对称图形—圆全章复习与测试-2022年新九年级数学暑假课（苏科版）（解析版).pdf

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1、第15讲对称图形一圆全章复习与测试屋【学习n标】1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；5.结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；

2、通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.S【基础知识】一.圆的认识（1）圆的定义定义：在一个平面内，线 段。4绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.固定的端点0叫做圆心，线段0 A叫做半径.以0点为圆心的圆，记作“O。”,读 作“圆0”.定义：圆可以看做是所有到定点。的距离等于定长r的点的集合.（2）与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等.连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于

3、半圆的弧叫做劣弧.（3）圆的基本性质：轴对称性.中心对称性.垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.（2）垂径定理的推论推 论1：平 分 弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.三.垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平 分 弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题.这类题中一般使用列方程的方法，这种用代

4、数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握.四.圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧.（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，三 项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等.这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合

5、.（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分.五.圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.注意：圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上.角的两条边都与圆相交，二者缺一不可.（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半 圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径.（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握.（4）注意：圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形.利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化.圆周角和圆

6、周角的转化可利用其“桥梁”圆心角转化.定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.六.圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来.在应用时要注意是对角，而不是邻角互补.七.相交弦定理（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）.几何语言

7、：若弦AB、CD交于点P,则以（相交弦定理）（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.几何语言：若 AB是直径，C。垂直4B 于点尸，则 PC2=B4P8（相交弦定理推论）.A-点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3 种.设。0 的半径为/，点 P 到圆心的距离。尸=d,则有：点 P 在圆外 点 P 在圆上=d=r 点 P 在圆内（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来己知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.（3）符号读作“等价于”，它表示从符号“Q”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端.九.确定圆的条件不在同一直

8、线上的三点确定一个圆.注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆.“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆.十.三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆.（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.（3）概念说明：“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点.锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；

9、钝角三角形的外心在三角形的外部.找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个.十一.直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：相离：一条直线和圆没有公共点.相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点.相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线.(2)判断直线和圆的位置关系：设。的半径为广，圆心。到直线/的距离为d.直线/和。相交直线/和O。相切od=r直线/和。相离=八十二.切线的性质(1)切线的性质圆的切线垂直于经过切点的半径.

10、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.(2)切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个,那么它一定满足第三个条件,这三个条件是:直线过圆心：直线过切点；直线与圆的切线垂直.(3)切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.简记作：见切点，连半径，见垂直.十三.切线的判定(1)切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(2)在应用判定定理时注意：切线必须满足两个条件：、经过半径的外端；b,垂直于这条半径，否则就不是圆的切线.切线的判定定理实际上是从“圆心到直线的距离等于半径时

11、，直线和圆相切“这个结论直接得出来的.在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”.十四.切线的判定与性质(1)切线的性质圆的切线垂直于经过切点的半径.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.(2)切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(3)常见的辅助线的：判定切线时“连圆心和直线与圆的

12、公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常 常“遇到切点连圆心得半径”.十 五.弦切角定理(1)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.(2)弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.如右图所示，直线P T切圆。于点C,B C、A C为圆。的弦，则有为弦切角).、一,十六.切线长定理(1)圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.(2)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线,平分两条切线的夹角.(3)注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长

13、是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.(4)切线长定理包含着一些隐含结论：垂直关系三处；全等关系三对；弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到.十七.切割线定理(1)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.几何语言：切OO于点T,P B A是。0的割线的平方=(切割线定理)(2)推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.几何语言：PBA,是 的 割 线：.PD-PC=PAPB（切割线定理推论）（割线定理）由上可知：P展=FPB=PCPD.十 八.三角形的内切圆与内心（1）内切圆的

14、有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形.（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.十九.正多边形和圆（1）正多边形与圆的关系把一个圆分成（是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆.（2）正多边形的有关概念中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心.正多边形的半径：外接圆的半

