山东省青岛市中考数学试题（解析版）-001.pdf

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1、2019年山东省青岛市中考数学试卷一、选 择 题（本大题共8 小题，每小题3 分，共 24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（3分）的相反数是（）3.（3 分）2019 年 1月 3日，我 国“嫦娥四号”月球探测器在月球背面软着陆，实现人类有史以来首次成功登陆月球背面.已知月球与地球之间的平均距离约为3 8 4 000b ,把3 8 4 000如?用科学记数法可以表示为（）A.3 8.4 X 10%n B.3.8 4 X 105 痴C.0.3 8 4 X 106A:m D.3.8 4 X 06km4.（3 分）计 算（-2 M?（-，筌/2+3，3）的结果是（）A.8

2、m5 B.-8m5 C.8m6 D.-4;M4+12W55.（3分）如图，线段4B经 过 的 圆 心，AC,B Z）分别与。相切于点C,D.若 A C=BD=4,Z A=4 5 ,则而的长度为（）6.（3分）如图，将线段AB先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转9 0 ,得到线段A B,则点8的对应点8的坐标是（)A.(-4,1)B.(-1,2)C.(4,-1)D.(1,-2)7.(3 分)如图，是ABC的角平分线，A ELB D,垂足为F.若NA8C=35,Z C=50,则/C Q E 的度数为()A.35 B.40 C.45 D.508.（3 分）已知反比例函数了=或的图象

3、如图所示，则 二 次 函 数 了=/-和一次函数yx=法+在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）二、填 空 题（本大题共6 小题，每小题3 分，共 18分）9.（3 分）计算：运3 叵-（）=_V210.（3 分）若关于x 的一元二次方程2?-x+m O有两个相等的实数根,则，的值为.II.（3 分）射击比赛中，某队员10次射击成绩如图所示，则该队员的平均成绩是 环.12.（3 分）如图，五边形ABCDE是 的 内 接 正 五 边 形，AF是。的直径，则/8 O 尸的度数是_13.（3 分）如图，在正方形纸片ABCZ）中，E 是 CZ）的中点，将正方形纸片折叠，点 B 落在线段A E上的点G

4、处，折痕为A F.若A D=4 c m,则CF的长为 cm.14.（3 分）如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体.若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走个小立方块.三、作 图 题（本大题满分4 分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.1 5.（4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.已知：Z a,直线/及/上两点A,B.求作：R t AAf i C,使点C在直线/的上方，且N ABC=9 0 ,Z B A C Z a.四、解 答 题（本大题共9小题，共74分）2 ,21 6.（8分）化简：史工+n-2

5、）；m mI J_/A（2）解不等式组 5、飞5,并写出它的正整数解.3 x-l 81 7.（6分）小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字1,2,3,4的4个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同.从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字.若两次数字差的绝对值小于2,则小明获胜，否则小刚获胜.这个游戏对两人公平吗？请说明理由.1 8.（6分）为了解学生每天的睡眠情况，某初中学校从全校80 0名学生中随机抽取了 4 0名学生，调查了他们平均每天的睡眠时间（单位：刀），统计结果如下：9,8,1 0.5,7,9,8,1 0,9.5,8,9,9.5,7.5,

6、9.5,9,8.5,7.5,1 0,9.5,8,9,7,9.5,8.5,9,7,9,9,7.5,8.5,8.5,9,8,7.5,9.5,1 0,9.5,8.5,9,8,9.在对这些数据整理后，绘制了如下的统计图表：睡眠时间分组统计表睡眠时间分布情况请根据以上信息，解答下列问题:组别睡眠时间分组人 数（频数）17 W/V 8m28 4 V91 139 1 0n4104 V114（1）m,n,a，b；（2）抽取的这4 0名学生平均每天睡眠时间的中位数落在 组（填组别）;（3）如果按照学校要求，学生平均每天的睡眠时间应不少于9，请估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数.睡眠时间分布情况19.（6 分）

7、如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道4 B,栈道AB与景区道路CD平 行.在 C 处测得栈道-端 A 位于北偏西42。方向，在。处测得栈道另一端 3 位于北偏西3 2 方向.已知 8=1 2 0?，B D=S 0 m,求木栈道AB的 长 度（结果保留整数）.（参考数据：sin32 cos32 tan32 gsin42 =空，cos42 g W,32 20 8 40 4tan4210北20.（8 分）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5 天.（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？（2）已知甲、乙两人

