安徽省合肥市2022届高三下学期冲刺最后一卷文科数学试题（含答案与解析）.pdf

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1、合肥一中2022届高三冲刺最后一卷数 学（文科）（时间：120分 钟 分 值：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：（本大题共10小题，每小题5 分，共 50分）1.设全集0 =1，M=J（X2-2X0,N=X|XN 1,则M U（电N）=（）6.如图为一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A x|x 1B.I x|0 x l|

2、C.出 2D.x 1A.B.-2,0 C.1D.O5.jr在 48C 中,A8=28C=2,N A=一，则 AB C 的面积为（）6A.5BT C1D.劣侧视图7.等比数列&的前项和为S“，已知5，2s 2，3s 3成等差数列，则%的公比为（）I 1 1A.B.-C.3 D.一2 4 39.设 圆C的 圆 心 在 双 曲 线 二-工=1（。0）的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆C被直线2/:x J 5y =0截得的弦长等于2,则。的 值 为（）A.2 B.y/3 C.2 D.310.将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为。，第二次出现的点数记为人设两条直线4:ar +力=2,4：x +2

3、y =2平行的概率为耳，相交的概率为鸟，试问点P （，6）与直线4：x +2y =2的位置关系是（）A.P在直线4的右下方 B.P在4直线的左下方C.P在直线的右上方D.P在直线上二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.11.函数y =J x(4-x)的定义域是.12.青年歌手大赛共有10名选手参赛，并请了 7 名评委，如茎叶图是7 名评委给参加最后决赛的两位选手甲、乙评定的成绩，依照此茎叶图，对甲乙两人成绩作比较，写出两个统计结论：甲8 58 6 5 42乙94 4 43789.x+3y-3013.若 实 数 满 足 不 等 式 组 2x y 3 K0,

4、则x+y 最大值为x-y+1 014.如图所示的程序框图，若输入=5,则输出的值为一15.已知正方体AB C。-4 4 GA 的棱长为1,E,F,G分别是A B,B C ,Bg的中点.下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).以正方形的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形；尸在直线F G上运动时，A P L D E-.。在直线BG上运动时，三棱锥A 一鼻。的体积不变；M 是正方体的面A 用内到点。和C 距离相等的点，则 M 点的轨迹是一条线段.三、解答题：本大题共6小题，共75分1 6.在AABC中，角 A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且。2=/+从-“6，(1)若 t

5、 a n A -t a n 8 =g (1 +t a n A -t a n B)，求角 B.(2)设施=(s i n A D，n =(3,c o s 2 A),试求比.万的最大值.1 7.某县有甲、乙、丙、丁四所高中的5 0 0 0 学生参加了高三调研考试，为了考察数学学科的成绩情形，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩作为样本(其中甲学校抽取了 3 0 人)，制作如下频率分布直方表并得到相应的频率分布直方图：分组频数频率80,90)0.02590,100)6100,110)110,120)120,130)130,140)12140,150)0.05合计(1)该次统计中抽取样本的合理

6、方法是什么，甲学校共有多少人参加了调研考试；(2)从样本在 80,100)的个体中任意抽取2 个个体，求至少有一个个体落在 90,100)的概率.1 8.已知四棱锥 A 8C D E,其中 AB=BC=A C=B E =1,CD=2,CD_L面 ABC,BE|CD,尸为 AZ)的中点.acAB(1)求证：所 面A BC；(2)求证：面4 DEJ_面 A C O：(3)求四棱锥A 3 C D E的体积.I-f(1、1 9.已知/(x)=_,4 +，数列%的前项和为S“，点 个,一 二|在 曲 线y =/(x)上(e N+)且q =1,an 0.(1)求数列%通项公式；(2)数列 4 的 前 项