15、径叫做正多边形的半径.中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.二十.弧长的计算（1）圆周长公式：C=如R（2）弧长公式：、鬻（弧长为/,圆心角度数为，圆的半径为R）在弧长的计算公式中，是表示1 的圆心角的倍数，”和 1 8 0 都不要带单位.若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长.题设未标明精确度的，可以将弧长用7T 表示.正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一.二十一.扇形面积的计算（1 ）圆面积公式：S=

16、T t J（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.（3）扇形面积计算公式：设圆心角是 ,圆的半径为R的扇形面积为S,则S扇 形=3 6 0n/?或$3R （其中/为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法.（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积.二十二.圆锥的计算（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高.（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.(3)圆锥的侧面积：S t j=Q A,N O=75,则NA

17、的度数为（）A.35B.52.5C.70D.72【分析】连 接0 D,如图，设NC的度数为，由 于CD=OA=OD,根据等腰三角形的性质得到/C=/O O C=，则利用三角形外角性质得到/A O O=2 ，所以N A=2 ，然后利用三角形内角和定理得到75 +2=180,然后解方程求出小 从而得到NA的度数.【解答】解：连接。力，如图，设NC的度数为，：C D=O A=O D,N C=N D O C n）：.N A D O=Z D 0 C+Z C=2 n,：.O A=O D,：.Z A=Z A D O=2 n,：N A OC+N C+/A=180 ,4 A o e=1 5,.*.75 +n+2

18、n=180 ,解得”=35,/.Z A=2n=70 .故选：C.A【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）.也考查了等腰三角形的性质.垂径定理（共 1小题）2.（2022海陵区一模）如图，直线/与圆O 相交于A、8 两点，AC是圆。的弦，OC A 8,半径OC的长为10,弦A B的长为12,动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿射线AB方向运动.当 A P C 是直角三角形时，动点P运动的时间f为 16或 2 0 秒.【分析】利用分类讨论的方法分两种情况解答：当N A P C=9 0 时，连 接 过 点。作。儿 L A B 于 点

19、 H,利用垂径定理和矩形的判定定理解答即可；当/A C P=9 0 时，连 接。A,过点。作。”于点，过 点 C作 CMLAP于 点 同 方 法，再利用相似三角形的判定与性质解答即可.【解答】解：当N C=90时，连接0 4,过点0作0H 1A8于点H,如图,：.AH=加=6,，0H=y/OA2-AH2=，102-62=8.V 0C/AB,0HAB,CPVAB,四边形0PC为矩形，：.PH=OC=0,：.AP=AH+HP6,.点P以每秒1个单位的速度前进，.r=16；当NACP=900时，连接过点0作CW_LAB于点H,过点C作CMLAP于点M,如图,.”=加=6,0H=y/OA2-AH2=V

20、102-62=8.V 0C/AB,OHLAB,CM1AP,四 边 形 为 矩 形，：.HM=OC=lO,CM=0H=8,；.AM=16,V ZACP=90,CMLAP,：.AMCsCMP,.C M M PA M C M,.8 M P =f1 6 8：.MP=4,：.AP=AM+MP=2 0.:点P以每秒1个单位的速度前进，：.t=2 0,综上，当A P C是直角三角形时，动点P运动的时间t为16秒或20秒，故答案为：16或20.【点评】本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出圆的弦心距是解题的关键.三.垂径定理的应用(共1小题)3.(202

21、1秋深水区期末)在一个残缺的圆形工件上量得弦B C=8c v n,我 的 中 点D到弦B C的距离D E=2 c m,则这个圆形工件的半径是 5 cm.【分析】由垂径定理的推论得圆心在直线力E上，设圆心为0,连 接。8,半径为R,再由垂径定理得B E=C E=28C=4(c m),然后由勾股定理得出方程，解方程即可.【解答】解：Z)E _ L 8C,D E平分弧B C,圆心在直线D E上，设圆心为。，半径为R a”，如图，连 接OB,则 0 _ L 8C,O E=R -D E=(R -2)cm,.B E=C E=B C=4(c m),在 R t a OE B 中，OB2=BX+OE2,即片=4

