中考数学专题训练——二次函数的最值.pdf

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1、中考专题训练二次函数的最值1 .已知二次函数y=2?-Z?x+c的图象经过A(1,n),B(3,n).(1)用含的代数式表示c.2(2)若二次函数y=2?-b x+c的最小值为维，求 的值.2.已知 AB C的面积为P,M是B C上的动点，过M作AB、A C的平行线分别交AC、AB于F、E,设 诞=x,平行四边形A E M F的面积是y.BC求：(1)y与x的函数关系式；(2)当x是何值时，y有最大或最小值？求出此值.3.如图，一张正方形纸板的边长为1 0 c m,将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形(图中阴影部分).设A E=B F=C G=。”=x(c n),阴影部分的面积为y (

2、。层).(1)求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围.(2)当x取何值时，阴影部分的面积达到最大，最大值为多少？4 .已知函数y=-/+b x+c (b,c,为常数)的图象经过点(0,-3),(-6.-3).(1)求6,c的值.(2)当-4 W x W 0时，求y的最大值.(3)当机W x W O时，若y的最大值与最小值之和为2,求?的值.5 .如图，在R t/X AB C中，Z B=9 0 ,AB=6cm,B C=1 0 c 7，点尸从点A开始沿A B边向点B移动，速度为点Q从点8开 始 沿 边 向 点C移动，速度为2a M s,点P、。分别从点A、B 同时出发，当其中一点到达终点后，另

3、一点也随之停止运动.(1)几秒时，PQ 的长度为3遥 C 777?(2)几秒时，PB。的面积为8 s?(3)当？(0 r 0,过点A,B分别作y 轴的平行线，交抛物线)，=7-4x+8于点C,D.(1)若 A O=B C,求 a 的值；(2)点 E 是抛物线上的一点，求ABE面积的最小值.8.定义：对于给定的两个函数，任取自变量x 的一个值，当x 0 时，它们对应的函数值互为相反数；当 x 2 0 时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数.例 如：一次函数y=x-l,它们的相关函数为y=-x+1(x =AB=4,2 C=8,点尸，。分别是线段AD,8c上的点，B Q=2AP,

4、过点尸作P R/I B 交 B。于 R,记 y 表示P R。的面积，x表示线段A P的长度.如果在一个直角三角形中，它的两个锐角都是4 5 ,那么它的两条直角边的长度相等，请你根据题目条件，写出表示变量y与 x关系的关系式.(3)当x=时，y取得最大值.1 0 .如图，在菱形AB C。中，A B=6,乙4。=1 20,P为对角线A C上的一点，过 P作P E AB 交 A。与 E,PF A D 交 C D 千 F,连接 B 、BF、EF.(1)求 A C的长；(2)求证：A B E F 为等边三角形;(3)四边形B E P F 面 积 的 最 小 值 为.1 1 .某企业为杭州计算机产业基地提

5、供电脑配件.受美元走低的影响，从去年1 至 9 月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y i (元)与 月 份 x(l W x 9,且 x取整数)之间的函数关系如下表：随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，1 0 至 1 2 月每件配件的原材料价格月份X123456789价格y i (元/件)5 6 0 5 8 06 0 06 2 06 4 06 6 06 8 07 0 07 2 0心（元）与月份尤（I 0 W x W 1 2,且 x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出），1与x 之间的函

6、数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出”与x 之间满足的一次函数关系式；（2）若去年该配件每件的售价为1 0 0 0 元，生产每件配件的人力成本为5 0 元，其它成本3 0 元，该配件在1 至 9月的销售量p i （万件）与月份x满足关系式”=0.+1.1 （IWXW9,且 x取整数），1 0 至 1 2 月的销售量9（万件）辟=-O.l x+2.9 （1 0 W x W 1 2,且 x取整数）.求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润.1 2 .对称轴为直线x=-1 的抛物线y=/+/z r+c,与 x轴相交于A,B 两点，其中点A 的坐标 为（-3,0）.（1）求点8的坐标

7、.（2）点 C 是抛物线与y轴的交点，点。是线段A C 上的动点，作 QOLx轴交抛物线于点。，求线段。长度的最大值.1 3 .己知边长为6的正方形4 8 C D,点 P从 A 点出发，以 2个单位长度/秒顺时针运动，点。从 A 点出发，以 3 个单位长度/秒逆时针运动，当尸、。两点相遇时运动停止，设运动时间为八（1）当/=1 秒时，求 AP Q 的面积；（2）AP。的面积等于华时，求 f 的值；（3）求 AP Q 面积的最大值.1 4.定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当 xVO时，它们对应的函数值互为相反数，当 x0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数.

