十年高考真题(2013-2022)与优质模拟题汇编(新高考卷与全国专题08三角函数与数列解答题(解析版).pdf
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1、大数据之十年高考真题(2013-2022)与优质模拟题(新高考卷与新课标理科卷)专题08三角函数与数列解答题.真题汇总I 一.1.【2 0 2 2 年全国甲卷理科1 7】记S”为数列&的前项和.已知一+兀=2 0n+1.(1)证明:与 是等差数列;(2)若成等比数列,求右的最小值.【答案】(1)证明见解析;(2)-78.【解析】(1)解:因为+几=2%+1,即 2 S n +=2?1 即+几,当n Z 2 时,2 Sn_i 4-(n -l)2=2(n -1)Q?T+(n -1),一得,2Sn 4-n2-2 szi_i -(n -l)2=2n an+n -2(n -1)八 一 1 -(n -1)
2、,即 2 即+2 n 1 =2n an-2(n -1)即 一 i +1 即 2(九l)an-2(n -l)a吁i =2(n 1),所 以%an_r=1,n 2 且?i G N*,所以 斯 是以1为公差的等差数列.(2)解:由(1)可得。4 =%+3,劭=Q i +6,9=%+8,又。4,的成等比数列,所以。7 2 =0 4,。9,即(。1 +6)2=(a1+3)Q +8),解得的=1 2,所 以%=n 1 3,所以s n=_1 2 n +竽=,=乂等 2 一等,Z Z Z L L/o所以,当n =1 2 或m=1 3 时(S J m i n =-78.2.2 0 2 2 年全国乙卷理科1 7】
3、记4 A B C 的 内 角 的 对 边 分 别 为 a,b,c,已知s i n C s i n(4 -B)=s i n B s i n(C -/)(1)证明:2 a2 =:b2+c2;(2)若a=5,c o s 4 =小 求 A B C 的周长.【答案】(1)见解析 1 4【解析】证明:因为 s i n C s i n(/4 一 B)=s i n B s i n(C -4),所以 s i n C s i n 4 c o s 8 sin Csin B cosA =sin B sin CcosA -sin B sin A cosCf所以Q C 2ac 2bc Zab即 妇 乂 _&+C2-a2)
4、=-立 I,2y 2所以2 a2 =按+/;(2)解:因为a=5,c o s =看由(1)得匕2 +。2 =5 0,由余弦定理可得a?=b2 4-c2-2b ccosA,贝 I J 5 0-*c =2 5,所以be=弓,故(b+c)2=b2+c2+2b c=5 0 +3 1 =8 1,所以b+c =9,所以 4 8 c 的周长为a+b+c =1 4.3.2 0 2 2 年新高考1 卷 1 7记%为数列%的前n项和,已知的=1,七;是公差为,的等差数列.(1)求 a j 的通项公式;1 1 1(2)证明:-+-+-+-2.,ai az an【答案】(1)即=吟 由(2)见解析【解析】,;%=1,
5、S i =%=1,六肃=1,又:阕是公差为狗等差数列,.号=l+i(n-l)=等,.=.当n 2 2 时,S _!=(n+1)a,-1,%=Sn-S 戊_ i=5+2)。“5+1)的 一133整 理 得:(n-l)an=(n+即 工n-ln+1n-i9a =aix?x2x-x5x5;Y 3 4 n n+1 n(?i+l)=1 X-X-X.X X=_-2 3 n-2 n-1 2显然对于几=1也成立,.册 的 通 项 公 式 即=智;%=前;=2(4马,:.-+工+!=2(1-9 G-,+G )1=2(1 )2a2 an L 27 2 3/n n+17J I n+174.【2022年新高考1卷18
6、记4BC的内角/,B,C的对边分别为,b,c,已知詈=言 .1+smA l+cos28若。=手 求8;(2)求 学 的最小值.【答案】(;(2)472-5.【解析】因为 =叱:。=2 s m*8 =即 sinB=cosAcosB sinXsinB=cos(4+B)=cost=l+cos2F 2coszF cosB、/2而0 8 0,所以 V C e。B 2 V 8-5 =4V2-5-C O SD cos4B当且仅当COS2B=立时取等号,所 以 哗 的 最 小 值 为4V 2-5.2 T5.(2 0 2 2 年新高考2卷 1 7已知 a j 为等差数列,他“是公比为2的等比数列,且a2 一吊=