7、和 为 且 满 足 =乌+1 62-8-3,确定仇的值使得数列 2 是等差数an a+l列.2 2/y2 0.已知椭圆C：=+4=1(a b 0)的离心率e =4,左、右焦点分别为耳，F,抛物线a2 b2 2 一V =4 日的焦点尸恰好是该椭圆的一个顶点.(1)求椭圆C的方程；(2)已知圆M：%?+9 =的切线/与椭圆相交于A,B两点，那么以A B为直径的圆是否通过定点？3假如是求出定点的坐标；假如不是请说明理由.2 1.已知=+4X+1(Q /?)(1)当。=一1时，求 函 数 单 调 区 间；(2)当QER时，讨论函数的单调递增区间；(3)是否存在负实数。，使工-1,0时，函数有最小值-3

8、?参考答案一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共 50分)1.设全集0 =1，M=%|X2-2X0),N=X|XN 1 ,则U&N)=()A.x|x l B.x 0 x l C.x|x 2 D.即 x 2【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式可得=卜|0%2 ,再由补集、并集的概念即可得解.【详解】由题意，A/=|X|X2-2X01=X|0X2 ,N=x|x N l ,所 以 aN=x|x l ,Mu(q,N)=x|x 2.故选：c.【点 睛】本题考查了一元二次不等式的求解及集合的运算，考查了运算求解能力，属于基础题.2.已知i 为虚数单位，“为实数，复 数 z =伫 在复平面内对

9、应的点在y轴 上，则 a的 值 是（）A.-2iB.2D.2c i【答 案】A【解 析】【分 析】化简复数，因 为 复 数 z 在复平面内对应的点在y轴 上，故实部为零，虚部不为零，即可求参数.a-2 i _(a-2 i)(l +i)【详 解】由 Z1-i (l-i)(l +i)a +2+(a-2)i a +2(a 2)i +222因 为 复 数 Z 在复平面内对应的点在y轴 上，所 以，=0,C L 22则 a=-2故 选：A3.已知向量 =（1,0）,8=（1,1）,向 量 +与之垂直，则 实 数 2 的 值 为（)A.-2【答 案】B.2C.-1D.1C【解 析】【分 析】由题得（+“=

10、0 化简即得解.【详 解】因 为 a+/区与a垂直,所以+=0,:.a +A a b-0,所以 1+2 x (1+0)=0,./1=1.故选：c4.已知函数/（x）=1A.-,02B.-2,0D.0【答案】D【解析】【分 析】函 数 A x）的零点，即 令 f（x）=0 分段求解即可.,2X-I,x,l【详解】函数/（x）=1+log2x,x 1当,1时，令/（x）=2 l =0,解得x =0当%1时，令y（x）=i+i og,x=o,解得尤=1（舍去）2综上函数的零点为0故选：D.【点睛】本题考查函数的零点个数，考查分段函数的知识，属于基础题.J I5 .在 A 8C 中48=28C=2,N

11、 A =，则 A 8C 的面积为（）6A.!B.2 C.1 D.J 32 2【答案】B【解析】【分析】T T根据正弦定理可得N C=,再根据面积公式求解即可.2【详解】由正弦定理得ABs i n C空 nsis i n AAB s i n AB C-=1.故/C=71771 7C 7T 1 J 3故=7 ,故 S ABC=AB BC-sin N B =.2 6 3,2 2故选：B【点睛】本题主要考查了三角形中正弦定理以及面积公式的运用，属于基础题.6.如图为一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）俯视图【答案】A【解析】【分析】根据三视图作出几何体的直观图，结合图中数据可得结果.【详解】根据

12、三视图作出几何体的直观图如下图所示：由图可知，该几何体为三棱锥P-A B C与直三棱柱ABC-尸拼接而成的几何体，且P A _ L平面A B C，ABA.BC，P A=A B =BC=2,A )=1,所以，该几何体的体积为V=1x 4x 23+L x 22x l =W.3 2 2 3故选：A.7.等比数列 q 的前项和为S”，已知号，2 s2，3s3成等差数列，则%的公比为()1 1 1A.-B.-C.3 D.-2 4 3【答案】D【解析】【分析】利用等差中项以及等比数列的定义即可求解.【详解】设等比数列 ,的公比为4,因为2 s 2，3s3成等差数列，所以百+3 5=2*2.，所以4“+3