8、例 如：一次函数y=x-l,它的相关函数为、lx-l(x 0)已知二次函数y=-f+6 元 V(1)直 接 写 出 已 知 二 次 函 数 的 相 关 函 数 为 丁=;(2)当点8(m,3)在这个二次函数的相关函数的图象上时，求根的值；2(3)当-3W xW7时，求函数y=-f+6 x V 的相关函数的最大值和最小值.15.定义：对于给定的两个函数，任取自变量x 的一个值，当 x =卜+1I x-1(x 0)己知二次函数y=-x2+6x+y,(1)直接写出已知二次函数的相关函数为)，=.已知点4(-5,8)在一次函数)，=以-3 的相关函数的图象上，求 a 的值；(2)当点8 Cm,3)在这

9、个二次函数的相关函数的图象上时，求加的值；2(3)当-3=%2-2%-4与 =7+2 的图象的交点坐标，函数y=7-2冗-4 的图象如图所示，请你在图中作出函数y=-x+2 的图象，并根据图象直接写出加 6 -x+2,2 x-4的最小值.1 7.已知关于x的函数y=f c?+(2 J t -1)x-2(%为常数).(1)试说明：不论左取什么值，此函数图象一定经过(-2,0)；(2)在x 0时，若要使y随x的增大而减小，求上的取值范围；(3)试问该函数是否存在最小值-3?若存在，请求出此时左的值；若不存在，请说明理由.1 8 .设a,h是任意两个不等实数，我们规定：满 足 不 等 式 的 实 数

10、x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为 a,b.对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值.(1)函数y=-f+4 x-2在区间 0,5)上的最小值是(2)求函数了=5+)24在区间 0,卷 上的最小值.(3)求函数y=7-4 x-4在区间-2,L 1。为任意实数)上的最小值加加的解析式.1 9.阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若i W x W/n,求二次函数y=f -6尤+7的最大值.他画图研究后发现，x=l和x=5时的函数值相等，于是他认为需要对，进行分类讨论.他的解答过程如下：.二 次 函 数-6 x+7的对称轴为直线x=3,由对称性可知，x=l和x=5时的函数值相等

11、.,.若l W m V 5,则x=l时，y的最大值为2；若?5,则x=，w时，y的最大值为，“2 -6?+7.请你参考小明的思路，解答下列问题：当-2 W x W 4时，二次函数y=2 x2+4 x+l的 最 大 值 为；(2)若p W x W 2,求二次函数y=2；+4 x+l的最大值；(3)若txt+2时，二次函数y=2?+4x+l的最大值为3 1,贝 U r的值为2 0.如图所示，在边长为1的正方形A 8C C 中，一直角三角尺PQR的直角顶点尸在对角线A C 上移动，直角边P Q 经过点。，另一直角边与射线B C 交于点E.(1)试判断P E 与 P O 的大小关系，并证明你的结论：(

12、2)连接P 8,试证明：PBE为等腰三角形；(3)设 AP=x,PBE的面积为y,求出y 关于x 函数关系式；当点P 落在A C 的何处时，)?后的面积最大，此时最大值是多少？BRC参考答案与试题解析1 .已 知 二 次 函 数 :寸-b x+c的图象经过A (1,)，B(3,n).(1)用含的代数式表示c.2(2)若二次函数y=2?-b x+c的 最 小 值 为 求 的 值.【分析】(1)由抛物线经过4 (1,)，8 (3,”)可得抛物线解析式为y=2 (x -1)(x-3)+n,把x=0代入解析式求解.(2)由抛物线的对称性可得抛物线对称轴为直线=-二0=2,从而可得b的值，根据4函 数

13、最 值 为 驯 上 求 解.4 a【解答】解：设y=2 (x-1)(x-3)+，把 x=0 代入 y=2 (x -1)(x-3)+得 y=2 X (-1)X (-3)+=6+.；.c=6+w.(2).,图象经过 A (1,)，B(3,)，抛物线对称轴为直线x=-3=2,4解得b=8,A y=2 x2-8X+6+H,函数最小值为8(6%)-6 4 =/=(6 切)2 ,8 8 1 8 1整理得 2-6 9 +1 9 8=0,解得=3或=6 6.2.已知 A B C的面积为P,M是B C上的动点，过M作A B、A C的平行线分别交A C、AB于F、E,设 诞=x,平行四边形A E M F的面积是y

