五年(2018-2022)全国各省份高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷北京天津卷等)专题20立体几何多选、填空(解析版).pdf

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1、2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编专题2 0 立体几何多选、填空一、多选题1.(2022新高考全国II卷 第 口 题)如图，四边形ABC。为正方形，ED_L平面ABC。，FBED,AB=ED=2FB,记三棱锥E ACD,F-A B C,/一 ACE的体积分别为乂,匕,匕，则()J7A.匕=2匕 B.匕=匕C.匕=匕+匕 D.2K=3乂设 AB=ED=2FB=2 a,因为瓦平面 ABC。，F B E D,贝ijV=-ED S,C D=-2 a-（2a）2=-a3,1 3 0co 3 2 v 7 3匕=:尸 从 与 至0=；。；（2。）2=|/，连接班）交4?于点加，连 接 雨,

2、产 ，易得8 0,4?,又 匹 L 平面 ABC。，ACu 平面 ABC。，则 EJD L A C,又 En8Z）=r）,ED,BD u 平面 BDEF,则A C,平面3E尸，又BM=DM=LBD=GXI,过/作F G L D E于G,易得四边形BDGF为2矩形，则FG=BD=EG=a,则EM=J（2 a 4+（缶J =瓜i,FM=信+（仅=岛，EF=卜+（2拒/=3a，EM2+FM2E F2 则 S.EFM=“2,AC=2 O a，则匕=匕一 四+%一砰”=3 4。5.放“=2浮，贝|2匕=3匕，匕=3%,匕=匕+匕，故A、B错误;C、D正确.故选：CD.【题目栏目】立体几何简单几何体的表面

3、积和体积 空间几何体的体积【题目来源】2022新高考全国II卷 第11题2.（2022新高考全国I卷 第9题）已知正方体A8CO-A耳G ，则（）A.直线BC|与所成的角为9（）。B.直线BG与C 4所成的角为90。C.直线8 c与平面88巴。所成 角为45 D.直线BG与平面ABC。所成的角为45【答案】ABD解析：如图，连接g C、BC、,因为D&/B C，所以直线BG与g C所成的角即为直线8 a与。A所成的角，因 为 四 边 形 为 正 方 形，则B C B G，故直线BG与 所 成 的 角 为90，A正确;连接A C，因为4 4 _L平面B 4G C,BC|U平面8 4 G C,则4

4、 片 1BC,因为BQJ.B G，A 4 n B ic =4,所以BC|_L平面ABC，又4 C u平面A 8C，所以B G C A，故B正确；连接4 C，设A G n g q=o,连接8 0,因为 BB,1 平面 4 g G A,G。u 平面 A 4 G 2，则 G。，耳8,因为 CQ,所以C0_L平面8BQQ,所以NG 3。为直线BC与平面84所成的角,设正方体棱长为1,则GO=，Z，B C、=叵,sinN G 5O =*=，2 1 2所以，直线8 G与平面8片2。所成的角为30。，故C错误；因为平面A8C。，所以N G 8 C为 直 线 与 平 面.C O所成的角，易得/。产。=45。，

5、故D正确.故选：ABD【题目栏目】立体几何 空间角 直线与平面所成的角【题目来源】2022新高考全国I卷 第9题3.（2021年新高考全国H卷 第10题）如图，在正方体中，。为底面的中心，P为所在棱的中点，M,N为正 方 体 的 顶 点.则 满 足 的 是 （）【答案】BCB.解析:设正方体的棱长为2,对于A,如图所示,连接 A C,则 MW/AC,故Z P O C（或其补角）为 异 面 直 线 所 成 的 角,在直角三角形OPC,OC=&，CP=1,故tan NPOC=,=工-，故M VJ_OP不成立，故A错误.V2 2对于B,如图所示，取MT的中点为。，连接PQ,O Q,则OQLN T,P