7、a3 -%=为一 4.(1)证明:的=%1;(2)求集合 川瓦=c i m +a1(1 m 5 0 0 中元素个数.【答案】(1)证明见解析;(2)9.【解析】(1)设数列 册 的公差为d,所以,(+14或 即可解得,匕=a =$所以原命题得证.(2)由(1)知,/=a】=g,所以瓦=c i m +%Q x 2fe-1=a+(zn l)d +a 即2i=2m 亦即m=2k-2 e 1,5 0 0,解得2 W k W 1 0,所以满足等式的解k =2,3,4,1 0,故集合 4瓦=am+a1,l m 又 s i n B .则 c o s B =Ji-,苧,砒=六=咯 则 S A 4 B c=、c
8、 s i n B=9(2)由正弦定理得:合=高=焉,则 高=矣 屋;=/嬴=方=3b,=-3 s i.n nn =12 2则R7 .【2 0 2 1 年全国甲卷理科1 8 已知数列 a“的各项均为正数,记又 为 小 的前项和,从下面中选取两个作为条件,证明另外一个成立.数列 a“是等差数列:数歹(1 疯 是等差数列;a2=3%.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.【答案】答案见解析选作条件证明:设=a n +&(a 0),贝iS =(a n +6)2,当n =1时,%=S i =(a +b)2;当n 2时,an=Sn S g i =(a n +f t)2 (a n a 4-6)2
9、=a(2an a +2 b);因为 册 也是等差数列,所以(a +b)2 =a(2 a a +2 b),解得b =0;所以册=a2(2n-1),所以a?=3 a l.选作条件证明:因为&=3,册 是等差数列,所以公差d =a?-=2%,所以=7 1 a l +产 d =n2a19 即=y/a n,因为J sn+i -=y/a(n+T)一 丁可力=所以 店 是等差数列.选作条件证明:设y n=a n +&(a 0),则=(a n +6)2,当n =1 时,%=S =(a +b)2;当n 2时,an=Sn-Sn_x=(a n +b)2-(a n -a +&)2=a(2an-a 4-2 b);因为。
10、2 =3的,所以a(3 a +2 b)=3(a +b)2,解得方=0或6=一半;当b =0时,at=a2,a,=a2(2n -1),当n N 2时,t i n-an_ i =2 a?满足等差数列的定义,此时 a“为等差数列;当。=一争寸,=a n +b=an -展 =一?i.2b2 2bn _ .所 2比1 2b2T 2bn-l n*所 以 券 券 券、=,ZDj 1 202 1 2%+L 1所 以 券、=乎,2如+1-1 bn由于。忆+1中0所以二 二 白 即 以+1-垢=3,其中n e wx un/所以数列 b“是以如=1 为首项,以d=T为公差等差数列;(2)由(1)可得,数列 b,J
11、是以/=称为首项,以d=3为公差的等差数列,1 +(n -1)x=1+pW _ 2bn _ 2+nn 一 2bn-l -l+ii,当 n=l 时,。=S i =I,当佗2时,“=sn-S,T =翟-=-而%,显然对于=1 不成立,11.【2 0 2 1年新高考2卷 17 1记Sn 是公差不为0的等差数列/的前项和,若。3=$5,。2。4=$4.(1)求数列%J的通项公式4;(2)求使S,册成立的n的最小值.【答案】(1)。=2 7 1-6;(2)7.(1)由等差数列的性质可得:S5=5 a 3,则:a3=5 a 3,二a3=。,设等差数列的公差为d,从而有:a 2 a 4=(。3 d)(a 3
12、 +O =d?,S4=(i +Q2 +=(。3 2 d)+(Q3 d)+%+(0 3 d)=2 d,从而:d 2=2d,由于公差不为零,故:d=2,数列的通项公式为:an=。3 +(办-3)d=2 n -6.(2)由数列的通项公式可得:a 1=2 -6 =-4,则:Sn=n x (-4)+,l(y x 2 =n2-6 n,则不等式S”“即:n2-5 n 2 n -6,整理可得:(n l)(n 6)0,解得:6,又r i为正整数,故n 的最小值为7.12 .【2 0 2 1年新高考2卷 18】在A A B C 中,角4、B、C 所对的边长分别为a、b、c,b =a +l,c=a+2.(1)若2
