同济高数下册总结.pdf

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1、高 数（下）小结一、微分方程复习要点解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法求出其通解.一阶微分方程的解法小结：方程编号类型一 般 形式解法备注1型可分离变量方程p =O(x)*(y)或M(x)dx+N(y)dy=0分离变量法有些方程作代换后可化为1型2型齐次方程广M）或Xx=e（土）y令=上或=itx y为1型求解有时方程写成 二。（二）令 土二化y y为 1型求解3 型线性方程y,+P(x)y=Q(x)或x,+P(y)x=Q(y)1.常数变易法2.凑导数法：同乘尸有时方程不是关于y,y线性方程，而是关于x,x线性方程4 型贝努里方程y,+P(x)y=Q(x)y

2、a或x +P(J，)x =O(jW令=z 或x a=z 化 为 3 型求解有时方程不是关于y j 的贝努里方程，而 是 关于X,x贝努里方程5 型全微分方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0其 中迎=近dx dyu(x,y)=cu(x,y)为原函数有时乘以一个积分因子可化为5 型二阶微分方程的解法小结:类型特 征求 解 方 法备注y(n)=f(x)缺次积分求解见上册y=/)缺y令y-p,y-P，降为一阶方程降价后是关于P，X的一阶方程y=./(/)缺X令4=p(y),y =p也降为一阶方程 dy降价后是关于p,y的一阶方程用=/3，P)dyy+py+qy=f(x)P,q常系数通解y=y+y

3、*亍及/见下表齐次方程y+py+qy=0的通解y为:判别式两特征根情况通 解p?_ 4g 0相异实根外，七y=qe*+c2er2Xp2-4q=0二重实根为y=(G+c2x)evp2 _ 4g =z-z。KGOJO.Z。）K.（X JO，ZO）工（XOJO，Z 0）若曲面E的方程为z =/（x,y）,则在点,为，z ）处的法向量万=XoJo）/（XoJo）,一人（/，为 汽 x 0）+力（x JOXN 汽）一 （z Z o）=O法线方程为=yy.=三二包Z r Uo-o）ZU o o）T四、多元函数极值（最值）的求法1无条件极值的求法设函数z =/（x,力 在 点 入 仁，为）的某邻域内具有二阶

4、连续偏导数，由f,（x,y）=O,4（x,y）记/=/（X o，必），8 =工：,（/,外），八 人 心。，为）.,切平面方程为1 ,切平面方程为=0 ,解出驻点（%,%）,1）A C-B2 09则/（x-）在点（/,盟）处取得极值，且当4 0时有极小值.2）若ZC-炉 0,则/（x,y）在点（x ,%）处无极值.3）若N C-3 2=O,不能判定/1,y）在点（X0,%,）处是否取得极值.2条件极值的求法函数z =/（X ,力在满足条件尹（x ,y ）=0下极值的方法如下：1）化为无条件极值：若能从条件Q（x,y）=0解出y代入/（x,y）中，则使函数2 =2（、,用成为一元函数无条件的极值

5、问题.2）拉格朗日乘数法作辅助函数F（xj）=/（x,y）+/l 8（xM，其中X为参数，解方程组令工（x/）=力（x，力+丽x（%y）=o令 4（X,y）=fy（x,y）+/（x j）=0（p（x,y）=0求出驻点坐标（x j）,则驻点（x j）可能是条件极值点.3最大值与最小值的求法若多元函数在闭区域上连续，求出函数在区域内部的驻点，计算出在这些点处的函数值，并与区域的边界上的最大（最小）值比较，最 大（最小）者，就是最大（最小）值.主要:I、偏导数的求法与全微分的求法；2、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法3、最大值与最小值的求法三、多元函数积分学复习要点七种积分的概念、计算方法及应