22、2+(R-2)2,解得：R=5,即这个圆形工件的半径是5 cm,故答案为：5.D【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键.四.圆心角、弧、弦的关系（共 2 小题）4.（2022黄浦区二模）如图，在半径为2 的0 0 中，弦 AB与 弦 相 交 于 点 如 果 AB用全等三角形可求出NOME=60,进而利用直角三角形的边角关系求解即可.。凡 再 利【解答】解：如图，过点。作O F A.C D,垂足为E、F,连接04,则 A E=B E=AB=y/3,C F=D F=#=后在 RtZ A0E 中,：OA=2,AE=V3.,.OE=y/OA2-A E

23、2=,AB=CD,：.OE=OF=,又：0 M=0M,A(H L),N O M E=N 0 M F=/4M C=60,.OCAMd=.O E=2iJ-3，si 九 600 3【点评】本题考查圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系，勾股定理，全等三角形以及直角三角形的边角关系，掌握圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系以及勾股定理可求是解决问题的关键.5.（2022玄武区一模）如图，在ABC中，E 是 BC边上的点，以4E 为直径的。0 与 A8,BC,AC分别交于点F,D,G,且。是忿的中点.(1)求证 4B=AC;(2)连接D F,当。/AC时，若 AB=10,B C=12,求 CE的长.【分析】（1）

24、连 接 A。，根据圆周角定理得到NEO4=90,根据圆心角、弧、弦之间的关系得到N A 4D=/C A D,进而证明N B=/C,根据等腰三角形的判定定理证明结论;（2）连 接DF,D G,证明A E CSAQGC,根据相似三角形的性质求出A E,根据勾股定理求出D E,进而求出CE.【解答】（1）证明：连接4。，是。的直径，：.ZEDA=90 ,）是这的中点，.FD=施，:.N B A D=N C A D,V ZB+ZBAD=90,ZC+ZCAD=90,；.NB=NC,.AB=AC；(2)解：连接。6DG.VAB=AC,AD1BC,:BD=CD,VAB=10,BC=12,：.A C=Of C

25、 D=6f由勾股定理得：AD=y/AC2-CD2=8,u：D F/A Cf.BF BD =,FA DCBF=FA9在 RtZVIDB 中，AB=10,BF=FA,：.D G=D F=A B=5f:D G=D F=5,V Z C=Z C,4C D G=4CAE,：.X A E C s XDGC,.AC AE 10 AEDC DG 6 5解得：叱=詈,在 RtZvlOE 中，ZAD E=90,A f=年，A)=8,_ _ 7:.D E=y/A E 2 _ A D 2=g【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦之间的关系，根据AEC s/YD G C求出A E

26、是解题的关键.五.圆 周 角 定 理（共 1小题）6.如图，A 8是。的直径，点C为圆上一点，AC=3,N A 8 C的平分线交A C于点。，CD)=1,则。的半 径 为（A.2百C.5/3【分析】先利用圆周角定理得到NC=90,再根据角平分线的性质得到点D 到 A B 的距离等于D C,则利用三角形面积得到AB：BC=AD：C=2：1,设 8C=x,43=2x,利用勾股定理得到7+32=（20 2,然后解方程得到A 8的长，从而得到。的半径.【解答】解：是。的直径，.NC=90,平分乙48C,.点。到 4 8 的距离等于DC,:SBDA：SABDC=AB:BC,:SABDA：S&BDC=A

27、D：CD=2：1,：.AB：BC=2：1,设 8C=x,AB=2xf在 RtZXABC 中,X2+32=（2X）2,解得刘=0，X2=y/3（舍去），.8=2 百，O O 的半径为故选：C.【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了三角形面积公式.六.圆内接四边形的性质（共 1小题）7.（2022无锡一模）如图，四边形ABCZ）内接于。0,A 8是直径，ODBC,若/C=124,则N B 的度数为（）A.5 6 B.6 8 C.7 2 D.7 8【分析】先根据圆内接四边形和圆周角定理得N B O D,再利用平行线的性质得到