14、.B C求：(1)y与x的函数关系式；(2)当x是何值时，y有最大或最小值？求出此值.【分析】(1)由 ME C A,MF A 8 可得BMES/BCA,AM CF ABCA,从而可得 SB ME=P/,S&MCF=P(1 -X)2,进而求解.(2)将函数解析式化为顶点式求解.【解答】解：(1),：ME/CA,MF/AB,:.A B M E s A B C A,XMCFS X B C A*BJ X fB C.SA B ME SA B ME /C M x 2-22A B C A P B CSa hcf-(C M)2=(黑二则.)2=(i -x)2,P B C B C:SB M E=P?，SMCF

15、=P(1 -X)之,：.y=P-Px1-P(1 -x)2=P(-2J?+2X).(2)：y=P(-2?+2x)=-I P(x-A)2+A p,2 2；.y有最大值，当 犬=/时，y=为最大值.3.如图，一张正方形纸板的边长为10cm将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形(图中阴影部分).设 4 =8 尸=6=。”=1(0 九)，阴影部分的面积为y(c m?).(1)求 y 关于x的函数解析式和自变量x的取值范围.(2)当x取何值时，阴影部分的面积达到最大，最大值为多少？【分析】(1)由 AE=BB=CG=OH=X(CTH)得出 B E=C F=D G=A H=(1 0-x)(c w),然

16、后根据三角形面积求解.(2)将解析式配方求解.【解答】解：(1)VAE=BF=C G=D H=x Cem),；.BE=CF=DG=AH=(1 0-x)(cm),.y=4 X*x (1 0-x)=-2?+20 x (0 x 1 0).(2)V y=-2?+20 x=-2(x-5)2+50,x=5时，阴影部分面积最大值为50 c,“2.4.已知函数y=-/+b x+c (6,c为常数)的图象经过点(0,-3),(-6,-3).(1)求b,c的值.(2)当-4 W x W 0时，求y的最大值.(3)当”?W x W 0时，若y的最大值与最小值之和为2,求m的值.【分析】(1)将图象经过的两个点的坐标

17、代入二次函数解析式解答即可；(2)根据x的取值范围，二次函数图象的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质判定y的最大值即可；(3)根据对称轴为x=-3,结合二次函数图象的性质，分类讨论得出m的取值范围即可.【解答】解：(1)把(0,-3),(-6,-3)代入 _ y -/+bx+Ci得 b-6,c-3.(2)V y=-x1-6x-3=-(x+3)2+6,又：-4 W x W 0,.当x=-3时，y有最大值为6.(3)当-3 m 0时，当x=0时，y有最小值为-3,当x=m时，y有最大值为-P-6 i -3,-n?-6m-3+(-3)2,.m=-2 或 m=-4(舍 去).当 mW-3 时，当x=

18、-3 时 y 有最大值为6,的最大值与最小值之和为2,最小值为-4,/.-(机+3)2+6=-4,-3-V 10或 m=-3+V10(舍去).综上所述，机=-2 或-3-JT 3.5.如图，在 RtZA8C中，ZB=90,AB=6cni,BC=10a”，点尸从点A 开始沿AB边向点B移动，速度为Icro/s；点 Q 从点B开始沿B C边向点C移动，速度为2cmis,煎P、。分别从点A、8 同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动.(1)几秒时，PQ 的长度为3代 c力?(2)几秒时，PBQ的面积为8C/2?(3)当/(0 /解得：f=3 或-3 (负数不合题意，舍去).5.3秒时，

19、P 0 的长度为3代 C M 2；(2)设运动时间为f 秒时，尸8。的面积为8 a#,依题意得：AP=tcm,BQ=2tcm,0W/W5,PB(6-/)cm.尸B。的面积为8cM2,.A x (6-r)X2 f=8.2解得：f=2或 4.；.2或 4 秒时，PBQ的面积为8”?.(3)四边形APQC的面积=SABC-SAPBQ X A B B C-X B Q P B=AX6X 1 0-X(6-力 X2 r2 2=F -6f+3 0=(f-3)2+21,.当f=3时，四边形A P 0c的面积最小，最小值为2 1.6.已知，如图，矩形ABCD中，AD=6,C=8,菱 形 EFGH的三个顶点E,G,