13、2+3%=4q +4 4，化为：3%=2，解得q =故选：D8.函数y=xs i n rx e(-7r,0)u(),4)的图像可能是下列图形中的【答案】C【解析】【详解】由/I）=sin（二 广 Ui=/3 可得函数为偶函数，排除A选项；f 71 1 7T且/排除D选项；l i m =l i m =1 ,排除 B 选项；x-s i nx （s i nx c osx本题选择C选项.2 29.设圆。的圆心在双曲线3=l（a 0）的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆C被直线a 2/:x g y=0截得的弦长等于2,则“的 值 为（）A.7 2 B.G C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】先利用

14、圆与双曲线的渐近线相切得圆的半径，再利用圆C被直线/:x-6 y =0截得的弦长等于2,即可求得圆心到/:x-6 y =0的距离，利用点到直线的距离公式即可求出以【详解】由题意可知圆心坐标为（，拶+2,o）,因为双曲线的渐近线y =Y 2x，即后 ay =0.a由圆与双曲线的渐近线相切得圆心到直线的距离等于半径，即得=出=,J 2+/又因为圆C被直线/:x-Gy=0截得的弦长等于2,故圆心到直线/:工l _ _ _ 1 2 +/-6 y=0 的距离 d=1 2 1=1 ，则 I-尸；=，即/=2，J 1+（石 尸又a 0 ,故.故选：A.1 0.将一颗骰子投掷两次，第一次出现点数记为。，第二次

15、出现的点数记为从设两条直线/i :o r +刀=2,4 ：无+2 y =2平行的概率为，相交的概率为巴，试问点P （,）与直线4 ：x +2 y =2的位置关系是（）A.P在直线4的右下方 B.P在4直线的左下方C.P在直线，2的右上方 D.P在直线4上【答案】B【解析】【分析】据两直线相交斜率不等，求出。力满足的条件,据古典概型概率公式求出片,鸟，求出点P坐标，判断出与直线的关系.【详解】当 且 仅 当 时 两 条 直 线 只 有 一 个 交 点，b 2而q 的情况有三种：。=1力=2（此时两直线重合）；a=2 1=4 （此时两直线平行）；a=3力=6（此时b 2两直线平行）.而投掷两次的所

16、有情况有6 x 6 =3 6种，3 1 1所以两条直线相交的概率=1 -或=方；2 1两条直线平行的概率为二0二二，3 6 1 8点（6 为 1O 1Z J尸在4 ：工+2 y =2的左下方，故选项为B.【点睛】本题融合了直线、线性规划、概率等有关知识，在处理方法上可采用枚举法处理概率问题，属于中档题.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.I I.函数y =J x（4-x）的定义域是.【答案】0,4【解析】【分析】写出使函数有意义的表达式，求定义域.【详解】y =J x（4 x）的定义域需满足X（4-X）N0=0 X4,所以函数的定义域0,4 .故答案为

17、：0,4 1 2.青年歌手大赛共有1 0名选手参赛，并请了 7名评委，如茎叶图是7名评委给参加最后决赛的两位选手甲、乙评定的成绩，依照此茎叶图，对甲乙两人成绩作比较，写出两个统计结论：甲 乙94 4 438 58 6 5 42789.【答案】.从平均水平看，乙的平均水平略高一点；.从发挥稳定性上看，乙的发挥更稳定【解析】【分析】根据茎叶图，结合甲乙两名运动员 成绩，可以求出两个人的平均成绩，从而比较出两个人的平均水平；也可计算出两个人的方差(或标准差)，从而比较出两个人发挥的稳定性；一1一 1【详解】第一空，瘴=,(7 5+7 8+8 4+8 5+8 6+8 8+9 2)=8 4 ,(7 9+