8、加工这种零件每天的加工费分别是150元 和 120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成.如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？21.（8 分）如图，在。中，对角线4 c 与 3。相交于点。，点 E,F 分别为OB,O D的中点，延长AE至 G,使 E G=A E,连接CG.（1）求证：A B E 9 X C D F：（2）当A B与A C满足什么数量关系时，四边形E G C F是矩形？请说明理由.2 2.（1 0分）某商店购进一批成本为每件3 0元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x （元）之间满足一次函

9、数关系，其图象如图所示.（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于5 0元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于8 0 0元，则每天的销售量最少应为多少件？2 3.（1 0分）问题提出：如图，图是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图是一张a X Z,的方格纸（a X b的方格纸指边长分别为“，方的矩形，被 分 成 个 边 长 为1的小正方形,其 中。2,b 2 2,且a,人为正整数）.把图放置在图中，使它恰好盖住图中的三个小正方形，

10、共有多少种不同的放置方法？问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论.探究一：把图放置在2X2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图，对 于2X2的方格纸，要用图盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法.探究二：把图放置在3义2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图，在3X2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的2 2X方格，依据探究一的结论可知，把图放置在3X2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2X4=8种不同的放置方法.探究三：把图放置

11、在X2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图，在“X2的方格纸中，共可以找到 个位置不同的2X2方格，依据探究一的结论可知，把图放置在aX2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有种不同的放置方法.探究四：把图放置在X3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图，在“X3的方格纸中，共可以找到 个位置不同的2X2方格，依据探究一的结论可知，把图放置在X3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有种不同的放置方法.问题解决：把图放置在Xb的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前

12、面的探究方法，写出解答过程，不需画图.）问题拓展：如图，图是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图是一个长、宽、高分别为b,c（“2 2,c 2 2,且“，b,c是正整数）的长方体，被分成了 a X b X c个棱长为1的小立方体.在图的不同位置共可以找到 个图这样的几何体.m图田 田 田 田图图24.(12 分)已 知：如图，在四边形 4BC。中，AB/CD,/4C B=90,ABW cm,BC=S c m,。力垂直平分A C.点 P 从点B 出发，沿班方向匀速运动，速度为lcm/s；同时，点。从点。出发，沿。C 方向匀速运动，速度为1C7M/S;当一个点停止运动，另一个点也停止运动.

13、过点P 作交BC于点E,过点Q 作。尸A C,分别交AQ,0。于 点 凡 G.连接OP,E G.设运动时间为f(s)(0 /=N B A C=9 5 ,根据四边形的内角和平角的定义即可得到结论.【解答】解：8。是 A B C 的角平分线，AE L BD,：./A B D=N E B D,N A F B=N E F B,：BF=BF,:./XABF sXE BF(A S A),：.AF=E F,AB=BE,：.AD=D E,V Z A B C=3 5 ,ZC=5 0 ,：.ZBAC=S0a-Z A B C-ZC=9 5 ,rAB=BE在 D A B 与 O E B 中，A D=D E ,BD=B

14、D,：./ABD/E AD(S S S),:.NBE D=/BAD=95 ,A ZAD=360-95-95-35=145,A ZCDE=180-ZADE=35,故选：A.【点评】本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.8.（3分）已知反比例函数 =生的图象如图所示，则二次函数 y=以2 一缄和一次函数yx=6x+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）【分析】先 根 据 抛 物 线2过原点排除A,再反比例函数图象确定的符号，再由6的符号和抛物线对称轴确定抛物线与直线y=fev+的位置关系，进而得解.【解答】解：.当x=0

15、时，尸-Z t=0,即抛物线y=-2 x经过原点，故A错误;.反比例函数=生的图象在第一、三象限，X/.ah09 即 、b 同号，当a 0时，b 0,直线y=Z?x+a经过第一、二、三象限，故B错误，C正确.故选：C.【点评】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想.二、填 空 题（本大题共6 小题，每小题3 分，共 18分）9.（3 分）计算：逗兔（V 3）=2、巧+1 .V 2 【分析】根据二次根式混合运算的法则计算即可.【解答】解：虫 石 叵-（V 3）。=2丑+2-1=2丑+1,V2故答案为：2，+