20、H 分别在矩形ABC。的边48,CD,D 4上，A H=2,连接CF.(1)若。G=2,则四边形EFG”的形状为 正 方 形.(2)若。G=5,求尸CG的面积.(3)当。G为何值时，尸CG的面积最小，并求这个最小值.【分析】(1)证 明R t A A H E W R t A D G H (H L),推导出NE/G=90,从而证明出四边形H E F G为正方形；(2)过 尸 作 FM_LOC,交 OC延长线于M,连接GE,证明入 畛例尸G (A A S),得到 FCG的高FM=HA=2,根据三角形面积公式即可得出答案；(3)设 G=x,由(2)得：SAF C G=2 X B W X G C=LX

21、2 X G C=8-x,根据勾股定理2 2求出x 的最大值即可得出答案.【解答】解：(1)四边形A8C。为矩形，四边形HEFG为菱形，.Z D=Z A=90,H G=H E,又：AH=)G=2,RtAA/ZERtADGW(H L),:D H G=/H E A,V ZAHE+ZHEA=90,:./AHE+NDHG=90,:.NEHG=90,四边形/EFG为正方形；故答案为：正方形；(2)过尸作FM_LQC,交 O C延长线于M,连 接 GE,VAB/CD,：.NAEG=NMGE,：HE/GF,：.ZH EG=ZFGE,：.NAEH=NMGF,在和MFG中，V ZA=ZM=90,NAEH=NMGF

22、,HE=FG,:./A H E/M F G (A A S),；.FM=HA=2,即无论菱形EFGH如何变化，点 F 到直线CD的距离始终为定值2,因此 SAFCG=XFMX GC2=JLX 2 X(8-5)2=3；(3)设 G=x,由(2)得：SN C G=LXFMXGC2=JLX 2 X G C2=8-x,在 RlAHE 中，AEWAB=8,HE2=AH2+AE2 W 22+82=68,：.HG1=DH2+DG2=(6-2)2+/W68,.xW2V1,.当G=2j石 时，F C G 的面积最小，最小值为8-2/正.GD7.如图，在平面直角坐标系中，点 A,B 是一次函数y=x图象上两点，它们

23、的横坐标分别为a,a+3,其中“0,过点A,8 分别作y轴的平行线，交 抛 物 线-4x+8于点C,D.(1)若 A O=2 C,求 a 的值；(2)点 E 是抛物线上的一点，求48E面积的最小值.【分析】(1)将已知点的坐标代入相应的函数解析式，再结合A D=B C,可得关于a 的方程，解得a 的值即可；(2)设点(根，m2-4/77+8),过 E 作 E M 垂直于x 轴交A B 于点M,作 B凡LEM,AGA.EM,垂 足 分 别 为 凡 G,由题意可得M (小 M ,从而可用含机的式子表示出E M 的长，根据二次函数的性质及三角形的面积公式可得答案.【解答】解：(1”.点4,B 是一次

24、函数y=x图象上两点，它们的横坐标分别为“，。+3,A(a,a),B(a+3,a+3).y=x2-4x+8=(X-2)2+4,将 x=a 代入得：y Ca-2)2+4；将 x=a+3 代入得：y=(a+1)2+4.：.D(a,(a-2)2+4),C(a+3,(a+1)2+4),：.AD(a-2)2+4-a,CB=(a+1)2+4-(a+3).由 AD=8C 得：(a-2)2+4-(a+1)2+4-(a+3),=1 .(2)设点E(机，川-4 汁 8),过 E 作 E M 垂直于x 轴交A B 于点M,作 BRLEM,AGLEM,垂足分别为F,G,111 Q.S A A B E=S A A M+

25、5AM B=yE M -A G+yE M -B F=-E M (A G+B F )=qmT5、2 2 18由3o,得 SAABE有最小值.2当 立 时，S&ABE的最小值为2 L.2 88.定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x 0)(1)己知点A (-5,8)在一次函数y=or-3的相关函数的图象上，求a的值；(2)已知二次函数y=-/+4 x-微.当点B U n,3)在这个函数的相关函数的图象上时，求机的值；2 当-3 W x W 3时，求函数y=-7+4X-2的相关函数的最大值和最小值.【分析】(1)写出y=a x-3的相关函数，代入计算；(2)写出二次函数产-7+4 x-