6、 Q V M N ,由正方体S B C M -N A D T可得S N1平面A N D T ,而O Q u平面A N D T ,故SN L O Q,而S N M N =N ,故。Q J平面S M 7 N,又M N u平面SN7M,O Q V M N ,而。门。=。，所以MN_L平面O P Q,而P O u平面O P Q,故M N 1 O P ,故B正确.故0 P l M N ,故C正确.对于C,如图（3）,连接B D,则BD/MN,由B的判断可得O P工B D ,对 于D,如图（4）,取4）的中点Q,钻 的中点K,连接AC,PQ,OQ,PK,OK,则 AC/MN,因为“P=P C,故P Q/A

7、 C,敬P Q M M N ,所以4 2尸。或其补角为异面直线PO,MN所成的角,M图（4）因为正方体的棱长为2,故尸。=；AC=后，OQ=y/AO2+AQ2=71+2=/3,PO=yJPK2+OK2=471=75-QO2.(0,2,2),因为E为 棱BC的中点，F为棱C。的中点，所以七（2,1,0）,尸（1,2,0）,所以m=（1,0,2）,而=（2,2,0）,乖=（2,1,-2）,设平面AECt的一个法向量为而=（玉,%,z j,”-.m-AC.=2x.+2y=0则_二m-E-2xl+y 24=0,令玉=2,则加=（2,2,1）,因 为 印 肩=2-2 =0,所 以 麻，肩，因为。尸 平面

8、A E C，所以。/平面A G；（II）由（1）得，房=（2,2,2）,设直线AG与平面A G所成角为。，则 sin。m-ACj _ 2 _/3恸 码3x26一9（I l l）由正方体的特征可得，平面AAC的一个法向量为DB=（2,-2,0）,/一、D B ,m 8 2 /2则仍叩:石7r亍，所以二面角4 -AG-E的正弦值为c o s 方 瓦 成=|.【题目栏目】立体几何 空间角 二面角【题目来源】2 0 2 1 高考天津第1 7 题7.（2 0 2 0 年高考课标H卷 理 科 第 1 6题）设有下列四个命题：0：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.P2：过空间中任意三点有且仅有一

9、个平面.P 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.P 4：若直线/u 平面a,直线m _ L 平面a,则 m _ L/.则 下 述 命 题 中 所 有 真 命 题 的 序 号 是.P l 人 P 4 P l A P 2 r?2 V P 3 可 3【答案】解析：对于命题P 1,可设4与4相交，这两条直线确定的平面为a ；若4与4 相交，则交点A在平面 内，同理，4与4的交点B也在平面a内,对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个,命题P 为假命题；对于命题P 3,空间中两条直线相交、平行或异面，命题P3为假命题；对 于 命 题 若 直 线 相 平面a,则加垂直于平面。内所有直线，直

10、线/u平面a,直 线相，直线/,命题P4为真命题.综上可知，加，R为真命题，p2,乃 为假命题，P1八 真 命 题，。|八。2为假命题，Pl V Py为真命题，PT,V 为真命题.故答案为：.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.【题目栏目】立体几何 空间点、直线、平面之间的位置关系、空间中点线面的位置关系【题目来源】2020年高考课标H卷 理 科 第16题8.（2020年高考课标HI卷 理 科 第15题）已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为.【答案】也乃3解析：易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆

11、锥内切时的轴截面如图所示，其中BC=2,A8=AC=3,且点M为8c边上的中点，设内切圆的圆心为。,由十 A M -，32-尸=2 2，故 S a ABC=Q X 2 X 2V 2=2V 2,设内切圆半径为人则:S4ABC=S&AOB+S BOC+S AOC=gx ABx r+gx BCx 厂+gx ACx 厂=；x(3+3+2)x =2 0 ,解得：r=,其体积：V =-7ir3-71.2 3 3故答案为：旦*3【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的

12、中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.【题目栏目】立体几何 球的问题 空间几何体的内切球问题【题目来源】2020年高考课标in卷 理 科 第15题9.（2020年新高考全国I卷（山东）第16题）已知直四棱柱A8CD-4B1GD1的棱长均为2,NBAD=60.以仅为球心，也为半径的球面与侧面BCCiBx的交线长为【答案】1万.2G解析：如图:D i取6 c l的中点为E，的中点为尸，C G的中点为G,因为N 84D =60。，直四棱柱ABC。A 4 G R的棱长均为2,所 以 为 等 边 三 角 形，所以R E=5 R E J.B