16、1.【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟记法则是解题的关键.1 0.（3分）若关于x的一元二次方程2?-x+w=O有两个相等的实数根，则，的值为 1.-8.-【分析】根 据“关于x的一元二次方程2?-加=0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于机的一元一次方程，解之即可.【解答】解：根据题意得：=1 -4 X 2 m=0,整理得：1-8加=0,解得：机=工，8故答案为：1.8【点评】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键.1 1.（3分）射击比赛中，某队员1 0次射击成绩如图所示，则该队员的平均成绩是8.5环.【解答】解：该队员的平均成绩为-（1 X 6+1

17、X 7+2 X 8+4 X 9+2 X 1 0）=8.5 （环）；10故答案为：8.5.【点评】本题考查了加权平均数和条形统计图；熟练掌握加权平均数的计算公式是解决问题的关键.1 2.（3分）如图，五边形A 5 C D E是。0的内接正五边形，A F是。0的直径，则F的度 数 是5 4 .【分析】连接A D,根据圆周角定理得到N4F=90,根据五边形的内角和得到NABC=NC=108,求得/ABD=72,由圆周角定理得到/=/A B O=72,求得/布。=18,于是得到结论.【解答】解：连接AQ,是。的直径，:.NADF=90,.,五边形ABCQE是。的内接正五边形，A ZAB C=ZC=10

18、8,；.NABD=72,:.NF=NABD=72,.*.ZMD=18,：.ZC D F=ZD A F=l8a,:.NBDF=36+18=54,故答案为：54.【点评】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.13.（3 分）如图，在正方形纸片A8CQ中，E 是 CZ）的中点，将正方形纸片折叠，点 B 落在线段AE上的点G 处，折痕为A F.若 AQ=4c?，则 C F的 长 为 6-2证 皿【分析】设B F=x,则F G=x,C F=4 -x,在 R t A G F 4 1,利用勾股定理可得E F?=（2疾-4）2+/,在 R t/F C 中

19、，利用勾股定理可得产=（4-x）2+2 2,从而得到关于x方程，求解x,最后用4-x 即可.【解答】解：设则/G=x,C F=4 -x.在 R t Z A O E 中，利用勾股定理可得A E=2脏.根据折叠的性质可知A G=A8=4,所以G E=2 泥-4.在 R t Z X G E F 中，利用勾股定理可得尸=（2脏-4）2+?,在 R t 尸CE中，利用勾股定理可得产=（4-x）2+22,所 以（2 泥-4）2+/=（4 -X）2+22,解得 x=2 V 5-2.则 F C=4 -x=6-2 加.故答案为6 -2 /5-【点评】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理.折叠问题主要是抓住折叠的不

20、变量，在直角三角形中利用勾股定理求解是解题的关键.1 4.（3分）如图，一个正方体由2 7 个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体.若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走4 个【分析】根据新几何体的三视图与原来的几何体的三视图相同解答即可.【解答】解：若新几何体与原正方体的表面积相等，则新几何体的三视图与原来的几何体的三视图相同，所以最多可以取走4个小立方块.故答案为：4【点评】本题主要考查了几何体的表面积，理解三视图是解答本题的关键.用到的知识点为：主视图，左视图与俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形.三、作 图 题（本大题满分4 分）请

21、用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.1 5.（4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.已知：Za直线/及/上两点4,B.求作：R t A A B C,使点C在直线/的上方，且N A BC=9 0 ，Z B A C=Z a.【分析】先作/D4B=a,再过8点作B E,A B,则 AD与 B E 的交点为C点.【点评】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.四、解 答 题（本大题共9 小题，共 74分）2

22、 ,21 6.（8 分）化 简：即 工+（r a +n-2 n）；m m 1 J_式反（2）解不等式组1 5、飞 5,并写出它的正整数解.3x-l8【分析】（1）按分式的运算顺序和运算法则计算求值；（2）先确定不等式组的解集，再求出满足条件的正整数解.【解答】解：（1）原式:变 9+m+n-2 m nm m=ID F x m1 r l（m-n 产=J_;i n-n卜寺4 i 3 x-l 8 由，得 x 2-1,由，得 x3.所以该不等式组的解集为：-x3.所以满足条件的正整数解为：1、2.【点评】本题考查了分式的混合运算、不等式组的正整数解等知识点.解决(1)的关键是掌握分式的运算法则，解 决