28、/C D O,最后利用四边形内角和求出【解答】解：N C=1 2 4,Z A=1 80 -1 2 4 =5 6 ,：.Z B O D 2 Z A=2Q,：OD/BC,.,.Z C D O=1 80 -1 2 4 =5 6 ,A Z B=3 6 0 -1 2 4 -5 6 -1 1 2 =6 8.故 选:B.【点评】本题主要考查圆周角定理、圆内接四边形、平行线的性质、四边形内角和，解题关键是熟练使用圆的相关性质.七.相 交 弦 定 理（共 1小题）8.（2 0 2 1 盐都区二模）如图，在。中，弦 C 力过弦AB的中点E,CE=,D E=3,则A 8=2、月【分析】直接利用相交弦定理得出C E

29、X Z）E=A E X 8 E,求出即可.【解答】解：；弦 C。过弦AB的中点E,C E=1,DE=3,：.CE-DE=AEBE,：.X3=AE2,解得：A E=用,二弦 A B 的长为：AB=2AE=2y/3,故答案为：2 百.【点评】此题主要考查了相交弦定理，正确记忆相交弦定理是解题关键.A.点与圆的位置关系（共 1小题）9.（2 0 2 2 睢宁县模拟）如图，点 A,B的坐标分别为A （3,0）、B（0,3）,点 C为坐标平面内的一点，且 B C=2,点 M 为线段AC的中点，连 接 O M,则。例的最大值为（）|6C.+2 D.3.5/2+2【分析】作点4 关于点0的对称点4 根据中位

30、线的性质得到0M=；力七，求出AC的最大值即可.【解答】解：如图，作点A 关于点。的对称点W（-3,0）,则点。是 4 r的中点，又；点”是 AC的中点，.。加是4 4 1（7的中位线，1.OM=AC，.当4 c 最大时，OM最大，:点 C 为坐标平面内的一点，且 2C=2,.点C 在以8 为圆心，2 为半径的。8 上运动，二当4 c 经过圆心8 时，AC最大，即点C 在图中C位置.AC=AB+BC=3/2+2.【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确 定 0M 为最大值时点C的位置是解题的关键.九.确定圆的条件（共 1小题）10.（2020秋江都区校级月考）过 A、B

31、、C 三点能确定一个圆的条件是（）AB=2,BC=3,AC=5；48=3,BC=3,A C=2;A B=3,BC=4,AC=5.A.B.C.D.【分析】首先计算两个较短的线段长的和是否大于较长的线段长，从而判断出三点是否同一条直线上，进而可得A、B、C 三点不能确定一个圆.【解答】解：A B+8C=4C,即A、8、C 三点共线，不能确定一个圆；A 8=8C,以A、B、C 三点为顶点的等腰三角形，有外接圆；A、B、C 三点为顶点的直角三角形，有外接圆.故选：C.【点评】此题主要考查了确定圆的条件，关键是掌握不在同一直线上的三点确定一个圆.一十.三角形的外接圆与外心（共1小题）11.（2021秋通

32、州区期末）如图，。是等边三角形A8C的外接圆，若。的半径为2,则ABC的面积为（）A.y B.y/3 C.2/3 D.33【分析】首先连接08,O C,过点。作8 c 于。，由是等边aA BC的外接圆，即可求得/O B C 的度数，然后由三角函数的性质即可求得0。的长，又由垂径定理即可求得等边AABC的边长，由三角形面积公式可得出答案.【解答】解：连接OB,O C,过点0作O D L B C于D,：.BC=2BD,；O O 是等边ABC的外接圆,Z B O C=1 x360=120,：OB=OC,：.Z O B C=Z O C B=180-zFOC 180-120 办。-=-z-=5U;。的半

33、径为2,J 08=2,A BD=OB-cosZO B D 2 X c os3 0 0 =2 x 噂=g，0 0=/0 8=1,：.BC=2y/3.等边 A B C 的面积为 3 sAB C 0=3X,U 0 r =3 x 1 X 2 7 3 X l=3 g.故选：D.【点评】本题考查了三角形的外接圆，等边三角形的性质，垂径定理，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键.一十一.直线与圆的位置关系（共1小题）1 2.（2 0 2 1 秋南京期末）如图，若。的半径为6,圆心。到一条直线的距离为3,则这【分析】直接根据直线与圆的位置关系可得出结论.【解答】解：。的半径是6,圆心0到宜线