18、8 4+8 4+8 4+9 3)=8 4.8 ,即从平均水平看，乙的平均水平略高一点：第二空，5 甲2=5(7 5 _ 8 4月 +(7 8 8 4)2 +(8 4 _ 84)2+(8 5 -8 4)2+(8 6 -8 4)2+(8 8 -8 4)2+(9 2 -8 4)2 2 8.8 6,17S乙2=(7 9 8 4.8)-+(8 4 8 4.8)2 x 3+(9 3-8 4.8)2 2 0.5 6 ,即乙的发挥更稳定，故答案为：从平均水平看，乙的平均水平略高一点；，从发挥稳定性上看，乙的发挥更稳定x+3 y-3 01 3.若实数又，丁满足不等式组 的最大值为.x-y+l 0【答案】9【解析

19、】x+3 y-3 0画出不等式组 0时，直线在V轴上的截距z最大，即+在点A(4,5)处取得最大值4+5=9,故答案为9.【点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：Q)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线)；(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解)；(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.1 4.如图所示的程序框图，若输入=5,则输出的“值为一【答案】-1【解析】【分析】按照程序框图依次执行，观 察 函 数 单 调 性 的 规 律 和 的 关 系，确定到哪

20、一步跳出循环，即可求出/?.【详解】按照程序框图依次执行，n=5,则“=5-2=3,f(x)=x3,f(x)在(0,+)上不是减函数；继续执行，=3-2=1；f(x)=x,f(x)在(0,+8)上不是减函数；继续执行，H=1 -2=-1;f(x)=X lf f(x)在(0,+8)上是减函数；跳出循环，输出结果，故=-1.故答案为-1 .【点睛】本题考查循环结构的程序框图、及归纳推理，注意每个变量的运行结果和执行情况.15.已知正方体ABC。-A瓦G R的棱长为1，E,F,G分别是A 8，B C ,3笈 的中点.下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）.以正方形的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多

21、只有三个面是直角三角形；P在直线FG上运动时，A P V D E-,。在直线8G上运动时，三棱锥A-D.Q C的体积不变；M是正方体的面4耳 内到点。和G距离相等的点，则M点的轨迹是一条线段.【答案】【解析】【分析】以三棱锥4-A B C为例判断；根据棱锥的体积公式判断；根据。_1平面4柘 判 断，根据DC,平面ABCR判断.【详解】以三棱锥A-A B C为 例（如 图（1）,则此三棱锥的4个面均为直角三角形，故错误；-.F G Y D E,D E V A F,平面A F G,当尸在直线FG上运动时，A P u平面ARG,：.D E A P，故正确；当。在直线BG上运动时，AR2的面积为定值（

22、如 图（2）,C到平面AR。的距离为定值，A-R Q C的体积是定值，故正确；连接O C，则。G，平面ABCR,的轨迹是线段A A，故正确.故答案为：.三、解答题：本大题共6 小题，共 75分16.在 zsABC 中，角 A,B,C所对的边分别是，b,c,=a2+b2 ab（1）若 tan A-tan 3=-（1 +tan A Tan 8），求角 3.（2）设玩=（sin AD,n=（3,cos2A）,试求玩.五的最大值.IT【答案】八“、*(2)8【解 析】【分 析】7TTT由余弦定理可得角。=一，由两角差的正切公式可得A-3，进 而 哼33(2)化 简 庆 万后，将sin A看成变量，则比

23、无为一个开口向下的二次函数，根 据sin Aw(0,1可得17沅 为有最大值言.8【小 问1详 解】2abah _ 1 ,r-2ah 2 3/,c、tan A-tan B/3tan(A-5)=-=,1 +tan A-tan B 3T T.,A BG(0,71),.A-B =-f6又M +5吟【小 问2详 解】zn-n=3sin A+cos2A=-2sin2 A+3sinA+l，C=,A AG(0,),sin A e(0,1,3 3317 当sin A=：时，玩力有最大值一.4 81 7.某县有甲、乙、丙、丁 四 所 高 中 的5000学生参加了高三调研考试，为了考察数学学科的成绩情形，现从中随