26、卷的相关函数，代入计算；根据二次根式的最大值和最小值的求法解答.【解答】解：-3的相关函数产a x+3 0)将 A (-5,8)代入 y=-or+3 得：5 +3 =8,解得4=1；(2)二次函数丁=-f+4 龙-的相关函数为y=x2-4 x-y(x 0)n 1-x+4 x-(x O)当?vo时，将 3 (“，旦)代 入 y=/-4 x+22 2得 P-4m+=f2 2解得：m=2+遍(舍 去)，或机=2-病,当机5 0 时，将 3 G n,)代入y=-/+4x-1 得：2 291 Q-in+4m-=,2 2解得：巾=2+&或?=2-弧.综上所述：m=2-通 或，=2+&或 m=2 -&；当-

27、3 W x=4B=4,B C=8,点 P,。分别是线段AO,BC上的点，BQ=2AP,过点P 作 PRAB交 8。于 R,记 y 表示 PRQ的面积，x 表示线段AP的长度.如果在一个直角三角形中，它的两个锐角都是45,那么它的两条直角边的长度相等，请你根据题目条件，写出表示变量y 与 x 关系的关系式.(3)当3=2 时,y 取得最大值 2 .D【分析】(1)根据三角形内角和定理可求/O B C,根据角平分线的定义可求/A 3。，可得/A 8 C=9 0 ,从而求解；(2)根据三角形面积公式即可求解；(3)利用配方法可求y的最大值.【解答】(1)证明：；N C=4 5 ,Z B)C=9 0

28、,.,.Z D B C=1 8 0-4 5 -9 0 =4 5 ,：8。平分NA B C,；.NABD=NDBC=45 ,A ZABC=90；(2)解：y(4 -x)x=-工7+2%；2 2(3)解：当x=2时，y取得最大值2,y=-X2+2X2=-(x2-4 x+4)+22=(x-2)+2,2故当x=2时，y取得最大值2.故答案为：2,2.1 0.如图，在菱形A B C。中，A B=6,N A O C=1 2 0 ,P为对角线4c上的一点，过P作PEAB 交 A D 与 E,P F A D 交 C D 于 F,连接 B E、BF、EF.(1)求A C的长；(2)求证：8 E F为等边三角形；

29、(3)四边形8 E P尸 面 积 的 最 小 值 为 生 巨.一 2 一BEDC【分析】(1)连接B O,交AC于G,根据菱形的性质得出BD_L4C,AG=CG=AC,2然后解直角三角形全等A G,即可求得AC；(2)根据平行线的性质证得NCPF=NCA,四边形DEPF是平行四边形，即可证得FC=ED,然后证得.BED丝 BFC(SAS),得 至U BE=8凡 NEBD=NFBC,进一步证得NEBF=60,即可证得结论；(3)由 可知S四 边 形BEOF=SABOC=/X 6X亨 乂6=外行，作于H，设F C=x,则DF=6-x,解直角三角形求得P”，然后根据平行四边形的面积公式得 到S四边影

30、DEPF=DFPH=W-X(6-x)=-近 (x-3)2+A/3即可得到S 四 边 彩2 2 2BEPFS 四 边 形BEDF-S 四 边 形DEPF=9A/-(6-X)(X-3)2+2F，求得四2 2 2边形8EPF面积的最小值.【解答】(1)解：连接8 0,交AC于G,:菱形ABC。中，AC和 是 对 角 线，:.BDLAC,AG=CG=AC,2：AB=6,ZADC=1 2 0,./54C=NBCA=3 0,在 RtZA8G 中，4G=ABcosN8AC=6X近=3百，2：.AC=2AG=6yf3；(2)证明：,在菱形 ABC。中，AB=f,ZADC=U0,；.NBAD=NBCD=60,N

31、A8O=/C B O=/A O B=/C2=60,.ABO是等边三角形，:.BD=AB=BC=6,：PE/AB,PF/AD,：.ZCPF=ZCAD,四边形。EPF是平行四边形，：.ED=PF,：AD=DC,J.ZCADZACD,：.ZCPF=ZACD,；.PF=FC,：.ED=FC,在ABED和4 8尸C中ED=FC.S 四边形B E P F=S 四边形BEOF-S 四边形。EPF=9。-x*(6 -x)(x -3)2+2、n，2 2 2.逅 0,2二四边形B E P F面积有最小值为故答案为9 M.21 1.某企业为杭州计算机产业基地提供电脑配件.受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原

32、材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格yi（元）与月份x（lWx9,且 x取整数）之间的函数关系如下表：随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至 12月每件配件的原材料价格月份X123456789价格）“（元/件）560580600620640660680700720心（元）与月份尤（I 0 W x W 1 2,且 x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出）1与X 之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出），2 与X 之间满足的一次函数关系式;（2）若去年该配件每件的售价为1 0 0 0 元