34、I的距离是3,6 3,.直线/与。相交.故选：D.【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设。0 的半径为广，圆 心 0 到直线/的距离为d,当 时 直 线/和。0相交是解答此题的关键.一十二.切线的性质（共1小题）1 3.（2 0 2 2 春崇川区校级月考）如图，在 48C 中，A B=1 0,A C=8,B C=6,以边A B的中点。为圆心，作半圆与AC相切，连接OC与半圆相交于点 ,则 8的长为（）A.2B.3C.ID.2.5【分析】设。与 AC相切于点E,连接0 E,则 OEJ_AC,由证得NC=90,即可证得OEB C,进一步证得E 是AC的中点，即可得到A E=4,根据勾股定理

35、求得半径，然后根据直角三角形斜边中线的性质得出O C=5,即可求得CO=OC-OO=2.【解答】解：如图，设。与 AC相切于点E,连 接 O E,则 OELAC,；A8=10,AC=8,BC=6,：.AB2=AC2+BC2,：.ZACB=90,：.BCLAC,J.OE/BC,：AO=OB,；.AE=EC=%C=4，：OA=AB=5,：.OE=BC=3,：.OD=3,在 Rt/XABC中，0 c 是斜动A 8上的中线，：.O C=B=5,：.CD=OC-OD=5-3=2.【点评】本题考查切线的性质、三角形中位线定理以及直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是求得C。和半径。的长，属于中考常考题型.

36、一十三.切线的判定（共 1小题）14.（2022思明区校级一模）如图，AD是。的弦，AB经过圆心。交。于 点 C,ZA=/8=30,连接8D 求证：8。是。的切线.DO C B【分析】连接O D 求 出/。8=90,根据切线的判定推出即可.【解答】如图，连接O。，：O D=O A,.,.NO D 4=/D 4B=30,；./O O 8=NO D 4+ND 48=60,A ZODB=1800-Z D O B-ZB=180-60-30=90,即 O D L B D,【点评】此题主要考查了切线的判定，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，关键是证明O DLBD.一十四.切线的判定与性质（共 1小

37、题）15.（2022宜兴市一模）如图，在四边形 ABC。中，ADCD=2y/3,C8=AB=6,Z B A D=NBCD=90,点 E 在对角线8。上运动，。为OCE的外接圆，当O。与 A。相切时，G）。的 半 径 为 2；当。与四边形A8CO的其它边相切时，其 半 径 为 月 或【分析】。与 4。相切于点。，此时 0O=0C,NOCO=NOOC=120-90=30,所以NODF=30,ZFOD=60 ,则/。/=90,在 RtZXCD尸中根据勾股定理列方程即可求出O C 的 长 为 2,即此时圆的半径为2；Q O与B C相切于点C,则O C=O D=|CD=V3，此时圆的半径为W；O O 与

38、 4。相切于点G,连接OG、OD,O C,作OLVAD于点L,设。的半径为r,则 O G=O Q=r,作 OH V C D 于点H,交 A B 于点K,作 KMLBC 于点 M,则 DH=CH=#=岛 可推导出 DL=2y3-r,0 sA G=4争在 RtADOL中根据勾股定理列方程求出r 的值即可.【解答】解：如图，。与 4。相切，连接。，连接C。并延长C。交 8。于点F,点。到 A D 的距离等于。0 的半径，且 0 D 是。的半径,.0 D 就是点0 到 A D 的距离，.ADLOD,.ZO DA=90a,，AD=CD=24,CB=AB=6,BD=BD,.ABDQ4CBD(SSS),ZB

