安徽省合肥2022届高三下学期5月最后一卷文科数学试题（含答案与解析）.pdf

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1、合肥一六八中学2022届高三最后一卷数 学（文科）（时间：120分钟 分值：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.l.若全集U=R,A =M x l ,则（）A.A B B.8 工电 4 C.D.B A2.设i 是虚数单位，复数Z 1=i

2、 2 2 2,复数Z2=,则 Z-Z,在复平面上对应的点在（）4 +3 1A 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.据 孙子算经中记载，中国古代诸侯 等级从低到高分为：男、子、伯，侯、公，共五级.若要给有巨大贡献的2人进行封爵，假设每种封爵的可能性相等，则两人被封同一等级的概率为（）1 2 八 3 4A.-B.-C.-D.一5 5 5 54 .方程l n（l o g 3 X）=0的 解 是（）A.1 B.2 C.e D.35 .已知正四棱锥的底面边长为2,高为2&，若存在点。到该正四棱锥的四个侧面和底面的距离都等于d,则d=（）A.1 B.B C.D.2 2 26.已知函数/（

3、x）=A s i n（ox+A0,6 y0,|0,!L =2(e N*),则-忙 刍-=()4+1 4 a,a2+a2ai+-+an_lanA.B.C.2 D.44 29.在平面直角坐标系X。)，中，圆 C与圆0:/+)?2 =1 外切，且与直线x-Gy+4 =0 相切，则圆C的面积的最小值为()71_ 71A.i B.71 C.D.2 7r4 92 21 0.已知双曲线T：q =l(a 0 力 0)的左右焦点分别为,工，过耳的直线与双曲线的左右两支分a h别交于A，B 两 点,A B +3 A F i =0,BF -f i A =0 )则双曲线的离心率为()A.72 B.C.V 3 +1 D

4、.5 31 1 .已知函数x)为定义在A上的增函数，且对V x e R,/(x)+/(x)=l,若不等式/(办)+/(l n x)l 对 Vx e(0,+c o)恒成立，则实数a 的取值范围是()(1 1 1 、A.(0,e B.(-oo,e C,0,D.,十 e12 .已知球。是正三棱锥A-5 8 (底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)的外接球,B C =6,AB=4 j 5,点E在线段6。上，且B O =3 B E.过点E作球。的截面，则所得截面面积的最小值 是（）A.3 7 r B.4TT C.8 4 D.9兀二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20分.x+2 y 5

5、 2 013 .若x,y满足约束条件 x 2 y +3 2 0,则z=x+2 y的最大值为.x-5 J_平面P A C；(2)点M在平面尸8 内，直线A M _ 1_平面P 8 )，求四棱锥M-A 3C D的体积.319 .在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c若s inA=g,A=23,角C为钝角，6 =5.(1)求 s in(A-B)的值；(2)求边c的长.2 0.已知函数以 nx,g(x)=3 x 2 -2ax.U )4(1)若。=1,求曲线y =/(x)在点(1 (1)处的切线方程；(2)若当时，/(x)Ng(x)恒成立，求”的取值范围.2 1 .已知椭圆C：1+=1 3

6、力0),右焦点为尸(J 5,0),且离心率为 旦.(1)求 椭 圆C 标准方程;,4(2)设M,N是 椭 圆C上不同的两点，且直线M N与 圆O：炉+,2=相切，若T为 弦M N的中点，求|O 7 ,|MN|的取值范围.(二)选考题：共 10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.Y 3 4-/COS C L2 2.在平面直角坐标系x O y中.直线 G为参数，a为/的倾斜角.&40,乃)以坐标原y =7+，s m a点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C:夕=5,直线/与圆C交于M.N两点.(1)若直线/的斜率攵=2,求 弦 的 中 点。的直角坐标