23、(2)的关键是确定不等式组的解集.17.(6 分)小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字1,2,3,4 的 4 个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同.从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字.若两次数字差的绝对值小于2,则小明获胜，否则小刚获胜.这个游戏对两人公平吗？请说明理由.【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次数字差的绝对值小于2 的情况数，分别求出两人获胜的概率，比较即可得到游戏公平与否.【解答】解：这个游戏对双方不公平.理由：列表如下:1 2341(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)2(1：,2)(2,2)(3,2)(4,2)

24、3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)4(1，4)(2,4)(3,4)(4,4)所有等可能的情况有16种，其中两次数字差的绝对值小于2 的情况有(1,1),(2,1),(1,2),(2,2),(3,2),(2,3),(3,3),(4,3),(3,4),(4,4)共 10 种,故小明获胜的概率为：则小刚获胜的概率为：-=2,16 8 16 8 5 V*3 f8 8这个游戏对两人不公平.【点评】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平.1 8.（6分）为了解学生每天的睡眠情况，某初中学校从全校80 0名学生中随机抽取了 4

25、0名学生，调查了他们平均每天的睡眠时间（单位：），统计结果如下:9,8,1 0.5,7,9,8,1 0,9.5,8,9,9.5,7.5,9.5,9,8.5,7.5,1 0,9.5,8,9,7,9.5,8.5,9,7,9,9,7.5,8.5,8.5,9,8,7.5,9.5,1 0,9.5,8.5,9,8,9.在对这些数据整理后，绘制了如下的统计图表:睡眠时间分组统计表睡眠时间分布情况组别睡眠时间分组人 数（频数）17 08m28 W f 91 139&10n41 0 W4请根据以上信息，解答下列问题：（1），=7,n=1 ,4=1 7.5%,b=4 5%；（2）抽取的这4 0名学生平均每天睡眠时

26、间的中位数落在“组（填组别）；（3）如果按照学校要求，学生平均每天的睡眠时间应不少于9/n请估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数.睡眠时间分布情况【分析】（1）根据4 0名学生平均每天的睡眠时间即可得出结果；（2）由中位数的定义即可得出结论；（3）由学校总人数X该校学生中睡眠时间符合要求的人数所占的比例，即可得出结果.【解答】解：（1）7 W f =1 2 0,D F=C E,解直角三角形即可得到结论.【解答】解：过 C作 C E _ L A 8 于 E,）F _ L A B 交 A8的延长线于凡则 CE/DF,.AB/CD,二四边形C D F E 是矩形,；.E F=C Z)=1 2 0,D

27、F=CE,在 R t Z iB D 尸中，：ZBD F=3 2 ,B O=8 0,：.D F=cos3 2 8 0=8 0 X 1 1 七68,B F=s in 3 2 B =8 0 x lL 2造，20 32 2：.BE=E F-2在 R t Z X A C E 中，V Z A C =4 2 ,C E=C F=68,.A E=C E n a n 4 2 =68 X=_ 1 2 _,10 5：.A B=A E+B E=l -+-3 4 m,2 5【点评】本题考查解直角三角形-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线.构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.2 0.(8 分)甲、乙两人加工同

28、一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5 倍，两人各加工60 0 个这种零件，甲比乙少用5天.(1)求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？(2)已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是1 5 0 元 和 1 2 0 元，现 有 3 0 0 0 个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成.如果总加工费不超过7 8 00元，那么甲至少加工了多少天？【分析】(1)设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5 x 个零件，根据甲比乙少用5天,列分式方程求解；(2)设甲加工了 x天，乙加工了 y天，根据3 000个零件，列方程；根据总加工费不超过 7 8 00元，