24、机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩作为样本(其中甲学校抽取了 30人)，制作如下频率分布直方表并得到相应的频率分布直方图:分组频数频率80,90)0.02590,100)6100,110)110,120)120,130)1 3 0,1 4 0)12 1 4 0,1 5 0)0.05合计(1)该次统计中抽取样本的合理方法是什么，甲学校共有多少人参加了调研考试；(2)从样本在 8 0,1 0 0)的个体中任意抽取2个个体，求至少有一个个体落在1 9 0,1 0 0)的概率.【答案】(1)分层抽样，1 25 0人；1 1(2)1 2【解析】【分析】(1)由已知得该次统计中抽取样本的合理方法是分层

25、抽样，首先求出样本容量，从而求出甲学校的人数.(3)样本在 8 0,1 0 0)的个体共有9个个体，其中有有3个个体落在 8 0 ,9 0)中，6个个体落在 9 0,1 0 0)中，由此利用等可能事件概率计算公式能求出至少有一个个体落在 9 0,1 0 0)的概率.【小 问1详解】解：,甲乙丙丁四所高中的5 0 0 0名学生参加了高三的调研测试，为了解数学学科的成绩情况，现从中随机抽取若干名学生在这次测试中的数学成绩作为样本，样本容量为 6+(0.(X)5 x l0)=1 20该次统计中抽取样本的合理方法是分层抽样，1 20设甲学校共有x人参加了调研测试，则三1 =3 0,解得x =1 25

26、0,二甲学校共有1 25 0人参加了调研测试.【小问2详解】解：样本在 8 0,1 0 0)的个体共有1 20 x(0.0 0 25 +0.0 0 5)x 1()=9个个体，其中有120 x0.0025x 10=3 个个体落在 80,90）中，6 个个体落在 90,100）中，从中任意抽取2 个个体，基本事件总数=C；,至少有一个个体落在 90,100）的对立事件是两个个体都落在 80,90）中，.至少有一个个体落在 90,100）包含的基本事件上个数 =C；-C；,.至少有一个个体落在 90,100）的概率P=：=与巨=1 1.1 8.已知四棱锥 4 一B C D E 淇中 A B =B C

27、 =A C=B E =1,CO=2,CD J面 ABC,BE|C D,尸为 A D 的（1）求证：面A BC；（2）求证：面 4）_1_面 4。：（3）求四棱锥A 3C D E 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）且.4【解析】【详解】试题分析：（1）取 A C 中点G,连接E G,5 G,根据三角形的中位线，得到四边形尸G B E为平行四边形，进而得到七户/A B G,再结合线面平行的判定定理，即可证明所面A B C；（2）根据AA3C为等边三角形，G 为 A C 的中点，C）_LiffiA 8C,得到B G _L AC,_L 8 G,根据线面垂直的判定定理得到3 6

28、_ 1 面 4。，则 所 _ 1 面 4。，再由面面垂直的判定定理，可得面4）E_L面 A C D；（3）连接 E C,可得四棱锥分为两个三棱锥E-ABC和 E-A D C,利用体积公式，即可求解三棱锥的体积.试题解析：（1）证明：取 A C 中点G,连接FG,B G,二 G分别是4。,A B 的中点，.尸 G C。,且FG=g c 0 =l,:8 E|C O,，E G 与 B E 平行且相等，尸 G 3 E 为平行四边形，.E F|B G,又 Ma 面A B C,B G u 面 ABC.:.EF|面 ABC.D(2)证明：.AA8C为等边三角形，.66_146,又；。_ 1 面 4 8 6,