7、与弦长|MN|的值；(2)若点尸(3,7).证明：对任意。，有 为 定 值.并 求 出 这 个 定 值.2 3.设 不 等 式,+N一 1|42的解集为.(I )求集合M；(I )若x G M|_ y|,|z|,求证：+2 _ y 3z|.6 9 3参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.L若全集U =R,A =Mx l，则（）A.A c B B.8 =C.A =8 D.B A【答案】B【解析】【分析】根据子集的定义，结合补集的定义逐一判断即可.详解】.全集U =R,A =X x l,故A错误；/.腕=x|X.0 ,=x|

8、X 4 1 ,故 8 =6A,故选：B.2 .设i是虚数单位，复数Z,=i2 0 2 2,复数Z 2 =,则Z,-Z,在复平面上对应的点在（）4+31A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据虚数单位的性质和复数的运算公式求出4/2的代数形式，由此确定.2（P2 1 5【详解】z=-=Tz 心5(4-3i)_ 4 3.42-(3i)2 =5-5 14 3+-5所以ZZ 2在 复 平 面 内 对 应 的 点 的 坐 标 为 该 点 在第二象限，故选：B.3.据 孙子算经中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯，侯、公，共五级.若要给有巨大贡献的

9、2人进行封爵，假设每种封爵的可能性相等，则两人被封同一等级的概率为（）I 2 八 3 c 4A.-B.C.-D.一5 5 5 5【答案】A【解析】分析】根据古典概型的概率公式计算即可.【详解】由题知，基本事件的总数有5 x 5 =2 5种情形，两人被封同一等级的方法种数有男、子、伯、候、公，共5种情形，故所求事件的概率为w=J.2 5 5故选：A.【点睛】本题考查数学史及古典概型的概率计算，属于较易题.4.方程l n(l og 3 X)=0的 解 是()A.1 B.2 C.e D.3【答案】D【解析】【分析】利用指数与对数的转化即可得到结果.【详解】.,l n(l og 3 X)=0,.,.l

10、 og 3 X=e =l,，x =3.故选：D.5.已知正四棱锥的底面边长为2,高为2正，若存在点。到该正四棱锥的四个侧面和底面的距离都等于，则 d =()A.1B 6D.1222【答案】c【解析】【分析】根据题意画出图形，则可得s i na=jOE=-1 ，再由s i na OF结合已知可求得答案SE 3 SO【详解】如图，正四棱锥S 。为底面中心，则S O _ L平面A B C O,设E为BC的中点，连接。E,S E,令/OSE=a,0E则 由 题 意 可 得=3且s i na=M=J=g,解得d =42 5/2 -cl 3 2故选：c.6.已知函数/(x)=A s i n(公 的部分图象

11、如图所示，则下列说法正确的是A.该图象对应的函数解析式为/(x)=2 s i n1 2 x +?5 7 rB.函数y =/(x)的图象关于直线x =2上对称1 2C.函数y =/(x)的 图 象 关 于 点 对 称 2 冗 71D.函数y =/(x)在 区 间-丁，一 丁 上单调递减【答案】C【解析】【分析】先 依 据 图 像 求 得 函 数 的 解 析 式，结合正弦函数的性质判断各选项的对错.T 7T 7T【详解】由图象可知A =2,=不一，即丁 =乃，又。0,4 3 1 2所以“亨=2,又/(5)=2，可得2 s i n(2 x 1 +e)=2 ,71 71又因为1刎5所以所以/(x)=2

12、 s i n(2 x +|J,故 A 错误；,5万,A-乃、.(5 7 r 乃、.7乃 1 ,当 x =时，s i n I 2 x +y I=s i n I 2 x 不 +y I=s i n=-5 .故 B 错误；r5 ,当x =一 时，s i n6当x e -4,-J时，则+-),0,函数/(x)不单调递减.故D错误._ 3 6 32 x +y j =s i n 2 =0,故 C 正确;故选：C7.若/(x)为奇函数，且/是丁=/(x)-2 e 的一个零点，则一玉,一定是下列哪个函数的零点()A.y =f-x)eTx-2 B.y =/(x)e +2 C.y =/(x)e -2 D.y =/(