13、s in C =3 s in A,求 A B C 的面积;(2)是否存在正整数a,使得A 4 B C 为钝角三角形?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.【答案】(1);(2)存在,且a =2.4(1)因为2 s in C =3 s in 4,则2 c =2(a +2)=3 a,则a =4,故b =5,c =6,cosC-J =工,所以,C 为锐角,则 sinC=/1-co s2 c=2ab 8 8因 此,SABC=1a&s in C =|x4 x5x=(2)显然cba,若 A B C 为钝角三角形,则C 为钝角,由余弦定理可得cosC=驾三=小(:+了-(:+2产=弊案 0,2ab 2a
14、(a+l)2a(a+l)解得一 1 a 3,则0 a a +2,可得a 1,a e Z,故a =2.13 .【2 0 2 0 年全国1卷理科17 设 a“是公比不为1 的等比数列,如为。2,。3的等差中项(1)求 册 的公比;(2)若%=1,求数列 n t0 的前n 项和.【答案】(1)-2;(2)S,=【解析】(1)设%的公比为q,%为。3的等差中项,2al=a2+a3,at 0,q2+q-2=0,q 1,q=-2;(2)设 n an 的前n 项和为5”,%=1,%=(-2)f5,t=1 x 1+2 x(-2)+3 x(-2)2+-+n(-2尸,-2 Sn=1 x(-2)+2 x(-2)2+
15、3 x(-2尸+(n-1)(-2)-1+n(-2)n,一得,3%=1+(-2)+(-2)2+(2)n-i-n(-2)n=1-(-2)_ z _ 2 yl=l-a+3n)(-2)n1-(-2)3.c _ l-(l+3n)(-2)-n 91 4.【2020 年全国 2 卷理科 17】A4BC中,sin24-sin28sin2C=sin5sinC.(1)求 Z;(2)若B C=3,求aABC周长的最大值.【答案】拳(2)3+2V3.【解析】(1)由正弦定理可得:BC2-AC2-AB2=AC AB,cos4=心+必 一 上ZAC AB12fv A G(0,7T),/.A=.(2)由余弦定理得:BC2=
16、AC2+AB2-ZAC ABCQSA=AC2+AB2+4C 4 8 =9,即Q4C +AB)2-A C AB=9.7 AC AB (AC+AB)2-=1(AC +AB)2,解得:AC+A B 2V3(当且仅当4 c=4B时取等号),4BC 周长 Z,=AC+AB+BC 0),则:=Q2+从-2abcosC=3m2+m2-2 x V3m x m x-=m2,即c=m.选择条件的解析:据此可得:ac=V3m x m =V3m2=V3,A m =1,此时c=m =l.选择条件的解析:门 “b2+c2-a2 m2+m2-3m2 1据此可得:cosA=2 2bc 2 m 4 2则:sin4=J l-(-
17、g)=与,此时:csinA=m x 弓=3,则:c=m=2 7 3.选择条件的解析:可得;=巴=1,c=b,b m与条件c =6b矛盾,则问题中的三角形不存在.解法二:sinA=/3sinB,C=-,B =n (4+C),6.sinA=V3sin(4+C)=V3sin(4+JsinA=V3sin(4+C)=y/3sinA-+VScosA-g,/.sin A=y/3cosAt.tanA V 3,.A=W,=C =*,若选,ac=V3,.a=V 3&=V 3 c,.,.y/3c2=V3,/.c=l;若选,csinA=3,则 字=3,c =2 /3;若选,与条件c =矛盾.1 7.【2020年山东卷
18、18】已知公比大于1的等比数列%满足。2+。4=2 0,。3 =8.(1)求 即 的通项公式;(2)记b m 为%在区间(O,m On 6 N*)中的项的个数,求数列 瓦 的前1。项和5 io o.【答案】(1)%=2%(2)Sio o =48 O.【解析】(I)由于数列s n 是公比大于1的等比数列,设首项为,公比为(?,依题意有卜解得解I a i 2=%=1,即有2个1;限 如 久,对应的区间分别为:(0,4 ,(0,5 ,(0,6,(0,7,则=既=%=%=2,即有L个2;无,如,,对应的区间分别为:(0,用,(0,9,(0,15 ,则万 8=%=“=%5 =3,即有23个3;6,勿7,
19、对应的区间分别为:(0,16,(0,17,(),31,则如6=/7 =”,=/i =4,即有24个4;%2,/3,63对应的区间分别为:(0,32,(0,33,(),63,则=/3 =/3 =5,即有25个5;加4/65,,如00对应的区间分别为:(0,64 ,(0,65 ,-,(0,100,则d 4 =%5 =如oo=6,即有37个6.所以 S i oo=1X2+2X22+3X23+4X 24+5X 25+6X37=4 80.18.【2020年海南卷17】在a c =6,c s i n4 =3,c =四匕这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形