29、8 3 匚面A BC,：.C D BG,：.B G 垂直于面 A D C 的两条相交直线 A C,CD,：.B G J面 ADC,-：E F BG,：.E F 面 ADC,-：Eb u 面 ADE,:.面 4?匠 _ 1 _ 面 A D C.(3)连接EC,该四棱锥分为两个三棱锥E ABC 和一 ADC.v_l7 lz _1 V3,1 ./3 _ V 3 _ V 3VA-BCDE-VE-ABC+VE-ACD=*彳 *1 +X 1X 工-=五 +飞-=彳I-F(1、19.已知/(x)=,4 +2 ,数列%的前项和为S“，点 an,在曲线y=/(x)上(e N+)V x 凡+且q =1,an0.（

30、1）求数列,的通项公式;（2）数列也 的前项和为乙,且满足+16n2-8 一 3确定a的值使得数列 2 是等差数列.1*【答案】(1)r-7 4 n-3(2)1【解析】【分析】Q）根据点匕1 4，-匚在曲线y=f（x）上（GN+），得到-=、%+1,即Van+l V an1 1 ,-2=4利用等差数列的定义求解;%（2）由（1）化 简 得 到&-J=l,利用等差数列的定义得到=（4-3）（7+”-1）,再利用数列4n+l 4n-3通项与前n项和的关系求解.【小 问 1详解】4,1-在曲线 y =/（x）上（w N*），。向）所以 二 4是 以 1 为首项，以4为公差的等差数列,所以一 =1 +

31、4（-1）=4-3 ,即 a“=-1 .,e N；a；。4“一3【小问2详解】由（1）知：冬=冬+1 6 2 8-3,即（4 一 3）7；川=（4 +1）7；+（4 一 3）（4 +1）,a”a,也整理得:4 +1 4 -3所 以 数 列 岛 是 为 首 项，以 I为公差的等差数列,则 上 一=7；+_ 1,即1=（4”-3）（7；+_ 1）,4 n-3当22时，bn=Tn-Tn_1=4b+Sn-llf若 也 是等差数列，则伪适合上式,令=1,得4=%一3,解得a=1.2 2 /T2 0.已知椭圆C：三+方=1（ab 0）的离心率6 =三，左、右 焦 点 分 别 为F2,抛物线 2 =4 7

32、2%的焦点尸恰好是该椭圆的一个顶点.（1）求椭圆C的方程；2（2）已知圆M：f +y 2 =一的切线/与椭圆相交于A,8两点，那 么 以 为 直径的圆是否通过定点？3假如是求出定点的坐标；假如不是请说明理由.丫2【答案】（1）+/=12（2）是过定点，定点。（0,0）【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点进而得出椭圆的一个顶点，求出。，再根据离心率求出a,。的关系，进而求出，最后求出椭圆方程；（2）讨论直线斜率人不存在，七0 和A 存在且不为0 三种情况，第种情况时，设出直线方程了 =丘+m并代入椭圆方程，进而通过根与系数的关系结合平面向量的数量积砺.。月=%+%进行化简，由直线与圆相切可得左

33、,，”的关系，最后证明出结论.【小 问1详解】因为椭圆C的离心率e=YZ，所以 =走，即a=J5 c，2 a 2因为抛物线y2=4&x 焦 点/（、回,0）恰好是该椭圆的一个顶点，所以a=J 5,所以c=l,U=l,所以椭圆C的方程为二+V=i.2【小问2详解】以AB直径的圆经过定点。（。，0），利用如下：当直线/的斜率不存在时，因为直线/与圆M相切，故其中一条切线方程为=如3由，娓x=32X+V 2=1，2(46 6/亚 渔，-则以A5为直径的圆的方程为（x-用1 +丁=|当直线/的斜率为零时，因为直线/与圆M相切，故其中条切线方程为y=-如，3由，在y=-,3，可得AX 2.+V =1I