29、列不等式，方程和不等式综合考虑求解即可.【解答】解：(1)设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5 x 个零件，由题意得：逊 _=X600空1.5x化简得 6 00 X 1.5=6 00+5 X 1.5 x解得x=40.1.5 x=6 0经检验，x=4 0 是分式方程的解且符合实际意义.答：甲每天加工6 0 个零件，乙每天加工，40个零件.(2)设甲加工了 x天，乙加工了 y天，则由题意得f 6 0 x+40y=3 000 115 0 x+12 0y F,由S A S 证明A 8 E t g C D F即可；(2)证 出A B=O A,由等腰三角形的性质得出A G 1 O B,N O E G=

30、90 ,同理：C F LO D,得 出E G/C F,由三角形中位线定理得出O E C G,EF/CG,得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论.【解答】(1)证明：四边形A B C。是平行四边形，：.AB=CD,AB/CD,O B=O D,OA=OC,：.N A B E=NCDF,:氤E,F 分别为。分。的中点，:.BE=LOB,DF=1-OD,2 2：.BE=DF,A B=C D在aA B E和中，N B A E=/C D F，B E=D FA/A B E C D F（SAS）；（2）解：当4c=2A B 时，四边形EGCF是矩形；理由如下：AC=20A,AC=2AB,：.AB=OA,

31、是O B的中点，J.AGOB,：.ZOEG=90 ,同理：CF1OD,：.AG/CF,：.EG/CF,:EG=AE,OA=OC,：.O E是X A C G的中位线，OE/CG,：.EF/CG,四边形EGCF是平行四边形，VZOEG=90,四边形EGCF是矩形.【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.22.（10分）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.（1）求该商品每天的销售量y 与销售单价

32、x 之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于5 0 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件?V件100-飞I I 30 45 X/元【分析】(1)将 点(3 0,15 0)、(8 0,100)代入一次函数表达式，即可求解；(2)由 题 意 得 卬=(x -3 0)(-2 x+1 6 0)=-2(%-5 5)2+1 2 5 0,即可求解；(3)由题意得(x-3 0)(-2 x+1 6 0)8 0 0,解不等式即可得到结论.【解答】解：(1)设 y

33、与销售单价x之间的函数关系式为：y=kx+b,将 点(3 0,1 0 0)、(4 5,7 0)代入一次函数表达式得：l 0=3 0 k+b,l 7 0=4 5 k+b解得：=-2 ,l b=1 6 0故函数的表达式为：y=-2A-+1 6 0；(2)由题意得：w=(x-3 0)(-2 x+l 6 0)=-2 (%-5 5)2+1 2 5 0,V -2 0,故当x 5 5 时，w随 x的增大而增大，而 3 0 W x W 5 0,.当x=5 0 时、卬由最大值，此时，卬=1 2 0 0,故销售单价定为5 0 元时，该超市每天的利润最大，最大利润1 2 0 0 元；(3)由题意得：(x-3 0)(

34、-2 r+1 6 0)2 80 0,解得：x W 7 0,每天的销售量y=-2 x+1 6 0 N 2 0,.每天的销售量最少应为2 0 件.【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量X每件的利润=必得出函数关系式是解题关键.2 3.(1 0 分)问题提出:如图，图是一张由三个边长为1 的小正方形组成的“L”形纸片，图是一张a X 匕的方格纸工义6的方格纸指边长分别为小 匕的矩形，被分成a X6个边长为1 的小正方形,其 中“2 2,且 a,b为正整数).把图放置在图中，使它恰好盖住图中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

35、问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论.探究一：把图放置在2 X 2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图，对 于2 X 2的方格纸，要用图盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法.探究二：把图放置在3 X 2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图，在3 X 2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的2 2 X方格，依据探究一的结论可知，把图放置在3 X 2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2X4=8种不同的放置方法.探究三：把图放置在a

36、 X 2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图，在“X 2的方格纸中，共可以找到（a-1）个位置不同的2 X 2方格,依据探究一的结论可知,把图放置在a X 2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有（4 a-4）种不同的放置方法.探究四：把图放置在“X 3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图，在“X 3的方格纸中，共可以找到（2。-2）个位置不同的2 X 2方格,依据探究一的结论可知,把图放置在“X 3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有（8.-8）种不同的放置方法.问题解决：把图放置在 X 6的方