13、 ,又四棱柱A B C D-A Q D,为直四棱柱，所以BB,1平面A D,所以J.B,C,因为8玛口与6=片，所以R E _L侧面4 G C 8,设P为侧面B C B与球面的交线上的点，则D.E V E P,因为球的半径为逐，DE=C，所以|砂|=J lO fF -口=后 与=正,所以侧面B C B与球面的交线上的点到E的距离为、历，因为|E F H EG|=正，所以侧面B C B与球面的交线是扇形E F G的弧F G，7T TT因为NBEF=N G E G =,所以NEEG=,4 2所以根据弧长公式可得F G =-X y f 2=-7 T2 2【题目栏目】立体几何 空间距离【题目来源】20

14、20年新高考全国I卷（山东）第16题10.（2020年新高考全国I卷（山东）第15题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.。为圆孔及轮廓圆弧A 8所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直3线 8c 的切点，四边形 OEFG 为矩形，BC DG,垂足为 C,tan ZODC=-,B H/D G,EF=12cm,DE=2cm,A到直线DE和EF的距离均为7 c m,圆孔半径为1 c m,则图中阴影部分的面积为【答案】4+3万2解析：设 0B=Q4=r,由题意 A=A N =7,EF=1 2,所以 NF=5,因为 AP=5,所以 NAGP=45，因为B H

15、U D G,所以NA”O=45，因为AG与圆弧AB相切于A点，所以。4_LAG,即OAH为等腰直角三角形；在直角0Q。中，0Q=5一 与r，。=7-因为tan/O O C =1 =3,所以21 一 还r=25迪r，DQ 5 2 2解得 r=2/2；等 腰 直 角4H的面积为5,=-X2/2X2V 2=4;21 3 万 /I 2扇形A 08的面积邑 二 耳 乂 彳*2)=3万，1 54所以阴影部分的面积为S1+S?万=4+.故答案为:【题目栏目】立体几何 简单几何体的表面积和体积 空间几何体的表面积【题目来源】20 20 年新高考全国I 卷（山东）第 15题IL （20 20 年新高考全国卷n数

16、学（海南）第 16题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.。为圆孔及轮廓圆弧A 8 所在圆的圆心，A 是圆弧A 8 与直线A G 的切点，B 是圆弧A 8 与直3线 BC 的切点，四边形 D EF G 为矩形，B C L D G,垂足为 C,t a n/O D C=g ,BH/DG,EF=12c m,DE=2 c m,A 到直线D E 和 EF 的距离均为7 cm,圆孔半径为l c m,则图中阴影部分的面积为 c m2.解析：设 O B =Q 4 =厂，由题意 A M=A/V =7,E F =Y2 所以 N F =5,因为 A P =5,所以 NA G P=4 5，因为

17、B H 11D G,所以 NA HO=4 5，因为A G 与圆弧A B 相切于A 点，所以。4 _ L AG,即 O A 为等腰直角三角形；在直角 O Q。中，O Q =5-立r，D Q =7 r，因为t a n N O C =g =,所以2 2 D Q 52 1.地一 2 5-逑 r2 2解得r=2亚;等腰直角 0 A”的面积为H =x 2 夜 x 2&=4；2扇形AOB的面积S 2 =；xx（20=3 万，1 5冗所以阴影部分的面积为5+S,-万=4 +二 一.-2 2故答案为：4+=5 7 r.2【题目栏目】立体几何简单几何体的表面积和体积空间几何体的表面积【题目来源】2 0 2 0 年

18、新高考全国卷I【数学（海南）第 1 6 题1 2.（2 0 2 0 年新高考全国卷H数学（海南）第 1 3 题）已知正方体A B C D-4&G D1 的棱长为2,M、N分别为B B i、A B 的中点，则三棱锥A-N M Di 的体积为【答案】|解析：因为正方体A B C D-4B 1 G D1 的棱长为2,M、N分别为B B i、A B 的中点所以匕一 N M D,=%,-A M N=g x；x l x l x 2 =；故答案为：-3【题目栏目】立体几何简单几何体的表面积和体积空间几何体的体积【题目来源】2 0 2 0 年新高考全国卷n 数学（海南）第 1 3 题1 3.（2 0 2 0