13、-x)er+2【答案】B【解析】【分析】根据/(x)是 奇 函 数 可 得=因为是y =/(x)2 e 的一个零点，代入得/(Xo)=2 e%,利用这个等式对A、B、C、D四个选项进行一一判断可得答案.【详解】/(力 是奇函数，./(力=/(力 且x。是y =/(x)2 e 的一个零点，所以y(x o)=2 e*,把 一%分别代入下面四个选项，对于 A,7(x o)e&-2 =2(e%2,不一定为 0,故 A 错误；对于 B,+2 =-/(尤0卜-厢+i =_ 2.e&-e+2 =0，所以一 x()是函数 y =/(x)e*+2 的零点，故B正确；对于 C,/(-)6 -2 =-2-2 =-4

14、,故 C 不正确；对 于D,e-%/(7,)+2 =2 e*e +2 =4,故D不正确；故选：B.8.己知数列%的各项互异，且。“0，、=2(e N*),则-仁4-=()%+i 4 a +a +-+aa,A.-B.C.2 D.442【答案】C【解析】【分析】由题意得-l =2可得an_,an=a-a,，代入化简可得答案.【详解】由题意，得 -=2,则4 _ 1 4=2 a,i%6 2,e N*),an+an即%4 一%=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _=2.一%=2所以 卅2+。2生+，-+0 -1凡 0 力

15、 0)的左右焦点分别为片，心，过片的直线与双曲线的左右两支分a b别交于A,B两点,而+3/i=0，吩 i 旃2=0，则双曲线的离心率为()A.7 2 B.叵 C.y/3+1 D.返5 3【答案】D【解析】【分析】依题意设闺A|=f,|A 5|=3 f,根据双曲线的定义及勾股定理计算可得；【详解】解：设国A|=l,|AB|=3t,则有忸闾=4 r-2 a,=r+2 a ,在 RIAAB鸟中，|A B+忸K=|Ag，即 Q +2 a)2 =9/+(4 f 2 a)2,解得f =,又在RtA66K中，忸+忸用=忻 玛)故选：D.1 1.已知函数/(x)为定义在A上的增函数，且对V x e H,/(

16、x)+/(x)=l,若不等式/(公)+/(l n x)2 1 对 V x e(0,+c o)恒成立，则实数a的取值范围是(A.(0,e B.(c o,e C,(o,一【答案】D【解析】【分析】由题意将不等式转化为于(ax)/(In x)对V x e (0,饮)恒成立，1D.一，+8e再由其在R上的增函数，可得。2叱，构造函数8*)=史土,X 6(0,+(功，然后利用导数求出其最大值即可X X【详解】；V x w R,/(X)+f(-x)=1,/(-In x)=1 -/(In x),:不等式/(以)+/(-l n x)l X t V x e (0,+o o)恒成立,；.f(ax)/(In x)对

17、 V x e。+刃)恒成立，In X .函数f(x)为定义在R上的增函数，o rN l n x,化为：a ,xA,、In x 小、，、1-l n x令 g(x)=,x e(0,+o o),则 g(x)=)X Xx e(),e)时，g(x)0,此时函数g(x)单调递增；x e,+8)时，g(x)=3 B E.过点E作球。的截面，则所得截面面积的最小值 是()A.3万 B.4乃 C.8%D.9万【答案】C【解析】【分析】如图，。1是A在底面的射影，求出底面外接圆的半径和几何体外接球的半径，利用余弦定理求出0 E=,当截面垂直于0 E时，截面面积最小，求出截面圆的半径即得解.【详解】如图，。是A在底