33、，生产每件配件的人力成本为5 0 元，其它成本3 0 元，该配件在1 至 9 月的销售量“（万件）与月份x满足关系式m=0.+1.1 （I WXW9,且 x取整数），1 0 至 1 2 月的销售量9（万件）辟=-O.l x+2.9（1 0 x W 1 2,且 x取整数）.求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润.【分析】（1）利用待定系数法，结合图象上点的坐标求出一次函数解析式即可;（2）根据生产每件配件的人力成本为5 0 元，其它成本3 0 元，以及售价销量进而求出最大利润.【解答】解：（1）利用表格得出函数关系是一次函数关系:设 y i=f c r+6,.fk+b=560I2k

34、+b=580解得：”=20,lb=540.y i=2 0 x+5 4 0,利用图象得出函数关系是一次函数关系:设 y2=ax+c,.J10a+c=730,ll2a+c=750,解得：产0.lc=630/.)2=1 0 x+6 3 0.(2)去 年 1 至 9 月时，销售该配件的利润w=p i (1 0 0 0-5 0-3 0-y i),=(O.l x+1.1)(1 0 0 0-5 0-3 0-2 0%-5 4 0)=-2 x2+1 6 x+4 1 8,=-2 (x-4)2+4 5 0,(1 WXW9,且 x 取整数)V -2 0,1 WXW 9,.当 x=4 时，w 最大=4 5 0 （万元）

35、；去 年1 0至1 2月时，销售该配件的利润w=p 2 （1 0 0 0 -5 0 -3 0 -*）=（-O.l x+2.9）（1 0 0 0 -5 0 -3 0-1 0 x-6 3 0）,=（x-2 9）2,（1 0 W x W 1 2,且 x 取整数），；1 0 x W 1 2 时，.,.当 x=1 0 时，w 最大=3 6 1 （万元），V 4 5 O 3 6 1,A去年4月销售该配件的利润最大，最大利润为4 5 0万元.1 2.对称轴为直线x=-1的抛物线y=f+6 x+c,与x轴相交于A,B两点，其中点A的坐标 为（-3,0）.（1）求点B的坐标.（2）点C是抛物线与y轴的交点，点Q

36、是线段4 c上的动点，作。工轴交抛物线于点 Q,求线段。长度的最大值.【分析】（1）利用二次函数对称性即可得出8点坐标；（2）首先利用待定系数法求二次函数解析式，进而求出直线A C的解析式，再利用-x-3-（f+2x-3）进而求出最值.【解答】解：（1）点4（-3,0）与点B关于直线苫=-1对称，.点B的坐标为（1,0）.(2)*.,a=l,.,.y=x2+bx+c.抛物线过点(-3,0),且对称轴为直线x=-l,9-3b+c=0解得：,b=2I c=-3/.y=x2+2x -3,且 点。的坐标为（0,-3）.设直线A C的解析式为y=tnx+n,则 3m+n=0,1 n=_3解得m,1 n=

37、3工 尸-x-3如图，设点。的坐标为(x.y),-3W x0.则有。D=-x-3 -(/+2 x-3)=-f-3 x=-(x+&)2+92 4.-3 W-g wo,.当x=-3 时，。有最大值目.2 2 4线段。长度的最大值为日.1 3.已知边长为6 的正方形A B CQ,点 F 从 A 点出发，以 2 个单位长度/秒顺时针运动，点。从 A 点出发，以 3 个单位长度/秒逆时针运动，当尸、。两点相遇时运动停止，设运动时间为人(1)当 f=l 秒时，求AP。的面积；(2)APQ的面积等于空时，求 r 的值；4(3)求APQ面积的最大值.【分析】(1).SAAPQ=*APA Q=*X 2fX 3八

38、(2)分类讨论点P,。在各边面积的解析式然后求值.(3)计 算(2)中各解析式面积最大值.【解答】解：(1)r=l 时，AP=2t=2,AQ=3t=3,&APQ=/AP.A Q=/X2X 3=3-(2)当 0 f 2 时，P 在 A 8上，Q 在 AD上,SiPQ=AP-AQ=X.2r X 3t=3p,3W 12,不符合题意.当2fW3时，。在CD上，P在AB上,S&APQ=AP-AD=X 6X 2t=6t,6t=更 时，f=H.4 8当3WfW4时，P在8 c上，。在CD上，SAAPQ=S 正方影 ABCD-Si,ABP-S&PCQ-SM DQ-A D2 AB2-3+15f.-3p+15f=