6、用如下表所示:积分类型积分记号定义及几何意义积分区域积 分 元 素被积函数一重积分bj f(x)dxalim Z/()小,A 0/=曲边梯形面积区间 2句dx=Ax一元函数二重积分J J/Dd bDlimA O/=zj曲顶柱体体积平面区域Df dxdyd(y=0/=|空间区域Qdxdydzdv=rdrdOdzr2 0n(pdrd9d(p三元函数计 算 方 法应用转动慎 量 4d s=需/甘，+(dv2其它(面积.体积.功等)第 一 类 曲 线,册)心表元*所左和Ab*2(x)|)J 公 J aa(px1LdorJch m Z .八,力。2 (y)dx J fdy例(y)A*/J平 面 或 空

7、间f曲 线 L1 py2 db=1 体)2 0一 兀 或 二积 1/=JJ(Z 2%-Z )da“2 扬 树 股)2 力P 2)J dO J/(r c o s ,r s i n );r/ra，i 和A 1 Ln A.Y r平 面 或 空 间dx-ds cos nA=JJl +z J+2 匚 元 或 三v2 dxdyZ 2 (X j)pb J DXY 马(x,y)3)柱面坐标法J/(x,y,N)四L 2)J dzA 0 /=1fdxdyA =f.曲 线 Lf(j/+J)Mx p d vY=-体-积元函数!V=j j j0/=i1JL空间曲面z pdsds=x=”+z+zjP dxdy卜 吟 丽L

8、_xdy曲多A=-三元函数，所围面积-(p x Jv -vdx2)j x,y(x)，a翁 二 点 曲 面积分pw)c。4)化为第二类J+y,zdxl i m S /,彷6)4空间曲面Zdxdy=ds-c o s;2 J 1,L三元函数曲线积分P bi)J/s a)”(，)“(/)山 2)J/a,j，(x)公a aP3)-J/(r()c o s0,r(0)s i n0)r3x(0)dOa4)J/(x,y)c o s ads 5)green 公式计算法L6)折线计算法(积分与路径无关时)；7)连2变形原理计算法；8)N-L公式计算法卖1)功 W=Jp d x +0的L求二元函数的“原函数”定积分的

9、几何应用定积分应用的常用公式：面 积s=J：/(x)g(x)kx(X-型区域的面积)/D+zrXY4-z：dxdy4=1/+/)0sEJ_ wx=xpdsJ9面积S=JJd sS=1)直接代入法 士分2)Ga u s公式计算法；3)投影转移法JJ/(x(y,z),y9 z)-d y d z7 c o s y(6-里 区 域 的面积)(2)体积展4(xx(横截面面积已知的立体体积)曦=J/2(x)dx(y=f(x),x=a,x=b,y o所围图形绕x轴旋转所得的立体体积)Ky=J%X,/(X)dx（y=/（x）,x=a,x=b,y=0 所围图形绕歹轴旋转的立体体积）rv=c=j(/(x)-c)2

10、4/r（=/（*），x=a,x=b,y=c所围图形绕轴y=c旋转的立体体积）J ：戊 +y2dx（直角坐标形式）（3）弧长 S=（参数方程形式）J/+/2.0 （极坐标形式）计算时注意：（1）正确选择恰当的公式；（2）正确的给出积分上下限；（3）注意对称性使问题简化；（4）注意选择恰当的积分变量以使问题简化.计算多元函数的积分时要注意利用对称性简化积分的计算：1）、对二、三重及第一类的线面积分，若积分区域关于变量x 对称，则当被积函数关于x 为奇函数时，该积分为0,当被积函数关于变量x 为偶函数时，则该积分为相应一半区域积分的二倍.2）、对第二类的线面积分，关于积分变量的对称性理论与上相同，关于非积分变量的对称性理论与上相反.3）、若积分区域x j 的地位平等（即 将 表 示 区 域 的 方 程 互 换 不 变），则将被积函数中x,y 互换积分不变.此称之为轮换对称性.I 主要I1、交换二次积分的积分次序；2、化三重积分为球面坐标或柱面坐标下的三次积分；3、配公式计算法；4、Gaus公式计算法；5、两曲面所围体积与旋转体的体积计6.平面图形面积的计算。所以：p（y）宾+p a）袅=。3）z （），（：）+P（x）z iit）叱）=oox oy、一 甲也）1一 cp 也）