18、面的射影，由正弦定理得，B C D的外接圆半径4=一X =2G，sin 6 00 2由勾股定理得棱锥的高A Q=7(4A/3)2-(2 V 3)2=6，设球。的半径为R,则R?=(6 R +(2G)2,解得H =4,所以O Q=2,在中，由余弦定理得0 ：2=4 +1 2-2 x2 x2 6x3 =4，所以。七=2,所以在AOE。中，20 E =2 O,当截面垂直于0 E时，截面面积最小，此时半径为J/?_。七2=2 0 ,截面面积为8 .故选：C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.x+2y-5013.若x,y满足约束条件 x-2y +3 2 0,则z =x+2y的最大值为.x

19、-5 PO=,AO PO 2 2所以O M=Y 5,所 以 空=，6 OP 3点M到底面ABC。的距离为g,又5.8=1319.在 A3C中，角A,B,。所对的边分别为。，b,。若sinA=g,A=2 8,角。为钝角，h=5.(1)求 sin(A 8)的值；(2)求边c的长.【答案】(1)叵10(2)13【解析】3【分析】(1)由 sin A=1求导 cos A,利用85 24=8525=28$2 8-1求得8$3,sinB,再由两角差的正弦展开式可得答案；(2)利用正弦定理和 sin C=sin(A+B)=sin Acos 3+cos Asin B 可得答案.【小 问i详解】因为 C为钝角，

20、由 sin A=1 ,则 cos A=Jl-sin?A=1 则cos A=cos 2B=2 cos2 B l，C为钝角可得6为锐角，用尔以以 cos*B-3-厢-,si.n B R -_ -V-i-o-,10 10可得 sin(A-B)-sin A cos B-cos Asin B=-【小问2详解】由(1)可知：sin B=,则 cos B=,C TTAB,10 10则 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cosAsin B=13,b c=正弦定理：加 一13加，smB sinC-5可得：c=13.20.已知函数/(x)=-ox)In x,g(x)=1 J _ 2ax.(1)若

21、a=l,求曲线y=/(x)在点(1(D)处的切线方程;(2)若当xN l时，/(x)N g(x)恒 成 立,求。的取值范围.【答案】(I)x+2y-l=0(2)e4，e52【解析】【分析】(1)根据导数的几何意义求出曲线y =/(x)在点(1,/(D)处的切线斜率，再由点斜式求切线方程;(2)化简不等式/(x)2 g(x),通过讨论X的范围分离变量，再利用导数求函数的最值可得“的取值范围.【小 问1详解】因为/(x)=(x l)lnx +g x 1,所以/(1)=一；又/(1)=0,所以切线方程为y =-g(x l),即x +2 y -l=0【小问2详解】由 /(X)之g(x)知一+2 a v

22、 N 0,因为1 3所以一x lnx xa(lnx-2),2 4当x =e?时，GR,当x、时，,JX l n X-4Xnx-2当 l x e2 时，nAX i n X lXnx 2构造函知%lnx-2(2 1 nx-5)(lnx-l),4(lnx-2)2当l x 0,当x)单调递增,当e v x v e?时，h(x)0,(x)单调递减,e e故lX e2 时，(X)ma x =化)=，因此5.当e2 c x e2,/?(x)1时，/(为 ，(x)单调递增，(5 5 .5故Xe2时，=h e2=e2,因此V 7一e 综上：a e-,e24【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(l)e/(

23、X)恒成立。/X)ma x；（2）S（X）恒成立 O c S W min.2 1.已知椭圆C：1+与=l（a b 0）,右焦点为尸（加,0）,且离心率为 正.a b-2（1）求 椭 圆C的标准方程;o 1 4（2）设M,N是 椭 圆C上不同的两点，且 直 线 与 圆0：V+y 2=相切，若T为 弦MN的中3点，求Q7 T I M N I的取值范围.2 2【答案】（1）土+匕=1;4 28（2）-,3.3【解析】【分析】（1）由 题 可 得,=夜,e=也,“2=/+。2,即求;a 2（2）当直线MN的斜率不存在或为0,易求|O T|,|M N|,当直线MN斜率存在且不为0时，设直线MN的方程为：