37、格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？(仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图.)问题拓展：如图，图是一个由4个棱长为1 的小立方体构成的儿何体，图是一个长、宽、高分别为b,c (.2 2,6 2 2,c 2 2,且 m c 是正整数)的长方体，被分成了 a X b X c个棱长为1 的小立方体.在图的不同位置共可以找到8(a-1)(匕-1)(c-1)个图这样的几何体.图田 田 田 田图旺 M图图 图【分析】对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解.探寻规律要认真观察、仔细思

38、考，善用联想来解决这类问题.【解答】解：探究三：根据探究二，“X2的方格纸中，共可以找到(a-1)个位置不同的2 X 2 方格，根据探究一结论可知，每 个 2X2方格中有4 种放置方法，所以在aX2的方格纸中，共可以找到(a-1)X 4=(4 -4)种不同的放置方法;故答案为a -1,4 a-4；探究四：与探究三相比，本题矩形的宽改变了，可以沿用上一问的思路：边长为a,有(a -1)条边长为2的线段，同理，边长为3,则有3-1=2 条边长为2的线段，所以在“X3的方格中，可以找到2(a-1)=(2 a-2)个位置不同的2 X 2 方格，根据探究一，在在“X3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小

39、正方形，共 有(方-2)X 4=(8a-8)种不同的放置方法.故答案为2a-2,Sa-8：问题解决：在 aXb的方格纸中，共可以找到(a -1)(/?-1)个位置不同的2 义2方格，依照探究一的结论可知，把图放置在aX6 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有4(a -1)1)种不同的放置方法；问题拓展：发现图示是棱长为2的正方体中的一部分，利用前面的思路，这个长方体的长宽高分别为a、b、c,则分别可以找到(a -1)、(6 7)、(c -1)条边长为 2的线段，所以在a X b X c的长方体共可以找到(a-1)(b-1)(c-1)位置不同的2X2X2的正方体，再根据探究一类比发现

40、，每个2X2X2的正方体有8 种放置方法，所以在a X 6 X c 的长方体中共可以找到8(a-1)(fe-1)(c-1)个图这样的几何体；故答案为 8(a-1)1)(c-1).【点评】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键.2 4.(1 2 分)已 知：如图，在四边形 A B C。中，AB/C D,N A C 8=90 ,AB=Ocm,BC=8e/n,。垂直平分A C.点 P从点8 出发，沿 8 A 方向匀速运动，速度为I c m/s；同时，点。从点。出发，沿力C方向匀速运动，速度为k a/s；当一个点停止运动，另一个

41、点也停止运动.过点P作P E V A B,交B C于点E,过 点。作。/AC,分别交AD,0。于 点 凡G.连接O P,E G.设运动时间为f(s)(0 /OC CD OD 6=1 0=83 CD 0D：.CD=5(.cm),OD=4(cm),：PB=t,PEVAB,易知：P E=lj,B E=3t,44当点E 在/BAC的平分线上时，*：EPA.ABf ECAC,:.PE=EC,8 _ t 4 4.当f 为 4 秒时，点 E 在/BAC的平分线上.(2)如图，连接0,PC.S 四 边 彩OPEG=SAOEG+SAOPE=SAOEG+(SOPC+S&PCE-SAOEC)=1*(4 -1/)3+

42、13(8-1/)+1(8-空力 a-乡)2 5 2 52452 4=-斗+1 与+16(0 /5).3 3(3)存在.v s=-1(/-1)2+毁(0 f)(及y值相同)，则对称轴方程可以表示为：x =人*216、直线与抛物线的交点 y轴与抛物线y=ax1+bx+c得交点为(0,c)。抛物线与x 轴的交点。二次函数y =a x?+/u+c 的图像与x 轴 的 两 个 交 点 的 横 坐 标、x2,是对应一元二次方程ax2+Z?x+c =0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：a有两个交点o(A0)o抛物线与x轴相交：b有一个交点(顶点在x轴 上)o(A=