39、AD=ZBCD=90,tan/A 弧冷合=巡,乙4。8=/。8=60,.ZABD=ZCBD=30,ZADC=120,.ZABC=60,OD=OC,.ZO CD=ZOD C=20-90=30,.ZODF=30,ZFOD=ZOCD+ZODC=60,.ZOFD=90,.OF=OD=O C,。尸=ODsin60=号0。=号。C,DF1+CF1=CD1,且 CD=2W，.(0 0 2+(,-OC+OC)2=(2J3)2,22.0C=2或 O C=-2（不符合题意，舍去），。的半径为2；如图，点。在C。边上,：.BCLOC,.。0与8 c相切于点C,：AD=CD=2p,：.OC=OD=CD=i x2y/3

40、=翼,.OO的半径为百.如图，。与AO相切于点G,连接OG、OD,O C,作OL_LAD于点L设。O的半径为小 四边形OGAL是矩形，：.AL=OG=OD=OC=r,*E)L=Q.3 r,作OH LCD于点H,交AB于点K,作KMLBC于点M,则DH=CH=CD=事,：Z KMC=Z MCH=Z KHC=90 ,四边形M K/C是矩形，：.KM=CH=y/3,V ZBMK=90,NKBM=60,KM o J3-=sin Z KBM=sin60=,BK-2.V3 V3-=-，BK 2:BK=2,:KHBC,：.ZO KG=ZABC=60Q,ZOGK=90,OG=tan NOKG=tan 60=/

41、3.*.OL=AG=6-2一 争=4一 争，V Z（?LD=90,：.Ol+Dl=OD1,：.（4-导）2+（273-r）2=r,整理得 r2-20V3r+84=0,解得r=1 073 一 6遍 或 r=1。0+676（不符合题意，舍去），。的半径为1073+6巡，综上所述，。0 的半径为6 或 1073+6展,故答案为：2；百 或 1 0 0+6 a.【点评】此题考查全等三角形的判定与性质、圆的切线的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、解直角三角形等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.一十五.弦切角定理（共1小题）16.（2020南通二模）如图，A 8是。的直径，DB、O E分

42、别切。于点B、C,若NACE=25,则N D 的度数是（)【分析】连接8 C,由弦切角定理得/A C E=/A 8 C,再由切线的性质求得N O 8 C,最后由切线长定理求得N D的度数.；DB、OE分别切O O于点8、C,：.BD=DC,V ZA C E=25,A ZABC=25 ,是。的直径，：.ZACB=90,:.NDBC=NDCB=90-25=65,：.Z D=5 0a.解法二：连接OC，BC.,:DB,C是。的切线，B,C是切点,：.NOCE=NOBD=90,BD=DC,：OA=OC,：.N4=/O C 4,.S B是直径，/.ZAC B=90 ,；.N A+N A 8c=90,NO

43、CA+NACE=90,/.Z A C E=Z A B C=2 5 ,./B D C=/n C B=9 0 -25 =6 5 ,.,.Z D=1 8 0 -2X 6 5 =5 0 ,故选：A.【点评】本题考查r切线的性质、圆周角定理、弦切角定理等知识，综合性强，难度较大.一十六.切线长定理（共 1 小题）1 7.（20 21 秋高阳县期末）如图，A B C 是一张周长为1 7。”的三角形的纸片，BC=5 cm,QO是它的内切圆，小 明 准 备 用 剪 刀 在 的 右 侧 沿 着 与 OO相切的任意一条直线M N剪下 A M N,则剪下的三角形的周长为（）C.6 cm D.随直线MN的变化而变化【

44、分析】利用切线长定理得出BC=BD+E C,D M=M F,FN=E N,A D=A E,进而得出答案.【解答】解：设 E、尸分别是。的切点，.A B C 是一张三角形的纸片，A B+B C+A C=l c m,是它的内切圆，点。是其中的一个切点，BC S cm,：.B D+C E=B C=5 c m,贝 A D+A E=7 cv n,故 D M=M F,FN=E N,AD AE,：.AM+A N+M N A D+A E=7（cm）.【点评】此题主要考查了切线长定理，得出4 W+4 V+M N=A D+A E 是解题关键.一十七.切割线定理（共 1 小题）1 8.（20 1 8 秋新吴区期中）