34、2-(46.如,Br_V6 _迈一?一？7则以A B为直径的圆的方程为x2+y +-3、2723显然以上两圆都经过定点（0,0）.当直线I的斜率存在且不为零时，设直线/的方程为y=kx+m,由y=kx+mX2 2,消去，并整理得(2左2+1卜2+4%批+2m2-2=0,.万+y=设A（X，X）,B（孙）,则占+七=-4km2m2-2药，中2=后 力m2-2 k2所以 X%=(3 +初)(如 +m)=k2xx2+kmxx+x2)+m2=-,2 k+1所以E 丽=,4 +Y%=2,因为直线/和圆M相切，所以圆心到直线/的距离d =T=逅，整理得/=2(1 +/),于是k2+3 3V)3-(l+k2

35、)-2 k2-2OA-O B =x.x7+y,必=-二0 1-1 2 2 k2+1则以A B直径的圆经过定点。(0,0),综上可知，以直径的圆经过定点。(0，。).丫3 、2 1.已知/(x)=-(a +l)x2+4x+l(a e 7?)(1)当。=一1时，求函数的单调区间；(2)当ae R时，讨论函数的单调递增区间；(3)是否存在负实数4，使x e 1,0时，函数有最小值 3?【答案】X)的单调递增区间为：(一2,2)；单调递减区间为：(F,2),(2,+8)；见 解 析；3(3)a=4【解析】【分析】(1)求导后，根据导函数的符号可确定单调区间；(2)求导后，分别在。=0,a0,0 1,。

36、=1,的情况下，讨论导函数的符号，从而得到单调递增区间；(3)根 据(2)的结论可得/(X)单调2 2性，分别在一2-1和一-1两种情况下确定最小值点，从而构造方程求得符合题意的结果.a a【详解】(1)当a =1 时，/(X)=-1X3+4X+1 ,-./,(X)=-X2+4,当x w(-o o,-2)和(2,+QO)时，,f(x)0.J(x)的单调递增区间为：(一2,2)；单调递减区间为：(-0),-2),(2,+8)(2)由题意得：f(x)=ax2-2(a +l)x+4=(a r-2)(x-2)当a =0时，/(x)=-2 x+4.当x e(-o o,2)时，/,(x)0的单调递增区间为

37、：(2)2当4 0时，令r(x)=0,解得：=0./(x)的单调递增区间为：2当Ovavl 时，令/(x)=O,解得：=2,用二？，当 XY,2)和(2,+8 1寸，./(X)的单调递增区间为：(9,2),当a=l时，令/(x)=O,解得：%=2./(N O对x e R恒成立.1/(x)的单调递增区间为：(-,”)2当时，令/(x)=0,解得：玉=,o./(X)的单调递增区间为：(一00，；1)(2,+8)(3)当 0时，由 知“X)的单调递增区间为：当 z-l,即aW 2时，/()min=/j -3整理可得：3+3a 1 =0,解得：”_3问 _ 2,不合题意62：1,即一2 a。0)的离心

38、率6=也，左、右焦点分别为耳，F2,抛物线a h 2/=4 7 2 x 的焦点厂恰好是该椭圆的一个顶点.（1）求椭圆C的方程；2（2）已知圆例：d+y 2 =一的切线/与椭圆相交于A,B 两点，那么以AB 为直径的圆是否通过定点？3假如是求出定点的坐标；假如不是请说明理由.丫 2【答案】（1）+/=12（2）是过定点，定点。（0,0）【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点进而得出椭圆的一个顶点，求出。，再根据离心率求出a,c 的关系，进而求出从,最后求出椭圆方程；（2）讨论直线斜率人不存在，七0 和A 存在且不为0 三种情况，第种情况时，设出直线方程y =H +?并代入椭圆方程，进而通过根与系