19、天津高考第1 5 题）如图，在四边形A B C。中，Z B =6 0 ,A B =3,B C =6,且_ _ _ _ _ 3A D =AB C,而 通=、，则实数2的值为,若 是 线 段 3C上的动点，且|丽|=1 ,则DM-D N的最小值为一AD113【答案】【答案】（1）.-万【解析】AD=/IBC）:.AD/BC,.-.ZBAD=180-Z B =120.AB AD=IBC-AB=/1|BC|AB|COS120=2 x 6 x 3 x-l j=-92=-|,解得4=3以点B为坐标原点，8 c所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy,.8C=6,;.C（6,0）,.|A8|=3,

20、NABC=60。，；.A的坐标为 5DM=x 2又：通=一 唬 则。6,设M（x,O）,贝iJN（x+l,O）（其中04xW 5）,一 ,丽迈所以，当x=2时，丽 丽取得最小值13;.故答案为：1）；v13-2 6 2三、解答题【题目栏目】立体几何,线面、面面垂直的判定与性质,线线垂直的问题【题目来源】2020天津高考第15题1 4.（2020江苏高考第9题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2 c m,高为2 c m,内孔半轻为0.5 c m,则此六角螺帽毛坯的体积是cm.【答案】【答案】1 2 3-解析】正六棱柱体积为6 x 且 x 2 2

21、 x 2=1 26,圆柱体积为万（J?2 =1所 求 几 何 体 体 积 为 故 答 案 为：1 2 62 2【题目栏目】立体几何简单儿何体的表面积和体积空间几何体的体积【题目来源】2 0 2 0 江苏高考第9题1 5.（2 0 1 9 年高考天津理第1 1 题）已知四棱锥的底面是边长为0的正方形，侧棱长均为石.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为.【答案】答案：-4解析：如图，正四棱锥PA 5 C ,A B =y/2,PA=45,则。=1,四棱锥的高=2,圆柱的高为/2 =，P O =1,H G2-A C =l,2圆柱的底面半径

22、r=-H G2所以圆柱的体积丫 =万/?=27t4【题目栏目】立体几何简单几何体的表面积和体积空间几何体的体积【题目来源】2 0 1 9 年高考天津理第1 1 题1 6.（2 0 1 9 年高考全国I I I 理 第 1 6 题）学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥E E G”后所得的几何体，其中。为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点A B =B C =6 c m,A 4,=4c m ,3 D打印所用原料密度为0.9 g/c m3,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为Cl【答案】【答案】118.8【解析】由题意得，四棱锥0-瓦G”的底

23、面积为4 x 6-4 x x 2 x 3 =12cm 2,其高为点0到底面2BBC。的距离为3cm,则此四棱锥的体积为V 1=；xl2x3=12cm3.又长方体ABC。-4与G Q的体积为V?=4x6x6=144cm）所以该模型体积为V=V2-Y =144 12=132cn?,其质量为m=0/=O.9xl32=118.8g.【点评】此题奉涉到的是3D打印新时代背景下的几何体质量，忽略问题易致误，理解题中信息联系儿何体的体积和质量关系，从而利用公式求解.【题目栏目】立体几何、简单几何体的表面积和体积、空间几何体的体积【题目来源】2019年高考全国HI理 第16题1 7.（2019年高考全国H理

24、第16题）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有一个面，其棱长为（本题第一空2分，第二空3分）.图2【答案】【答案】（1）共有26个面；（2）棱长为 1.【解析】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有 1 8+8 =2 6 个面.如图，设该半正多面体的

25、棱长为x,则AB=B E =x,延长BC与FE交于点G,延 长 交 正 方 体 棱 于“，由 半 正 多 面 体 对 称 性 可 知，B G E为 等 腰 直 角 三 角 形，,/BG=GE=CH=J x，2G H =2XX+X=(J I +1)X=1，.x =W=3-l,即该半正多面体棱长为后_ 1.【点评】第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几何解决.本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键.立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形.【题目栏目】立体几何、空间几何体的结