24、x m y +t,利用直线与圆相切可得r=g（加?+）,再联立椭圆方程并应用韦达定理求Q得|O T|.|M N|=2 1 +3 Lm2、m4+4加 2 +4,然后利用基本不等式即得.【小 问1详解】由题可得c =2,e=-,a=b2+c2a 2.a-2,b=62 2.椭 圆c的方程为：+-1；4 2【小问2详解】当直线MN斜率为0时,不妨取直线MN为y =事 回 一 孚 军K半用此时|0 T|=，|M N|=，贝I|0 T|“M N|=|；当直线MN斜率不存在，不妨取直线MN为x=2叵，则M3kF,N2百 2百、亍 F此时|0 T|=迈,|MN|=,贝3 3 3当直线MN斜率存在且不为。时，设

25、直线MN的方程为：x=m y +t,M(x,yiy N g y),2因为直线MN与圆+y4相切,3所以d=,-空，即/=(z 2+i),7 7 1 3 3、)I d又因为直线MN与椭圆C交 于M,N两点:由 x2 y24 2 ，得(加2+2);/+2 m/y +J _4 =0 ,x=my则-2mtm +2t2-4m +2所 以MN中 点7坐标为2t-mt则|0 T|=m2+2|MN|=y11+m2 2t、m+2m2+2 机*+2 广+2m+2+2m2+22,1 +/，8 +4找2 2*2 4 1+4*一4m2+214；w+y +4m 7取等号,.lO T T I M M e|,3Q综上所述：I

26、。7 M M M的取值范围为，3 .（-）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.X=3 +f C O S OL2 2.在平面直角坐标系x O y中.直 线 一”G为参数，a为/的倾斜角.4 0,万）以坐标原y =7+，s ma点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C：Q =5,直线/与圆C交于M.N两点.（1）若直线/的斜率攵=2,求 弦 的 中 点。的 直 角 坐 标 与 弦 长 的 值；（2）若点P（3,7）.证明：对任意a,有1P M H P N|为定值.并求出这个定值.【答案】（1）（一|,|,=（2）证明见解析，定值3 3【解

27、析】x =3 +，co s a,今 今 o /、【分析】（1）将 代入圆C的方程f+y 2=2 5,得*+（6 co s a+14 s i n e）f+3 3 =0.y=l+tsinay设点M，N,。对应的参数分别为G，弓，J，由参数，的几何意义和中点坐标求得点。和|M N|.（2）由（1）根据参数f的 几 何 意 义 可 得 为 定 值，与a无关.【小问1详解】解：由圆C:2=5,得圆。：/+,2=2 5.x =3 +/co s（X将 7 .代入x?+y 2=2 5,得/+（6 co s a+14 s i n a）/+3 3 =0.设点何，N,Q对应的参数分别为,t2,2,则 有 与 二 号

28、 ，t+L =-6 co s a-14 s i n a,t-t2=3 3 .一 .2当左二2时，t an a=2,所以$111。=忑7,co s a=所以+3 4岑 r +3 3 =07 5所以2 =2为=7 一17 2 1X=5所以|M N=&+L ）2 4，也=火 名.所以=生 叵.5 5【小问2详解】解：因为尸（3,7）,所 以 由（1）根据参数f的几何意义知，|P M|-|P 2 V|=|r/2|=3 3,即|尸卜|则为定值3 3,与a无关.2 3.设不等式|x+x-1 2的解集为（I ）求集合M；（I ）,|y|-|z|-求证：|x +2 y-3 z|4。.6 9 3【答案】（I）（I I）详见解析.【解析】【详解】试题分析：（I）运用分类整合思想求解；（I I）借助绝对值不等式的性质进行分析推证:试题解析：X 1解：（I）c c=-2x2-i x i0 2 2x-1X1综上，不等式的解集“为 1.(I I)证明：k +2 y _ 3 z|K k|+2|y|+3|z|K l +2 x：+3 x 1=g所以|x+2 y 3 z|g.