39、数的关系结合平面向量的数量积西.砺=玉 泡+乂进行化简，由直线与圆相切可得上加的关系，最后证明出结论.【小 问 1 详解】因为椭圆。的离心率e =2,所以=也，即a =0c，2 a 2因为抛物线y2=40 x 焦 点/（血,0）恰好是该椭圆的一个顶点，所以也，所以c =l,b2=，所以椭圆C的方程为二+丁=1.2【小问2 详解】以A3直径的圆经过定点。（。，0），利用如下：当直线/的斜率不存在时，因为直线/与圆M 相切，故其中一条切线方程为=巫，3，BV6 V6则以A3为直径的圆的方程为尤-2 2+/=-3当直线/的斜率为零时，因为直线/与圆M 相切，故其中条切线方程为y =一 巫3由，y=-

40、7，可得AX 2 1 4-V =12,fV6 _V6,B/7则以A3为直径的圆的方程为/+rt显然以上两圆都经过定点(0,0).当直线I的斜率存在且不为零时，设直线I的方程为ykx+m,由，y=kx+mx2,消去y并整理得（24 2+1b 2+4也式+2疗-2=0,丁）一设A(X，X),8(9,%)，则不+毛=-4km药2m2-22 m2-2 k22 k2+所 以 必 必=（依1 +机）（入2+）=A IZ+kmxt+x2）+m所以 OA-OB=%尤2+y%3m2-2 k2-22公+1因为直线/和圆M相切，所以圆心到直线/的距离4 =叁=必，整理得，=2(1+公)，于是k2+l 3 3、3.2

41、(1+/)2公一2OA-O B -x.x7+y.y?-0 1 -1-2 k2+1则以A B直径的圆经过定点。(0,0),综上可知，以48直径的圆经过定点。(0，。).向21.已知(a +l)x2+4 x +l(a e 7?)(1)当。=一1时，求函数的单调区间；(2)当aeR时，讨论函数的单调递增区间；(3)是否存在负实数“，使x e l,0 时，函数有最小值一3?【答案】X)的单调递增区间为：(一2,2)；单调递减区间为：(,一2),(2,+s)；(2)见解析;(3)a=4【解析】【分析】(1)求导后，根据导函数的符号可确定单调区间；(2)求导后，分别在a =0,a0,0a l的情况下，讨论

42、导函数的符号，从而得到单调递增区间；(3)根 据(2)的结论可得f(x)单调2 2性，分别在一2-1和一-1两种情况下确定最小值点，从而构造方程求得符合题意的结果.a a【详解】当a=1 时，/(X)=-1X3+4X+1/./,(X)=-X2+4.,.当x e(,-2)和(2,+oo)时，/(x)0/(x)的单调递增区间为：(一2,2)；单调递减区间为：(一8,2),(2,+8)(2)由题意得：f x)=cvc-2(tz+l)x+4=(ox-2)(x-2)当a=0时，/(x)=-2x+4，当xw(-oo,2)时，/(x)0./(x)的单调递增区间为：(F,2)2当 a0 时，令 r(x)=o,

43、解得：=0.“X)的单调递增区间为：2当0“2,x,=2.,.当(-00,2)和2,+00寸，/(x)0./(X)的单调递增区间为：(F,2),仔，+当a=l时，令/(x)=0,解得：玉=2./(%)之0对111恒成立，/(工)的单调递增区间为：(-8,+00)2当时，令/(x)=0,解得：石=一 0.)(X)的单调递增区间为：(一 ，；|)，(2,+8)当a0时，由(2)知 x)的单调递增区间为：仔,2)当:N 1,即 aW 2 时，/(尤)m in =/1 7)=一3整理可得：3 a 2+3-1=0,解得：厂 台 土 瓜)_ 2,不合题意62-即一2。0时，/(x)m in=/(l)=34/7 3整理可得：一行=1，解得：a =-j e(2,0)3综上所述，存在负实数。=一,使x e -l,0 时，函数有最小值一3【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到函数单调区间的求解、讨论含参数函数的单调性、根据函数在区间内的最值求解参数值的问题；根据最值求解参数的关键是能够确定函数在所求区间内的单调性,从而确定最值取得的点，进而构造方程求得结果.