26、构特征及其直观图、三视图 空间几何体的直观图【题目来源】2 0 1 9 年高考全国I I 理 第 1 6题1 8.（2 0 1 9 年高考江苏第9题）如图，长方体A B C。-A4GR的体积是1 2 0,E是 CQ的中点，则三棱椎E-BCD的体积是.【答案】【答案】1 0【解 析因 为 VE”CD 里/ABCD.空=丫 氏 方 体 S 矩 形A8 c o GC 3 S 矩形G C 3 2 2 1 2所 以=J 上方体=x 1 2 0=1 0.【题目栏目】立体几何 简单几何体的表面积和体积、空间几何体的体积【题目来源】2 0 1 9 年高考江苏第9题1 9.（2 0 1 9 年高考北京理第1 2

27、 题）已知/,如是平面。外的两条不同直线.给出下列三个论断:/_ L 加；机；/_ L .以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.【答案】【答案】如果 a,m/a,则/J _ 加.（答案不唯一）【解析】将所给论断分别作为条件、结论，得到如下三个命题：如 果/_ L a,机a,则 L L/n.正确；（2）如果/_ L a,ll.m,则用a.正确；如果m/a,则/J _ a.不正确，有可能/与a 斜交或/a.【题目栏目】立体几何 空间点、直线、平面之间的位置关系,空间中点线面的位置关系【题目来源】2 0 1 9年高考北京理第1 2 题2 0.（2 0 1 9年高考北

28、京理第1 1 题）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那 么 该 几 何 体 的 体 积 为.【解析】如图所示，在棱长为4 的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱MP。A-NQGg之后余下的几何体，该几何体的体积丫=4 3-g（2 +4）x 2 x 4 =40.【题目栏目】立体几何 空间几何体的结构特征及其直观图、三视图 空间几何体的三视图【题目来源】2 0 1 9年高考北京理第1 1 题2L（2 0 1 8 年高考数学江苏卷第1 0 题）如图所示，正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为解析：由图可知，该多面体为

29、两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1,底面正方形的边长等于夜，所以该多面体的体积为2 x x l x（&）2 =.3 3【题目栏目】立体几何简单几何体的表面积和体积 空间几何体的体积【题目来源】2 0 1 8 年高考数学江苏卷第1 0 题2 2.（2 0 1 8 年高考数学天津（理）第1 1 题）己知正方体A B C O AgG。的棱长为1，除面外，该 正 方 体 其 余 各 面 的 中 心 分 别 为 点E,F,G,H,M（如图），则 四 棱 锥 M-EEG”的体积【答案】-12解析:过平面EFGH的截面如图所示，因为正方体的棱长为1,所以正方形EFGH的面积SE F G H=1,顶点

30、M 到平面E F G”的距离 =,所 以 九F F G H=-5.c w-A =-x-x-=.2G 3 3 2 2 12H,【题目栏目】立体几何 简单几何体的表面积和体积 空间几何体的体积【题目来源】2 0 1 8 年高考数学天津（理）第 1 1 题2 3.（2 0 1 8 年高考数学课标H卷（理）第 1 6 题）已知圆锥的顶点为S,母线S A,S B 所成角的余弦值为工，8S A 与圆锥底面所成角为45。，若 A SA B的面积为5 后，则 该 圆 锥 的 侧 面 积 为.【答案】40 夜万解析：因为母线S A、S B 所成角的余弦值为工，所以母线S A、S 3 所成角的正弦值为巫.设母线长8 8为/,则 的 面 积 为 工/葭 巫=5 用，解得/=4行，又 S A 与圆锥底面所成角为45。，可得底面半2 8径厂=2 标，所以该圆锥的侧面积是左 =40 底.【题目栏目】立体几何简单几何体的表面积和体积空间几何体的表面积【题目来源】2 0 1 8 年高考数学课标H卷（理）第 1 6 题