4,-2 JO D+D,又冗DI:0幻r:;2sin0,勺O冗2 故原式ff ydxdy=I冗rd0厂0rsin-rdr=f;sin40d0 Dl 了f 3 Ji 气

13、(1-2cos20+尸3x4 2 2 J 2 2.4利用广义极坐标变换计算一些二重积分与极坐标类似，作如下广义极坐标变换：x=ar cos 0,0 r oo T:y=brsin0,0平2冗并且雅可比行列式J(u,v)=abr 同样有(9)例9计算l护D 分析ff J(x,y卢y=ff J(ar cos 0,br sin 0 brdrd 0 D I 2 2 dxdy，其中D (x,y il o,;y,;b曰，Q,;x,;ax=arcos0,0s rs I 根据给出衱积函数和积分区域的形式，我们可以确定采用广义极坐标变换T 冗，可y=brsin0,0s 0s7 2 以达到简化积分区域和被积函数的目

14、的解作广义极坐标变换,l冗一2-rO-0,y 0 例12求Jjf(x,y)dxdy，其中J(x,y),D由0，其他x+y=a,x+y=b,y=O和y=b+a所围成(baO)分析首先划出积分区域，将区域D分解为如图所示三个区域，根据被积函数的形式分别计算出每个积分区域上的积分，再利用二重积分对区域的可加性再相加即得解如图11，并由J(x,y)表达式可得D=D,UD2 UD3-在从上有f(x,y)=O，则因而ff f(x,y)dxdy=0.乌l=ff e一(x+y)dxdy+ff e一(x+y)dxdy0,D3 寸产寸勹e一回）dy+r d.x!。忙Xe-，+y)dy=ae-a-be-b+e一”-e-ba X 11