39、至时，解得z=工 或f=3 （舍）.4 2 2BP-工PCCQ-工AODQ=2 2CD当 丝，5A4PG=A x6(24-5f)=7 2-5t,5 2 27 2-1 5f 1 2,不符合题意.综上所诉，/=旦 或/=工.8 2(3)由(2)得，当2 0W3时S=6f,f=3时S取最大值为1 8,当3W/W 4时-3尸+1 5=-3(L 2+匹，当f=3时S取最大值为1 8.2 4；./=3时，AP。面积的最大值为1 8.1 4.定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x =x-1(x0)已知二次函数y=-x2+6x直接写出已知二次函数的相关函数为)，=_，x2-6x(x 0)(2)当

40、点8(m,星)在这个二次函数的相关函数的图象上时，求山的值;2(3)当-3 W x W 7时，求函数y=的相关函数的最大值和最小值.【分析】(1)根据相关函数的定义即可找出二次函数y=-/+6x+*的相关函数，将点4(-5,8)代入y=-ax+3中即可求出a值；(2)分根 0及机2 0两种情况考虑，代入点B(m,3)的坐标求出加值即可；2(3)分-3 W x 0及0 W x W 7两种情况，找出函数y=-/+6x+/的相关函数的最大值和最小值，综上即可得出结论.【解答】解:(1)二次函数=-的相关函数为y=2x2-6x-(x 0)故答案为：x -6x (x 0)(2)当,w 0 时，把 8(m

41、,W)代入 y=-6 x-工得：7 2-6 7-2=3,2 2 2 2解得：，=3+j n (舍去)或?=3-m当?0 时，把 B(7?,)代入 y=-7+6X+2得：-,#+6%+=3,2 2 2 2解得：，=3 2&,综合上述：相=3-近！或,“=3-2&或3+2&；(3)当-3 0 时，y=/-6 x-=(x-3)2-乌2 2抛物线的对称轴为直线x=3,在-3 W x V O上，y随x的增大而减小,，当x=-3时，y取最大值，最 大 值 为.；当 OW x W 7 时，y-X2+6X+-(x -3)2+-i -,2 2.抛物线的对称轴为直线x=3,.当x=3时，)，取最大值，最 大 值

42、为，当x=7时，y取最小值，最 小 值 为-专综上所述：当-3 W x W 7时，所求函数的相关函数的最大值为里，最 小 值 为-尤221 5.定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x 0时，它们对应的函数值互为相反数；当x2 O时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数.例 如：一次函数y=x-l,它的相关函数为丫=-x+1(x =_ x2-6 x-(x 0)5,8)在一次函数y=a x-3的相关函数的图象上，求”的值；(2)当点B(m,3)在这个二次函数的相关函数的图象上时，求，的值：2(3)当-3 7时，求函数)，=-7+6吗的相关函数的最大值和最小值.【分析

43、】(1)根据相关函数的定义即可找出二次函数y=-x 2+6x+/的相关函数，将点4(-5,8)代入y=-ax+3中即可求出a值；(2)分机 0及，”N O两种情况考虑，代入点8(?，3)的坐标求出，“值即可；2(3)分-3W x 0及0 W x W 7两种情况，找出函数y=-/+6x+/的相关函数的最大值和最小值，综上即可得出结论.【解答】解:(1)二次函数)，=x 2+6 x V的相关函数为)=x 2-6x (x 0):点A(-5,8)在一次函数3的相关函数的图象上,*_(-5)。+3=8,故答案为：x2-6x y(x 0)(2)当机 0时，有加2 一6?-=反，2 2解得：=3-1 1，n

44、i2=3+yj 1 1 (舍 去)；当机2 0时，有-W2+6MJ+=,2 2解得：加3=3-2&,?4=3+2&.综上所述：机的值为3-/五、3-2&或3+2&.(3)当-3 0 时，y=x1-6 x-=(x-3)2-乌2 2.抛物线的对称轴为直线x=3,在-3 W x 2 2,mwc4,3=4,参照上面的材料，解答下列问题：(1)max5,2=5,max0,3=3；(2)若/c3x+l,-x+=-x+l,求 x 的取值范围；(3)求函数y=f -2%-4 与 y=-x+2的图象的交点坐标，函数y=/-2x-4 的图象如图所示，请你在图中作出函数尸=-x+2 的图象，并根据图象直接写出MX-