45、如图，已知。与 R t A O B 的斜边交于C,。两点，C、。恰好是AB的三等分点，若。0 的半径等于5,则 A 8的长为【分析】过。作OH_LAB,由垂径定理得到CH=O，推出 A08是等腰直角三角形,得 到04=A”,设4C=CD=8O=x,根据勾股定理即可得到结论.【解答】解：过。作:.CH=DH,：AC=BD=:.AH=BH,.AOB是等腰直角三角形，OH=AH,设 AC=CO=8O=x,.A”=O”=1.5x,：.CH2+OH2=OC2,（匕）2+（-x）2=52,2 2,x=,10,：.AB=3y10,故答案为：3/10【点评】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂径

46、定理，正确的作出辅助线是解题的关键.一十八.三角形的内切圆与内心（共1小题）19.（2022春宜兴市校级月考）如图，矩形OABC,3（-4,3）,点M为ABC的内心,将矩形绕点C顺时针旋转90,则点M的对应点坐标为（)A.(-2,6 )B.(6,-1)C.(1,1 )D.(-1,6)【分析】根据题意画出旋转后的图形，根据点M 为 A B C 的内心，可得点M 为 A B C角平分线的交点，过点M 作三边的高线O M,EM,F M,垂 足 分 别 为E,F,所以。M=E M=F M,设 D M=E M=F M=r,根据 SMBM+SBCM+SMCM=S/ABCf 列式求出 r 的值，进而可以解决

47、问题.【解答】解：将矩形绕点。顺时针旋转9 0 ,如图所示：点M为 A B C 的内心，点M 为 A 8 C 角平分线的交点，过点M 作三边的高线D M,EM,F M,垂足分别为。,E,F,：.D M=E M=F Mf设。M=EM=bM=厂，在矩形0 A 8 C 中，:B(-4,3),/A C=,4 2 +3 2 =5,S A B C=I x 3 X4=6,/.SABM+SABCM+SAA C M=S4 4 B C，.1 1 1 ,Xr X3+4 X/X 4+5 Xr X5 =6,2 2 2/.r=1,D M=E M=FM=r=l,：.Mf(-1,6).则点M 的对应点坐标为(-1,6).故选

48、D.【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，矩形的性质，坐标与图形变化-旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质.一十九.正多边形和圆（共 2 小题）2 0.（2 0 2 1 秋镇海区期末）如图，正五边形A B C D E 内 接 于 连 接 4C,则/BAC的度数 是（）A.4 5 B.3 8 C.3 6 D.3 0【分析】由正五边形的性质可知 A B C 是等腰三角形，求出N8的度数即可解决问题.【解答】解：在正五边形A 8 C D E 中，Zf i=i x （5-2）义1 8 0=1 0 8 ,AB=BC,：.Z B A C=Z B C A=(1 8 0 -1 0 8 )=3 6 .故选：C.

49、【点评】本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题基础题，比较简单.2 1.（2 0 2 2 南京一模）如图，在正五边形A B C D E 中，M 是 A8的中点，连接A C,D M 交于点M 则/C N E）的度数是 5 4 .【分析】连接8 力，A D,根据正五边形的性质得到/W=8 C=C D=A E=O E,N B C D=NE,Z ABC=（521 8 0=1 0 8 ,根 据 全 等 三 角 形 的 性 质 得 到 根 据 等 腰 三 角形的性质得到求得N A M N=90 ,于是得到结论.【解答】解：连接8 0，AD,在 正 五

50、 边 形 ABCDE 中，A B =B C =C D =4 E =O E ,Z B CD=N E,ZA B C=(5-2)：180。=0 8。,5Z B AC =X(1 8 0 -1 0 8 )=3 6 在8 C Z)与 A E D 中,BC =AE乙 BC D=z _ E，C D =D E:.X B C D二X A E D(SA S),:.BD=AD,是 A8的中点，：.BM=AM,：.D MLAB,：.Z A M N=9 0a,：.Z C ND=Z ANM=9 0 -3 6 =5 4 ,故答案为：5 4 .A【点评】本题考查了正多边形与圆，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确地作