43、0)o抛物线与x 轴相切；c没有交点(0)o抛物线与x 轴相离。平行于x轴的直线与抛物线的交点同一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为,则横坐标是G?+辰+。=%的两个实数根。一次函数y =kx+n(k H 0)的图像/与二次函数y=ax2+bx+c(a w 0)的图y =kx+n像G的交声，由 方 程 组 ,的解的数目来确定：y=ax+bx+ca方程组,两组不同的解时o/与G有两个交点；b方程组只有一组解时o/与G只有一个交点；c方程组无解时。/与G没有交点。抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线y-ax2+bx+c与x轴两交点为 A（X ,

44、O）,B（X2,O）,则 A B =xt-x图形的定义、性质、判定一、角平分线性质：角的平分线上的点到角两边的 相等.判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在 匕二、线段垂直平分线1.性质：线 段 的 垂 直 平 分 线 上 的 点 与 这 条 线 段 两 个 端 点 的 距 离.2.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上.点拨线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点距离相等的所有点的集合.三、等腰三角形定义、性质：1.定义：有两 相等的三角形是等腰三角形.2.性 质：等 腰 三 角 形 两 个 腰.(2)等 腰 三 角 形 的 两 个 底 角(简 写 成 等 边 对 等 角).

45、等 腰 三 角 形 的 顶 角,底边上的,底边上的 互相重合.等腰三角形是轴对称图形，有 条对称轴.注意(1)等腰三角形两腰上的高相等.(2)等腰三角形两腰上的中线相等.等腰三角形两底角的平分线相等.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行.等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高.判定：1.定义法.2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写为“等角对等边”).注意(1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形.(2)一边上的高与这边所对角的平分

46、线重合的三角形是等腰三角形.一边上的中线与三角形中这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.四、等边三角形1.等边三角形的性质等边三角形的三条边都相等.(2)等边三角形的三个内角都相等并且每一个角都等于60.等边三角形是轴对称图形，并且有 条对称轴.注意等边三角形具有等腰三角形的所有性质.2.等边三角形的判定三条边相等的三角形叫做等边三角形.三个角相等的三角形是等边三角形.有一个角等于6 0 的 三角形是等边三角形五、直角三角形1.定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形.2.直角三角形的性质 直 角 三 角 形 的 两 个 锐 角.直 角 三 角 形 的 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜

47、 边 的.在直角三角形中，3 0 的 角 所 对 的 边 等 于 斜 边 的.(4)在直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30度。(5)、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为。、b,斜边长为c,那 么a2+b2-3.直角三角形的判定(1)、判定：如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三角形是 三角形.(2)、如果三角形的三边长分别为。、b、C,满足M+b2=c 2,那么这个三角形是 三角形.(3)、如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。(4)、直径所对的圆周角是90度。(5)、如果一个三角形的外心在三角形的一条边上，那么

48、这个三角形是直角三角形。(6)、圆的切线垂直于过切点的半径。六、相似三角形1.相 似 三 角 形 的 对 应 角,对应边的比.相似多边形对应角相等，对应边的比.相 似 多 边 形 周 长 的 比 等 于,相似多边形面积的比等于 的平方.2.相 似 三 角 形 的 周 长 比 等 于.3.相 似 三 角 形 的 面 积 比 等 于 相 似 比 的.注意相似三角形的对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比.判定定理：1.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.2.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.3.如果一个三角形的两个角分别与

49、另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.注意直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形都相似.七、位似图形1.定义：两个多边形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做.注意位似图形是相似图形的一个特例，位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形.2.位似图形的性质位 似 图 形 上 任 意 一 对 对 应 点 到 位 似 中 心 的 距 离 之 比 等 于.(2)对 应 线 段 互 相.3.坐标系中的位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为k,那 么 位 似 图 形 对 应 点

50、的 坐 标 的 比 等 于.八、平行四边形1.定义：两组对边分别 的四边形是平行四边形；2.平行四边形的性质平 行 四 边 形 的 两 组 对 边 分 别;(2)平 行 四 边 形 的 两 组 对 边 分 别；平 行 四 边 形 的 两 组 对 角 分 别;平 行 四 边 形 的 对 角 线 互 相.总结J 平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点.判定：1.定义法.2.两组对角分别 的四边形是平行四边形.3.两组对边分别 的四边形是平行四边形.4.对角线 的四边形是平行四边形.5.一组对边平行且_ _ _ _ _ _ 的四边形是平行四边形.九、矩形1.矩形的定义有一个角是直角