45、x+2,?-2 x-4的最小值.【分析】(1)根据?这他，外表示a、两数中较大者，即可求出结论；(2)根据欣tv3x+l,-x+=-x+l,即可得出关于x 的一元一次不等式，解之即可得出结论；(3)联立两函数解析式成方程组，解之即可求出交点坐标，画出直线y=-x+2 的图象，观察图形，即可得出，-x+2,x2-2x-4的最小值.【解答】解：(1)max5,2=5,max0,3=3.故答案为：5；3.(2)max3x+l,-x+l=-x+l,.3x+l W-x+1,解得：xWO.(3)联立两函数解析式成方程组，,_v2 9,f X,=-2(Xn=3.y-x -2 x-4,解得：1 ,2y=-x+

46、2 Y I=4 y2=-l交点坐标为(-2,4)和(3,-1).画出直线y=-x+2,如图所示，观察函数图象可知：当x=3时，相o r -x+2,/-2 r -4 取最小值-1.17.已知关于x的函数y=f c?+(2 k-1)x-2(E为常数).(1)试说明：不论A取什么值，此函数图象一定经过(-2,0)；(2)在x 0时，若要使y随x的增大而减小，求k的取值范围；(3)试问该函数是否存在最小值-3?若存在，请求出此时我的值；若不存在，请说明理由.【分析】(1)将x=-2代入计算，函数值为0即可.(2)分两种情形讨论：若k=0,此函数为一次函数y=-X-2,若根据二次函数的性质即可解决问题.

47、(3)分两种情形讨论：若A=0,不存在，k 2 列出方程即可解决.【解答】解：(1)将 x=-2 代入，得 y=k(-2)2+(2 Z：-1)(-2)-2=0,故不论k取何值，此函数图象一定经过点(-2,0).(2)若上=0,此函数为一次函数y=-X-2,当x 0时，)，随x的增大而减小，.k=0符合题意.若#0,此函数为二次函数，而图象一定经过(-2,0)、(0,-2)要使当x 0时，y随x的增大而减小，开口向下，须满足0,4k解得：&=2 返 符 合 题 意，2当左=2 土 时,函数存在最小值-3.218.设 小6是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式“W x W b的实数x的所有取值的

48、全体叫做闭区间，表示为 a,b.对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值.（1）函数y=-7+4 x-2在区间 0,5 1上 的 最 小 值 是-7（2）求函数y=2 V在区间10,上的最小值.（3）求函数y=7 -4 x-4在区间 L 2,L l （f为任意实数）上的最小值加加的解析式.【分析】（1）先求得抛物线的对称轴、顶点坐标，然后画出抛物线的大致图象，根据函数图象可知当x=-5时，函数值最小：（2）先画出函数的大致图象，然后根据函数图象可知当x=0时，函数值最小；（3）先求得抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称轴在区间 2,L 1的左侧、区间内、区间右侧分类讨论即可.【解答】

49、解：（1）y=-7+4 x-2其对称轴为直线为x=2,顶点坐标为（2,2）,函数图象开口向下.（2）y=（x 4）2v 其对称轴为直线x=-1，顶点坐标（得，卷），且图象开口向上.其顶点横坐标不在区间 0,曰 内，如图2所示.图2当x=0时，函数y有最小值v =i.J m i n x(3)将二次函数配方得：y=-4 x-4=(x -2)2-8其对称轴为直线：x=2,顶点坐标为(2,-8),图象开口向上若顶点横坐标在区间 L 2,L 1 左 侧,则2 V L 2,即f 4.当 x=f-2 时，函数取得最小值：ym i n=(t-4)2-8=t2-8t+8若顶点横坐标在区间 L 2,L 1 上，则

50、L 2f 1,即3 WW4.当X=2时，函数取得最小值：ymin=8若顶点横坐标在区间 2,1 右侧，则 14)综上讨论，得1 n=-8(34t 4).,t 2-6 t+l (t 3)1 9.阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若求二次函数)，=7-6 x+7的最大值.他画图研究后发现，x=l和x=5时的函数值相等，于是他认为需要对机进行分类讨论.他的解答过程如下：:二次函数y=7 -6 x+7的对称轴为直线x=3,工由对称性可知，x=l和x=5时的函数值相等.若则x=l时,y的最大值为2；若?5,则x=%时，y的最大值为，“2 -6,“+7.请你参考小明的思路，解答下列问题：(1)