20、不存在,说明理由.问题:是否存在AA B C,它的内角4 8,C的对边分别为a,b,c,且s i n4 =g s i nB,C =g?o注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【答案】详见解析【解析】解法一:由 s i nZ =6 s i nB可得:?=V 3,b不妨设Q =y/3m,b =m(m 0),则:/=Q2+82-2ab cosC=37n2 4-m2-2 x 4 3 m x m x y=m2,即c =m.选择条件的解析:据此可得:ac=/3m x m =y/3m2=V 3,m=1,此时 c =m=1.选择条件的解析:据此可得:cosAb2+c2_a2 _ 府+=2-3-2-2
21、bc_ 15 则:sin A =/I (-)2=,此时:c s i nA =m x 且=3,则:c=m =2V 3.7、2 2 2选择条件的解析:可得J =1,c=b,b m与条件c =矛盾-,则问题中的三角形不存在.解法二:u:sin A =y/3sin B,C =j 8=兀 -(A +C),/.sin A=73 s i n(A+C)=V 3s i n(A+Jsin A=V 3 sin Q 4 +C)=y/3sin A-个 +3cosA-1,:.sin A =-y/3cosA,:.tan A =-y/3,:.A=y,.B =C =J若选,ac=V 3,/a 3b=V 3c,V 3c2=V 3
22、,.c=l;若选,csin A=3,则?=3,c =2V 3;若选,与条件c=旧 6矛盾.19.【2020年海南卷18已知公比大于1的等比数列 厮 满 足+。4 =20,a3=8.(1)求 a 9 的通项公式;(2)求由。2-a2a3+(-l)n-1anan+1.o 921i+3【答案】(l)=(2)【解析】(1)设等比数列 八 的公比为g(q l),则a2 4-a4=atq+arq3=20a3=atq2=8整理可得:2 q 2-5 q +2=0,:q 1,q=2,a 1=2,数列的通项公式为:an=2-2-1=2n.(2)由于:(一1尸 一 1。;1。+1=(一 1尸 一 1 x 2n x
23、2n+1=(一1尸-1221故:+.+(-l)n-1anan+1=23-25+27-29+l)nT -22n+1一 23 kH1-(1)一a72n+3A+C20.【2019年新课标3 理 科 18】X B C 的内角4、B、。的对边分别为a,b,c,己知s i n-y =b s i M.(1)求 5;(2)若 为 锐 角 三 角 形,且。=1,求 Z B C 面积的取值范围.【答案】解:(1)asin-4+C2,7T B B=b s i M,即 为 s i n%-=a c o、=b s i n4,B B B .可得 s i nJ c os -=s i n s i nJ =2s i ny c o
24、s y s i i L 4,V s i n/f 0B .B Bc o 丐=2s i ny c os y,B若 c os 5=0,可得 8=(2H1)IT,X rW Z 不成立,B 1*.s i n-=二,2 2由 0 1且 i+a2-a+i a2t解得g a2,可得/8C 面积 S=iasin-=a&(坐,).,3 4 8 22 1.【2019年全国新课标2 理 科 1 9 已知数列 斯 和 仇 满足m=l,fei=0,4斯+1=3劭-儿+4,4 m 1=3s-an-4.(1)证明:劭+/是等比数列,斯-氏 是等差数列;(2)求 斯 和阿 的通项公式.【答案】解:(1)证 明:*.*4an+1
25、 =3an-/?w+4,4MH=3b-4;4(1 +b“+T)2(4+hfi),4(1 -b+1)=4(cin-bn)+8;即。+1+儿+1=*(a“+b”),an+-bn+=an-包+2;又 m+bi=l,a-6i=l,1 s+d 是首项为i,公比为5的等比数列,-/%是首项为1,公差为2 的等差数列;1(2)由(1)可得:an+bn=(-)/r l,an-力?=1+2(/?-1)In-1;Un +一 参1、1bn=(彳)n +oZ 乙2 2.【2019年新课标1理 科 1 7 NBC的内角/,B,C 的对边分别为“,b,c.设(sin-sinC)2=sin2/-sinfisin C.(1)
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